第7章复数专题2 复数的四则运算常考题型专题练习——【含答案】

第七章 7.2 7.2.2A 级——基础过关练1．(2020年新余期末)复数z 满足z (1＋i)＝2＋5ii ，则复数z 的共轭复数的虚部为( )A ．72B ．－72iC ．－72D ．72i【答案】A 【解析】∵z (1＋i)＝2＋5i i ，∴z ＝2＋5i i (1＋i )＝32－72i.∴z ＝32＋72i ，其虚部为72.故选A ．2．(2020年南阳期末)设复数z ＝(1＋i )21－2i (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A ．－45B ．－23C ．25D ．43【答案】C 【解析】∵复数z ＝(1＋i )21－2i ＝2i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2i －45＝－45＋25i ，∴复数z 的虚部为25.故选C ． 3．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－iD ．－1＋i【答案】A 【解析】由题意z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i.故选A ． 4．(2019年新课标Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i【答案】D 【解析】由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D ．5．(2019年遂宁模拟)已知复数z ＝a ＋i(a ∈R )，若z ＋z ＝4，则复数z 的共轭复数z ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i【答案】B 【解析】∵z ＝a ＋i ，∴z ＋z ＝2a ＝4，得a ＝2.∴复数z 的共轭复数z ＝2－i.故选B ．6．(2020年汉中月考)设z ＝3－4i4＋3i，f (x )＝x 2－x ＋1，则f (z )＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．1＋i【答案】A 【解析】∵z ＝3－4i 4＋3i ＝(3－4i )(4－3i )(4＋3i )(4－3i )＝－25i25＝－i ，且f (x )＝x 2－x ＋1，∴f (z )＝(－i)2－(－i)＋1＝i.故选A ．7．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i2－i ，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.【答案】1 【解析】依题意，得z ＝(1＋2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝i ，所以z ＝－i.所以z ·z ＝i·(－i)＝18．(2020年浙江期中)已知复数z 满足(i －1)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为________，模|z |＝________.【答案】－32102 【解析】由(i －1)z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i －1＝(1＋2i )(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝12－32i ，∴复数z 的虚部为－32，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝102. 9．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).解：(1)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (2－i)(3＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i (7－i)＝3－72＋73＋12i. (2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i ＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级——能力提升练10．(2020年德阳模拟)已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，z ＝a ＋i ，zz ＋b ＝i ，则b a ＝( )A ．1B ．－1C ．12D ．2【答案】C 【解析】由z ＝a ＋i ，z z ＋b＝i ，得a ＋i a ＋b ＋i＝i ，∴a ＋i ＝－1＋(a ＋b )i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ＋b ＝1，即a ＝－1，b ＝2.∴b a ＝2－1＝12.故选C ．11．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z ＝a1－2i ＋b i(a ，b ∈R )为“理想复数”，则( )A ．a －5b ＝0B ．3a －5b ＝0C ．a ＋5b ＝0D ．3a ＋5b ＝0【答案】D 【解析】因为z ＝a1－2i ＋b i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋b i ＝a 5＋⎝⎛⎭⎫2a 5＋b i.由题意知，a5＝－2a5－b ，则3a ＋5b ＝0. 12．(多选)设z 是复数，则下列命题中是真命题的是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0【答案】ABD 【解析】设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，z 2＝a 2－b 2＋2ab i. 对于A ，z 2≥0，则b ＝0，所以z 是实数，是真命题； 对于B ，z 2＜0，则a ＝0且b ≠0⇒z 是虚数，是真命题； 对于C ，z 是虚数，则b ≠0，所以z 2≥0是假命题；对于D ，z 是纯虚数，则a ＝0，b ≠0，所以z 2＜0是真命题．故选ABD ．13．设复数z ＝52－i (其中i 为虚数单位)，则复数z 的实部为________，模为________．