一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理)

和一元二次方程的另一个根。
1、已知 x=1是关于x的一元二方程(1-k)x2 + k2 x -1 = 0
的一个根，求 k的值和另一个根。
类型2：利用根的判别式和根与系数的关
系求字母的值或取值范围。
2、关于x的一元二次方程 x2 பைடு நூலகம் 3x +m -1 = 0 的两个
实数根分别为 x1，x2 .
（1）求 m 的取值范围。（首先考虑V= b2 4ac 0 ）
（2）若 2( x1+x2 ) + x1﹒x2 +10 = 0 ,求 m 的值。
3、 x1，x2是关于x的一元二次方程， x2 - 2(m+1)x + m2+ 5 = 0 的两个实数根. 若(x1 -1)(x2 -1) = 28 , 求 m 的值。
韦达定理:根与系数的关系
在求根公式 x b b2 4ac 中， 2a
当 V= b2 4ac 0 时，方程总有两个实数根，
x1 b
b2 4ac 2a
； x2 b+
b2 4ac 2a
则
x1+ x2 =
b a
c , x1. x2 = a
类型一：利用根与系数的关系求字母的值
专题四：
根的判别式与韦达定理
根的判别式: b2 4ac
在求根公式 x b b2 4ac 中，“b2 4ac”称 2a
为根的判别式，用“V”表示，记作：V= b2 4ac （1）V= b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）V= b2 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）V= b2 4ac 0 时，方程没有实数根；

一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
知识要点：一元二次方程根的分布
二次方程20ax bx c ++= 的根从几何意义上来说就是抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交点的横坐标，所以研 究方程20ax bx c ++= 的实根的情况，可从2y ax bx c =++ 的图象上进行研究. 若在(),-∞+∞ 内研究方程20ax bx c ++= 的实根情况，只需考察函数2y ax bx c =++与x 轴交点个数及交 点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由2y ax bx c =++ 的系数可判断出的符号，从而判12,12,x x x x ∆+ 断出实根的情况.
若在区间(),m n 内研究二二次方程20ax bx c ++= ,则需由二次函数图象与区间关系来确定.。

一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0),记Δ=b 2-4ac.那么有:Δ＞0⇔方程有两个不等实数根;Δ=0⇔方程有两个相等实数根;Δ＜0⇔方程没有实数根.注意：〔1〕使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。

〔2〕如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b 2-4ac≥0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.(4)显然,当a 、c 异号时，Δ＞0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心. 二.根的判别式有以下应用：① 不解一元二次方程，判断根的情况.例1.不解方程，判断以下方程的根的情况： (1)2x 2+3x-4=0;(2)2210x ax a ++-=.② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例2.求k 的何值时,关于x 的方程2(k+1)x 2+4kx+2k-1=0〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕没有实数根；(4)有一根.③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根.例3．求证方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。

三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系).假设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为1x 、2x ，那么有：12b x x a +=-，12cx x a=.注意:此定理成立的前提是方程为一元二次方程(a ≠0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足Δ≥0) 四.韦达定理的应用. ① 求根或参数的值.例4.(1)方程20x px q ++=的两个根为2-和4,求p 、q 的值.(2)方程240x x m -+=的一个根是2+,求方程的另一个根及m 的值.(3)假设方程250x kx k --+=的一个根是2, 求方程的另一个根及k 的值.说明:这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根法更简单. ② 求与两根有关的对称式的值.例5.设1x 、2x 是方程2430x x +-=的两根,试求以下各式的值:(1)12x x +;(2)12x x ;(3)2212x x +;(4)1211x x +;(5)12(1)(1)x x --;(6)12x x -; (7)3223112122x x x x x x +++;(8)2112x x x x +;(9)2212224x x x ++.说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求出方程的根代入各式求值,对于 此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比方方程替换为2320x x -+=,那么宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0),当0∆≥时,有12x x -====a=,此结论及其推导过程必须牢记于心.③ 分析一元二次方程根的范围(主要指符号).x 的方程24(2)10x k x k -++-=.根据以下各条件分别求k 的取值范围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.④构造一元二次方程.理论依据是:以x 1、x 2为根的一元二次方程是x 2-〔x 1+x 2〕x+x 1x 2=0. 例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 .例8.解以下方程组:(1)56x y xy +=⎧⎨=⎩; (2)56x y xy -=⎧⎨=⎩; (3)2312x y xy -=⎧⎨=⎩; (4)22135x y x y ⎧+=⎨+=⎩.1．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且2．假设12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，那么1211x x +的值为()A ．2B ．2-C ．12D ．923．菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 等于( ) A ．3- B ．5 C ．53-或 D ．53-或4．假设t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，那么判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( )A ．M ∆=B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定5．假设实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，那么代数式1111b a a b --+--的值为()A ．20-B ．2C ．220-或D ．220或6．如果方程2()()()0b c x c a x a b -+-+-=的两根相等，那么,,a b c 之间的关系是 ______7．一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22870x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长是 _______ ． 8．假设方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，那么k 的值是 _____ ．9．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程2x qx p ++=的两实根，那么p = _____ ，q = _____ ．10．实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，那么a = _____ ，b = _____ ，c = _____ ．11．对于二次三项式21036x x -+，小明得出如下结论：无论x 取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．12．假设0n >，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的的正实数根，求m n的值．13．关于x 的一元二次方程2(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 假设方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．14．关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=的两根是一个矩形两边的长． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？(2)k 的值．15．关于x 的方程2(1)(23)10k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根12,x x ． (1) 求k 的取值范围；(2) 是否存在实数k ，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请您说明理由．16．关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11．求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．17．假设12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1． (1) 求实数k 的取值范围； (2) 假设1212x x =，求k 的值．练习答案:1． B 2． A 3．A 4．A 5．A6．2,a c b b c +=≠且 7． 38． 9或3-9．1,3p q =-=- 10．3,3,0a b c ===11．正确12．413．21(1)1650 (2)2m m ∆=+>=- 14．3(1) (2)22k k ≥= 15．13(1)112k k <≠且(2) 不存在 16．1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．17．(1) 314k k ≥≠且 ； (2) 7k =．。

班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标掌握二次函数与一元二次方程根的分布教学重难点一元二次方程根的分布二次函数与一元二次方程根的分布讲义二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件若其中一个是方程的根，则由韦达定理可求出另一根．若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：（1）（2）（3）（4）由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．2．二次方程两个根都属于的充要条件方程的两个实根都属于，则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：（1）（2）（3）（4）由此可得出结论：方程的两个实根都属于区间的充要条件是：这里．同理可得出：3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是：这里．4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是：二次方程的两个实根都在的左侧（两根都小于）的充要条件是：这里．例１．设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。

分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域．解：（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。