试题精选_甘肃省高台县第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学调研试卷_精校完美版

2014—2015学年度山丹一中第一学期期中考试（数学）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.下列给出的赋值语句中正确的是( B )A. 5 = MB. x =－xC. B=A=3D. x +y = 0 2.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ D ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1013．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721...a a a ( C ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．354．对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >；④若,a b >则11a b<；⑤若0,a b c d >>>，则ac bd > 其中正确命题的个数是（ A ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若389a a =,则31310log log a a +=（ B ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3log 5 6.若yxy x R y x 93,52,,+=+∈则且的最小值是（ D ）A ．10B ．36C ．64D ．3187.如果右边程序执行后输出的结果是143，那么在程序until 后面的“条件”应为C A.i > 9 B. i >=9 C. i <=9 D.i<98.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝( A )A ．13n －2B ．3n －2C ．1nD ．n －29.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ D ） 2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410. 若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A.(]2,∞-B.[]2,2- C .()2,2- D. (]2,2-11.已知a b c A B C ABC ∆中，、、分别为角、、对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+3=3tan B tan C ⋅，则ABC ∆的面积为（C ）A.34 B. 33 C. 334D.3412.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23a b+的最小值为（ B ）A. 256B.256C.6D. 5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 当04<<x 时，)28(x x y -=的最大值为____________.14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是15.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

2014—2015学年度山丹一中第一学期期中考试（数学）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.下列给出的赋值语句中正确的是( B )A. 5 = MB. x =－xC. B=A=3D. x +y = 02.在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为 （ D ） A ．99 B ．49 C ．102 D ． 1013．如果等差数列{}n a 中，12543=++a a a ，那么=+++721...a a a ( C ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．354．对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >；④若,a b >则11a b<；⑤若0,a b c d >>>，则ac bd > 其中正确命题的个数是（ A ）A ．1B ．2C ．3D ．45．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若389a a =,则31310log log a a +=（ B ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 3log 5 6.若yxy x R y x 93,52,,+=+∈则且的最小值是（ D ）A ．10B ．36C ．64D ．3187.如果右边程序执行后输出的结果是143，那么在程序until 后面的“条件”应为C A.i > 9 B. i >=9 C. i <=9 D.i<98.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则a n ＝( A )A ．13n －2B ．3n －2C ．1nD ．n －2 9.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ D ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-410. 若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A.(]2,∞-B.[]2,2- C .()2,2- D. (]2,2-11.已知a b c A B C ABC ∆中，、、分别为角、、对边，且a=4，b+c=5，B tanC ⋅，则ABC ∆的面积为（C ）B.D.3412.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12则23a b+的最小值为（ B ） A.256 B.256C.6D. 5 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 当04<<x 时，)28(x x y -=的最大值为____________. 14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是15.围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

一、单选题（本大题共12个小题，每题5分，共计60分）. 1．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i -【答案】B 【KS5U 解析】()()2121212112221i i ii i i i i i +++===-+--⋅-. 2．已知集合{}2121|log (1),|()2x A x y x B y y -⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A ．1(,1)2B ．(1,2)C ． (0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D【KS5U 解析】由21011x x x ->><-得或，所以{}|11A x x x =><-或，又{}11|()|02x B y y y y -⎧⎫===>⎨⎬⎩⎭，所以A B ⋂=(1,)+∞。