【答案】25 【解析】由z ＝52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ，得复数z 的实部为2，|z |＝22＋12＝ 5.14．(2019年青岛高二检测)若复数z 满足(3－4i)z ＝4＋3i ，则|z |＝________.【答案】1 【解析】因为(3－4i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 3－4i ＝(4＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝25i25＝i ，则|z |＝1.15．(2020年沈阳月考)是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i(a ∈R )？如果存在，求出z 的值；如果不存在，请说明理由．解：设z ＝c ＋b i(c ，b ∈R )，则(c ＋b i)(c －b i)＋2i(c －b i)＝3＋a i ，c 2＋b 2＋2b ＋2c i ＝3＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2＋b 2＋2b ＝3，2c ＝a .∴⎩⎪⎨⎪⎧(b ＋1)2＝4－c 2，c ＝a 2.∴(b ＋1)2＝4－a 24.当4－a 24≥0，即－4≤a ≤4时，b ＝－2±16－a 22，当4－a 24＜0，即a ＞4或a ＜－4时，z不存在，∴当a ∈[－4,4]时，存在复数z ＝a 2＋－2±16－a22i ，使z ·z ＋2i z ＝3＋a i.16．已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．解：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，且b ≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. (2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－ba ＋1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12，b ≠0，所以ω为纯虚数． 17．已知z 为虚数，z ＋9z －2为实数．(1)若z －2为纯虚数，求虚数z ； (2)求|z －4|的取值范围．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，则z －2＝x －2＋y i ，由z －2为纯虚数，得x ＝2， 所以z ＝2＋y i ，则z ＋9z －2＝2＋y i ＋9y i ＝2＋⎝⎛⎭⎫y －9y i ∈R ，得y －9y ＝0，y ＝±3. 所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i.(2)因为z ＋9z －2＝x ＋y i ＋9x ＋y i －2＝x ＋9(x －2)(x －2)2＋y 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤y －9y (x －2)2＋y 2i ∈R ， 所以y －9y(x －2)2＋y 2＝0.因为y ≠0，所以(x －2)2＋y 2＝9. 由(x －2)2<9，得x ∈(－1,5)， 所以|z －4|＝|x ＋y i －4|＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋9－(x －2)2＝21－4x ∈(1,5)．C 级——探索创新练18．已知复数z 1满足(1－i)z 1＝1＋3i ，z 2＝a －i(a ∈R )，其中i 为虚数单位． (1)求z 1；(2)若z 1是关于x 的实系数方程x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值； (3)若|z 1－z 2|＞ 2 |z 1|，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为复数z 1满足(1－i)z 1＝1＋3i ， 所以z 1＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋2i.(2)z 1是关于x 的实系数方程x 2－px ＋q ＝0的一个根，实系数方程虚根成对， 由韦达定理可知p ＝－1＋2i ＋(－1－2i)＝－2，q ＝(－1＋2i)(－1－2i)＝1＋4＝5， 所以p ＝－2，q ＝5.(3)z 1－z 2＝(－1＋2i)－(a ＋i)＝－1－a ＋i ， 由|z 1－z 2|＞2|z 1|，得(－1－a)2＋1＞10，∴a＜－4或a＞2.故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数典型例题单选题1、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解. 根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.2、已知a,b ∈R ，a1+i +b1−i =1，则a +2b =（ ）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3 故选：A3、在复平面内，复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数，则（ ）A ．a =0或a =2B ．a =0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2答案：B分析：利用复数是纯虚数的条件，即：实部为零且虚部不为零求解参数的值.复数z =(a 2−2a )+(a 2−a −2)i (a ∈R )是纯虚数,所以{a 2−2a =0a 2−a −2≠0，解得：a =0， 故选：B.4、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解.z =2−i 20202+i 2021=12+i =2−i (2+i)(2−i)=2−i 5. 所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.5、已知z =(m +3)+(m −1)i (m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，则复数z 的模的取值范围是（ ）A ．