人教版八年级数学上册培优资料

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ABCDEFAB CDEFPQR02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50°D ．80°CEFEA ADO 143 202．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图：⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.ABO2l 1⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数.02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ．FBAOCDECDBAEO⑴求∠AOC 的度数；⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称：∠1和∠2：∠1和∠3：B ACDO ABAEDCFEBAD1 42 3 65∠1和∠6：∠2和∠6：∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ） A ．4对 B ． 8对 C ．12对 D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.AB DCHＧEF7 1 5 6 8 4 2 3 3 4 5 61 2303．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.1A BC23 456 7 ABCD O【变式题组】 01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知）∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知）∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ）ABDEFCA BCD E F1203．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ．04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF . 【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.ABCDEA BC DEl 1l 2l 3 l 4l 5l 6图⑴l 1l 2 l 3l 4l 5l 6图⑵【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 . 03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A ．α的余角只有∠B B ．α的邻补角是∠DACC ．∠ACF 是α的余角D ．α与∠ACF 互补02．如图，已知直线AB 、CD 被直线EF 所截，则∠EMB 的同位角为（ ）A ．∠AMFB ．∠BMFC ．∠ENCD ．∠END03．下列语句中正确的是（ ）A ．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B ．过直线上一点的直线只有一条C ．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D ．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，则下列结论中，正确的个数有（ ）①AB ⊥AC ②AD 与AC 互相垂直 ③点C 到AB 的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B 到AC 的距离 ⑤垂线段BA 是点B 到AC 的距离 ⑥AD ＞BD A ．0 B ． 2 C ．4 D ．605．点A 、B 、C 是直线l 上的三点，点P 是直线l 外一点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．小于4cmD ．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB ＋∠DOC ＝ .A E BCF DABC DFEMNα第1题图 第2题图ABDC第4题图07．如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .08．在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）09．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 . 11．如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？12．如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？ABCDOABCDEFG H abc第6题图第7题图第9题图1 2 3 4 5 6 7 81ACD EBABC DEF1213．如图，推理填空：⑴∵∠A ＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．14．如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥BC ．ABCDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分.A ．60B ． 55C ．50D ．4503．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40C ．45D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点.05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ab08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析ABC【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥C 【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ）A ．155°B ．50°C ．45°D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.ABCDOE FAEBC （第1题图）（第2题图）EAFG DCB BA MCDN P （第3题图）【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】 因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC ＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要 证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FGCDABE F1 32G B3 C A1D2 E F （第1题图）02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B．求证：∠AED＝∠ACB 03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B平行于α，则角θ等于_________.【例４】如图，已知EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3. 求证：AD平分∠BAC．【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的：∠1＝∠3）A2CF3ED1B（第2题图）31AB G D CEDA 2E1BCBF EACD证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .3．已知如图，AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：∠BCM 的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键.A DMCNEBD21 A B CαβP BA ∠P ＝α＋β3 21γ 4 ψ α βE B AFH【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性.结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷Fγ Dα β E BC AFD EBC A AA′l B′善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.⑴定：确定平移的方向和距离.⑵找：找出图形的关键点.⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点.⑷连: 按原图形顺次连接对应点.【解】①连接AA/②过点B作AA/的平行线l ③在l截取BB/＝AA/,则点B/就是的B对应点，用同样的方法作出点C的对应点C/.连接A/B/，B/C/，C/A/就得到平移后的三角形A/B/C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形.02．如图,已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A/B/C/西B 30° A北东南的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ）A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°B B /AA /C C /C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°.现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.150°120°DBCE 湖21AB13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？4P 231 ABEFCD15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD .B. O. AFEBA CGD05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720°B ．108°或144°C ．144°D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b 上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90B ．1620C ．6480D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？FEBACGD 100°09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF .⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值. ⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？F EBACO A B12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a的平方根，记为：a 的平方根为x ＝，其中a 的平方根为xa 的算术平方根．若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m −l 是同一个数的平方根，∴2m −4 ＋3m −l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m的最大整数，则m 的平方根是____． 03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3∵24242a b a -++=∴24242a b a -+++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l 3b +＝0成立，则a b ＝____．02()230b -=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n＋2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2＝−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．∵a b b a【变式题组】01．若3a，b，则a＋b的值为____．02a，小数部分为b a）·b＝____．演练巩固反馈提高0l．下列说法正确的是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，则a、b、c的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．下列各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C ． －a ＜bD ．－b >a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A ． 1个B ．2个C ． 3个D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A . m ＝±nB .m ＝nC .m ＝－nD .m n ≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____． 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a -153a -＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2培优升级奥赛检测01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．002．( )A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋，则a＋b＝____．-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．05．若a b-=，则a− 20092＝_______．06．已知实数a满足2009a am满足关系式=m的值．08．（全国联赛）若a、b满足5b＝7，S＝3b，求S的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g g g2930a⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限. 03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．。

第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC ≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。

记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。

通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。

①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。

在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

新人教版八年级数学上册培优资料 （中考题型）第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为 4，x ，9，则x 的取值范围是 ______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时， x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故 5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为 19时，x ＝6，周长为 21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________.02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a+b+c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).A ．1B ．2C ．3D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm 为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为5818＝20，则三边为20，20，218.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.AEGBDFC【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由 FG 为△EFC 的中线，知 S △EFC ＝2S △GFC ＝2.又由 EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC ＝4.同理S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【 变式题组】01．如图，已知点 D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.AAADEEFFBCCFDBDBEC(第1题图)(第2题图)(第3题图)02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE+DF ＝______________.03．如图，已知四边形 ABCD 是矩形(AD ＞AB)，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF与 AB 的数量关系是______________. 【例４】已知，如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝______________.AEBDC(例4题图)【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八A BC D字形角的关系即，∠A+∠B＝∠C+∠D．故连结BC有∠A+∠D＝∠DBC+∠ACB，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°【变式题组】01．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______________.02．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.03．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝______________.AAA BE ED EDDC FBB CFC(第1题图)(第3题图)(第2题图)【例５】如图，已知∠A＝70°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．则∠BOC＝______________.AA A AOP PO OBB C C B C(第1题图)(第2题图)(第3题图)°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.03．如图，∠O＝140°，∠P＝100°，BP、CP分别平分∠ABO、∠ACO，则∠A＝______________.【例６】如图，已知∠B＝35°，∠C＝47°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，则∠EAD＝______________.【解法指导】∵∠EAD＝90°－∠AED＝90°－A1(∠B+∠BAE)＝90°－∠B－(180°－∠B－∠C)＝90°－2∠B－90°+1∠B+1∠C＝1(∠C－∠B)，故∠EAD＝6°.B ED C222(例6题图)A【变式题组】D01（.改）如图，已知∠B＝39°，∠C＝61°，BD⊥AC，AE平分∠BAC，F则∠BFE＝__________.OB C【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为∠BOC＝1∠A+90°.证法如下:∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－1∠ABC－1∠ACB＝180°－121(180°－∠A)＝90°+∠A．所以∠BOC 2222＝125°.【变式题组】01．如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝20°，则∠BOC＝______________.C(说明:原题题、图不符.由已知得∠A＝98°,BD⊥AC，则点D在CA的延长线上.)02．如图，在△ABC中，∠ACB＝40°，AD平分∠BAC，∠ACB的外角平分线交AD的延长线于点P，点F是BC上一动点(F、D不重合)，过点F作EF⊥BC交于点E，下列结论:①∠P+∠DEF为定值，②∠P－∠DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.EB(第1题图)AFBCDEGP(第2题图)【例７】如图，在平面内将△ABC绕点A逆时针旋转至B'△AB′C′，使CC′∥AB，若∠BAC＝70°，则旋转角α＝CC'A B______________.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB ＝70°，又AC＝AC′，∴∠C′AC＝180°－2×70＝°40°【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的直角α＝______________.A EB Dαα22°A'B'AB C A(第3题图)O M OB(第1题图)(第2题图)02．如图，在平面内将△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到△OA′B′，若点A′在AB上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB＝90°，∠B＝30°)3．如图，△ABE和△ACD是△ABC沿着AB边，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝130°，则∠α＝______________.演练巩固·反馈提高01．如图，图中三角形的个数为()A A．5个B．6个C．7个D．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是()BECDA．锐角三角形B．钝角三角形F GC．直角三角形D．不确定03．有4条线段，长度分别是4cm，8cm，10cm，12cm，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个04．下列语句中，正确的是()A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角05．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定06．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是() A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是9cm，则这个三角形的周长是______________. 08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.09．如图，在△ABC中，∠A＝42°，∠B与∠C的三等分线，分别交于点D、E，则∠BDC的度数是______________.AAADβⅠ2EE FBαγC134CⅡBC (第9题图)D BD(第10题图)(第11题图)(第12题图)10．如图，光线l照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且S△EFC＝1，则S△ABC＝______________.12．如图，已知:∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，则∠DAC＝______________.13．如图，已知点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，A ∠DAE＝1∠BAC，求∠BAC的度数3B CD E(第13题图)第17讲认识多边形经典·考题·赏析【例１】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A 出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n 边形，从n 边形的一个顶点出发，可引(n －3)条对角线，它们将这n 边形分成(n －2)个三角形，n 边形一共有n(n3)条对角线，2解:(1)从顶点A 出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC 、AD 、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC 、△ACD 、△ADE 、△AEF ；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．下列图形中，凸多边形有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个02．过m 边形的一个顶点有 7条对角线，n 边形没有对角线， k 边形对角线条数等于边数，则m＝ ______，n ＝______，k ＝________.03．已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是 .【例２】(1)八边形的内角和是多少度？ (2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n 边形一个顶点作对角线，可以作(n －3)条对角线，并且将n 边形分成(n －2)个三角形，这(n －2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n －2)180·0；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数， 求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×180＝1080； (2)设n 边形的内角和是八边形内角和的 2倍，0 0×2，解得n ＝14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.则有(n －2)×180＝1080 【变式题组】01．已知n 边形的内角和为2160，求n 边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是108 0，则这个多边形是（）A ．正方形B ．正五边形C ．正六边形D ．正七边形03．已知一个多边形的内角和为10800，则这个多边形的边数是（）A ．8B ．7C ．6D ．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，则∠AED 的度数为（ ）A ．1100B ．1080C ．1050D ．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A ．都不变B ．内角和增加1800，外角和不变C ．内角和增加1800，外角和减少1800D ．都增加1800【 例３】一只蚂蚁从点A 出发，每爬行5cm 便左转600，则这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600，则这个多边形的边数为3600 ＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝60 030(cm)才能回到点A ．3600 【解法指导】多边形的外角和为 .(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于0 ·n ，外角和等于180 n ·180－(n －2)·180＝360.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点 A ，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4)多边形的外角和为360的作用：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．（无锡）八边形的内角和为_____.度.02．（永州）如图所示，已知△ABC 中，∠A ＝400，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝_____03．（资阳）n(n 为整数，且n ≥3)边形的内角和比（n+1）边形的内角和少____度.04．（株洲）如图所示，小明在操场上从点A 出发，沿直线前进10米后向左转 400，再沿直线前进10米后，又向左转400，⋯⋯，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米.【例４】已知两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x 和5x ，利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是 2x 和5x ，则由多边形内角和定理可得：(2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000，解得x ＝2，∴2x ＝4，5x ＝10，故这两个多边形的边数分别为 4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为2210 0，这个多边形是___________02．若一个多边形的外角和是其内角和的2，则此多边形的边数为_____5203．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的，则这个多边形是（ ）3A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是 ___________【例５】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购买的瓷砖不可以 是（）A ．正三角形B ．长方形C ．正八边形D ．正六边形3600，由于正三【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C ． 【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用下列正多边形 ?能作平面镶嵌的是（）A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形04．（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形， 得到4个小正方形， 称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得 7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10个小正方形，称为第三次操作； ⋯⋯，根据以上操作，若要得到 2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A ．669B ．670C ．671D ．672【例６】有一个十一边形，它由若干个边长为 1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成 600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为－2)0 0.(n －2)×180＝(11 ×180＝1620因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有 1200和1500两种.设1200的角有 m 个，1500的角有n 个，则有1200m+1500n ＝16200，即4m+5n ＝54m 11个角此方程有唯一正整数解，所以这个十一边形内角中有n10为1200，10个角为1500，此十一边形如图所示.【变式题组】01．如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了12层（不包括中央的正六边形地砖） ，每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为 0.5m ，则第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．（黄冈）小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适 宜选用的地砖规格为（）A ．30cm ×30cm 的正方形，B ．50cm ×50cm 的正方形，C ．60cm ×60cm 的正方形，D ．120cm ×120cm 的正方形，03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求11 1 的值.mn p演练巩固·反馈提高01．在一个顶点处，若正n 边形的几个内角的和为 ______，则此正n 边形可铺满地面，没有空隙 .02．（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为 20块时，白色瓷砖为 ______块，当白色瓷砖为 n 2（n 为正整数）块时，黑色瓷砖为______块.03．（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案： 则第n个图案中白色的地板砖有______块.04．如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第n层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．606．下列不能镶嵌的正多边组合是（）A．正三角形与正六边形B．正方形与正六边形C．正三角形与正方形D．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A．边长相同B．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C．边长之间互为整数倍0，且边长相等D．在每一点的交接处各多边形的内角和为36008．（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数是（）A．4B．5C．6D．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形. 11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，则第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1B．2n+2，2n+1C．4n，n2－n+3D．4n，2n+1第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（）A．5对B．4对C．3对D．2对A D【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一E对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90.∴∠DCB＝90.B F C在△ABC和△DCB中AB DC∠ABC∠DCB∴△ABC≌∴△DCB（SAS）∴∠A＝∠DBC CB⑵在△ABE和△DCE中∠A∠D∠AED∠DEC∴△ABE≌∴△DCE∴BE＝CEAB DC⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中BE CEEF EF∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.CD BA EF03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O,连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选A D择“真”或“假”填入空格）.OE FB C【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB.求证：AF＝DE.【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB＝CE∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CFA DAB DC在△ABE和△DCF中,AE DFBE CF∴△ABE≌△DCF（SSS）∴∠B＝∠C CE F BAB DC在△ABF和△DCE中,∠B∠C∴△ABF≌△DCE∴AF＝DEBF CE【变式题组】01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（）A．2B．3C．4D．5A AOEDB D CBC第1题图第2题图E2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.\03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.FBDA E C【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.A AC AE FB F OD F B(E)C D B（E）C图①图②图③D 【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF,∠ABC＝∠DEF,∠BAC＝∠EDF∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF,∴∠ABF＝∠DECAB DE在△ABF和△DEC中,∠ABF∠DECBF EC∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC,∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA∴∠AFD＝∠DCA【变式题组】01．（绍兴）如图， D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CFCDAD E GA PB BE CF第1题图第2题图03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.AA CEEPMNF BD B F C D【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可.证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，APE∴∠BDA＝∠CEA＝90°,D∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.1FAB QC B Q 在△APB和△QAC中,∠1∠2∴△APB≌△QAC，BP CA2∴AP＝AQ C⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ,∴∠P＋∠PAD＝90°02．如图，△/////的度数是（）ACB≌△ACB，∠BCB＝30°，则∠ACA∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ A．20°B．30°C．35°D．40°【变式题组】03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.A于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，2E由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）B A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC FD02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）a b a bC．bm D．amA．m B．m22CM BND75°45°B AA C第3题图E第2题图03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°50°A/A Aa ca B C P58°72°α/O DB b第1题图c B第2题图C第3题图C.∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°D B AC E1 AM2CD DB A B N第4题图第5题图CE第6题图05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB.∠ABE＝∠CBDC.∠ABC＝∠EBD＝45°D.AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（）A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC＝EC,BC＝CD,AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,DE⊥AB于D,BC＝BD.AC＝3，那么AE＋DE＝______E D DA B15．如图，AC⊥BC,AD⊥BD,AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.FEC D BOCD A ECA EC第7题图A第8题图B第9题图第10题图B10．如图，BA⊥AC,CD∥AB.BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2,CD＝6，则AE＝_____.11．如图,AB＝CD,AB∥CD.BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P 的速度是0.1cm/s,Q的速度是0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.A B.P Q.C D 16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个A三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠（请你将下列证明过程补充完整）C DE F BC1.求证：△ABC≌△A1B1C1.B B112．如图,△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.⑴求证：AE＝CD；⑵若AC＝12cm,求BD的长.BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，ADFC A C1A1D D1⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.B E C13．（吉林）如图， AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.E AF第02讲角平分线的性质与判定经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PNB 14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点线，垂足分别为D、E.⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；D⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）D CA、B分别作l的垂C E l【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.证明：∵OD平分∠AOB∴∠1＝∠2M DB3P41N2O AABOB OA在△OBD与△OAD中，12∴△OBD≌△OADOD OD∴∠3＝∠4∵PM⊥BD，PN⊥AD所以PM＝PN【变式题组】01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.MCPA B N 02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PNAMPD NB C【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE 1＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝1(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在2AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.D 解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，∴CE＝CFACF CE在Rt△CFA和Rt△CEA中，∴Rt△ACF≌Rt△ACE∴AF＝AEAC AC又∵AE＝1(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF2∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°FCE CFCD 在△CEB和△CFD中，F CEB，∴△CEB≌△CFD1DF BE2A EB∴∠B＝∠CDF又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.【变式题组】01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求SACDCSCBDA DB 02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a 与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝1BD2【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE＝EF，∴CE＝1CF∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝2F 90°，A ∴∠1＝∠3E131D3在△ABD和△ACF中，AB，∴△ABD≌△ACFAC2CBAD CAFBC∴BD＝CF∴CE＝1BD2【变式题组】E01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.BEDCA B。