3．下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（ ） A ．21y x =-+ B ．lg ||y x = C ．1y x=D ．x y e -= 【答案】A【KS5U 解析】A ．21y x =-+是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减；B ．lg ||y x =是偶函数但在区间(0,+∞)上单调递增；C ．1y x =是奇函数；D ．x y e -=是非奇非偶函数。

4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为21，则3a 等于（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6【答案】B【KS5U 解析】由题意知：1123321a a a a =⎧⎨++=⎩，所以解得23()q =-或舍，所以3a =12. 5．已知函数()()()40,40.x x x f x x x x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，， 则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【KS5U 解析】()400()4x x x x +===-得：舍或；由()-4004x x x x ===得：或。

2014年甘肃省张掖市高台一中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x||2x+1|＞3}，集合，则A∩（∁R B）=（）A.（1，2）B.（1，2]C.（1，+∞）D.[1，2]【答案】B【解析】解：由A中的不等式变形得：2x+1＞3或2x+1＜-3，解得：x＞1或x＜-2，∴A=（-∞，-2）∪（1，+∞），由B中y=，得到≥0，即＞或＜，解得：x＞2或x≤-1，∴B=（-∞，-1]∪（2，+∞），∵全集为R，∴∁R B=（-1，2]，则A∩（∁R B）=（1，2]．故选：B．求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的定义域确定出B，根据全集R求出B 的补集，找出A与B补集的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.若复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A.-4B.C.4D.【答案】D【解析】解：∵复数z满足（3-4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3.若=2，=1，且与的夹角为60°，当取得最小值时，实数x的值为（）A.2B.-2C.1D.-1【答案】C【解析】解：∵=2，=1，且与的夹角为60°，∴=2×1×cos60°=1．∵===，故当x=1时，取得最小值为，故选：C．由题意可得=1，再根据==，可得当取得最小值时，实数x的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．4.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A.[0，π）B.[0，]∪[，π）C.[0，]D.[0，]∪（，π）【答案】B【解析】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=-sinα，∵-1≤sinα≤1，∴-1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选B由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为：1；上部是正方体，也可以看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，故选C．三视图复原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，根据三视图的数据，求出几何体的表面积．本题是基础题，考查几何体的三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，转化思想的应用．6.已知△ABC的面积为2，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，=2，则△APQ的面积为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】解：由题意可知，P为AC的中点，=2，可知Q为AB的一个三等分点，如图：因为S△ABC==2．所以S△APQ===．故选B．画出△ABC，通过足，=2，标出满足题意的P、Q位置，利用三角形的面积公式求解即可．本题考查向量在几何中的应用，三角形的面积的求法，考查转化思想与计算能力．7.执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】解：由程序框图得：第一次运行n=0，S=0；第二次运行n=1，S=1；第三次运行n=2，S=1+1=2；第四次运行n=3，S=2+1=3；第五次运行n=4，S=3+2=5；第六次运行n=5，S=5+2=7；满足n＞4结束运行，输出S=7．故选A．由程序框图依次计算第一、第二…的运行结果，直到满足条件n＞4时，输出S，即为所求．本题考查了直到型循环结构的程序框图，解答的关键是读懂程序框图．8.函数 ， ， ＞ ，若方程f （x ）=x +a 恰有两个不等的实根，则a 的取值范围为（ ）A.（-∞，0）B.[0，1）C.（-∞，1）D.[0，+∞） 【答案】 C【解析】解：由函数， ， ＞，可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点， 如图所示：故有a ＜1， 故选C ．由题意可得f （x ）的图象和函数y =x +a 有两个不同的交点，结合图象，求出a 的取值范围．本题考查根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想、数形结合的数学思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．9.过双曲线＞ ， ＞ 的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB=120°，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C.3 D.2 【答案】 D【解析】解：依题意，作图如下：∵OA ⊥FA ，∠AMO=60°，OM=OA ， ∴△AMO 为等边三角形， ∴OA=OM=a ，在直角三角形OAF 中，OF=c ，∴该双曲线的离心率e = = ==2， 故选：D ．依题意，作出图形，易求该双曲线的离心率e = ==2，从而得到答案． 本题考查双曲线的简单性质，考查作图能力与解三角形的能力，属于中档题．10.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则=（ ）A.1B.-1C.2D.【答案】 A【解析】解：由题意可得====1故选A由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则•+•=（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】解：如图所示：==，∴•+•=（）+（）===4，故选D．不妨作出图象，由向量加法法则得=，代入式子利用数量积运算可求．