[2√2,4)B ．[2,4]C ．(2√2,4)D ．(2,4)答案：A分析：根据z =(m +3)+(m −1)i (m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，求出m 的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.解：因为z =(m +3)+(m −1)i (m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，所以{m +3>0m −1<0，解得−3<m <1， |z |=√(m +3)2+(m −1)2=√2m 2+4m +10=√2(m +1)2+8，因为−3<m <1，所以(m +1)2∈[0,2)，则2(m +1)2+8∈[2√2,4)，所以复数z 的模的取值范围是[2√2,4).故选：A.6、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例z 1=1，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ， 满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取z 1=1，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi |z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.7、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b ) ，解得a =1，b =−23，故选：D.8、已知z =a −2+(1+2a)i 的实部与虚部相等，则实数a =（ ）A ．2B ．−2C ．3D ．−3答案：D分析：由题可得a −2=1+2a ，即得.由题可知a −2=1+2a ，解得a =−3.故选：D ．9、设复数z 满足z ⋅i =−1+i ，则|z |=（ ）A ．1B ．√2C ．√5D ．√10答案：B分析：利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.解析因为z =−1+i i =(−1+i )⋅i i ⋅i =−i −1−1=1+i ，所以z =1−i ，|z |=√2.故选：B10、在复平面内，点A(cosθ,sinθ),B(sin(−θ),cos(−θ))分别对应复数z 1,z 2，则z 2z 1=（）A ．−1B ．1C ．−iD ．i答案：D分析：根据复数几何意义，求得z 1,z 2，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.由点A(cosθ,sinθ)和B(sin(−θ),cos(−θ))分别对应复数z1,z2，可得z1=cosθ+i sinθ，z2=sin(−θ)+i cos(−θ)=−sinθ+i cosθ，所以z2z1=−sinθ+i cosθcosθ+i sinθ=(−sinθ+i cosθ)(cosθ−i sinθ)(cosθ+i sinθ)(cosθ−i sinθ)=(sin2θ+cos2θ)icos2θ+sin2θ=i.故选：D.填空题11、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1−i（i为虚数单位），则|z12+z2|=______．答案：√10分析：首先根据复数的几何意义得到z2=−1−i，再求|z12+z2|即可.因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1−i，所以z2=−1−i.所以|z12+z2|=|(1−i)2+(−1−i)|=|−1−3i|=√10.所以答案是：√1012、若|z1|=|z2|=400，且|z1+z2|=400√3，则|z1−z2|=___________.答案：400分析：根据|z|2=zz̅转化|z1+z2|=400√3，可求得z1z2̅+z2z1̅=4002，同理转化|z1−z2|即可求值.|z1+z2|2=(z1+z2)(z1̅+z2̅)=|z1|2+|z2|2+z1z2̅+z2z1̅=3×4002，又|z1|=|z2|=400，∴z1z2̅+z2z1̅=4002，而|z1−z2|2=(z1−z2)(z1̅−z2̅)=|z1|2+|z2|2−z1z2̅−z2z1̅，∴|z1−z2|2=4002，则|z1−z2|=400.所以答案是：40013、若复数z=a(1+i)+i2013为实数，则实数a=________．答案：−1分析：根据复数代数形式的乘方及加法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值.解：因为z=a+a i+i4×503+1=a+(a+1)i为实数，所以a+1=0，即a=−1．所以答案是：−114、设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__________答案：－1＋10i分析：先利用复数加法运算计算z1＋z2，根据题意利用复数相等的定义列方程即得参数x,y，再写出z1，z2，计算z1－z2即可.∵z1＋z2＝5－6i，∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，即(x+3)+(2−y)i=5−6i，∴{x+3=52−y=−6即{x=2y=8，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 所以答案是：－1＋10i.15、计算z=12(−1+√3i)9√3+i)100(1+2√3i)100=_______.答案：-511解析：利用复数的运算公式，化简求值.原式=1212×(−12+√32i)√3)100[−i×(i−2√3)]100=36(−12+√32i)+1(−i)100=−29+1=−511.所以答案是：−511小提示：思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意(−12+√32i)3=1，(1+i)2=2i，以及(1+i)12=[(1+i)2]6，等公式化简求值.解答题16、已知复数z=(m−1)+(2m+1)i(m∈R)（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|z|的最小值答案：（1）1；（2）m ∈(−12,1)，|z|min =3√55. 