第十一章三角形1．三角形的边预习归纳1．按边的相等关系，三角形可分类如下：⎧⎪⎪⎪三角形⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩2．三角形三边的关系：在三角形中，任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．例题讲解【例】等腰三角形的两边长为4和6，求第三边长．基础题训练1．如图，在△ABC中，∠A的对边是；在△ABD中，∠A的对边是．CD E第1题第2题2．如图，以AD为边为边的三角形是；以∠C为一个内角的三角形是；△AED的三个内角是．3．（2014·宜昌）已知三角形的两边长分别3和8，则该三角形第三边的长可能是（）A．5 B．10 C．11 D．124．（2014•西宁）下列线段能够成三角形的是（）A．2,2,4 B．3,4,5 C．1,2,3 D．2,3,65．（2013•温州）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A．1,2,4 B．4,5,9 C．4,6,8 D．5,5,116．等腰三角形的一边长是7cm，另一边长是4cm，则此三角形的周长是（）A．18cm B．15cm C．18cm或15cm D．7．5cm或9cm 7．（2014•淮安）若一个三角形三边长分别为2,3，x，则x的值可以为（只需填一个整数）8．以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？（1）6cm，8cm，10cm （2）5cm，8cm，2cm（3）三条线段之比为4:5:6 （4）a+1，a+2，a+3（a>0）中档题训练9．(2012·哈尔滨)若等腰三角形的周长为26cm ， 一边为11cm ，则腰长为( )A ． 11CmB ． 7.5cmC ． 11cm 或7.5cmD ．以上都不对10．(2014·包头)长为9， 6， 5， 4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( ) A ．1种 B ． 2种 C ． 3种 D ． 4种11．一个三角形的两边长分别是3和7，且第3边长为整数，这样的三角形周长最大的值为( )A ．15B ．16C ．18D ．19 12．(2012·攀枝花)已知实数x ， y满足04x +=-，求以x ， y 的值为两边长的等腰三角形的周长．l 3．有一条长为 21cm 的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长是多少? (2)能围成一边长为5cm 的等腰三角形吗?说明理由．小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．(1) 有几种规格木棒可供小明的爷爷选择? (2)选择哪一种规格木棒最省钱? 综合题训练15．如图， P 是△ABC 内一点，连接BP ， PC ，延长 BP 交AC 于D ( 1) 图中有几个三角形; (2)求证: AB +AC >PB +PC ．2·三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性预习归纳 1·从三角形的一个顶点向它的对边 作垂线 ．与顶点和 垂 足 间的 线段 叫角形的高．2·在三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线． 3· 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．4·角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接顶点与对边交点的线段叫做三角形的角平分线．5·三角形的三边确定了，那么三角形的形状就确定了．这个性质叫做三角形的稳定性 而四边形没有稳定性． 例题讲解[例]如图，画△ABC 的边BC 的高正确的是( )DCBACCCC基础题训练1．如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，已知∠ABC =80°，则∠DBC =2．如图， 当 _时， AD 是△ABC 的中线． 当 时，AD 是△ABC 的角平分线．3．如图，用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条A ．0根B ．1根C ．2根D ．3根4．如图所示，AM 是△ABC 的中线，那么若用S 表示△ABM 的面积，用S 表示△ACM 的面积，则S 1和S 2的大小关系是（ ）A ．S 1>S 2B ． S 1<S 2C ． S 1=S 2D ．以上三种情况都有可能B5．如图，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ）A ．AD 是△ABC 的角平分线B ．CE 是△ACD 的角平分线C ．132ACB ∠=∠ D ．CE 是△ABC 的角平分线6．在直角三角形ABC 中， ∠ACB =90°， AC =3cm ，BC =4cm ，CD 是AB 边的中线，则AC 边上的高为 cm ，三角形BCD 的面积= cm．B7．如图，已知△ABC和△EFD，在图中分别画出这两个三角形的三条高．中档题训练8．如图，△ABC中，∠A=80°，高BE和CH的交点为O，则∠BOC等于（）A．80°B．120°C．100°D．150°9．(2013·常德改编）如图,AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，如果△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为（）A．12 B．11 C．16 D．1810．如图所示，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在△ABC 的边AB和BC上，则下列说法：①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC 边上的高；③△DBE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高．其中正确的是11．如图AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM//AC交AB于M，PN//AB交AC 于N，求证:PA平分∠MPN．12．如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE＝9，AB＝12．（1）求△ABC的面积；（2）求BC的长．13．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm 两部分，求三角形各边长．综合题训练14．张爷爷家有一块三角形的花圃△ABC张爷爷准备将其分成面积相等的四部分，分别种上不同的花卉．请你帮张爷爷设计三种不同的方案．专题三角形的边一、利用“三边”关系巧判断1．用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8的等腰三角形吗？为什么？2、已知a、b、c是△ABC的三边，化简：∣a＋b－c∣＋∣b－a－c∣－∣c＋b－a∣=二、利用“中线”巧解题3．△ABC中，AB=AC，△ABC周长为16cm，BD为中线，且将△ABC分成的两个小三角形周长的差为2cm．求△ABC各边的长．三、利用“高线”防漏解4．已知AD是△ABC的高，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．四、利用“特例”找规律5．在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？（1）4根火柴能搭成三角形吗？（2）8根火柴能搭成几种不同形状的三角形？3．三角形的内角预习归纳1．三角形的三个内角的和等于．2．直角三角形的两个锐角．例题讲解[例]△ABC中，∠A是∠B的3倍，∠A是∠C的6倍．求∠A、∠B、∠C的度数．基础题训练1．△ABC中，若∠A＝60°，∠B= 65°，则∠C等于（）A．65°B．55°C．45°D．75°2．（2014·昆明）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（）A．85°B．80°C．75°D．70°3．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于．4．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1 : 2 : 3，则∠C＝，△ABC是三角形．5．（2012·河北）如图，AB，CD相交于点O，AC丄CD于点C，若∠BOD＝90°，则∠A等于．6．若一个三角形两个内角度数分别为60°、70°，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形7．如图，AC丄FB于C，FD交AC于E，交AB于D，∠1＝∠B，则图中的直角三角形有．8．（2014·邵阳）如图，在△ABC 中，∠B = 46°，∠C =54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE //AB ，交AC 于E ，则∠ADE 的大小是（ ） A ．45° B ．54° C ．40° D ．50°9．如图所示，已知AD 与BC 相交于点O ，AB //CD ，∠B ＝20°，∠D = 40°，求∠BOA 的度数．中档题训练10．如图中的∠α= 度．11．如图，在△ABC 中，∠C =70°，沿途中虚线截去∠C ，则∠1+∠2=( ) A ．140° B ．180° C ．250° D ．360°12．如图，在△ABC 中，∠B =66°，∠C =54°，AD 是∠A 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ．求∠BDE 的度数．13．如图，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A =35°，求∠BDC 的度数．14．如图，在△ABC 中，∠A =70°，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，求∠BOC 的度数．A CBOA B CD 1 2 AB CD E30° 20°40° α 1 2 AB C (10题图) (11题图)15．如图，AF 、AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B =36°，∠C =76°，求∠DAF 的度数．综合题训练16．△ABC 中，∠A =50°，BD 、CE 是高，直线BD 、CE 交于点H ，求∠BHC 的度数．A B C F4．三角形的外角预习归纳1．三角形的一边与另一边的 组成的角叫做三角形的外角． 2．三角形的一个外角等于与它 的两个内角之和．3．三角形的外角和等于 ．例题讲解【例】求图中的x ．基础题训练1． △ABC 中，已知∠A =60°， ∠B =80°，则∠C 的外角的度数是 ． 2．如图：在△ABC 中，∠A =45°， ∠B =60°则外角∠ACD = 度． 3．如图所示，已知∠ACD =150°，∠A =80°，则∠B = ． 4．如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．∠1＞∠2＞∠AB ．∠1＞∠A ＞∠2C ．∠A ＞∠2＞∠1D ．∠2＞∠1＞∠A5．如图，AB ∥CD ，∠A =45°， ∠Ｃ=35°，则∠D = ，∠１＝ ． 6．如图，平面上直线a ，b 分别过线段GK 两端点（数据如图），则a ，b 相交所成的锐角是 ．7．如图，∠1+∠2+∠3的度数是 ．8．如图，AB ∥CD ，∠A =48°， ∠Ｃ=22°，则∠E 等于( )A ．70°B ．26° Ｃ．36° D ．16°9．AD 是△ABC 的外角∠CAE 的角平分线，∠B =35°∠DAE =60°求∠Ｃ的度数．x °°C D A B A BC D 第2题图 AB C 1 2第3题图 第4题图 D A B C 1 70°100°G a b A B C D E 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 A B C 12 3 A B C D E中档题训练10．如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ．11．如图，C 在AB 延长线上，CE ⊥AF 于E ，交FB 于D ，∠F =40° ，∠C =20°则∠FBA 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°12．如图，△ABC 的两个外角平分线交于D 点，若∠D =65°，则∠B 等于（ ） A ．60° B ．70° C ．50° D ．40°13．如图，Ｄ是△ABC 的BC 边上一点，∠B =∠BAD ，∠ADC =80°，∠BAC =70°，求∠B和∠C 的度数．14．如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB 、∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE 的度数．15．如图, ∠A =10°，∠ABC =90°，∠ACB =∠DCE ，∠ADC =∠EDF ，∠CED =∠FEG ．求∠F 的度数.综合题训练16．如图，△ABC 的内角平分线BP 与外角平分线CP 交于P ，试探究∠A 与∠P 之间的数量关系． 45°30° AEFBCDAB C FD E第11题图第11题图 第12题图αA B C D EA B CDP A B CA BC D E F专题 三角形的内角与外角一、已知角的关系求角度1． 在△ABC 中，已知∠A +∠B =80°，∠C =2∠B ，试求∠A ，∠B ，∠C 的度数．二、综合内外角求角度2． 如图，已知DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 与D 、E ，交BC 的延长线于F ，∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．三、将外角用未知数表示3． 如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =63°，求∠DAC 的度数．四、利用“整体”求多角和4． 如图，试求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数.五、内外角在航海中的应用5． 如图 ，在海面上停着三艘船A 、B 、C ，C 船在A 船的北偏西40°方向，B 船在A 船的南偏西80°方向，C 船在B 船的北偏东35°方向，从C 船看到A 、B 两船，视线CA 、CB 的夹角∠ACB 是多少度？FA B C DEA B C DA BCDED F1 2 3 4五、利用高求角度6．如图,在△ABC 中，O 是高AD 、BE 的交点，若∠C =75°，求∠AOB 的度数．OED ABC六、利用“两线”求解7．如图，在△ABC 中，∠B =63°，∠C =51°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线．求∠DAE 的度数．七、利用角平分线求角度8．如图．AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ．（1）若∠B =32°，∠D =38°．求∠M 的度数； (2)求证: ∠M =(∠B +∠D ) .9．已知△ABC ．（1）如图1,若Ｐ点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒+∠；(2)如图2，若Ｐ点为∠ABC 和外角∠ACD 的角平分线的交点，试说明12P A ∠=∠；(3) 如图3,若Ｐ点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试说明1902P A ∠=︒-∠；A BC D E AB CDMA BPC D EPABABCDP5．多边形预习归纳1．_______________，由一些线段_____________相接组成封闭的图形叫做多边形．2．连接多边形_____________的两个顶点的线段，叫做对变形的对角线，从n边形（n＞3）一个顶点出发引对角线，有_______条．3．各条边_______，各个角_________的多边形叫做正多边形．【例题讲解】【例】从五边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，把五边形分成_______个三角形；从八边形的一个顶点出发，可以引________条对角线，将八边形分成______个三角形．基础题训练1．下列图形不是凸多边形的是（）A．B．C．D．2．下列图形中，是正多边形的是（）A．等腰三角形B．长方形C．正方形D．五边都相等的五边形3．四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线．4．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（）A．四边形的边长B．四边形的周长C．四边形内角的大小D．四边形的内角和5．已知一个多边形从一个顶点处只能引出4条对角线，则它是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形6．从六边形一个顶点所引的对角线有（）A．6条B．5条C．4条D．3条7．从凸n边形的一个顶点，所画的全部对角线，把这个n边形分割成________个三角形．8．画出下列多边形的全部对角线．9．如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少钉上几根木条，请画出相应木条所在线段．FEDCB A中档题训练10．把一个正方形据掉一个角，剩下的多边形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．三角形或四边形或五边形11．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，△ABC 、△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是______．G FEDCB A13．观察图形，并阅读图形下面的相关文字：三角形的对角线有0条，四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条．通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条？你能总结出n 边形的对角线有多少条吗？综合题训练14．已知，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°． （1）求证：∠ABC ＋∠ADC ＝180°；（2）如图1，若DE 平分∠ADC ，BF 平分∠ABC 外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明； （3）如图2，若BF 、DE 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明．图2图1CFB MN E DACEFMB NDA6．多边形的内角和预习归纳n 边形的内角和为______________，外角和为_____________．例题讲解【例】求下列图形中的x 值．(1)x82°73°(2)xx x -30°x +30°60°基础题训练1．（2014·遵义）正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是_______． 2．多边形的外角和为________． 3．（2012·北京）正十边形的每个外角等于（ ）A ．18°B ．36°C ．45°D ．60° 4．（2014·衡阳）若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是_______． 6．当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）A ．都不变B ．内角和增加180°，外角和不变C ．内角和增加180°，外角和减少180°D ．都增加180° 7．（2012·贵州铜仁）一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_______． 8．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）A ．180°B ．720°C ．1080°D ．540° 9．（2012·江苏南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A ＝120°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．EDCBA 432110．在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠C ＝240°，∠C ＝∠D ＝∠E ＝2∠B ，求∠B 的度数．中档题训练11．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角与一个外角的度数之比为5：1．则这个多边形的边数是_______．12．多边形的内角和为1800°，那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线的条数是（）A．12条B．10条C．9条D．8条DCBA13．如图，已知矩形ABCD，一条直线将矩形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°14．如图，∠A＝60°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数（本题至少两种方法）．CDBACDBA15．如图，已知五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC＝∠BCA，求∠ACD．EDCBA综合题训练16．求如图星形中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．EDBCA专题 多边形的内角与外角一、多边形内角和定理的运用1．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．15或16或17二、内外角结合解题2．如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园由A 点经B →C →D →E →F 散步，张老师共转了（ ）A ．440°B ．360°C ．260°D ．270°三、多边形与平行线结合3．如图所示，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，试说明AF 和CD 平行．FED CBA四、运用对角三角形的性质“转移”角4．如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．FEDCBA5．如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数．EF BG ACD7.全等三角形预习归纳1．能够 的两个图形叫全等形．2．能够 的两个三角形叫做全等三角形．3．经过 、 、 等变换前后的三角形全等． 4．全等三角形的对应边 ，对应角 ．例题讲解［例］已知△ABC ≌△FED ，若△ABC 的周长为32，AB ＝8，BC ＝12，求FD 的长．基础题训练1．请观察图中的5组图案，其中是全等形的是 （填序号）．2．如果△ABC ≌△B ＇C ＇A ＇，则AB 的对应边是 ，BC 的对应边是 ，∠B ＇A ＇C ＇的对应角是 ． 3．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠BCA ＝30°，则∠B ＇C ＇A ＇＝ ． 4．已知△ABC ≌△BAD ，AB ＝7，BC ＝2，AC ＝9，则BD 的长是（ ） A ．7 B ．9 C ．12 D ．无法确定 5．如果△ABC ≌△A ＇B ＇C ＇，且∠B ＝65°，∠C ＝60°，则∠A ＇＝ ． 6．（2014▪淮安）如图，△ABD ≌△CBD ，若∠A ＝80°，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数为 ．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若∠A ＝22°，则∠BDC 等于（ ）A ．