高中数学必修3北师大版 第一章§7 相关性 学案(Word版含答案)

[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题.知识点一“且”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p 且q.(2)命题p且q的真假判定(3)A与B的交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.知识点二“或”(1)定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作p 或q.(2)命题p或q的真假判定(3)A与B的并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.知识点三“非”(1)定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作綈p，读作非p.(2)命题綈p的真假判定(3)A在全集U中的补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.(4)命题“p且q”与“p或q”的否定命题：①綈(p且q)＝綈p或綈q；②綈(p或q)＝綈p且綈q.思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题“p或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除.解(1)是“p且q”形式.其中p：李明是男生；q：李明是高一学生.(2)是“非p”形式.其中p：方程2x2＋1＝0有实根.(3)是“p或q”形式.其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.题型二綈p命题例2写出下列命题的否定形式.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形.(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零.(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.反思与感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p且q”的否定是“綈p或綈q”等.跟踪训练2写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假，反之，由p 或q ，p 且q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假 B.p 且q 为真 C.p 或q 为假 D.p 假q 真答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数.则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(綈p 1)或p 2和q 4：p 1且(綈p 2)中，为真命题的是( ) A.q 1，q 3 B.q 2，q 3 C.q 1，q 4 D.q 2，q 4答案 C解析 p 1是真命题，则綈p 1为假命题；p 2是假命题，则綈p 2为真命题； ∴q 1：p 1或p 2是真命题，q 2：p 1且p 2是假命题， ∴q 3：(綈p 1)或p 2为假命题，q 4：p 1且(綈p 2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q为假，∴“p或q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集∁U p.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真.4.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.。

7.3 正切函数的诱导公式学习目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α，π±α(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)．知识点1 正切函数的诱导公式1．下列诱导公式中错误的是( ) A ．tan(π－α)＝－tan α B ．cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin αC ．sin(π＋α)＝－sin αD ．cos(π－α)＝－cos α 答案 B 2．tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α等于( )A ．－cot αB ．cot αC ．tan αD ．－tan α答案 A题型一 三角函数间关系的应用【例1】 已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3，y )，且tan α＝－43.(1)求sin α＋cos α的值；(2)求π－α＋π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α的值．解 (1)因为tan α＝y 3＝－43，所以y ＝－4，则r ＝5.∴sin α＝－45，cos α＝35，则sin α＋cos α＝－15.(2)原式＝sin α－2cos α－cos α－sin α＝tan α－2－1－tan α＝－43－2－1＋43＝－10313＝－10.规律方法 三角函数之间关系的应用利用三个三角函数之间的关系：tan α＝sin αcos α进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切．【训练1】 已知α为第二象限角，且tan α－1tan α＝154，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α的值．解 由tan α－1tan α＝154，得4tan 2α－15tan α－4＝0， 得tan α＝－14或tan α＝4.又α为第二象限的角， 所以tan α＝－14.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝35. 题型二 利用诱导公式求值 【例2】 求以下各式的值：(1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2)tan 225°＋tan 750°tan －30°－tan －45°.解 (1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45° ＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝＋＋＋－tan 30°＋tan 45°＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°＝1＋331－33＝2＋ 3. 规律方法 (1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值．【训练2】 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－316π的值为( ) A ．－33B ．0 C.233D ．－233(2)若f (x )＝tan x ，则f (600°)的值为( ) A.33B ．－33C. 3D ．－ 3解析 (1)tan 476π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π＋56π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π－π6＝tan 5π6－tan π6＝－33－33＝－233，故选D. (2)f (600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝ 3. 答案 (1)D (2)C方向1 化简【例3－1】 (1)化简：－αα－α＋α－＋α－α－；(2)若a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π，求a 2＋a ＋1的值．