解析：（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．解：（1）∵z =(m −1)+(2m +1)i(m ∈R)为纯虚数，∴m −1=0且2m +1≠0∴m =1（2）z 在复平面内的对应点为(m −1,2m +1))由题意：{m −1<02m +1>0，∴ −12<m <1． 即实数m 的取值范围是(−12,1)．而|z|=√(m −1)2+(2m +1)2=√5m 2+2m +2=√5(m +15)2+95，当m =−15∈(−12,1)时，|z|min =√95=3√55．17、已知z =1+i ，i 为虚数单位.（1）若ω=z 2+3z̅−4，求|ω|；（2）若z 2+az+bz 2−z+1=1−i ，求实数a ，b 的值.答案：（1）|ω|=√2；（2）{a =−1b =2 解析：（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求|ω|；（2）根据z 2+az+bz 2−z+1=1−i ，得到(a +b)+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.（1）已知z =1+i ，∴z̅=1−i ，∴ω=(1+i)2+3(1−i)−4=−1−i ，∴|ω|=√2.（2）∵z 2+az+bz 2−z+1=(a+b)+(a+2)i i =1−i ，∴(a +b)+(a +2)i =1+i ，∴{a +b =1a +2=1，解得{a =−1b =2. 小提示：此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.18、已知复数z =(1+ai )(1+i )+2+4i (a ∈R ).（1）若z 在复平面中所对应的点在直线x −y =0上，求a 的值；（2）求|z −1|的取值范围.答案：（1）a =−1；（2）[7√22,+∞).解析：（1）化简z ，得z 在复平面中所对应的点的坐标，代入直线x −y =0计算；（2）代入模长公式表示出|z −1|，再利用二次函数的性质求解最值即可.（1）化简得z =(1+ai )(1+i )+2+4i =(3−a )+(a +5)i ，所以z 在复平面中所对应的点的坐标为(3−a,a +5)，在直线x −y =0上，所以3−a −(a +5)=0，得a =−1.（2）|z −1|=|(2−a)+(a +5)i |=√(2−a)2+(a +5)2=√2a 2+6a +29，因为a ∈R ，且2a 2+6a +29≥492，所以|z −1|=√2a 2+6a +29≥7√22，所以|z −1|的取值范围为[7√22,+∞). 19、复数z =(1+i )m 2+(5−2i )m +(6−15i )．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线x +y +7=0上．答案：（1）m =5或−3；（2）m =−2；（3）m =12或−2分析：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m 即可得出．（2）由{m 2+5m +6=0m 2−2m −15≠0 ，解得m 即可得出． （3）由(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)+7=0．解出即可得出．解：复数z=(1+i)m2+(5−2i)m+(6−15i)=(m2+5m+6)+(m2−2m−15)i．（1）由m2−2m−15=0，解得m=5或−3．∴m=5或−3时，复数z为实数．（2）由{m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m=−2．∴m=−2时，复数z为纯虚数．（3）由(m2+5m+6)+(m2−2m−15)+7=0．化为：2m2+3m−2=0，解得m=12或−2．∴m=12或−2，z对应点在直线x+y+7=0上．小提示：本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数专项训练题单选题1、2−i1+2i=（）A．1B．−1C．iD．−i答案：D分析：根据复数除法法则进行计算.2−i 1+2i =(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−5i5=−i故选：D小提示：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.2、在复平面内，复数z=1+i2−i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案：A分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+3i+i24−i2=1+3i5=15+35i，∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35)，在第四象限，故选：A．3、已知z=(m+3)+(m−1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（）A．[2√2,4)B．[2,4]C．(2√2,4)D．(2,4)答案：A分析：根据z=(m+3)+(m−1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.解：因为z =(m +3)+(m −1)i (m ∈R )在复平面内对应的点在第四象限，所以{m +3>0m −1<0，解得−3<m <1， |z |=√(m +3)2+(m −1)2=√2m 2+4m +10=√2(m +1)2+8，因为−3<m <1，所以(m +1)2∈[0,2)，则2(m +1)2+8∈[2√2,4)，所以复数z 的模的取值范围是[2√2,4).故选：A.4、在复平面内，O 为原点，向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1−2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为（ ）A ．−2−iB ．2+iC ．1+2iD ．−1+2i答案：D分析：根据复数的几何意义，由题中条件，先得出点A ，推出点B 的坐标，进而可得出结果.