44°B ．60°C ．67°D ．77°8．如图，已知△ABC ≌△DEF ，∠A ＝85°，∠B ＝60°，AB ＝8，EH ＝5．求∠DFE 的度数及DH 的长．ABCD 第6题图第7题图BE第8题图AHBCDF（1）（2）（3）（4） （5）中档题训练9．如图，AC 、BD 交于点O ，△ABO ≌△CDO ，则下列结论错误的是（ ） A ．AB ＝CD B ．AB ∥CD C ．OA ＝OD D ．OB ＝OD10．如图，已知△ABC ≌△CDA ，则下列结论：①AB ＝CD ，BC ＝DA ．②∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ． ③AB ∥CD ，BC ∥DA ．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①②D ．①②③11．已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝70°，∠F －∠D ＝60°，求△DEF 各内角的度数．12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ＇处，折痕为CD ，求∠A ＇DB 的度数．13．如图，△ACE ≌△DBF ，AE ＝DF ，CE ＝BF ，AD ＝10，BC ＝2 （1）求证：AB ＝CD ； （2）求AC 的长度；（3）若∠A ＝40°，∠E ＝80°，求∠DBF 的度数．ABCFDEA ODCAB综合题训练14．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．（1）△ABC与△AEF的度数关系如何？（2）求∠EAB的度数．（3）△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A在同一直线上？C8．三角形全等的判定（一）SSS预习归纳三边 的两个三角形全等，简写成 或 ．例题讲解［例］如图，AB ＝AC ，BD ＝CD ，求证：∠1＝∠2．基础题训练1． 如图，D 、C 为AF 上两点，AD ＝CF ，AB ＝DE ，要使得△ABC ≌△DEF ，需补充边的条件为 ．2．如图，AB ＝CD ，BF ＝DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE ＝CF ，欲证∠B ＝∠D ，可先运用等式的性质证明AF ＝ ，再用“SSS ”证明 ≌ 得到结论． 3．如图，已知AB ＝CD ，若根据“SSS ”证得△ABC ≌△CDA ，需要添加一个条件是 ． 4．如图，E 为BC 的中点，AB ＝DE ，AE ＝CD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．∠A ＝∠D B ．∠B ＝∠DEC C ．∠C ＝∠AEB D ．∠B ＝∠C5．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝30°，∠BAD ＝46°，则∠ACD 的度数是（ ） A ．120° B ．125° C ．127° D ．104° 6．如图，AB ＝AD ，BE ＝DE ，BC ＝DC ，则图中全等三角形有（ ）CADEB第1题图E第2题图F B ADC 第3题图ABC D第4题图ADCE BABCED1 27．如图，在△ABC 和△FED 中，AC ＝FD ，BC ＝ED ，要利用“SSS ”来判定△ABC 和△FED 全等时，下面的4个条件中：①AE ＝FB ；②AB ＝FE ；③AE ＝BE ；④BF ＝BE ，可利用的是（ ）A ．①或②B ．②或③C ．①或③D ．①或④8．如图，AC ＝EF ，BC ＝DE ，AD ＝BF ，求证：AC ∥EF ．中档题训练9．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 中点，则下列结论不正确的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．∠B ＝∠C C ．△ABD 是直角三角形 D ．△ABC 是等边三角形 10．（2014 ▪牡丹江）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，请添加一个条件 ，使△ABC ≌△DEF ．第11题图ADBF第9题图第10题图BDAEFCBCAD第5题图第6题图E B DA第7题图BADEF11．如图，AD ＝BC ，AB ＝CD ，求证：AB ∥CD ． 证明：连接BD ，在△ADB 和△CBD 中，()⎪⎩⎪⎨⎧===__________CDAB BC AD∴△ADB ≌△CBD ( ) ∴ ＝ ， ∴AB ∥CD ．12．如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，求证：∠ABO ＝∠DCO ．13．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，BE ＝CD ， （1）求证：∠BAC ＝∠EAD ；（2）写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，并予以证明．综合题训练14．如图，D 是BC 上一点，AB ＝AD ，BC ＝DE ．（1）在条件：①∠C ＝∠E ，②AC ＝AE 中，选择 可得△ABC ≌△ADE ． （2）在（1）的条件下，求证：∠CDE ＝∠BAD ．BDOCA9．三角形全等的判定（二）SAS预习归纳1．有两边和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两边及其其中一边的对角对应相等的两个三角形 全等（填“一定”或“不一定”）．例题讲解［例］如图，E 、F 是线段AB 上两点，且AE ＝BF ，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，求证：∠D ＝∠C ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB ＝A ＇B ＇，BC ＝B ＇C ＇，∠B ＝∠B ＇，则△ABC 和△A ＇B ＇C ＇ ．2．如图，已知∠BAD ＝∠BAC ，AD ＝AC ，则 ≌ ，根据是 ．3．如图，线段AC 、BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，那么AB 、CD 的位置关系是 4．下列两个三角形全等的是（ ）50°ABC2 3 ① CA B2 350° ②50° A B23 ③50°2 ABC3④A 第3题图C ABD第1题图B ACA ＇B C ＇EACDBFA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．(2013▪娄底)如图，AB ＝AC ，要使△ABE ≌△ACD ，应添加的条件是 ． 6．如图，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，需补充的条件是（ ） A ．∠B ＝∠C B ．∠D ＝∠E C ．∠1＝∠2 D ． ∠CAD ＝∠2 7．如图所示，AC ＝DF ，BD ＝EC ，AC ∥DF ，∠ACB ＝80°，∠B ＝30°，则∠F ＝ ．8．如图，点C 为BE 上一点，点A 、D 分别在BE 两侧，AB ∥ED ，AB ＝CE ，BC ＝ED ， 求证：AC ＝CD ．中档题训练9．(2014·泰安)将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB ＝∠CED ＝90°，∠A ＝45°，∠D ＝30°．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图②，连接D 1B ，则∠E 1DB 的度数（ ）A ．10°B ．20°C ．7.5°D ．15°ACBDE 图①图②ACBD 1E 1 第5题图AD CBE2第7题图CDABEDACBE第6题图1 DB CAE10．如图，在D 、E 分别为AB 、AC 上两点，AD ＝AE ，BD ＝CE ． 求证：∠B ＝∠C ．11．(2014·苏州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 、F 分别在AB 、AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF ． ⑴求证：△BCD ≌△FCE ；⑵若EF ∥CD ，求∠BDC 的度数．综合题训练12．如图，已知△ABC 和△AEF 中，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠CAB ＝∠EAF ，BE 交FC 于O 点． ⑴当∠CAB ＝90°，求证：BE ＝CF ，BE ⊥CF ； ⑵当∠CAB ＝60°，求∠BOC 的度数；⑶当∠CAB ＝α时(0°＜α＜90°)，直接写出∠BOC 的度数为 (用含α的式子表示)．ABFECO BCFA BCE FD A BCD E10．三角形全等的判定(三)ASA 和AAS预习归纳1．有两角和它们的 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 2．有两角和其中 分别相等的两个三角形全等，简写成 或 ． 3．三个角分别相等的两个三角形 全等(填“一定”或“不一定”)．例题讲解【例】如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ．求证：AB ＝CD ．基础题训练1．如图，在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠B ＝∠B ´，BC ＝B ´C ´，∠C ＝∠C ´，则△ABC 和△A ´B ´C ´ ．2．如图，AB ＝AC ，若利用“ASA ”来证明△ABE ≌△ACD ，需补充的一个条件是 ．3．如图，已知∠1＝∠2，AB ⊥AC ，BD ⊥DC ，AC 、BD 相交点E ．则图中的全等三角形有 对．4．已知在△ABC 和△A ´B ´C ´中，AB ＝A ´B ´，∠A ＝∠A ´，∠B ＝∠B ´，则△ABC ≌△A ´B ´C ´的根据是（ ）A ．SASB ．SSAC ．ASAD ．都行5．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，要使△ABC ≌△DEF ，则下列条件中错误的是（ ）A ．AC ＝DFB ．BC ＝EF C ．∠A ＝∠D D ．∠C ＝∠FABCDF EA BC A ´B ´C ´A D E BCAB C DE126．(2014·绥化)如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是(填出一个即可) ．7．如图，AC、BD相交于点O，AB∥CD，OA＝OC．求证：AB＝CD．8．(2013·北京)如图，已知D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE．求证：BC＝AE．中档题训练9．(2014·南充)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，，则点C的坐标为（）A．(1) B．(－1C．1) D．(1)BCDEAB CDOA BOBC10．(2014·邵阳)如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE ．⑴从图中任找出两组全等三角形； ⑵从⑴中任选一组进行证明．11．如图，已知AD ∥BC ，点E 为CD 上一点，AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠CBA ，BE 交AD 的延长线于点F ．⑴求证：△ABE ≌△AFE ； ⑵求证：AD ＋BC ＝AB ．综合题训练12．已知，如图，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠EAC ＝∠EDC ．⑴若△ABC 中，∠B ＜90°，D 为BC 上的一点，点E 在△ABC 的外部，求证：AD ＝AB ． ⑵若△ABC 中，∠B ＞90°，D 在CB 的延长线上，点E 在△ABC 的下方，则⑴的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．A BCDFEABCED FABDCEF（1）ABC D（2）11．三角形全等的判定(四)HL预习归纳斜边和 分别相等的两个直角三角形全等，简写成 或 ．例题讲解【例】(2014·贵州) 如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A ．CB ＝CD B ．∠BAC ＝∠DAC C ．∠BCA ＝∠DCA D ．∠B ＝∠D ＝90°基础题训练1．判定两直角三角形全等的方法有 (填简写)．2．如图，若PB ⊥AB 于B ，PC ⊥AC 于C ，且PB ＝PC ，则AB ＝ ，理由是 (填全等三角形及三角形全等的理由)．3．如图，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，下列能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．∠BAC ＝90° C ．BD ＝AC D ．∠B ＝45°4．如图，∠A ＝∠D ＝90°，AC ＝DB ，欲证OB ＝OC ，可以先利用“HL ”说明 得到AB ＝DC ，再利用 证明△AOB ≌ 得到OB ＝OC ．A CBDABCP ABCDABC DO5．如图，四边形ABDC 中，∠ABD ＝∠ACD ＝90°，BD ＝CD ． 求证：AD ⊥BC ．6．如图，已知∠A ＝90°，AB ＝BD ，ED ⊥BC 于D ． 求证：DE ＋CE ＝AC ．7．如图，∠ACB ＝∠BDA ＝90°，若要使△ACB ≌△BDA ，还需添加一个什么条件？把它们写出来(不再添加字母)⑴ ，理由 ； ⑵ ，理由 ； ⑶ ，理由 ； ⑷ ，理由 ．中档题训练8．如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 、BD 相交于O ，如果AC ＝BD ．那么下列结论中：①AD ＝BC ；②∠DAC ＝∠CBD ；③OC ＝OD ．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．①② C ．① D ．③9．如图，已知AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE ＝DF ，AB ＝DC ，AC 与BD 有怎样的关系？你能进行证明吗？BADCE FDCAB OCD BODC BABECD10．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE＝DF．求证：AB＝AC．11．如图，AB＝AE，BC＝DE，AF⊥CD于F，∠B＝∠E．求证：AF平分∠BAE．综合题训练12．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．⑴求OA＋OB的值；⑵将直角三角形绕点P(逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA－OB的值．xxAB CDF EABC DEF专题图形变换与全等（一）基础一、平移型1．如图，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：AB＝DE．二、翻折型2．如图，点E，C在BF上，BE＝CF，AB＝DF，∠B＝∠F．求证：∠A＝∠D．3．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠EC D＝150°，求∠B的度数．4．如图，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，BE 、CD 交于点O ．求证：OB ＝OC ．B三、旋转型5．如图，AB ⊥CD 于B ，CF 交AB 于E ，CE ＝AD ，BE ＝BD ．求证：CF ⊥AD ．四、二次变换6．如图，AD ⊥AB 于A ，BE ⊥AB 于B ，点C 在AB 上，且CD ⊥CE ，CD ＝CE ． 求证：AB ＝AD ＋BE ．DA专题 图形变换与全等（二）小综合1．将两个全等的直角三角形如图1摆放，其中∠DCE ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝∠A ． （1）求证：AB ⊥DE ；（2）将图中的△DCE 绕点C 顺时针旋转45°得到图2，AB 、CD 交于点N ，DE 、BC 交于点M ．求证：CM ＝CN ．图2图1AAEE2．将两块含45°角大小不同的直角三角板△COD 和△AOB 如图1摆放，连AC 、BD ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）将图1中的△COD 绕点O 顺时针旋转一定的角度到△C 1O 1D 1的位置（如图2），连接AC 1、BD 1，线段AC 1与BD 1存在着什么样的数量关系与位置关系，请下结论并说明理由．图1图2C C3．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE ，AC ＝BC ，CD ＝CE ，M 、N 分别为AE 、BD 的中点．（1）判断线段CM 与CN 的位置关系和数量关系；（2）若将△CDE 绕点C 旋转任意角度，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍成立？试证明．图2图1D专题 中点问题（一）中线倍长构造全等【方法归纳】将中点处的线段倍长，构造SAS 全等三角形1．如图，AD 为△ABC 的中线，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连CE ． 求证：AB ＝CE ，且AB ∥CE ．2．如图，△ABC 中，D 为BC 的中点． （1）求证：AB ＋AC ＞2AD ；（2）若AB ＝5，AC ＝3，求AD 的取值范围．C3．如图，在△ABC 中，点O 为BC 的中点，点M 为AB 上一点，ON ⊥OM 交AC 于N ． 求证：BM ＋CN ＞MN ．AB4．如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA．求证：AE＝2AD．5．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点．求证：DE＝2AM．B专题 中点问题（二）向中线作垂线构造全等【方法归纳】过线段的两端点向中点处的线段作垂线构造全等三角形1．如图，AD 是△ABC 的中线，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ．求证：DE ＝DF ．ABC2．如图，AD 为△ABC 的中线．求证：AB ＋AC ＞2AD ．AB3．如图，D 为CE 的中点，F 为AD 上一点，且EF ＝AC ．求证：∠DFE ＝∠DAC ．4．如图，∠C ＝90°，BE ⊥AB 且BE ＝AB ，BD ⊥BC 且BD ＝BC ，CB 的延长线交DE 于F ． （1）求证：点F 是ED 的中点； （2）求证：S △ABC ＝2 S △BEF ．专题 等线段代换法证线段和差问题【方法归纳】三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为证两线段相等的问题 1．如图，D 为△ABC 边BC 的中点，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ． （1）求证：BE ＝CF ；（2）求证：AE ＋AF ＝2AD ．A BC2．(2014·德州)如图，若四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋DF ．3．如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，点P 为BC 边上一动点（BP ＜CP ），分别过B 、C 作BE ⊥AP 于E ，CF ⊥AP 于F ．（1）求证：①△ABE ≌△CAF ；②EF ＝CF －BE ．B（2）若点P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．AB4．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交OB于E．（1）求证：△AOG≌△BAC；（2）求证：△ABF≌△COE；（3）求证：BC＝CE＋FG．BA专题 截长补短法证线段和差问题【方法技巧】：无论是截长还是补短，构造出全等三角形是解题的关键．1．如图，△ABC 中，∠CAB =∠CBA =45°，CA =CB ，点E 为BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，连EN ，求证：AE =CN +EN ．A2．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠D =60°，AB =BC ，E ，F 分别在AD 、CD 上，且∠EBF =60°，求证：EF =AE +CF ．B3．如图，在上题中，若E ，F 分别在AD 、DC 的延长线上，其余条件不变，求证：AE =EF +CF ．4．如图，△DBC 中，DB =DC ，A 为△DBC 外一点，且∠BAC =∠BDC ，DM ⊥AC 于M ，求AMABAC 的值．12． 角平分线的性质（一）性质预习归纳1．角平分线上的点到角两边的 相等．2．三角形三条 的交点到三边的距离相等．例题讲解【例】如图，△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BE =CF ． 求证：（1）DE =DC ； （2）BD =DFA基础题训练1．如图，∠B =∠C =90°，根据角平分线性质填空： （1）若∠1=∠2，则 = ． （2）若∠3=∠4，则 = ．ACC（第1题图） （第2题图）2．(2013·长沙) 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE 垂直AB 于点E ，若DE =1．5cm ，BD =3cm ，则BC =( )A ． 3cmB ． 7．5cmC ． 6cmD ． 4．5cm4．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AB =12，BC =15，S △ABD =36，则DE 的长是 ，S △BCD = ．BCCABEABA DEDFDC（第3题图） （第4题图） （第6题图）5． 在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BD :DC =3:2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为（ ）A ． 10B ． 20C ． 15D ． 256．(2013·丽水)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD =3，BC =10，则△BDC 的面积是 ．7．如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，点P 是AC 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF 垂直CD 于F ，求证：PE =PF ．CBAEDF P中档题训练8．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为20,30,40，其三条角平分线的交点为O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO = ．OACCBEABD（第8题图） （第9题图）9．（2014·遂宁）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △CAO =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 5 10．（2014·黄冈）已知，如图，AB =AC ，BD =CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：DE =DF ．CBAEDF11．如图，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，S △ABC =90，AB =18，BC =12，求DE 的长．A CEB D。