本题考查平面向量数量积运算、向量加法的三角形法则，属基础题．12.设F为抛物线y2=16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A.36B.24C.16D.12【答案】B【解析】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故=4，∴x A+x B+x C=12．再由抛物线的定义可得：=x A+4+x B+4+x C+4=12+12=24，故选B．由题意可得F（4，0），是三角形ABC的重心，故=4，再由抛物线的定义可得=x A+4+x B+4+x C+4=24．本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求得x A+x B+x C=12，是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知α∈（，π），且sinα=，则tanα的值为______ ．【答案】-【解析】解：∵α∈（，π），且sinα=，∴cosα=-=-，则tanα==-．故答案为：-由α的范围以及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14.已知a＞b＞0，ab=1，则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：∵a＞b＞0，ab=1∴a-b＞0∴=当且仅当a-b=时取等号故答案为本题是基本不等式问题，可以利用a＞b＞0得到a-b＞0（正数），再利用条件ab为定值将a2+b2转化为（a-b）2与ab，化简后，运用基本不等式解决问题．本题主要考查了基本不等式的应用和转化化归的数学思想，注意不等式成立的条件（一正二定三相等）15.已知等比数列{a n}的第5项是二项式展开式的常数项，则a3a7= ______ ．【答案】【解析】解：二项式展开式的通项公式为T r+1=•••x-r=••．令6-3r=0，r=2，故展开式的常数项为T3=•=．由题意可得，等比数列{a n}的第5项为展开式的常数项，即a5=，∴a3a7==，故答案为．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，即得a5的值．再根据等比数列的性质求得a3a7的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．等比数列的性质应用，属于中档题16.已知函数f（x）=lnx+2x，若f（x2-4）＜2，则实数x的取值范围______ ．【答案】（-，-2）∪（2，）【解析】解：解法一：∵函数f（x）=lnx+2x，∴f（x2-4）=ln（x2-4）+，∴不等式即ln（x2-4）+＜2．令t=x2-4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h（t）=lnt+2t，显然函数h（t）在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=2，∴由不等式①可得t＜1，即x2-4＜1，即x2＜5．由＞＜解得-＜x＜-2，或2＜x＜，故答案为：（-，-2）∪（2，）．解法二：由于函数f（x）=lnx+2x，∴f（1）=2，再根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上式增函数，∴由f（x2-4）＜2可得x2-4＜1，求得-＜x＜-2，或2＜x＜，故答案为：（-，-2）∪（2，）．解法一：不等式即ln（x2-4）+＜2，令t=x2-4＞0，不等式即lnt+2t＜2①．令h （t）=lnt+2t，由函数h（t）的单调性可得x2-4＜1，从而求得x的范围．解法二：根据函数f（x）=lnx+2x在定义域（0，+∞）上是增函数，f（1）=2，由不等式可得x2-4＜1，从而求得x的范围．本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，，并求此时f（x）在R上的对称中心．【答案】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m=1+cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m+1，∴函数f（x）的最小正周期T=π．（2）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴-≤sin（2x+）≤1，∴m≤f（x）≤m+3，又≤f（x）≤，∴m=，令2x+=kπ（k∈Z），解得x=-（k∈Z），∴函数f（x）在R上的对称中心为（-，）（k∈Z）．【解析】（1）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x+）+m+1，从而可求其最小正周期；（2）利用正弦函数的单调性可求得0≤x≤时，m≤f（x）≤m+3，利用使函数f（x）的值域为[，]可求得m的值，从而可求f（x）在R上的对称中心．本题考查：两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，考查正弦函数的单调性、周期性与对称性，属于中档题．18.如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求二面角A-PB-E的大小．【答案】解：（Ⅰ）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．（5分）∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…（6分）又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…（8分）∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（9分）（Ⅲ）∵AB⊥平面PDE，DE⊥AB…（10分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=AB=2，BC=3，则B（1，0，0），P（0，0，），E（0，，0），∴=（1，0，），=（0，，）．设平面PBE的法向量，，，∴令得，，…（11分）∵DE⊥平面PAB，∴平面PAB的法向量为，，．…（12分）设二面角的A-PB-E大小为θ，由图知，＜，＞，所以θ=60°，即二面角的A-PB-E大小为60°…（14分）【解析】（Ⅰ）由三角形中位线定理可得DE∥BC，进而由线面平行的判定定理得到DE∥平面PBC（II）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；（Ⅲ）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角A-PB-E的大小．本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的判定，性质是解答（I）和（II）的关键，而（III）的关键是建立空间坐标系，将空间角问题转化为向量夹角问题．19.为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【答案】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：…（10分）∴…（13分）【解析】（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面积为S=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C相交于M、N两点，直线AN与直线x=4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）∵椭圆上的点P满足∠PF1F2=90°，且，∴．