由题意可知，点A 的坐标为(−1,−2)，则点B 的坐标为(−1,2)，故向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−1+2i .故选：D.5、设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．(x +1)2+y 2=1B ．(x −1)2+y 2=1C ．x 2+(y −1)2=1D ．x 2+(y +1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．z =x +yi,z −i =x +(y −1)i, |z −i |=√x 2+(y −1)2=1,则x 2+(y −1)2=1．故选C ．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．6、已知复数z 满足(z −i )(2+i )=6−2i，则|z |=（ ）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.7、已知复数z=1+√2i（i为虚数单位），设z̅是z的共轭复数，则z̅的虚部是（）A．√2B．−√2C．√2i D．−√2i答案：B分析：先求出共轭复数，从而可求出其虚部由z=1+√2i，得z=1−√2i，所以z̅的虚部是−√2，故选：B8、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A. 多选题9、已知复数z 满足z(2−i )=i ( i为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z̅，则（ ）A ．|z|=35B ．z̅=−1+2i 5C ．复数z 的实部为−1D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限答案：BD分析：因为复数z 满足z(2−i )=i，利用复数的除法运算化简为z =−15+25i ，再逐项验证判断.因为复数z 满足z(2−i )=i，所以z =i 2−i =i(2+i)(2−i )(2+i)=−15+25i所以|z |=√(−15)2+(25)2=√55，故A 错误；z =−15−25i ，故B 正确； 复数z 的实部为−15 ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点(−15,25)在第二象限，故D 正确. 故选：BD小提示：本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.10、若复数z =√3−i ，则下列说法错误的是（ ）.A ．z 在复平面内对应的点位于第二象限B ．|z|=4C ．z 的共轭复数z =√3+iD ．z 2=4−2√3i答案：ABD分析：A 选项，直接判断出z 位于第四象限B 选项，直接求出|z|；C 选项，直接求出z ；D 选项，直接求出z 2.A选项，z在复平面内对应的点为(√3，−1)，位于第四象限.故A错误；B选项，|z|=√(√3)2+(−1)2=2.故B错误；C选项，z=√3+i.故C正确D选项，z2=(√3−i)2=2−2√3i.故D错误；故选：ABD.11、已知复数z=(1+2i)(2−i)，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为3iB．|z|=5C．z−4为纯虚数D．z在复平面上对应的点在第四象限答案：BCD解析：先根据复数的乘法运算计算出z，然后进行逐项判断即可.因为z=(1+2i)(2−i)=4+3i，则z的虚部为3，|z̅|=|z|=√16+9=5，z−4=3i为纯虚数，z对应的点(4,−3)在第四象限，故选：BCD．填空题12、△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中C为钝角，且c−b=2bcosA，那么cosA的范围是______.答案：(12,1)分析：先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到A=2B，再根据C为钝角，确定角A的范围，从而得出cosA 的范围.在△ABC中，根据正弦定理，可将条件c−b=2bcosA化为sinC−sinB=2sinBcosA.把sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB代入整理得，sin(A−B)=sinB.所以A−B=B或A−B+B=π，解得A=2B或A=π(舍去).又C为钝角，所以由{0<A<π2,0<B<π2,0<A+B<π2 A=2B ，解得0<A<π3.所以cosA的范围(12,1).所以答案是：(12,1).13、若方程x2+(k+3i)x+k+4=0有实数根，则实数k的取值是____________．答案：−4解析：将方程整理为：x2+kx+k+4+3ix=0，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出k的值. 因为x2+(k+3i)x+k+4=0有实数根，所以x2+kx+k+4+3ix=0有实根，所以x=0，所以k+4=0，所以k=−4，所以答案是：−4.。

新高考数学计算题型精练复数的四则运算1．34i i +的共轭复数为（）．A ．1i +B ．1i-C ．1i-+D ．1i--【答案】A【详解】因为34i i 1i +=-，则其共轭复数为1i +．故选:A 2．若22i i 1i z +=+，则z =（）A ．13i22+B ．13i22-C ．13i22-+D ．13i22--【答案】B 【详解】因为2i 1(2i 1)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z ---+====+++-，所以13i 22z =-．故选：B 3．已知i i z z +=，则z =（）A2B ．0C ．12D ．1【答案】A【详解】设i z a b =+，则()21i i i i a b a b b a ++=+=-+，故1a b b a =-⎧⎨+=⎩，解之得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2z ==.故选:A 4．已知i1i z=+（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则z z -=（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i【答案】D 【详解】由i 1i z=+，则()()()i 1i i 1i 1i 1i 1i 2z -+===++-，则1i 2z -=，所以i z z -=．