新人教版八年级数学上册培优资料(中考题型)第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________;当周长为奇数时,x＝______________。

【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13,18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时,x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】01．若△ABC的三边分别为4,x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.02．设△ABC三边为a，b,c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13,则以a，b，c为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断)并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时,底边为58－18×2＝22，则三边为18,18，22. 当18cm为底边时，腰为58182＝20，则三边为20，20，18。

此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm，18cm,22cm或18cm, 20，20cm.【变式题组】01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是(）A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是()A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________。

人教版2024-2025学年八年级数学上册期中培优试题一、单选题1．下列选项中的四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．113．已知点()11,5P a -和2(2,1)Pb -关于x 轴对称，则2013()a b +的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．()20113- 4．如图，点E 在AC 上，则A B C D DEB ∠+∠+∠+∠+∠的度数是（ ）A ．90°B ．180°C ．270°D ．360° 5．已知ABC DCB V V ≌，若10BC =，6AB =，7AC =，则CD =（ ）A ．10B ．7C ．6D ．6或7 6．如图，已知ABC V 中，ABC ACB ∠∠=，以点B 为圆心，AB 长为半径的弧分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接BD ，ED ，若105CED ∠=︒，求ABC ∠的度数为（ ）度A ．80B ．70C ．60D ．507．ABC V 中，090A B C θαθθααθ∠=-∠=∠=+︒<<<︒，，，．若BAC ∠与BCA ∠的平分线相交于P 点，则APC ∠=（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．150°8．如图，在△ABC 中，∠ACD ＝20°，∠B ＝45°，BC 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，则∠A 的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．下图的方格纸中有若干个点，若A 、B 两点关于过某点的直线对称，这个点可能是（）.A ．P 1B ．P 2C ．P 3D ．P 410．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是()1,0，点B 的坐标是(），点C 在坐标平面内，以A ，B ，C 为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30°，则满足条件的点C 的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．ABC V 中，30A ∠=︒，高BE ，CF 所在的直线交于点O ，BOC ∠的度数是． 12．AD 为ABC V 的中线，AE 为ABC V 的高，ABD △的面积为14，7,2AE CE ==则DE 的长为．13．如图，△AFD 和△CEB ，点A 、E 、F 、C 同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF ，②∠D ＝∠B ，③AD ＝CB ，④DF BE ∥，选出三个条件可以证明AFD CEB △≌△的是．（用序号表示，写出一种即可）．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12，则图中△BEF 的面积为．15．如图，等边△ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若AE ＝2，当EF+CF 取得最小值时，则∠BCF 的度数为．三、解答题16．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 、E 分别在AB 、AC 的延长线上，且13BCD ACB ∠=∠，13CBE ABC ∠=∠．求证：BE CD =．17．如图，在66⨯的方格纸中，线段AB 的两个端分别落在格点上，请按要求画图：(1)在图1中画一个格点四边形APBQ ，且AB 与PQ 垂直．(2)在图2中画一个以AB 为中位线的格点DEF V ．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，点F 在射线CA 上，且BD=FD ．（1）当点F 在线段CA 上时．①求证：BE=CF ；②若AC=6，AF=2，求CD 的长； （2）若∠ADF=15°，求∠BAC 的度数．19．如图，在ABC V 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．若5AB =，6AC =，求AMN V 的周长．20．已知：如图，AC ∥DF ，AC =DF ，AB =DE ．求证：(1)△ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．21．如图，ABC V 中，11AB =，5AC =，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线DG 相交于点D ，过点D 分别作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，求BE 的长度．22．如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点A 关于CN 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CN 于点E ，P ．(1)依题意补全图形；(2)若∠ACN ＝α，求∠BDC 的大小（用含α的式子表示）；(3)用等式表示线段PB ，PC 与PE 之间的数量关系，并证明．23．如图，ABC V 中，点O 为AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，交ACB ∠内角平分线CE 于E ．(1)试说明EO OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下猜想ABCV满足什么条件能使四边形AECF是正方形，并证明你的结论．。

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）A ．20°B ． 40°C ．50°D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cmABC D EF AB C DEF PQ RABCEF E A BCD O （第1题图）1 4 32 （第2题图）l 202 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.F B A O CD E C D B A EO B ACDO A BA E DC F E BAD 1 4 2 3 6 5【变式题组】01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行.⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行.【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ） ⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． AB D CHＧEF7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 2 3 4 56 1 23 4甲 1 A B C 2 3 4 56 7 A B C DOA B D E FCABCDE A B CD EF 1 204．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BDABCD El1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是 .10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）A ．1，3B ．0，1，3C ．0，2，3D ．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．5504．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性.06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ）A ．3B ．1或3C ．1或2或3D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；⑵总共有29个交点.第13讲 平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系；2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°a b ABC【变式题组】01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）A ． 50°B ． 55°C ． 60°D ．65°03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B的度数.【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB ∥EC （同位角相等•两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） ABCDOE FAEBC （第1题图） （第2题图） EA F GDC B BA MCD N P （第3题图）DE F 32DA 2 E1 B C B F E A C D 【变式题组】 01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF . AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.A D M C N EB GB 3C A 1D 2E F （第1题图） A2 C F3 E D 1B（第2题图）3 1 AB G DC Eα βP B C DA ∠P ＝α＋β3 21 γ 4α β E B AF H F γ Dα β E B C AFD EBC A B CAA ′ lB ′C ′【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）A ． ∠β＝∠α＋∠γB ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在l 截取BB /＝AA /,则点B /就是的B 对应点，用同样的方法B AP C A C C D A A P C B D PBPD B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ FE D 2 1 AB C西B 30° A北东南作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /的位置，若平移距离为3, 求△ABC与△A /B /C /的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）演练巩固 反馈提高01．如图，由A 测B 得方向是（ ）A ．南偏东30°B ．南偏东60°C ．北偏西30°D ．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ）A ．对顶角相等B ． 同位角相等C ．内错角相等D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）A ．北偏东52°B ．南偏东52°C ．西偏北52°D ．北偏西38° B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖07．下列几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C43 2 1ABE F C D 4 P 23 1A B EFCD 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？ 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到封闭图形A 1A 2B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1 [即阴影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________.⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？⑶⑷CB 1AA 1C 1D 1BD.. . AF E B A CG D05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和∠DEG .08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？FEB AC GD 100° FE B A C O A B CD第06讲实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：若2x＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为x a的算术平方根．若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x．2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na≥0（n为正整数）0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．02．已知m的最大整数，则m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足24242a b a-+++=，则a＋b等于( )A．－1 B．0 C．1 D．2有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0a≥3∵24242a b a-+++=∴24242a b a-+++=，∴20b+=．∴()22030ba b+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32ab=⎧⎨=-⎩，故选C．【变式题组】0l3b+＝0成立，则a b＝____．02()230b-=，则ab的平方根是____．03．（天津）若x、y为实数，且20x+=，则2009xy⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A．1 B．－1 C．2 D．－204．已知x1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵1a b -+=+∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪=，∴1312a b =⎧⎨=⎩，a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b的平方根为：5==±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n2）m ＋(3－n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y −4−π＝0，则x −y ＝____．【例4】若a2的整数部分，b −1是9的平方根，且a b b a -=-，求a＋b 的值．【解法指导】−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分−2 −2−4．∵a ＝2，b −1＝±3 ，∴b ＝－2或4∵a b b a -=-．∴a <b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6． 【变式题组】01．若3a ，b ，则a ＋b 的值为____． 02a ，小数部分为ba ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设a =b ＝ －2，c =，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ． b <a <c D ．c <a <b 03．下列各组数中，互为相反数的是( )A ．－9与81的平方根B ．4与C ．4D ．304．在实数1.414，，0.1•5•，π，3.1•4•( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( )A ．b >aB ．a b >C．－a＜b D．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m是9的平方根，n＝()23．则m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )A．－23-B．－13-C．－2 ＋3D．l＋309．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，2，3…，19，20．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝a ba b+-，如3※2＝32+＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<7<b，则a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m＝36，则实数m＝____．14．设a是大于1的实数．若a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x、y满足x＋2y＝50，求x、y．17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a - 153a - ＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn −2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x −y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a −3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 0 02．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b -＝1，且3a ＝4b ，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____． 06．已知实数a 满足20092010a a a --=，则a − 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x +--+-=-+--，试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b ＝7，S ＝23a b ，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．第14讲 平面直角坐标系（一）考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系． 2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0,b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a ＞202．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：。