解 (1)－αα－α＋α－＋α－α－＝－αα－αtan α＋α－α＝－tan α－cot ααtan α－cot α－tanα＝tan α·cot α·tan αtan α·cot α·tan α＝1 (2)a ＝α＋π2π＋απ＋απ＋α3－α－π＝－cos α2αtan α·tan α－cos 3α＝－cos α·sin 2αsin αcos α·sin αcos α－cos 3α＝－cos 3αsin 2αsin 2α－cos 3α＝1，∴a 2＋a ＋1＝1＋1＋1＝3. 方向2 证明【例3－2】π－αos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－απ－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.证明 左边＝－α－sin α－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α－sinαsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝sin α－cos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 方向3 化简并求值【例3－3】 已知α是第三象限角，且f (α)＝－α－ππ－απ－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－α－π.(1)化简f (α);(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值;(3)若α＝－120°，求f (α)的值．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 解 (1)f (α)＝－α－ππ－απ－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－α－π＝sin α－cos α－tan αsin α－tan α＝－cos α.(2)因为tan(π－α)＝－2，所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α， 所以(2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＝－55，所以f (α)＝55. (3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－12，所以f (α)＝－cos α＝12.规律方法 1.三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 2．三角恒等式的证明策略在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法．课堂达标1．tan 300°＋sin 450°的值为( ) A ．1＋ 3 B ．1－ 3 C ．－1－ 3D ．－1＋ 3解析 t an 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°)＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 答案 B2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是( ) A ．α为锐角B ．α为不等于π2的任意角C ．α为任意角D ．α≠k π＋π2(k ∈Z )解析 由正切函数的定义可知α≠k π＋π2(k ∈Z )．答案 D3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－32. 答案 －324．tan π5＋tan 2π5＋tan 3π5＋tan 4π5的值为________．解析 原式＝tan π5＋tan 2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＝tan π5＋tan 2π5－tan 2π5－tan π5＝0.答案 05．已知角α的终边经过点P (4，－3)， (1)求sin α，cos α，tan α的值;(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α·π－αα＋π的值．解 (1)因为r ＝42＋－2＝5，所以sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ＋α·π－αα＋π＝cos α－sin α·－tan α－cos α＝－tan αsin α＝－－34－35＝－54. 课堂小结(1)正切函数的诱导公式在记忆时可简单记为“奇变偶不变，符号看象限”，即k ·π2±α中，如果k 为奇数，则正切变余切，至于符号取决于角k ·π2±α所在的象限．(2)在对三角式进行化简、求值、证明中，要遵循诱导公式先行的原则． 特别提醒 应用正切函数的诱导公式时，必须等式两边都有意义.基础过关1．tan 31π3的值为( )A.33B ．－33C. 3 D ．－ 3解析 tan 31π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案 C2．已知角α终边上有一点P (5n,4n )(n ≠0)，则tan(180°－α)的值是( ) A ．－45B ．－35C ．±35D ．±45解析 ∵角α终边上有一点P (5n,4n )， ∴tan α＝45，tan(180°－α)＝－tan α＝－45.答案 A3．已知tan(－80°)＝k ，那么tan 100°的值是( )A ．－kB ．kC.k1－k2D.－k 1－k2解析 tan(－80°)＝－tan 80°＝k ，则tan 80°＝－k . tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝k . 答案 B4．函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋2，且f (－3)＝5，则f (3)等于________． 解析 ∵f (－3)＝a sin(－6)＋b tan(－3)＋2＝5， ∴－a sin 6－b tan 3＝3，即a sin 6＋b tan 3＝－3. ∴f (3)＝a sin 6＋b tan 3＋2＝－3＋2＝－1. 答案 －1 5．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝________.解析 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33.答案 －336．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解 (1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4＝－sin 60°－22＝－3＋22. 7．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，试求π－απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－απ－απ－α的值．解 原式＝－sin αα－cot α－tan αcot α－cos α－tan α＝－sin α·tan αcos α＝－tan 2α.∵角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴tan α＝－33.∴原式＝－13. 能力提升8．已知tan(π－α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α的值是( )A.15 B.13 C.35D ．1解析 由tan(π－α)＝－12得tan α＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋cos α2cos α－sin α＝－sin α＋cos α2cos α－sin α＝－tan α＋12－tan α＝13.答案 B9．化简tan(27°－α)·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(139°－β)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析 原式＝tan[90°－(63°＋α)]·tan(49°－β)·tan(63°＋α)·tan(90°＋49°－β)＝cot(63°＋α)·tan(63°＋α)·tan(49°－β)·[－cot(49°－β)] ＝－1. 