故选：D ．5．543i=-（）A ．43i-+B ．43i +C ．43i55-+D ．43i55+【答案】D【详解】()()()()543i 543i 543i 43i 43i 43i 2555++===+--+.故选：D 6．若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A ．2BC ．3D ．5【答案】D【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴=.故选：D.7．若a 为实数，且7i2i 3ia +=-+，则=a （）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【详解】由题意得，()()2i 3i 7i1iia -+--===-，故选：C ．8．2(1=（）A ．2+B ．2-C ．2-+D ．2--【答案】C【详解】22(113i 2+=++=-+；故选：C.9．已知复数3i2i 12iz +=++，则z =（）A ．1BC ．2D ．【答案】B【详解】因为()()3i 12i 3i2i 2i 1i 2i 1i 12i 5z +-+=+=+=-+=++，所以z =．故选:B10．()1i 1z -=，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i-【答案】B【详解】()1i 12z -=-= ，()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z ++∴====+--+，1i z ∴=-.故选：B.11．设11iz =+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．1D ．0【详解】由题意可得11i 11i 1i 222z -===-+，则11i 22z =+，所以1111i i i 2222z z ⎛⎫⎛⎫-=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A12．已知i 为虚数单位，复数13i2iz -=+，则z =（）A ．2BC D【答案】C 【详解】()()()()13i 2i 13i 17i 17i 2i 2i 2i 555z -----====--++-，则z =故选：C.13．已知i 为虚数单位，复数z满足(13i)i z =，则z =（）A ．i -B iC 1i2D 1i 2【答案】D【详解】依题意，2i 1i422z -===-，所以1i 22z =+.故选：D 14．若复数()43i i z =-，则z =（）A ．25B ．20C ．10D ．5【答案】D【详解】因为()43i i 34i z =-=+，所以5z ==，故选:D.15．设复数z 满足()1i 4z -=，则z =（）A ．B ．1C D ．2【答案】A【详解】由()1i 4z -=，得()()()41i 444i 22i 1i 1i 1i 2z ⨯++====+--⨯+，所以z ==故选：A.16．已知复数()()()1i 2i z a a =-+∈R 在复平面对应的点在实轴上，则=a （）A ．12B ．12-C ．2D ．-2【详解】依题意，()()()()1i 2i 22i z a a a =-+=++-，因为复数z 在复平面对应的点在实轴上，所以20a -=，解得2a =.故选：C.17．已知复数z 满足(1)(23i)32i z --=+，则z =（）A ．0B ．iC ．1i-+D ．1i+【答案】D【详解】∵(1)(23i)32i z --=+，∴()()()()32i 23i 32i 13i1111i 23i 23i 23i 49z +++=+==+=+--++，故选：D.18．若复数z 满足i 12i z ⋅=-，则z =（）A ．2i --B ．2i-+C ．2i+D ．2i-【答案】B【详解】由已知可得，12i 2i i z -==--，从而2i z =-+.故选：B.19．设i 为虚数单位，若复数z 满足3i i 1iz -=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【详解】由()()()()3i 1i 3i 42i2i i 1i 1i 1i 2z -+-+====+--+，则2i 1z =-，所以z 的虚部为2．故选：D ．20．已知复数z 满足(2i)24i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2【答案】C 【详解】()()()()24i 2i 24i 10i2i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，故虚部为2-.故选：C 21．已知i 12iz=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．2i -+B ．2i-C ．2i+D ．2i--【答案】C 【详解】因为i 12iz=-，则()i i 122i z =-=+.故选：C.22．已知复数z 满足()()1i 2i 2i z --=，则z 的虚部为（）A ．1-B ．i-C ．3D ．3i【答案】C【详解】因为()()()2i 1i 2i2i 2i i 12i 13i 1i 1i 1i z +=+=+=-+=-+--+，所以z 的虚部为3，故选：C.23．已知复数()i z a a =+∈R 满足5z z ⋅=，则a 的值为（）A B ．2C ．D ．2±【答案】D【详解】因为i z a =+，所以2(i)(i)15z z a a a ⋅=+-=+=，解得2a =±，故选：D 24．已知复数z 是方程2220x x +=-的一个根，则z =（）A ．1B ．2C D【答案】C【详解】因为方程2220x x +=-是实系数方程，且()224240∆=--⨯=-<，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即22i1i 2z ±==±，所以z ==故选：C 25．若复数()2iR 2ia z a -=∈+是纯虚数，则=a （）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】D【详解】由题意设i z b =（0b ≠），2ii 2ia zb -==+，即()2i i 2i 2i a b b b -=+=-+，则22a b b =-⎧⎨=-⎩，解得：1,1a b ==-.