.实用文档.第1讲 认识三角形考点·方法·破译1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) .4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5．会用方程的思想解与三角形根本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到根本图形，从而寻求解决问题的方法.经典·考题·赏析【例１】假设的三边分别为4，x ，9，那么x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x ＜13，18＜l ＜26；周长为19时，x ＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x ＝10，周长为25时，x ＝12，【变式题组】01．假设△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，那么x 的取值范围是_________，周长l 的取值范围是__________. 02．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，那么以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形〔不许折断〕并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ).A ．1B ．2C ．3D ．4【例２】等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长. 【解法指导cm 为腰时，底边为58－18×2＝22，那么三边为18，18，22. 当18cm 为底边时，腰为58182 ＝20，那么三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边.解：18cm ，18cm ，22cm 或18cm ， 20，20cm .【变式题组】01．等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，那么这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm02．三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，那么以下长度的四条线段中能作为第三条边的是( )A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两局部，那么此等腰三角形的腰长为________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，假设S △GFC ＝1cm 2，那么S △ABC ＝______________.【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG 为△EFC 的中线，知S △EFC ＝2S △GFC EF 为△DEC 中线，S △DEC ＝2S △EFC S △ADC ＝8，S △ABC ＝16.【变式题组】01．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，那么S △EFC ＝______________.(第1题图)02．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，(第2题图)C (第3题图)C.实用文档.DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，假设一腰上的高为4cm ，那么DE +DF＝______________.03．如图，四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，那么DF 与AB 的数量关系是______________. 【例４】，如图，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝_______.【解法指导】这是本章的一个根本图形，其根本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系即，∠A +∠B ＝∠C +∠D ．故连结BC 有∠A +∠D ＝∠DBC +∠ACB ，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝180° 【变式题组】01．如图，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________. 02．如图，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________. 03．如图，那么∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝____________.【例５】如图，∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．那么∠BOC ＝ ______________.【解法指导】这是本章另一个根本图形，其结论为∠BOC ＝12∠A +90°.证法如下: ∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(180°－∠A )＝ 90°+12∠A ．所以∠BOC ＝125°. 【变式题组】01．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，那么∠BOC ＝______________.(第1题图)B C02. 点P 、O 分别是∠ABC 、∠ACB 的三等分线的交点，那么∠OPC ＝_________.03．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，那么∠A ＝______________.【例６】如图，∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，那么∠EAD ＝______________.【解法指导】∵∠EAD ＝90°－∠AED ＝90°－(∠B +∠BAE )＝ 90°－∠B －12(180°－∠B －∠C )＝ 90°－∠B －90°+12∠B + 12∠C ＝12(∠C －∠B ) ，故∠EAD ＝6°. 【变式题组】01.〔改〕如图，∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，那么∠BFE ＝__________.(说明:原题题、图不符.由得∠A ＝98°, BD ⊥AC ，那么点D 在CA 的延长线上.)02．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线(第2题图)(第1题图)(第2题图)B C(第3题图)C (例6题图)E D(例4题图)CD (第3题图)E C于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，以下结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，假设∠BAC ＝70°，那么旋转角α＝______________. 【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.∵CC ′∥AB ，∴∠C ′CA ＝∠CAB ＝70°，又AC ＝AC ′，∴∠C ′AC ＝180°－2×70°＝40°【变式题组】 01如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如下列图的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，那么三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)02．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，假设点A ′在AB 上时，那么旋转角α＝___________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)03．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，假设∠BAC ＝130°，那么∠α＝________. 演练稳固·反响提高01．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定 03．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个04．以下语句中，正确的选项是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角05．假设一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定06．假设一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，那么这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定07．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，那么这个三角形的周长是______________.08．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，那么这个三角形的三条边长分别是________. 09．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，那么∠BDC 的度数是______________.(第9题图) 10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________.11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，那么S △ABC ＝__________. 12．如图，: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，那么∠DAC ＝____________.(第2题图)(第3题图)(第10题图)(第11题图)(第12题图)13．如图，点D、E是BC上的点，且BE＝AB，CD＝CA，∠DAE＝13∠BAC，求∠BAC的度数培优升级·奥赛检测01．在△ABC中，2∠A＝3∠B，且∠C－30°＝∠A+∠B，那么△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．有一个角是30°的直角三角形D．等腰直角三角形02．三角形的三边a、b、c的长都是整数，且a≤b≤c，如果b＝7，那么这样的三角形共有() A．21个B．28个C．49个D．54个03．在△ABC中，∠A＝50°，高BE、CF交于O点，那么∠BOC＝______________.04．在等腰△ABC中，一腰上的高与另一腰的夹角为26°，那么底角的度数为______.05．如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，假设∠A＝40°，∠C＝38°，那么∠P＝______________.06．周长为30，且各边长互不相等且都是整数的三角形有多少个?07．设△ABC三边a、b、c的长度均为自然数，且周长不大于30，并满足(a－b) 2+(a－c) 2+(b－c) 2＝26，问满足条件的三角形有多少个?(注:全等三角形只算一个)08．在一次数学小组活动后，小明清理课桌上的三角形模型，经清点，共有11个钝角，15个直角，100个锐角，于是他把这些数据写在“数学园地〞上征答:“共有多少个锐角三角形?〞你能答复这个问题吗?09．现有长为150cm的铁丝，要截成n(n＞2)小段，每段的长为不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段?10．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A点，假设∠A＝30°，∠DFE＝75°.(1)求证: ∠DFE＝∠A+∠D+∠E；(2)求∠E的度数；(3)假设在上图中∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线E3，依次类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+1，请用含有n的式子表示∠E n+1的度数.11．如图，OABC是一个长方形，其中顶点A、B的坐标分别为(0，a)和(9，a).点E在AB上，且AE＝13AB．点F在OC上，且OF＝13OC，点G在OA上，且使△GEC的面积为16，试求α的值.12．如图，四边形ABCD中，∠A+∠DCB＝180°，两组对边延长后分别交于P、Q两点，∠P、∠Q的平分线交于M，求证PM⊥QM.第2讲认识多边形考点·方法·破译1．了解多边形的有关概念，探索并了解多边形内角和和外角和公式.2．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形、或正六边形可以镶嵌平面，并能进行镶嵌设计.经典·考题·赏析【例１】如下列图是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】此题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出发，可引(n－3)条对角线，它们将这n边形分成(n－2)个三角形，n边形一共有(3)2n n条对角线，解:(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如下列图，它们分别是AC、AD、AE.将六边形分成四个三角形:△ABC、△ACD、△ADE、△AEF；(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】01．以下列图形中，凸多边形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个02．过m边形一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，那么m＝_，n＝_，k＝_. 03．多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，那么此多边形的边数是.【例２】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从n边形一个顶点作对角线，可以作(n－3)条对角线，并且将n 边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形内角和恰好是多边形内角和，等于(n－2)·1800；(2)内角和定理的应用：①多边形的边数，求其内角和；②多边形内角和，求其边数.解：(1)八边形的内角和为(8－2)×1800＝10800；(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，那么有(n－2)×1800＝10800×2，解得n＝14. 故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01．n边形的内角和为21600，求n边形的边数.02．如果一个正多边的一个内角是1080，那么这个多边形是〔〕A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形03．一个多边形的内角和为10800，那么这个多边形的边数是〔〕A．8 B．7 C．6 D．504．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝700，那么∠AED的度数为〔〕A．1100B．1080C．1050D．10005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和〔〕A．都不变B ．内角和增加1800，外角和不变C ．内角和增加1800，外角和减少1800D ．都增加1800【例３】一只蚂蚁从点A 出发，每爬行5cm 便左转600，那么这只蚂蚁需要爬行多少路程才能回到点A ？解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据可得这个正多边形的每个外角均为600，那么这个多边形的边数为0036060＝6.所以这只蚂蚁需要爬行5×6＝30(cm )才能回到点A ．【解法指导】多边形的外角和为3600.(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n 边形内角和加外角和等于1800·n ，外角和等于n ·1800－(n －2)·1800＝3600.(3)多边的外角和为什么等于3600，还可以这样理解：从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A ，然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于3600.(4) 多边形的外角和为3600的作用：①各相等外角度数求多边形边数；②多边形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01．〔无锡〕八边形的内角和为_____.度.02．如下列图，△ABC 中，∠A ＝400，剪去∠A 后成四边形，那么∠1+∠2＝___03．〔资阳〕n (n 为整数，且n ≥3)边形的内角和比〔n +1〕边形的内角和少____度.04．〔株洲〕如下列图，小明在操场上从点A 出发，沿直线前进10米后向左转400，再沿直线前进10米后，又向左转400，……，照这样下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米.【例４】两个多边形的内角和为18000，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.【解法指导】两个多边形的边数之比为2:5，可设两个多边形的边数为2x 和5x ，利用多边形的内角可列方程. 解：设这两个多边形的边数分别是2x 和5x ，那么由多边形内角和定理可得：(2x －2)·1800+(5x －2)·1800＝18000，解得x ＝2，∴2x ＝4，5x ＝10，故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01．一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100，这个多边形是___________02．假设一个多边形的外角和是其内角和的25，那么此多边形的边数为_____ 03．每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的23，那么这个多边形是〔 〕A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形04．内角和与其外角和相等的多边形是___________【例５】某人到瓷砖商店去购置一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面，他购置的瓷砖不可以是〔 〕A ．正三角形B ．长方形C ．正八边形D ．正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为3600，由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌，而正八边形的每个内角为1350，不是3600的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌. 解：选C ．【变式题组】01．用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是〔 〕A ．正三角形B ．正方形C ．长方形D ．正五边形02．小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有〔 〕A ．正三角形、正方形、正六边形B ．正三角形、正方形、正五边形C ．正方形、正五边形D ．正三角形、正方形、正五边形、正六边形03．只用以下正多边形•能作平面镶嵌的是〔 〕A ．正五边形B ．正六边形C ．正八边形D ．正十边形04．〔晋江市〕如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，假设要得到2021个小正方形，那么需要操作的次数是〔 〕A ．669B ．670C ．671D ．672【例６】有一个十一边形，它由假设干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形.【解法指导】正三角形的每个内角为600，正方形的每个内角为900，它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数.解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、900，由此可拼成600、900、1200、1500四种角度，十一边形内角和为(n －2)×1800＝(11－2)×1800＝16200.因为1200×11＜16200＜1500×11，所以这个十一边形的内角只有1200和15000的角有m 个，1500的角有n 个，那么有1200m +1500n ＝16200，即4m +5n ＝54 此方程有唯一正整数解110m n =⎧⎨=⎩，所以这个十一边形内角中有1个角为1200，10个角为1500，此十一边形如下列图.【变式题组】0m ，那么第12层的外边界所围成的多边形的周长是___________.02．小明的书房地面为210cm ×300cm 的长方形，假设仅从方便平面镶嵌的角度出发，最适宜选用的地砖规格为〔 〕A ．30cm ×30cm 的正方形，B ．50cm ×50cm 的正方形，C ．60cm ×60cm 的正方形，D ．120cm ×120cm 的正方形，03．正m 边形、正n 边形及正p 边形各取一个内角，其和为3600，求111m n p++的值. 演练稳固·反响提高01．在一个顶点处，假设正n 边形的几个内角的和为______，那么此正n 边形可铺满地面，没有空隙.02．〔宜昌市〕如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为______块，当白色瓷砖为n 2〔n 为正整数〕块时，黑色瓷砖为______块.03．〔嘉峪关〕用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下假设干地板图案：那么第n 个图案中白色的地板砖有______块.04．如下列图的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，那么第n 层有______个白色正六边形.05．如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，那么该正多边形的边数为〔 〕A ．3 B ． 4 C ．5 D ．606．以下不能镶嵌的正多边组合是〔 〕A ．正三角形与正六边形B ．正方形与正六边形C ．正三角形与正方形D ．正五边形与正十边形07．用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是〔 〕A ．边长相同B ．在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C ．边长之间互为整数倍D ．在每一点的交接处各多边形的内角和为3600，且边长相等08．〔荆门市〕用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，那么第三块木板的边数是〔 〕A ．4 B ．5 C ．6 D ．809．[自贡(课改)]张珊的父母打算购置形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是〔〕A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正八边形10．我们常常见到如下列图那样图案的地板，它们分别是由正方形、等边三角形的材料铺成的，(1)为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？(2)你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11．某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z，你能找出x、y、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12．黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满，按第1,2,3个图案[如图(1)、(2)、(3)]规律依次下去，那么第n个图案中黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是〔〕A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1 C．4n，n2－n+3 D．4n，2n+1培优升级·奥赛检测01．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为20020，那么这个多边形的边数为〔〕A．12 B．12或13 C．14 D．14或1502．有一个边长为4m的正六边形客厅，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，那么需要这种瓷砖〔〕A．216块B．288块C．384块D．512块03．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数等于〔〕A．3600 B．4500C．5400D．720004．从凸n边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n边形分成了m个小三角形，假设m等于这个凸n边形对角线条数的49，那么此n边形的内角和为___________.05．如图，DC∥AB，∠BAE＝∠BCD，AE⊥DE，∠D＝1300，求∠B的度数.06．如图，小亮从点A出发，沿直线前进10米后向左转300，再沿直线前进10米，又向左转300，……，照这样下去，他第一次回到出发点A时，一共走了______米.07．如图，两直线AB、CD平行，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝〔〕A．6300B．7200C．8000D．900008．将一个宽度相等且足够长的纸条翻开个结，如(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形，ABCDE，其中∠BAC＝_______.09．矩形ABCD的边长为16，宽为12，沿着对角线BD剪开，得到两个三角形，将这两个三角形拼出各种凸四边形，设这些四边形中周长最大为m，周长最小为n，那么m+n的值为〔〕A．120 B．128 C．136 D．14410．对正方形ABCD分划如图①，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板〞(1)如果设正方形OGFN的边长为1，这七块部件的各块长中，从小到大的四个不同值分别为1、x1、x2、x3，那么x1＝___；各内角中最小内角是___度，最大内角是___度；用它们拼成一个五边形如图②，其面积是__.(2)请用这块七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出两种边数不同的凸多边形，画在下面格点图中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中上下左右相邻两点距离都为1).(3)某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8〞.你认为这个结论正确吗？请说明理由.B A CD E F11．(方案设计题)我们常见到如图的图案地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面.(1)你能不能另外想一个用一种多边形(不一定是正多边形)的材料铺地的方案，把你想到的方案画成草图；(2)请你再画一个用两种不同正多边形材料铺地的草图.12．(俄罗斯萨温布竞赛题)如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A +∠B +∠C ＝∠D +∠E +∠F 成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的.第3讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形〔 〕A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB 〔SAS 〕 ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A D AED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CE EF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC 〔HL 〕应选C .A F CE D B 【变式题组】 01．〔天津〕以下判断中错误的选项是〔 〕A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．〔丽水〕命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，那么△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF 〔如下列图〕. ⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D 〞记为①，“∠OEF ＝∠OFE 〞记为②，“AB ＝DC 〞记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是____命题，命题2是_____命题〔选择“真〞或“假〞填入空格〕. 【例２】AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF 〔SSS 〕 ∴∠B ＝∠C 在△ABF 和△DCE 中, AB DCB C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，假设BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，那么AO 的长为〔 〕A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE＝2cm ，那么BD ＝__________.03．〔北京〕：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .AE 第1题图 A BC D EB C D O 第2题图 A F E C B D A B CDO F E A C E F BD⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B〔E〕、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是__________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC在△ABF和△DEC中,AB DEABF DECBF EC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF≌△DEC∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA，∴∠AFD＝∠DCA【变式题组】01．〔绍兴〕如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P∠CDE ＝48°，那么∠APD等于〔〕A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，以下结论中错误的选项是〔〕A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如以下列图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵假设PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】〔第21届江苏竞赛试题〕，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，E FBACDG第2题图B〔E〕OCF图③DABP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC，∴AP ＝AQ ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90°∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ【变式题组】01．如图，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD . 02．梯子的倾斜角为75°梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是〔 〕A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，那么五边形ABCDE 的面积为__________演练稳固·反响提高01．〔海南〕图中的两个三角形全等，那么∠α度数是〔 〕A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，那么∠ACA /的度数是〔 〕A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°第1题图a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC P QE F D。