答案 B10．已知tan(π－x )＝13，则tan(x －3π)＝________.解析 由tan(π－x )＝13，知tan x ＝－13，故tan(x －3π)＝－tan(3π－x )＝－tan(π－x ) ＝tan x ＝－13.答案 －1311．已知cos(α＋β)＝－1，且tan α＝2，则tan β＝________. 解析 由cos(α＋β)＝－1，知α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z .∴tan β＝tan(2k π＋π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝－2. 答案 －2 12．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－32π⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)的值．解 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，由α是第三象限角，得sin α＝－35，则cos α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 2(π－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α·cos α·tan 2α＝cos α－sin αsin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－sin 2αcos 2α＝－916.11 13．(选做题)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＝a ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫15π7＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π7－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋22π7的值． 解 原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋8π7＋1＝a ＋3a ＋1.。

［核心必知］1．度量角的单位制（1)角度制规定周角的1360为1度的角，用度作为单位度量角的单位制叫角度制．(2）弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角,它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制．2．角度与弧度的互化（1）角度制与弧度制的互化（换算)180°＝π_rad;1°＝错误!rad＝0.017 45 rad；1 rad＝错误!＝57°18′＝57.30°(2)特殊角的度数与弧度数的对应表任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r,弧长为l，α为其圆心角，则［问题思考]1．半径不同的圆中，相同的圆心角所对的角的弧度数是否相同？提示：相同．在公式｜α|＝错误!中，角的弧度数的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．2．2°与2弧度的角是否表示同一个角？提示：不是同一个角.2°是角度制,2是弧度制,2 rad约为115°。

3．390°可以写成360°＋错误!吗?提示：不可以，在同一表达式中角度与弧度不能混用．讲一讲1．（1）把112°30′化为弧度；（2)－错误!rad化为度．［尝试解答］(1）∵1°＝错误!rad，∴112°30′＝112。

5°＝112.5×π180rad＝错误!rad.（2）∵1 rad＝错误!°，∴－错误!rad＝－错误!×错误!°＝－75°.1．将角度制化为弧度制,当角度制中含有“分”“秒"单位时，应先将它们统一转化为“度”,再利用1°＝错误!rad化为弧度便可．2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式,如无特殊要求，不必把π写成小数．练一练1．将下列角度与弧度互化．(1）20°；（2)错误!；（3）8 rad解:（1)20°＝20×错误!＝错误!，(2)错误!＝错误!×180°＝165°。

[学习目标] 1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p或q”“p且q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的綈p命题.知识点一且“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题.知识点二或“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题.知识点三非一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.知识点四含有逻辑联结词的命题的真假判断思考(1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？(2)命题的否定与否命题有什么区别？答案(1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有.(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论.题型一p且q命题及p或q命题例1分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”的形式，并判断它们的真假.(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：3是无理数，q：3是实数；(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等.解(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；∵p真，q假，∴p且q为假.p或q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；∵p真，q假，∴p或q为真.(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；∵p真，q真，∴p或q为真.(3)p且q：3是无理数且是实数；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：3是无理数或是实数；∵p真，q真，∴p或q为真.(4)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p且q为真.p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；∵p真，q真，∴p或q为真.反思与感悟(1)判断“p且q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断.(2)判断“p或q”形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定“p或q”形式命题为真，而“p与q”均为假命题时，命题“p或q”为假命题，可简记为：有真则真，全假为假.跟踪训练1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：(1)李明是男生且是高一学生.(2)方程2x2＋1＝0没有实数根.(3)12能被3或4整除. 解 (1)是“p 且q ”形式.其中p ：李明是男生；q ：李明是高一学生. (2)是“非p ”形式.其中p ：方程2x 2＋1＝0有实根.(3)是“p 或q ”形式.其中p ：12能被3整除；q ：12能被4整除. 题型二 綈p 命题例2 写出下列命题的否定形式. (1)面积相等的三角形都是全等三角形； (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 全为零； (3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形. (2)若m 2＋n 2＝0，则实数m 、n 不全为零. (3)若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.