学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

八年级数学讲义第11章三角形一、三角形的概念1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．、顶点：A，B，C ．内角：∠A ，∠B ，∠C．．二、三角形的边1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c<a判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.】确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.2.三角形的主要线段三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；②直角三角形三条高线交于直角顶点；③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点(三角形的角平分线三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三条角平分线交于三角形内部一点.A三角形的中线连结三角形一个顶点与它对边中点 的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.三、 @四、 三角形的角1 三角形内角和定理结论1：△ABC 中：∠A+∠B+∠C=180° ※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余． ※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC 中，∠C=180°－（∠A+∠B ）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC 中，已知∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求∠A 、∠B 、∠C 的度数…2三角形外角和定理外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 外角个数：过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有6个外角五、 *六、三角形的分类(1) 按角分：①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形(2) 按边分：①不等边三角形 ②底与腰不等的等腰三角形 ③等边三角形五 多边形及其内角1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出2()a b +、2()a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）根据（1）中的结论，若5x y +=，94x y ⋅=，则x y -=______； （3）拓展应用：若22(2019)(2020)7m m -+-=，求(2019)(2020)m m --的值.【答案】（1）22()()4a b a b ab +=-+；（2）4，－4：（3）-3【解析】【分析】（1）观察图2，大正方形由4个矩形和一个小正方形组成，根据面积即可得到他们之间的关系.（2）由（1）的结论可得(x-y) ²=16,然后利用平方根的定义求解即可.（3）从已知等式的左边看，左边配成两数和的平方来求解.【详解】解：（1）由题可得，大正方形的面积2()a b =+，大正方形的面积2()4a b ab =-+，∴22()()4a b a b ab +=-+，（2）∵22()()4x y x y xy +=-+， ∴229()()4254164x y x y xy -=+-=-⨯=， ∴4x y -=或－4， （3）∵22(2019)(2020)7m m -+-=，又2(20192020)m m -+-22(2019)(2020)2(2019)(2020)m m m m =-+-+-- ∴172(2019)(2020)m m =+--∴(2019)(2020)3m m --=-故答案为：(1)22()()4a b a b ab +=-+；(2) 4，－4：(3)-3【点睛】本题通过观察图形发现规律，并运用规律求值，使问题简单化是解题关键.2．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到()()22322a ab b a b a b ++=++．请回答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式是 ；（2）如图3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现什么?(用含有x ，y 的式子表示) ； （3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．【答案】（1）22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++；（2）22()()4x y x y xy +=-+；（3）大 小【解析】【分析】（1）图2面积有两种求法，可以由长为2a+b ，宽为a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为a 与边长为b 的两正方形，及4个长为a ，宽为b 的矩形面积之和求出，表示即可； （2）阴影部分的面积可以由边长为x+y 的大正方形的面积减去边长为x-y 的小正方形面积求出，也可以由4个长为x ，宽为y 的矩形面积之和求出，表示出即可；（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式224()()xy x y x y =+--，得到被减数一定，差的绝对值越小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数越小，可得出被减数越小；【详解】（1）看图可知，22(2)(2)225a b a b a b ab ++=++（2）22()()4x y x y xy +=-+（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小则和越小.【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 3．（1）填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．（2）猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= （其中n 为正整数，且2n ≥）．（3）利用（2）猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+．【答案】（1）22a b -，33a b -，44a b -；（2）n n a b -；（3）342．【解析】试题分析：（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；（2）根据（1）的规律可得结果；（3）原式变形后，利用（2）得出的规律计算即可得到结果．试题解析：（1）()()a b a b -+=22a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=33a b -；3223()()a b a a b ab b -+++=44a b -；故答案为22a b -，33a b -，44a b -；（2）由（1）的规律可得：原式=n n a b -，故答案为n n a b -；（3）令98732222...222S =-+-+-+，∴987321222...2221S -=-+-+-+-=98732[2(1)](222...2221)3---+-+-+-÷=10(21)3(10241)3341-÷=-÷=，∴S=342．考点：1．平方差公式；2．规律型．4．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数 ，它 （填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除； （3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个． 点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．6．阅读以下文字并解决问题：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成()2x a +的形式，但对于二次三项式2627x x +-，就不能直接用公式法分解了。

初二上第02次数学培优讲义1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为10cm，正方形A、B、C的边长分别为6cm、5cm、5cm，则正方形D 的边长为。