数学培优讲义八年级上册努力是为了能有一个让人羡慕的未来！目录第一讲三角形 (1)第二讲全等三角形的性质与判定 (5)第三讲角平分线的性质与判定 (9)第四讲轴对称及轴对称变换 (12)第五讲等腰三角形 (16)第六讲等边三角形 (19)第七讲认识多边形 (23)第八讲幂的运算 (23)第九讲整式乘法 (27)第十讲整式乘法公式讲义 (31)第十一讲整式除法讲义 (38)第十二讲因式分解及其应用 (42)第十三讲分式的概念•性质与运算 (45)第十四讲分式的化简求值与证明 (48)第十五讲分式方程及其应用 (52)第一讲 三角形一、学习目标1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线.2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边.3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题.6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法.二、例子【例１】若的三边分别为4，x ，9，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x ＝______________.【变式题组】1．若△ABC 的三边分别为4，x ，9，且9为最长边，则x 的取值范围是______________，周长l 的取值范围是______________.2．设△ABC 三边为a ，b ，c 的长度均为正整数，且a ＜b ＜c ，a +b +c ＝13，则以a ，b ，c 为边的三角形，共有______________个.3．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm ，周长为58cm ，试求三角形三边的长.【变式题组】1．已知等腰三角形两边长分别为6cm ，12cm ，则这个三角形的周长是( )A ．24cmB ．30cmC ．24cm 或30cmD ．18cm2．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A ．13cmB ．6cmC ．5cmD ．4cm3．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.【例３】如图AD 是△ABC 的中线，DE 是△ADC 的中线，EF 是△DEC 的中线，FG 是△EFC 的中线，若S △GFC ＝1cm 2，则S △ABC ＝______________.GFE DBAC【变式题组】1．如图，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，S △ABC ＝4，则S △EFC ＝______________.(第1题图)FE DBA C2．如图，点D 是等腰△ABC 底边BC 上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若一腰上的高为4cm ，则DE +DF ＝______________. 3．如图，已知四边形ABCD 是矩形(AD ＞AB ) ，点E 在BC 上，且AE ＝AD ，DF ⊥AE 于F ，则DF与AB 的数量关系是______________.【例４】已知，如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.(例4题图)BDACE【变式题组】1．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E ＝______________.2．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.3．如图，则∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F ＝______________.(第3题图)A BCDE F【例５】如图，已知∠A ＝70°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ．则∠BOC ＝ ______________.OBA C(第2题图)FEBCAD (第3题图)FDBCA E(第2题图)ABFE D C(第1题图)ABEDC1．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC ＝______________.(第1题图)OBA C3．如图，∠O ＝140°，∠P ＝100°，BP 、CP 分别平分∠ABO 、∠ACO ，则∠A ＝______________.【例６】如图，已知∠B ＝35°，∠C ＝47°，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，则∠EAD ＝______________.【变式题组】1.（改）如图，已知∠B ＝39°，∠C ＝61°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，则∠BFE＝__________.2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝40°，AD 平分∠BAC ，∠ACB 的外角平分线交AD 的延长线于点P ，点F 是BC 上一动点(F 、D 不重合) ，过点F 作EF ⊥BC 交于点E ，下列结论:①∠P +∠DEF 为定值，②∠P －∠DEF 为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出判断，并说明理由.*【例７】如图，在平面内将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB ′C ′，使CC ′∥AB ，若∠BAC ＝70°，则旋转角α＝______________.(第3题图)P OBAC(例6题图)E D ABC(第2题图)D EPCAGBF (第1题图)FED A BCC'B'ABC1.如图，用等腰直角三角形板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的直角α＝______________.(第1题图)α22°OBMA2．如图，在平面内将△AOB 绕点O 顺时针旋转α角度得到△OA ′B ′，若点A ′在AB 上时，则旋转角α＝______________.(∠AOB ＝90°，∠B ＝30°)3．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 沿着AB 边，AC 边翻折180°形成的，若∠BAC ＝130°，则∠α＝______________.三、练习1．如图，图中三角形的个数为( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定3．有4条线段，长度分别是4cm ，8cm ，10cm ，12cm ，选其中三条组成三角形，可以组成三角形的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．下列语句中，正确的是( )A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C ．三角形的外角中，至少有两个钝角D ．三角形的外角中，至少有一个钝角5．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 6．若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定7．如果等腰三角形的一边长是5cm ，另一边长是9cm ，则这个三角形的周长是______________. 8．三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18，则这个三角形的三条边长分别是______________.9．如图，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 与∠C 的三等分线，分别交于点D 、E ，则∠BDC 的度数是______________.(第2题图)B'A'AOB(第3题图)αEDCBABACDEF (第9题图)D EBAC10．如图，光线l 照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝55，∠γ＝75°，∠β＝______________. 11．如图，点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的中点，且S △EFC ＝1，则S △ABC ＝______________.12．如图，已知: ∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，则∠DAC ＝______________.第二讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【变式题组】1．（武汉2011）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等γβα(第10题图)ⅡⅠ(第11题图)FE DABC4321(第12题图)DBA CAFCEDBD ．有一边对应相等的两个等边三角形全等2．（黄冈）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.3．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ；⑵分别将―∠A ＝∠D ‖记为①，―∠OEF ＝∠OFE ‖记为②，―AB ＝DC ‖记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择―真‖或―假‖填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【变式题组】 1．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5AB CDO FEA CEFBD2.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________.\ 3．（孝感2013）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .演练巩固·反馈提高1．（海南2011）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°2．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40°3．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 4．（武汉2012）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /BB /aαcca50° b72° 58°AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A FECB DC . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°5．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE6．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：―一定有△ABC ≌△AED .‖小明说：―△ABM ≌△AEN .‖那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对 7．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.8．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.E2 1N AB DC第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第10题图AB CDE 第9题图EABC D A BC DEF O CAEBD第7题图 第8题图D A C .QP.BD AAE F BDC13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .第三讲 角平分线的性质与判定考点·方法·破译1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典·考题·赏析【例１】如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .AEB FD C BDEClA4321NM ABODP P C A B MN MNA BD CP D CA B 321F E DCAB 求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN【变式题组】1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACDCBDS S ∆∆2．(河北竞赛)在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.【例３】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BDDEC ABD FE B AC第1题图DCBA第2题图DB CA EP 第3题图QS RPB AC第4题图EFB DAC第5题图EBCA【变式题组】1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .演练巩固·反馈提高1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ）A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个 A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ） A ． ①③ B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④ 5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）第6题图F ED PA B C 第7题图P ABCE F 第8题图DABC E第9题图ED CAB第10题图K NMQ CBA FBDECA O F ED ABCA ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个 10．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________ 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .第四讲 轴对称及轴对称变换考点·方法·破译1．轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以―补齐‖图形，集中条件.经典·考题·赏析【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【变式题组】1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）2．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（）A．（0，－1）B．（1，1）C．（2，－1）D．（1，－1）【变式题组】1．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－32．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.3．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（）A．30°B．20°C．15°D．10°【变式题组】1．（孝感）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（）A．70°B．65°C．50°D．25°2．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC 的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．【变式题组】1．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．2．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．3．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．4.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．演练巩固·反馈提高1．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（）．A．48°B．54°C．74°D．78°2．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP ∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（）A．80°B．85°C．95°D．110°4．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A 的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）A．M（1，－3），N（－1，－3）B．M（－1，－3），N（－1，3）C．M（－1，－3），N（1，－3）D．M（－1，3），N（1，－3）5．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（）A．（3，－5）B．（－5，3）C．（3，5）D．（5，3）06．已知M （1－a ，2a ＋2）关于y 轴对称的点在第二象限，则a 的取值范围是（ ） A ．－1＜a ＜1 B ．－1≤a ≤1 C ．a ＞1 D ．a ＞－1 7．如图，镜子中号码的实际号码是___________．8．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为___________cm 2.9．已知点A （2a ＋3b ，－2）和B （8，3a ＋2b ）关于x 轴对称，则a ＋b ＝___________.10．如图，在△ABC 中，OE 、OF 分别是AB 、AC 中垂线，且∠ABO ＝20°，∠ABC ＝45°，求∠BAC和∠ACB 的度数．第五讲 等腰三角形考点·方法·破译1．等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2．等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．3．构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形2131221(4)(3)(2)(1)经典·考题·赏析【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.【变式题组】1．（黄冈）在等腰⊿ABC 中，AB ＝AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A .7B .11C .7或11D ．7或102.（黄冈）在⊿ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为500，则∠A DPEB＝___________度．3.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【例２】如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．【变式题组】1．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．2．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．【例３】已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A．4 B．5 C．6 D．8【变式题组】1．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP 为等腰三角形的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，△），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．CABD3.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD ，点E 是AB 的中点，点G 是BC 上一点，∠BEG ＞600，现沿直线EG 将纸片折叠，使点B 落在纸片中的点H 处，连接AH ，则与∠BEG 相等的角的个数为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D ．14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，点E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例４】 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ．试判断△EMC 的形状，并说明理由．【变式题组】1．如图，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 的中点,以P 为直角顶点的两边分别与边AB 、AC交于点E 、F ，当∠EPF 绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，⊿PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由．2．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝900，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 垂足为E ，过点B 作BF∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴求证：AD ⊥CF ;⑵连接AF ，试判断⊿ACF 的形状，并说明理由．【变式题组】1．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）第2题图 第3题图第4题图ACBMDE(例4题图)A．200B．1200C．200或1200D．36002．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A．9 B．15 C．15 D．12或153.（云南）如图，等腰∆ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∆BEC的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．164．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（）A．800B．900C．1000D．10805．如图，Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF6．如图，∆ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC 于点E,那么下列结论：①∆BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①7.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（）A．700B．1100C．1400D．15008．（滨州）已知等腰△ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.第六讲等边三角形考点方法破译1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；21NMF EDBC A EPQDCABEPQDCAB2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．经典 考题 赏析【例1】如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上．AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ．(1)求证：△ACE ≌△DCB ; (2)求∠AFD 的度数； (3)判断△CMN 的形状【变式题组】 1．(天津)如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小等于__________ 度 2．(荆州)如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．3．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQ4．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．【例2】P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠PAB ＝∠PAC ＝22°，求∠APC 的度数EDCBA PA【变式题组】1．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．2．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．巩固练习 反馈提高1．如图．△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，点E 在AC 上，且AE ＝AD ，则∠DEC ＝( )A 105°B 85°C 95°D 75°第1题图 第2题图2．如图，等边△ABC ，D 在AC 上，延长BC 到E ．使CE ＝CD ，若BD ＝DE ，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝21AB ③ CE ＝ 21BC ④∠A ＝2∠E ，其中正确结论的个数是( ) A ．4个 B 3个 C 2个 D 1个3．(河北)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在A’处，且A’在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为__________ cmEDCABDCABBEDCABEDCA4．在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°，得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP ＝__________． 5．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB ，试判断△DEF 是否为等边三角形，并说明理由．6．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．7．如图，点D 是等边△ABC 边AB 上的一点．AB ＝3AD ，DE ⊥BC 于点E ，AE 、CD 相交于点F (1)求证：△ACD ≌△BAE ：(2)过点C 作CG ⊥AE ，垂足为点G ，探究CF 与FG 之间的数量关系，并证明．8．如图：△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将线段DB 绕点D顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连接DC ，AE ． 求证：△ADE ≌△DFCEDBFCAFEDAODB PC ADE B FC A 第3题图 第4题图 第5题图第七讲 认识多边形考点·方法·破译多边形内角和= (2)180n -⨯ 外角和= 360第八讲 幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1．m n m n a a a +⋅= 2．()m n mn a a = 3．()n n n ab a b = 4．m n m n a a a -÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412a a a ⋅= ②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a --A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式题组】 1.计算212()()n n c c+⋅的结果是()A ．42n c+B ．44n c +C ．22n c+D ．34n c+2．计算100101(2)(2)-+-＝_______________3．如果3915()nma b b a b ⋅=，则m ＝_________，n ＝____________ 4．计算2323()()()n n x y x y +-⋅-＝_______________ 【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【变式题组】1．若24m =，216n =，求22m n +的值2．若35n x =，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值3．若3m x =，6n x =，则32m n x -＝________.4．已知33m a =，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值5．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c【变式题组】1．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a2．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【变式题组】 1．求满足2003005n ＜的最大整数值n.2．如果x 、y 是正整数，且2232x y ⋅=，求满足条件的整数x 、y演练巩固 反馈提高1．（武汉）下列运算正确的是（）A ．3412x x ⋅=B ．623(6)(2)3x x x -÷-=C ．23a a a -=-D ．236(2)6x x -=-2．（泰州）下列各式计算正确的是（）A ．23523a a a +=B ．235(2)6b b =C ．2(3)()3xy xy xy ÷=D ．56236x x x ⋅=3．当n 为正整数时，221()n x +-等于（）A ．42n x +-B ．41n x +-C ．41n x +D ．42n x +4．计算3224()a a a +⋅的结果为（）A ． 92aB ．62aC ．68a a +D ．12a5．下列命题中，正确的个数是（）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m -=- （２）等式(2)2mm-=，无论m 为何值时都不成立（３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立； （４）两个等式：3434(2)2mmmm x y x y -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列各题中，计算正确的是（）A ．322366()()m n m n --=B ．322331818[()()]m n m n --=- C ．2222398()()m n mn m n --=-D ．232399()()m n mn m n --=-7．已知22|2||238|0yxx x y x y y x -+-+=⋅-⋅，则＝_______________。