反思与感悟 綈p 是对命题p 的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p 的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p 且q ”的否定是“(綈p )或(綈q )”等.跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)p ：y ＝ sin x 是周期函数； (2)p ：3＜2；(3)p ：空集是集合A 的子集； (4)p ：5不是75的约数.解 (1) 綈p ：y ＝ sin x 不是周期函数.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (2) 綈p ：3≥2.命题p 是假命题，綈p 是真命题；(3) 綈p ：空集不是集合A 的子集.命题p 是真命题，綈p 是假命题； (4) 綈p ：5是75的约数.命题p 是假命题，綈p 是真命题. 题型三 p 或q 、p 且q 、綈p 命题的综合应用例3 已知命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，求实数a 的取值范围. 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a >－22－2a >0，，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧a >0Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0<a <4， 所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题，即p 真且q 假，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1].反思与感悟 由真值表可判断p 或q 、p 且q 、綈p 命题的真假，反之，由p 或q ，p 且q ，綈p 命题的真假也可判断p 、q 的真假情况.一般求满足p 假成立的参数范围，应先求p 真成立的参数的范围，再求其补集.跟踪训练3 已知命题p ：方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的实根；命题q ：方程4x 2＋2(a －4)x ＋1＝0无实根，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围. 解 ∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 与q 一真一假， 由a 2－4>0得a >2或a <－2. 由4(a －4)2－4×4<0得2<a <6.①若p 真q 假，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－2，a ≤2或a ≥6，∴a <－2或a ≥6；②若p 假q 真，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤2，2<a <6，通过分析可知不存在这样的a .综上，a <－2或a ≥6.分类讨论思想的应用例4 已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.分析 首先求出p ，q 为真时a 的取值范围，然后利用命题的实际真假列不等式组求解. 解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4.因为关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图像开口向上，且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16＜0，所以－2＜a ＜2. 又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，所以3－2a ＞1，即a ＜1. 又因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 一真一假.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜2，a ≥1，所以1≤a ＜2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a ＜1，所以a ≤－2.综上所述，实数a 的取值范围是1≤a ＜2或a ≤－2.解后反思 由p ，q 的真假，可以判断“p 或q ”“p 且q ”的真假；反之，由“p 或q ”“p 且q ”的真假，也能推断p ，q 的真假，如“p 且q ”为假，则包括“p 真q 假”“p 假q 真”“p 假q 假”三种情况.1.命题p ：“x >0”是“x 2>0”的必要不充分条件，命题q ：△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的充要条件，则( ) A.p 真q 假B.p 且q 为真C.p 或q 为假D.p 假q 真 答案 D解析 命题p 假，命题q 真. 2.给出下列命题： ①2>1或1>3；②方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0； ③25是6或5的倍数；④集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；②由于方程x 2－2x －4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x 2－2x －4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；④由于A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆A ∪B ，所以命题“集合A ∩B 是A 的子集，且是A ∪B 的子集”是真命题.3.已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数.则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(綈p 1)或p 2和q 4：p 1且(綈p 2)中，为真命题的是( ) A.q 1，q 3 B.q 2，q 3 C.q 1，q 4 D.q 2，q 4答案 C解析p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题，∴q3：(綈p1)或p2为假命题，q4：p1且(綈p2)为真命题.∴为真命题的是q1，q4.4.已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是()A.p假q真B.“p或q”为真C.“p且q”为真D.“綈p”为真答案 B解析由(x＋2)(x－3)<0得－2<x<3，∵1∈(－2,3)，∴p真.∵∅≠{0}，∴q假，∴“p或q”为真.5.若p是真命题，q是假命题，则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.綈p是真命题D.綈q是真命题答案 D解析根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确.1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.2.判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假.(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”，“p或q”的真假.p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少一个为真.3.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真.4.注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.。