故选：D 26．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则复数z =（）A ．2BC ．D【答案】B【详解】因为()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ----====-++-，因此，z ==故选：B.27．已知复数1i 22z =+，则3z =（）A ．34B C ．1D 【答案】C【详解】法一：由复数乘法运算得231111i i i i =i 22222222z ⎫⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则31z =，法二：由1||12z ==，则31z =，故选：C 28．已知复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =___________．【答案】5【详解】由i 43i z ⋅=+得2243i 4i 3i 4i 334i i i 1z ++-====--，因为5z ==，所以5z z ==，故答案为：5．29．3ii+=______【答案】13i -【详解】()23i i3i 13i i i ++==-.故答案为：13i -30．复数z 满足26i z z +=-（i 是虚数单位），则z 的虚部为___________.【答案】-1【详解】令i z a b =+，则i z a b =-，所以()()22i i 3i=6i z z a b a b a b +=++-=+-，故z 的虚部为1-.故答案为：-1.31．设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i+【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i ii i i i 221111z -===+++-.故答案为：1i +.32．复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，则12z z +=________.【答案】3i -/-i+3【详解】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()12,1Z ，()21,2Z -，所以12i z =+，212i z =-，所以123i z z +=-，故答案为：3i -.33．若复数21iz =+（i 为虚数单位），则i z -=___________.【详解】()()()()21i 21i 21i 1i 1i 1i 2z --====-++-，所以i 12i z -=-==.故答案34．若复数z 满足(1i)12i z -=+（i 是虚数单位），则复数z =_____________．【答案】13i 22-+．【详解】由(1i)12i z -=+可得()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222z +++-+===--+--+.故答案为：13i 22-+.35．若()12i 1z +=，则()1i z +=______【答案】62i55-【详解】因为()12i 12z +===，所以()212i 224i 12i 145z --===++，故()()24i 22i 4i 4621i 1i i 5555z -+-++=⨯+==-.故答案为：62i 55-.36．若复数z 满足2136i z -=+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】23i-【详解】由2136i z -=+，得246i z =+，∴23i z =+，则23i z =-．故答案为：23i -．37．已知复数i 12i 2iz=-++，则z 的虚部为______．【答案】4-【详解】解：由题意得(12i)(2i)(43i)i34i i i iz -++-+===+⋅，则34i z =-，所以z 的虚部为－4，故答案为：-438．已知复数z 满足210z z ++=，则z z ⋅=_____________.【答案】1【详解】因为22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即2213i 242z ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12z =-或1i 22z =-+，若12z =-，则122z =-+，则111312244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=---=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若1i 22z =-+，则12z =-，则1113i 1222244z z ⎛⎫⎛⎫⋅=-+-=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.综上所述，1z z ⋅=.故答案为：1.39．已知复数z 满足()1i i z -=（i 为虚数单位），则z 的虚部为_____________．【答案】12/0.5【详解】由()1i i z -=得：()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+，z ∴的虚部为12.故答案为：12.40．在复平面内，复数z 所对应的点为(1,1)，则z z ⋅=___________．【答案】2【详解】由题意可知1i z =+，所以()()1i 1i 2z z ⋅=+-=，故答案为：241．已知复数z 满足()12i |43i |z +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为___________.【答案】12i+【详解】由()12i 43i 5z +=-==，得()()()()2512i 512i 512i 12i 12i 12i 14i z --====-++--，则复数z 的共轭复数为12i z =+；故答案为：12i +42．复数312i3i ++的值是_____________．【答案】17i 1010+【详解】解：312i 12i (12i)(3i)17i 17i 3i 3i 10101010+++++====++-．故答案为：17i 1010+.。