第十一章全等三角形及其应用【知识精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点.互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角.2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形,记作“△ABC≌△A′B′C′其中,“≌”读作“全等于”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素.（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系.通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析,可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的.①翻折如图（1）,∆BOC≌∆EOD,∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2）,∆COD≌∆BOA,∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；平移如图（3）,∆DEF≌∆ACB,∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的.5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即AAA；b :有两边和其中一角对应相等,即SSA.全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具,同时也是移动图形位置的工具.在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识.【分类解析】全等三角形知识的应用（1）证明线段（或角）相等【例1】如图,已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE,而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中,因此先证明ΔACD≌ΔABE,再证明ΔDBF≌ΔECF,既可以得到BF=FC.证明：在ΔACD和ΔABE中,AE=AD ∠A=∠AAB=AC.∴ ΔACD ≌ΔABE (SAS)∴ ∠B=∠C （全等三角形对应角相等） 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB －AD=AC －AE 即 BD=CE在ΔDBF 和ΔECF 中∠B=∠C∠BFD=∠CFE （对顶角相等） BD=CE∴ ΔDBF ≌ΔECF （AAS ）∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）（2【例2】AB ∥CDCDE.由已知显然证明Δ进一步证明AB 证明：∵ DE ∴∠在ΔABF AF=CE ∠DEC ＝∠BFA （已证） DE=BF （已知）∴ ΔABF ≌ΔCDE （SAS ）∴ ∠C ＝∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB ∥CD （内错角相等,两直线平行）（3）证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等【例3】如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,取AB 的中点E,连接CD 和CE. 求证：CD=2CE分析：(ⅰ)折半法：取CD中点F,连接BF,再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件.证明：取CD中点F,连接BF∴BF=12AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）∴∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)又∵AB=AC∴∠ACB＝∠3 （等边对等角）∴∠3＝∠2在ΔCEB与ΔCFB中,BF=BE∠3＝∠2CB=CB∴ΔCEB≌ΔCFB (SAS)∴即在Δ∠1＝∠2 （对顶角相等）CE=FE∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)∴AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴BF∥AC (内错角相等两直线平行)∵∠ACB+∠CBF=180o,∠ABC+∠CBD=180o,又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等） 在ΔCFB 与ΔCDB 中,CB=CB∠CBF=∠CBD BF=BD∴ ΔCFB ≌ΔCDB (SAS) ∴ CF=CD 即CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原线段一半的线段.例如上面折道理题也可这样处理,取AC 中点F,连BF(如图)（B∴ AO=BC,∠OAD=∠BCD （全等三角形对应边、对应角相等） ∵ ∠AOD ＝∠COE （对顶角相等） ∴ ∠COE+∠OCE=90o ∴ AO ⊥BC 5、中考点拨：【例1】如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,E 是AB 的中点,以点E 为圆心,EB 为半径画弧,交BC 于点D ,连结ED ,并延长ED 到点F ,使DF ＝DE ,连结FC ． 求证：∠F ＝∠A ．分析：证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中,但由已知可证得EF∥AC,因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD即可．证明：∵AB＝AC,∴∠ACB＝∠B,∵EB＝ED,∴∠ACB＝∠EDB．∴ED∥AC．∴∠BED＝∠A．∵BE＝EA．∴BD＝CD．又DE＝DF,∠BDE＝∠CDF∴△BDE≌△CDF,∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系.【例2】AE=BD,DF∥AC∵∴△BFD为等边三角形∴BF=BD=FD∵AE=BD∴AE=BF=FD∴AE－AF=BF－AF 即EF=AB∴EF=AC在△ACE和△DFE中,EF=AC（已证）∠EAC＝∠EDF (两直线平行，同位角相等)AE=FD (已证)∴△AEC≌△FED（SAS）∴EC=ED（全等三角形对应边相等）题型展示：【例1】如图,△ABC中,∠C＝2∠B,∠1＝∠2.求证：AB＝AC＋CD．分析：在AB上截取AE＝AC,构造全等三角形,△AED≌△ACD,得DE＝DC,只需证DE＝BE问题便可以解决．证明：在AB上截取AE＝AC,连结DE．∵AE＝AC,∠1＝∠2,AD＝AD,∴△AED≌△ACD,∴DE＝DC,∠AED＝∠C．∵∠AED＝∠B＋∠EDB,∠C＝2∠B,∴2∠B＝∠B＋∠EDB．即∠B＝∠EDB．∴EB＝ED,即ED＝DC,∴AB＝AC＋DC．剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角形,另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与另一条短线段相等）,其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题,实际上仍是构造全等三角形,这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．【实战模拟】1. 下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图,CD ⊥AB 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,BE 、CD 交于点O ,且AO 平分∠BAC ．求证：OB ＝OC ．3. 如图,已知C 为线段AB 上的一点,∆ACM 和∆CBN 都是等边三角形,AN 和CM 相交于F 点,BM 和CN 交于E 点. 求证：∆CEF 是等边三角形.4.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线. 求证：AD<12(AB+AC)5. 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C ＝90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．ABCMNE F12【试题答案】1. D2.证明：∵AO平分∠ODB,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE、CE交于点O,∴OD＝OE,∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE.∴△BOD≌△COE（ASA）．∴OB＝OC3.分析由∠ACM=∠BCN=60︒,知∠ECF=60︒,欲证∆CEF是等边三角形,只要证明∆CEF是等腰三角形.先证∆CAN≌∆MCB,得∠1=∠2.再证∆CFN≌∆CEB,即可推得∆CEF是等边三角形的结论.证明：在∆CAN和∆MCB,∵AC=MC,CN=CB,∠CAN=∠MCB=120︒,∴∆ACN≌∆MCB中,∴∠FCB和∆CEB中,∵∠FCN=∠ECB=60︒,∠1=∠2,CN=CB,∴∆CFN≌∆CEB,∴CF=CE,又∵∠ECF=60︒,∴∆CEF是等边三角形.4.分析：关于线段不等的问题,一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论,由于AB、AC、AD不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注意AD 是BC边上的中线,延长AD至E,使DE＝AD,即可得到△ACD≌△EBD．证明：延长AD到E,使DE＝AD,连结BE在∆ACD与∆EBD中∴∆ACD≌∆EBD（SAS）∴AC＝EB（全等三角形对应边相等）在∆ABE中,AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD（等量代换）说明：一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形.5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中,欲证BD与CG相等,设法证△CGE≌△BDF.由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中,∵AC＝CB,AE⊥CD于E,BF⊥C交CD的延长线于F∴∠AEC＝∠CFB＝90°又∠ACB＝90°∴∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF∴Rt△AEC≌Rt△CFB∴CE＝BF在Rt△BFD与Rt△CEG中,∠F＝∠GEC＝90°,CE＝BF,由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG,∴Rt△BFD≌Rt△CEG∴BD＝CG第十二章轴对称1.如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.这时,我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称.2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴.两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点.注意：1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形.3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关.题型一:轴对称图形的判断【例1】如图,我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案,下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )①②③④A．①②③B．②③④C．③④①D．④①②分析：图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断举一反三：1、下列图形中,不是轴对称图形的是( )A．角B．等边三角形C．线段D．不等边三角形2、下列图形中,不是轴对称图形的是（）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段3、下列英文字母属于轴对称图形的是（）A、NB、SC、LD、E4、下列说法中,正确的是( )A．两个全等三角形组成一个轴对称图形B．直角三角形一定是轴对称图形C．轴对称图形是由两个图形组成的D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形题型二：找轴对称图形的对称轴【例2】等腰三角形的对称轴_______条.举一反三：1、下列说法中,正确的个数是（）（1）轴对称图形只有一条对称轴,（2）轴对称图形的对称轴是一条线段,（3）两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形,（4）全等的两个图形一定成轴对称,（5）轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2、轴对称图形的对称轴的条数（）（A）只有一条（B）2条（C）3条（D）至少一条3、正五角星的对称轴的条数是( )A．1条B．2条C．5条D．10条4、下列图形中有4条对称轴的是( )A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形常见图形及其对称轴：1、线段垂直平分线的概念：（１）垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线； （２）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等.3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.注意:（１）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；（2“到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；（3）“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等,那么,这两点所在直线是该线段的垂直平分线.”的作用是：垂直平分线的判定.题型一:线段垂直平分线的性质【例3】 如图1,在△ABC 中,已知AC=27,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC于点E,△BCE 的周长等于50,求BC 的长.图-1 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时,(如图2),对应的是△ACE 的周长,它的周长也等于AC+BC.图形变化,但结论不变.图-2 举一反三：1、如图1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点E,若∠BEC=70°,则∠A=？点评：此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.B C A E D A B CD E【例4】如图3,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N. (1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状.举一反三：1.如图4,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.图-42.如图,己知AB=AC,DE 垂直平分AB 交AC 、AB 于D 、E 两点,若AB=12cm,BC=10cm, ∠A=49º,求△BCE 的周长和∠EBC 的度数.【例5】如图,D 是线段AB 、BC 的垂直平分线的交点,若∠ABC ＝50°求∠ADC举一反三： 1.如图,△ABC 中,DE 垂直平分AC 交AB 于E,∠A=30°,∠ACB=80°,求∠CBE2.如图,△ABC 内有一点D,且D 为直线AB 、AC 垂直平分线的交点, 若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC 的大小是（ ）A ．100°B ．80°C ．70°D ．50° A B C DE M N 图-3 A B C D E M ND CA CB AD题型二:线段垂直平分线的判定【例6】如图所示,Rt△ABC中,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD.(用定义法和判定定理法两种方法)【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？【例7】如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,AD平分∠BAC,且DE⊥AB于点E,DF ⊥AC于点F,连接EF交AD于点G,求证：AD垂直平分EF.举一反三：如图所示,AB>AC,∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作DE AB⊥于E,DF AC F⊥于,求证：BF=CG.1、轴对称的性质：（１）关于某条直线对称的图形是全等形；（２）如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（３）两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上；（４）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于这条直线对称.2、轴对称作（画）图：（１）画图形的对称轴（２）如果一个图形关于某直线对称,那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.（３）画某点关于某直线的对称点的方法（４）画已知图形关于某直线的对称图形注意：CEA D BFBGAB CFED（１）全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的.（２）性质（４）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称,它是作对对称图形的主要依据.【例8】如图,ΔABC 和ΔA ’B ’C ’关于直线对称,下列结论中：①ΔABC ≌ΔA ’B ’C ’； ②∠BAC ’≌∠B ’AC ； ③l 垂直平分CC ’；④直线BC 和B ’C ’的交点不一定在l 上,正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 举一反三：1、如图,ΔABC 与ΔA /B /C /关于直线l 对称,则∠B 的度数为（ ）A ．50°B ．30°C ．100°D ．90°2、如图六边形ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD 的大小是（ ）．Ａ．150° Ｂ．300° Ｃ．210° Ｄ．330°．【例9】如图,点P 在∠AOB 内,点M 、N 分别是点P 关于AO 的对称点、BO 的对称点,若△PEF 的周长为15,求MN 的长等腰三角形专题讲解 【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.30︒l C'B'A'B C A 50︒FED CBA OB推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.推论2：等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”.）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.2. 定理及其推论的作用.等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点.3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定.【分类解析】【例1】如图,已知在等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,E 为BC 延长线上一点,且CE ＝CD,DM ⊥BC,垂足为M.求证：M 是BE 的中点.E分析：欲证M 是BE 的中点,已知DM ⊥BC,所以想到连结BD,证BD ＝ED.因为△ABC 是等边三角形,∠DBE ＝21∠ABC,而由CE ＝CD,又可证∠E ＝21∠ACB,所以∠1＝∠E,从而问题得证.证明：因为三角形ABC 是等边三角形,D 是AC 的中点所以∠1＝21∠ABC 又因为CE ＝CD,所以∠CDE ＝∠E所以∠ACB ＝2∠E即∠1＝∠E所以BD ＝BE,又DM ⊥BC,垂足为M所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）【例2】如图,已知：ABC ∆中,AC AB =,D 是BC 上一点,且CA DC DB AD ==，,求BAC ∠的度数.A B CD分析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中,但仅靠AC AB =是无法求出来的.因此需要考虑DB AD =和CA DC =在题目中的作用.此时图形中三个等腰三角形,构成了内外角的关系.因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求.解：因为AC AB =,所以C B ∠=∠因为DB AD =,所以C DAB B ∠=∠=∠；因为CD CA =,所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角）而 DAB B ADC ∠+∠=∠所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22，所以B 3BAC ∠=∠又因为 180=∠+∠+∠BAC C B即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠即求得 108BAC =∠说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁.把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在.本条性质在解题中发挥着重要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现.2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的.3. 此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用方法.【例3】已知：如图,ABC ∆中,AB CD AC AB ⊥=，于D.求证：DCB 2BAC ∠=∠.C分析：欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,BAC ∠是等腰三角形的顶角,于是想到构造它的一半,再证与DCB ∠的关系.证明：过点A 作BC AE ⊥于E,AC AB =所以BAC 2121∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠又AB CD ⊥,所以 90CDB =∠所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余）所以31∠=∠（同角的余角相等）即DCB 2BAC ∠=∠说明：1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系.因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2. 对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半”,或构造“倍”.因此,本题还可以有其它的证法,如构造出DCB ∠的等角等.4、中考题型：1.如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝36°,BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有（ ）A. 6个B. 7个C. 8个D. 9个A 36° E D FB C分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个,故选择C.2.）已知：如图,在△ABC 中,AB ＝AC,D 是BC 的中点,DE ⊥AB,DF ⊥AC,E 、F 分别是垂足.求证：AE ＝AF. A E F B D C证明：因为AC AB =,所以C B ∠=∠又因为AC DF AB DE ⊥⊥，所以 90CFD BED =∠=∠又D 是BC 的中点,所以DC DB = 所以)AAS (CFD DEB ∆∆≅ 所以CF BE =,所以AF AE =说明：证法二：连结AD,通过≅∆AED AFD ∆证明即可5、题形展示：【例1】如图,ABC ∆中, 100=∠=A AC AB ，,BD 平分ABC ∠.求证：BC BD AD =+.分析一：从要证明的结论出发,在BC 上截取BD BF =,只需证明AD CF =,考虑到21∠=∠,想到在BC 上截取BA BE =,连结DE,易得,则有FD AD =,只需证明CF DE =,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出DE DF CF ==.证明一：在BC 上截取BD BF BA BE ==，,连结DE 、DF 在ABD ∆和EBD ∆中,BD BD 21BE BA =∠=∠=，，80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，又 100A AC AB =∠=， 40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ 20402121=⨯=∠=∠∴ 而BF BD = 80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ ADBD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴，即BC BD AD =+分析二：如图,可以考虑延长BD 到E,使DE ＝AD,这样BD ＋AD=BD+DE=BE,只需证明BE ＝BC,由于 202=∠,只需证明 80BCE E =∠=∠E易证 6020100180ADB EDC =--=∠=∠, 120BDC =∠,故作BDC ∠的角平分线,则有FBD ABD ∆≅∆,进而证明DFC DEC ∆≅∆,从而可证出 80E =∠. 证明二：延长BD 到E,使DE ＝AD,连结CE,作DF 平分BDC ∠交BC 于F. 由证明一知： 100A 2021=∠=∠=∠， 则有160180BDC 603660201001803=-=∠=∠=∠=--=∠，，DF 平分 6054BDC =∠=∠∴∠606543=∠=∠=∠=∠∴,在ABD ∆和FBD ∆中 43BD BD 21∠=∠=∠=∠，，)A S A (F B D A B D∆≅∆∴ 100A BFD FD AD =∠=∠=∴，,而DE DF DE AD =∴=，在DEC ∆和DFC ∆中,DC DC 65DF DE =∠=∠=，，)S A S (D F C D E C∆≅∆∴ 80100180BFD 180DFC E =-=∠-=∠=∠∴ 在BCE ∆中, 803202=∠=∠， B C EE B C E ∠=∠∴=∠∴， 80 BC BD AD BE BC =+∴=∴，说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进一步提高自身的解题能力.【实战模拟】1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,则腰长为（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm 或8cmD. 以上都不对2. 如图,ABC ∆是等边三角形,BC BD 90CBD ==∠， ,则1∠的度数是________.CA 1DB2 33. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.4. ABC ∆中, 120A AC AB =∠=，,AB 的中垂线交AB 于D,交CA 延长线于E,求证：BC 21DE =.AE DO BC1 2【试题答案】 1. B2. 分析：结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用.解：因为ABC ∆是等边三角形所以 60ABC BC AB =∠=，因为BC BD =,所以BD AB = 所以23∠=∠在ABD ∆中,因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠,所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠=∠3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言.已知：如图,在ABC ∆中,AC AB =,D 、E 分别为AC 、AB 边中点,BD 、CE 交于O 点.求证：点O 在BC 的垂直平分线上.分析：欲证本题结论,实际上就是证明OC OB =.而OB 、OC 在ABC ∆中,于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有21∠∠、的两个三角形全等.证明：因为在ABC ∆中,AC AB = 所以ACB ABC ∠=∠（等边对等角）又因为D 、E 分别为AC 、AB 的中点,所以EB DC =（中线定义） 在BCD ∆和 CBE ∆中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)(CB BC )(EBC DCB )(EB DC 公共边已证已证所以)SAS (CBE BCD ∆≅∆所以21∠=∠（全等三角形对应角相等）. 所以OC OB =（等角对等边）. 即点O 在BC 的垂直平分线上. 说明：（1）正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步.特别是把“在底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB ＝OC ”是关键的一点.（2）实际上,本题也可改成开放题：“△ABC 中,AB ＝AC,D 、E 分别为AC 、AB 上的中点,BD 、CE 交于O.连结AO 后,试判断AO 与BC 的关系,并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的.4. 分析：此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形.题目中是求线段的倍半关系,观察图形,考虑取BC 的中点.证明：过点A 作BC 边的垂线AF,垂足为F.EA 3 1 2 D BFC在ABC ∆中, 120BAC AC AB =∠=， 所以 30C B =∠=∠ 所以BC 21BF 6021==∠=∠， （等腰三角形三线合一性质）. 所以 603=∠（邻补角定义）. 所以31∠=∠又因为ED 垂直平分AB,所以 30E =∠（直角三角形两锐角互余）.AB 21AD =（线段垂直平分线定义）. 又因为AB 21AF =（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）.13所以AF AD =在ABF Rt ∆和AED Rt ∆中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=∠=∠ 90ADE AFB )(AD AF )(31已证已证 所以)ASA (AED Rt ABF Rt ∆≅∆ 所以BF ED = 即BC 21ED =. 说明：（1）根据题意,先准确地画出图形,是解几何题的一项基本功；（2）直角三角形中 30角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺利证明打通了思路.第十三章 实数【知识要点】一、实数：有理数和无理数统称为实数. 1、实数有以下两种分类方法：（1）按定义分类 （2）按大小分类2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样,例如3-的相反数为3,倒数为3331-=-,3-的绝对值为33=-. 3、实数与数轴上点的关系：实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示. 4、实数的运算：（1）关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用.（2）涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.二、二次根式：一般地,()0a ≥叫做二次根式,其中a 叫做被开方数. 1、二次根式的性质：（1）)0()(2≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a aa a ； 2、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数,因式是整式.即被开方数不含有分母. （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式.即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2.3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫同类二次根式.4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则：)0()(≥+=+c c b a c b c a ； )0,0(≥≥=⋅b a ab b a ；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数实数0⎪⎩⎪⎨⎧负实数正实数实数0)0,0(>≥=b a b aba； )0()(≥=a a a n n ； （2）．分母有理化 （3）．二次根式的混合运算 三、非负性及应用： 1、非负数包括正数和零2、常见的非负数有实数的绝对值,实数的偶次方,非负实数的算术平方根等,用符号表示如下：①若a 是实数,则0a ≥；②若a 是实数,则20n a ≥（n 为正整数）,当n=1时,a 2≥0；③n 为正整数）在实数范围内有意义,则0a ≥,0； 3、非负数有如下性质：①有限个非负数之和是非负数；②有限个非负数之和是零,则每一个非负数是零.【典例解析】1、无理数的识别与估算方法例 1 、（1）在实数 3.14,25,3.3333 ,,0.412⋅⋅,0.10110111011110…,π,中,哪些是有理数,哪些是无理数？ （2）估算324+的值（ ）A ．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间2、实数的大小比较方法例2、（1）比较大小：7__________50（填“>”“=”或“<” ） （2）已知53=a ,112=b ,则a 、b 的大小关系为_________（3）比较大小：当实数0<a 时,a +1_______a -1.（填“>”或“<” ）3、实数有数轴的关系例3、如右图：数轴上点A 表示的数为x ,则x 2－13的立方根是（ ）A.5－13B.－5－13C.2D.－2。

