二项式定理及其简单应用

高中数学课件
[强化训练 4.1] (1)(2015 年高考·课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数
为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2019 年内蒙古包头一模)(x2－x＋y)5 的展开式中，x4y3 的系数为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
(3)(2019 年河南一模)(2x2＋x－1)5 的展开式中，x3 的系数为________．
【思路分析】
高中数学课件
【解析】 (1)二项展开式的通项是 Tr＋1＝C4r(x y)4－r·(－y x)r＝(－1)rC4rx4－2ry2＋2r，
令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C42＝6.
(2)a＝πsinxdx＝(－cosx)|0π＝2，所以二项展开式的通项是 Tr＋1＝C6r(2 0
答案：(1)B (2)16 4
高中数学课件
高频考点 3 系数最大项问题
【例 3.1】 已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式 系数和大 992.
(1)求2x＋1x2n的二项式系数最大的项； (2)求2x＋1x2n的展开式系数最大的项．
高中数学课件
高频考点 4 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
【例 4.1】
求2x＋1x＋
25(x>0)的展开式经整理后的常数项．

【解】
解法 1：2x＋1x＋
25在

x>0
时可化为
x＋ 2
1x10，因而
Tr＋1＝C10r
1 10－r 2

用二项式定理近似计算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在数学中，二项式定理是一个非常有用的定理，可以用来快速计算高次数的多项式的幂。

二项式定理的基本形式可以表示为：(a + b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + ... + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^nn为一个非负整数，a和b为任意实数，C(n, k)表示组合数，计算公式为：C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}这个公式可以快速计算出n次多项式的一个展开表达式。

在实际应用中，我们经常需要计算一个大的多项式的幂，这时候就可以使用二项式定理来近似计算。

下面我们就来看看如何利用二项式定理近似计算。

我们需要确定一个合适的近似值。

在实际计算中，我们可以使用以下的二项式定理展开式：(1 + x)^n \approx 1 + nx这个展开式称为一阶近似，可以帮助我们快速计算出较大的数的幂。

假设我们要计算(1.01)^7，我们可以利用一阶近似来计算：(1.01)^7 \approx 1 + 7 \times 0.01 = 1.07这样，我们就可以快速得到一个近似值1.07。

随着n的增大，一阶近似的精度会下降，因此我们可以考虑使用更高阶的近似值来提高计算精度。

除了一阶近似外，还可以使用更高阶的近似公式来计算更复杂的多项式的幂。

二阶近似公式可以表示为：通过这种方法，我们可以得到一个更精确的近似值1.072864。

随着阶数的增大，计算的复杂度也会增加，因此我们需要根据实际需求选择合适的近似阶数。

(1 + x)^n \approx 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 +\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3这样的高阶近似公式可以帮助我们更精确地计算复杂的多项式的幂。

x
简析：本题是一道利用二项式定理对某个二项式进行展 开的问题，.
(2x1 x)6(2 x x1 )6x 1 3(2 x 1 )6
6x 3 4 1x 9 2 2 2x 4 10 6 6 x 0 0 1 x 2 2 x 1 3
二项式定理
x 例题2：求
(x

1 x
3 、重点难点分析：
重点：（1）使学生参与并深刻体会二项式定理形成过程，掌握二项式， 系数，字母的幂次，展开式项数的规律。
（2）能够应用二项式定理对二项式进行展开。
难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二﹑说教学目标
A.知识与技能
（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的 幂次、展开式项数的规律.
C
2 2
下一页
二项式定理
(a b ) ? 3
c3 0 a 3 c3 1 a 2 b 1 c3 2 a2b c3 3 b 3
( a b ) 4 ?C 4 0 a 4 C 4 1 a 3 b C 4 2 a 2 b 2 C 4 3 a3 C b 4 4 b 4
二项式定理
（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开.
B.过程与方法 ：（1）通过二项式定理的推导过程，培养学生观察，猜想， 归纳的能力以及分类讨论的能力.
（2）培养学生化归的意识和知识迁移的能力.
C.情感态度与价值观:
（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程， 培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
是升幂排列， anrbr 指数和为n。
(3)二项展开式的通项公式 Tr1Cnranrbr (4)二项式系数：
依次为 Cn0 ,Cn1 ,Cn2 , … ,Cnr , … ,C,nn 这里 Cnr ( r 0 ,1,2 , …,n )称为二项式系数

跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_－__2_0_.(用数字作答)
解析 由二项展开式的通项公式可知，含 x2y7 的项可表示为 x·C78xy7－ y·C68x2y6， 故(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 C78－C68＝8－28＝－20.
四、二项式定理的应用
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.如果
3
x2＋1xn
的展开式中，x2
项为第
3
项，则自然数
n＝__8__，其
x2
项
的系数为_2_8__.
解析
Tk＋1＝Ckn( 3
x2)n－k1xk＝Ckn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_2__.(用数字填写答案) 解析 二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck10x10－kak，当 10－k＝7 时，k＝3，T4 ＝C310a3x7， 则 C310a3＝15，故 a＝12.
例4 (1)试求2 01910除以8的余数；
解 2 01910＝(8×252＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8 这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Cknan－kbk . 思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？ 答案 一般不同.前者仅为Ckn ，而后者是字母前的系数，故可能不同.