∴，．∴2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2…（2分）又∵，∴…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知A（-2，0）、B（2，0），（1）当直线l与x轴垂直时，，、，，则AN的方程是：，BM的方程是：，直线AN与直线x=4的交点为，，∴点R在直线BM上．…（6分）（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）由得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0∴，…（7分），，，，A，N，R共线，∴…（8分）又，，，，需证明B，M，R共线，需证明2y1-y0（x1-2）=0，只需证明若k=0，显然成立，若k≠0，即证明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8=成立，…（11分）∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）【解析】（Ⅰ）通过椭圆的截距以及三角形的面积求出a，b，即可得到椭圆C的方程；（Ⅱ）求出A、B坐标通过（1）当直线l与x轴垂直时，求出AN的方程，BM的方程，然后求出直线AN与直线x=4的交点，判断交点R在直线BM上；（2）当直线l不与x 轴垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）利用直线与椭圆方程联立结合韦达定理，利用分析法证明A，N，R共线，即点R总在直线BM上即可．本题考查椭圆的定义及其性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线方程以及韦达定理的应用．难度比较大，解题需要一定的运算能力以及分析问题解决问题的能力．21.已知函数，＜，＞，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．【答案】解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在[-1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴′′，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即，时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵′′，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为，即．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为，即．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是①，由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，由① 得=．∵函数，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，∴a（x1）=在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→-1-ln2．∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．【解析】（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得′′，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵′′，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．22.如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．【答案】解：连接BP，OP，∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上，∴∠APB=90°，∠ABC=90°，∠BAC=∠PBC，∴∠BPC=180°-∠PBC-∠C=180°-∠BAC-∠C=∠ABC=90°，∴PE=BE=CE，∵OB=OP，∴∠OPE=90°，∴PE是⊙O的切线．【解析】连接BP，OP，由题设条件导出∠BPC=180°-∠PBC-∠C=180°-∠BAC-∠C=∠ABC=90°，故PE=BE=CE，再由OB=OP，能够证明PE是⊙O的切线．本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、切线的判定、圆周角定理等知识点的运用，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键，注意证切线的方法：知道过圆上一点，连接圆心和该点证垂直．23.选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：为参数上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．【答案】解：（I）根据题意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），∵M为PQ的中点，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），∴求M的轨迹的参数方程为：（α为参数，0＜α＜2π）．（II）M到坐标原点的距离d==（0＜α＜2π）．当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．【解析】（I）根据题意写出P，Q两点的坐标：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中点坐标公式得PQ的中点M的坐标，从而得出M的轨迹的参数方程；（II）利用两点间的距离公式得到M到坐标原点的距离d==，再验证当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．24.已知a∈R，设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A．（Ⅰ）若a=1，求A；（Ⅱ）若A=R，求a的取值范围．【答案】解：（I）若a=1，则|2x-1|+|x+3|≥2x+4当x≤-3时，原不等式可化为-3x-2≥2x+4，可得x≤-3当-3＜x≤时，原不等式可化为4-x≥2x+4，可得3x≤0当x＞时，原不等式可化为3x+2≥2x+4，可得x≥2综上，A={x|x≤0，或x≥2}；（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4∴x≥a+1或x≤∴a+1≤-2或a+1≤∴a≤-2综上，a的取值范围为a≤-2．【解析】（I）利用绝对值的几何意义，化去绝对值，解不等式，可得结论；（II）当x≤-2时，|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立，当x＞-2时，|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4，从而可求a的取值范围．本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。