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.有6对对顶角. 12对邻补角.【变式题组】01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．⑴求∠EOF 的度数；⑵写出∠BOE 的余角及补角.【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90°⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80°02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l1、l2相交于点O ，A 、B 分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l2的垂线.⑵画出表示点B 到直线l1的垂线段.【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.【变式题组】01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ）A ．4cmB ． 5cmC ．不大于4cmD ．不小于6cm 02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄；⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行A B C D E F A B C D EF PQ R A B CE F OE A ACD O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）l 2驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置.⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数.【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ． 【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：∠1和∠3：∠1和∠6：∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5： ∠3和∠4：【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.【变式题组】F B AOC D EC D B A EO CD A B AE DC F EB A D 1 4 2 3 6 5 A BＧ E01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有（ ）A ．4对B ． 8对C ．12对D ．16对02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）A ．∠1和∠2是同旁内角B ．∠3和∠4是内错角C ．∠5和∠6是同旁内角D ．∠5和∠7是同旁内角 【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°⑶∠ACD ＝∠BAC【解法指导】图中有即即有同旁内 角，有“ ”即有内错角.【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两直线平行.⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁内角互补，两直线平行. ⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两直线平行. 【变式题组】01．如图，推理填空.⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）∴AC ∥ED （ ）⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ）02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． 04．如图，已知∠ABC ＝∠ACB ，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∠EBF ＝∠EFB ，求证：CD ∥EF. 7 1 5 6 8 4 1 2 乙丙 3 23 4 56 1 2 3 4甲 1 A B C 2 34 56 7 A B C D OA B D E FC A B CDE A B C D E F1 2 A DE【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31°.【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°则12×31°＝372°＞360°这与一周角等于360°矛盾所以这12个角中至少有一个角小于31°【变式题组】01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小于11°.02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是.03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三点在同一直线上，设Sn表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝.演练巩固·反馈提高01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END03．下列语句中正确的是（）A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线B．过直线上一点的直线只有一条C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D．垂线段就是点到直线的距离04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）①AB⊥AC ②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB ④线段AB 的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD A．0 B． 2 C．4 D．605．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝.l1l2l3l4l5l6图⑴l1l2l3l4l5l6图⑵AEB C FDABC DFEMNα第1题图第2题图AB D C第4题图07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝. 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1 a10.（a1与a10不重合）09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是.10．在同一平面内两条直线的位置关系有.11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：⑴∵∠A＝（已知）∴AC∥ED（）⑵∵∠2＝（已知）∴AC∥ED（）⑶∵∠A＋＝180°（已知）∴AB∥FD．14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．培优升级·奥赛检测01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（）A．1，3 B．0，1，3 C．0，2， 3D．0，1，2，302．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10ABCDOAB CDEFGHabc第6题图第7题图第9题图123 4567 81AC DEBA BC DEF12AB CDEF第14题图条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有 __________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ）A ．60°B ． 75°C ．90°D ．135°10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点； ⑵总共有29个交点. 第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用. 经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数.【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等； 两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键. 【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38° 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° a b AC02．（安徽）如图，直线l1 ∥l2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（）A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠B＝60°，∠EFC＝45°，求∠BCG的度数.【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.【解】∵AB∥CD∥EF ∴∠B＝∠BCD ∠F＝∠FCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵GC⊥CF ∴∠GCF＝90°（垂直定理）∴∠GCD＝90°－45°＝45°∴∠BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF∥BC, 且AF平分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝_______________02.如图,已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点O与BC平行，则∠BOC＝___________03．如图，已知AB∥MP∥CD, MN平分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠NMP的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F.【解法指导】因果转化，综合运用.逆向思维：要证明∠A＝∠F，即要证明DF∥AC．要证明DF∥AC, 即要证明∠D＋∠DBC＝180°，即：∠C＋∠DBC＝180°；要证明∠C＋∠DBC＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠1＝∠3.证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴DB∥EC（同位角相等•两直线平行）∴∠DBC＋∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C＝∠D ∴∠DBC＋∠D＝180°∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）【变式题组】01．如图，已知AC∥FG，∠1＝∠2，求证：DE∥FGAB CD O EFAEB C（第1题图）（第2题图）EAFGDCBBAMCDNP（第3题图）CDABE F132B3CA 1D2FD A 21 B F E A CD 02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E,DF ⊥AB 于F, AC ∥ED ，CE 平分∠ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF.AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360°【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比，A D M CN E B A2 C F3 E D 1B（第2题图）3 1 A B G DC E A Bα β P B C D A∠P ＝α＋βF γ Dα β E B C A F D E BC A BCAA ′ lB ′C ′联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________⑶____________________________ ⑷____________________________【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG∥AB ． ∵直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH∥FG （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD ∴∠ψ＋∠4＝180°＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠4＋ψ＝180°【变式题组】01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ） A ． ∠β＝∠α＋∠γ B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180° C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90° D ．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB ∥CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A/，画出平移后的三角形A/B/C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA/ ②过点B 作AA/的平行线l ③在l 截取BB/＝AA/,则点B/就是的B 对应点，用同样的方法作出点就得到平移后的三角21cm ，作出平移后的图形. BAPCAC CDAA PCBD PBPD BD ⑴⑵⑶⑷西 B 30°A 北东 南 02．如图,已知三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A/B/C/的位置，若平移距离为3, 求△ABC 与△A/B/C/的重叠部分的面积.03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米） 演练巩固 反馈提高 01．如图，由A 测B 得方向是（ ） A ．南偏东30° B ．南偏东60° C ．北偏西30° D ．北偏西60° 02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．下列命题中，正确的是（ ） A ．对顶角相等 B ． 同位角相等 C ．内错角相等 D ．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ） A ．北偏东52° B ．南偏东52° C ．西偏北52° D ．北偏西38°07．下列几种运动中属于平移的有（ ） ①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动. A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种 08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格） B B /AA /C C /150°120°DBCE 湖21ABEF09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等.13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头B、D成64°角. 当小船行驶到河中F点时，看B点和D点的视线FB、FD恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F与码头B、D所形成的角∠BFD的度数吗？DEAB CE DB CE D AB CED AB CEDA B C4 P 23 1A B EFC D 15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA1＝2cm. 将AC 平移到A1C1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A1A2向右平移1个单位得到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1 [即阴影部分如图⑴];将折现A1A2A3向右平移1个单位得到B1B2B3，得到封闭图形A1A2 A3B3B2B1 [即阴影部分如图⑵]; ⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影. ⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？ 05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144° 06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A1、A2、…、A10，直线b 上顺次有10个点B1、B2、…、B9，将a 上每一点与b 上⑶ ⑷ CB 1A A 1C 1D 1 BD . B. O . AF E B A CG D每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．200607．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF. 求∠BEG 和∠DEG.08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF. ⑴求∠EOB 的度数；⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？12．如图将面积为a2的小正方形和面积为b2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？第06讲 实 数 考点·方法·破译 1．平方根与立方根：若2x ＝a(a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平FEB AC GD 100° FE BC A BCD方根为xa 的平方根为xa 的算术平方根． 若x3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq （p 、q 是两个互质的整数，且q ≠0）的形式． 3非负数： 实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a>0，2na ≥0（n 为正整数）0(a ≥0) ．经典·考题·赏析【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l ＝0，5m ＝5，m ＝l ． 【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知mm 的平方根是____． 03____．y 是____．【例2】（全国竞赛）已知非零实数a 、b满足24242a b a -+++=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2 有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b2>0∴a －3≥0 a≥3 ∵24242a b a -+++=∴24242a b a -++=，∴20b ++=．∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，故选C ．【变式题组】0l 3b +＝0成立，则ab ＝____．02()230b -=，则ab 的平方根是____．03．（天津）若x 、y 为实数，且20x +=，则2009x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．－204．已知x 1x π-的值是( )A ．11π-B ．11π+C ．11π- D ．无法确定【例3】若a 、b 都为有理效，且满足123a b b -+=+．求a ＋b 的平方根． 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵123a b b -+=+，∴ 123a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩即112a b b -=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a ＋b 的平方根为：255a b ±+=±=±． 【变式题组】01．（西安市竞赛题）已知m 、n 是有理数，且（5＋2）m ＋(3－25)n ＋7＝0求m 、n ．02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（123π+）x ＋（132π+）y−4−π＝0，则x−y ＝____．【例4】若a 为17−2的整数部分，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b 的值．【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，17−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝17−2 −2＝17−4．∵a ＝2，b−1＝±3 ，∴b ＝－2或4 ∵a b b a-=-．∴a<b ，∴a ＝2， b ＝4，即a ＋b ＝6．【变式题组】01．若3＋5的小数部分是a ，3−5的小数部分是b ，则a ＋b 的值为____． 02．5的整数部分为a ，小数部分为b ，则（5＋a ）·b ＝____． 演练巩固 反馈提高0l ．下列说法正确的是( )A ．－2是(－2)2的算术平方根B ．3是－9的算术平方根C ． 16的平方根是±4D ．27的立方根是±3 02．设3a =-，b ＝ －2，52c =-，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a<b<cB ．a<c<bC ． b<a<cD ．c<a<b 03．下列各组数中，互为相反数的是( ) A ．－9与81的平方根 B ．4与364- C ．4与364 D ．3与904．在实数1.414，2-，0.1•5•，5−16，π，3.1•4•，83125中无理数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ． 5个05．实数a 、b 在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A ．b>a B ．a b>C ． －a ＜bD ．－b>a06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有( ) A ． 1个 B ．2个 C ． 3个 D ．4个 07．设m 是9的平方根，n ＝()23．则m ，n 的关系是( )A. m ＝±nB.m ＝n C .m ＝－n D.m n≠08．（烟台）如图，数轴上 A 、B 两点表示的数分别为－1和3，点B 关于点A 的对称点C ，则点C 所表示的数为( )A ．－23-B ．－13-C ．－2 ＋3D ．l ＋309．点A 在数轴上和原点相距5个单位，点B 在数轴上和原点相距3个单位，且点B 在点A 左边，则A 、B 之间的距离为____．10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，12，13…，119，120．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数． 11．对于任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b ＝a ba b +-，如3※2＝3232+-＝5．那么12.※4＝____．12．（长沙中考题）已知a 、b 为两个连续整数，且a<7 <b ，则a ＋b ＝____．13．对实数a 、b ，定义运算“*”，如下a*b ＝()()22a b a b ab a b ⎧⎪⎨⎪⎩≥<，已知3*m ＝36，则实数m ＝____．14．设a 是大于1的实数．若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P ．点P 表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．已知整数x 、y 满足x ＋2y ＝50，求x 、y ．17．已知2a−1的平方根是±3，3a ＋b−1的算术平方根是4，求a ＋b ＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B 点恰好落在数轴上时，(1)求此时B 点所对的数；(2)求圆心O 移动的路程．19．若b 315a -153a -＋3l ，且a ＋11的算术平方根为m ，4b ＋1的立方根为n ，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．20．若x 、y 为实数，且（x−y ＋1）2533x y --22x y +值．培优升级 奥赛检测 01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x 的两个平方根分别是a ＋1与a−3，则a 值为( )A ． 2B ．－1C ． 1D ． 002．x 1x -2x -( )A ．0B ． 12C ．1D ． 2 0353x +−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a2＋3b ＋33，则a ＋b ＝____． 05．若a b-＝1，且3a＝4b，则在数轴上表示a 、b 两数对应点的距离为____．06．已知实数a 满足20092010a a a--=，则a− 20092＝_______．m 满足关系式3523199199x y m x y m x y x y +--+--+--试确定m 的值．08．（全国联赛）若a 、b 满足35a b＝7，S ＝23a b，求S 的取值范围．09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0<a<1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a]的值[其中[x]表示不超过x 的最大整数] ．10．（北京竞赛试题）已知实数a 、b 、x 、y 满足y＋21a =-，231x y b -=--，求22x ya b +++的值．第14讲 平面直角坐标系（一） 考点．方法．破译1．认识有序数对，认识平面直角坐标系．2．了解点与坐标的对应关系．3．会根据点的坐标特点，求图形的面积．经典．考题．赏析【例1】在坐标平面内描出下列各点的位置．A(2，1)，B(1，2)，C(－1，2)，D(－2，－1)，E(0，3)，F(－3，0)【解法指导】从点的坐标的意义去思考，在描点时要注意点的坐标的有序性．【变式题组】01．第三象限的点P(x，y)，满足|x|＝5,2x＋|y|＝1，则点P得坐标是_____________．02．在平面直角坐标系中，如果m.n＞０，那么（m, |n|）一定在____________象限.03．指出下列各点所在的象限或坐标轴．A(－3，0)，B(－2，－13)，C(2，12)，D(0,3)，E(π－3.14，3.14－π)【例2】若点P(a，b)在第四象限，则点Q(―a，b―1)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解法指导】∵P(a，b)在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴－a＜0, b－１＜0,故选C．【变式题组】01．若点G(a，2－a)是第二象限的点，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＜2 C．0＜a＜2 B．a＜0或a＞2 02．如果点P(3x－２，２－x)在第四象限，则x的取值范围是____________．03．若点P(x，y)满足xy＞0，则点P在第______________象限．04．已知点P(2a－8，2－a)是第三象限的整点，则该点的坐标为___________．【例３】已知A点与点B(－3，4)关于x轴对称，求点A关于y轴对称的点的坐标．【解法指导】关于x轴对称的点的坐标的特点：横坐标(x)相等，纵坐标(y)互为相反数，关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标(y)相等．【变式题组】01．P(－1，3)关于x轴对称的点的坐标为____________．02．P(3，－2)关于y轴对称的点的坐标为____________．03．P(a，b)关于原点对称的点的坐标为____________．04．点A(－3，2m－１) 关于原点对称的点在第四象限，则m的取值范围是____________．05．如果点Ｍ(a＋b，ab)在第二象限内，那么点N(a，b) 关于y轴对称的点在第______象限．【例４】P(3，－4)，则点P到x轴的距离是____________．【解法指导】P(x，y)到x轴的距离是| y|，到y轴的距离是|x|．则P到轴的距离是|－4|＝4【变式题组】01．已知点P(3，5)，Q(6，－５)，则点P、Q到x 轴的距离分别是_________，__________．P到y轴的距离是点Q到y轴的距离的________倍．02．若x轴上的点Ｐ到y轴的距离是3，则P点的坐标是__________．03．如果点B(m＋1，3m－5) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求m的值．04．若点(5－a，a－3)在一、三象限的角平分线上，求a的值．05．已知两点A(－3，m)，B(n，4)，AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【例５】如图，平面直角坐标系中有A、B两点．(1)它们的坐标分别是___________，___________；(2)以A、B为相邻两个顶点的正方形的边长为_________；(3)求正方形的其他两个顶点C、D的坐标．【解法指导】平行x轴的直线上两点之间的距离是：两个点的横坐标的差得绝对值，平行y轴的直线上两点之间的距离是：两个点的纵坐标的差得绝对值．即：A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB∥x轴，则|AB|＝|x1－x2|；若AB∥y，则|AB|＝|y1。