2．直角△ABC三边长分别是x, x+1和5，则△ABC的周长是，△ABC的面积是。

3．如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=5, BC=12, D是BC上一点，当AD是∠A 的平分线时，则CD= 。

B4．如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格纸线的交点，则∠ACB=( .A.120°B.135°C.150°D.165°5．如图，在△ABC中，AB=5, AC=13, 边BC上的中线AD=6，则BC的长为。

C6．一个直角三角形的三边长均是正整数，已知它的一条直角边的长恰是1997，那么另一条直角边是。

7．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。

若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是。

8．若a、b、c是直角三角形的三边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：（1）以的长为边的三条线段能组成一个三角形；（2）以的长为边的三条线段能组成一个三角形；（3）以的长为边的三条线段能组成直角三角形；（4）以的长为边的三条线段能组成直角三角形。

其中所有正确结论的序号为。

9．如图，等腰直角三角形ABC直角边长为1，以它的斜边上的高AD为腰做第一个等腰直角三角形ADE；再以所做的第一个等腰直角三角形ADE的斜边上的高AF为腰做第二个等腰直角三角形AFG；…以此类推，这样所做的第n个等腰直角三角形的腰长为。

10．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A、CD,EF,GHB、AB，EF，GHC、AB，CD，GHD、AB，CD，EF11．如图，∠ACB=90°,AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=,求AC的长。

第一节勾股定理专题第二讲二次根式乘除法第三讲二次根式专题第四讲二次根式专题 2第五讲二次根式测试题第六讲非负数的性质第七讲二元一次方程组第八讲二元一次方程组复习题第九讲二元一次方程组解应用题专项1 第十讲二元一次方程组应用题2【知识要点：】1.勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方， （即： 222c b a =+）。

2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c += 那么这个三角形是直角三角形。

3.利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①．先找出最大边（如:c ） ②．计算2c 与22a b +，并验证是否相等。

若2c =22a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22a b +，则△ABC 不是直角三角形。

4.勾股数：（1）满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．（2）勾股数中各数的相同的正整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．（3）常见的勾股数有：①．3、4、5 ②．5、12、13； ③．8、15、17；④．7、24、25； ⑤．10、24、26； ⑥．9、40、41．5．直角三角形相关性质：（1）直角三角形中，如果两条直角边分别为a 、b,斜边为 c ，斜边上的高为h ，那么它们存在的关系：面积：ch ab s 2121==（即：c abh =.）周长：c b a l ++=（2）直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 直角边等于斜边的一半；（反之，如果在直角三角形中有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°）（即：2:3:1::=AB AC BC ）（3）在等腰直角三角形中，斜边是等于直角边的2倍（等腰直角三角形斜边上的高正好是斜边的一半。

）（即：2:1:1::=AB BC AC ）【课堂练习题：】a bch ab=3a30°c=2aC ABCABBA不正确的是（）（A）222cba=+（B）222bac=-（C）22bca-=（D）222cba=-2.一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为（）（A） 4 （B） 8 （C） 10 （D） 123.如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S、2S、3S，则1S、2S、3S的关系是（）（A）321SSS=+（B）232221SSS=+（C）321SSS>+（D）321SSS<+4.若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．（A）3cm2（B）32cm2（C）33cm2（D）4cm25.点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是（）（A）40 cm （B）220 cm （C）20 cm （D）210 cm6.在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）（A）a=9 、b=41 、c=40 （B）a=11 、b=12 、c=15（C）a∶b∶c=3∶4∶5 （D） a=b=5 、c=257.在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm，则△ABC的面积是( )（A）96cm2 (B) 120cm2 (C) 160cm2 (D) 200cm28.锐角三角形的三边长分别是2、3、x，则x的取值范围是（）（A）5<x<13（B）13<x<5 （C）1<x<13（D）1<x<59.已知如图，水厂A和工厂B、C正好构成等边△ABC，现由水厂A和B、C两厂供水，要在A、B、C间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（）10.如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（）（A）2-10 （B） -2-10 （C） 8 （D） -12二＞填空题:●●AB(第5题图)架设了一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A 处测得∠EAC=30°， 两山峰的底部BD 相距900米，则缆车线路AC 的长为____米．14.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是： ，它是 （填入“真”或“假”）命题。