两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.凸四边形中，其中为定点，为动点，满足.（1）写出与的关系式；（2）设的面积分别为和，求的最大值。

【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（2）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．（1）在⊿PAB中，由余弦定理得：3分同理在⊿PQB中∴∴ 6分（2） 8分∴当时，。

12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积；3.同角三角函数间的基本关系以及二次函数的性质.3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.（1）求B；（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.解：（1）解法一：因为，所以 2分由余弦定理得，整理得所以 4分又因为，所以. 6分解法二：因为，所以 2分由正弦定理得所以整理得因为，所以，所以 4分又因为，所以. 6分（2）8分因为，则， 10分所以，即在上取值范围是. 12分【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.4.（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．【答案】（1）（2）tanα=1或tanα=4【解析】（1）∵a2+b2+ab=c2，即a2+b2﹣c2=﹣ab，∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C为三角形的内角，则C=；（2）由题意==，∴（cosA﹣tanαsinA）（cosB﹣tanαsinB）=，即tan2αsinAsinB﹣tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2αsinAsinB﹣tanαsin（A+B）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan2α﹣tanα+=，即tan2α﹣5tanα+4=0，解得：tanα=1或tanα=4．5. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B6.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.7.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则s inA+s inB的最大值是（）A．1B．C．D．3【答案】C【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+<,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．9.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切10.已知sinα＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan2β＝________．【答案】－【解析】由sinα＝且α是第二象限角，得tanα＝－，∵(α＋β)－α＝β，∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝7.∴tan2β＝11.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝12.计算：(tan10°－)·sin40°.【答案】－1【解析】原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.13.已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β.【答案】β＝【解析】∵ 0＜β＜α＜，∴ 0＜α－β＜.又cos(α－β)＝，∴ sin(α－β)＝，∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.又0＜β＜，∴ β＝14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝15.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则f(x)＝，max依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.16.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.17.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.18.设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及三角形内角和关系，将原式化成，化简得，从而；（2）利用两角差的正切展开，将代入，接着利用均值不等式即可算出最大值.试题解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则；（2）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.【考点】1.正弦定理；2.两角差的正切；3.均值不等式.19.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．20.的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.21.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.22.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性23.定义运算，则函数的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【答案】C【解析】根据新定义运算得：，所以最小正周期.【考点】1、创新意识；2、三角函数变换；3、三角函数的周期.24.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.25.若，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.26.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.27.化简计算： _.【答案】【解析】本试题主要是考查了三角函数中两角和的正切公式的运用。

5 10 【解析】∵ A 、 B 为锐角， sin A ,sin B 5 10 2 5 3 10 ∴ cos A ， cos B ． 5 10 cos( A B) cos A cos B sin A sin B ．
2 5 3 10 5 10 2 ． 5 10 5 10 2 ∵ 0 A B ，∴ A B ． 4

∴ 3 3 tan 40 tan 20 tan 40 tan 20 ，

∴ tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3 ．
0 0 0 0
【变式】
1 tan15 的值为（ ） 1 tan15 3 3 1 A． B． C． 3 2 2
典例剖析
考点1 公式的应用
【例 1】求下列各式的值. （1） sin163 cos 223 sin 253 cos313 ；

（2） tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 ．

【解析】 （1）原式 sin(90 73 ) cos(2 90 43 )
1 10 【变式】已知 、 为锐角，且 tan ,sin ．求 2 的值． 7 10 10 【解析】∵ 为锐角， sin ， 10 1 3 10 ∴ cos 1 sin 2 ， tan ， 3 10 2 2 tan 3 3 ∴ tan 2 ， 2 1 tan 1 1 4 9 1 3 tan tan 2 ∴ tan( 2 ) 7 4 1． 1 tan tan 2 1 1 3 7 4 10 0 0 2 ∵ 为锐角， sin ，∴ ，∴ ， 4 2 10 ∵ 为锐角，∴ 0 2 ，∴ 2 ． 4

特别地，对于余弦:cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-
2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为
“降幂公式”，在考题中常有体现.
2.弦切互化公式（万能公式）
对于弦切互化
sin2
1
2tan tan2
，
cos2
1 1
tan2 tan2
有时也起到
简化解题过程的作用.
又sin2α+cos2α=1得 sin2 又4 .∵α∈(π, ), 3
5
2
sin 2 5 ,cos 5 ,
5
5
sin( ) sincos cossin
4
4
4
2 (sin cos) 2
2 ( 2 5 5 ) 3 10 .
2 55
10
(2)由（1）可得tanα=2，
式将常数化掉.
2020年4月11日星期六
王山喜--和差倍角三角函数习题课
12
【自主解答】(1)原式
(2sin cos 2cos2 )(sin cos )
22
22 2
4cos2
2
cos (sin2 cos2 ) cos gcos
2 2
2 2 .
cos
cos
2
2
因为0<θ<π，所以 0 ，
5
2.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan2α=（ ）
(A) 1
8
(B) 1 (C) 4
8
7
(D) 4
7
【解析】选D.tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
变角与凑角！
tan( ) tan( )

两角和与差及二倍角的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）cos （α＋β)＝____________________________________________,cos （α－β)＝_______________________________________________；（2）sin(α＋β）＝_____________________________________________，sin(α－β)＝_______________________________________________；(3）tan(α＋β)＝______________________________________________，tan(α－β）＝_________________________________________________。

(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π2，k ∈Z)其变形为:tan α＋tan β＝______________________________________，tan α－tan β＝_________________________________________________.2．二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）sin2α＝____________________________________________________；（2）cos2α＝________________________＝________－1＝1－_________；(3)tan2α＝_______________________ （α≠错误!＋错误!且α≠kπ＋错误!，k ∈Z ）．3。

公式的逆向变换及有关变形(1) sin αcos α＝___________________（2)降幂公式:sin 2α＝________________,cos 2α＝______________________；升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________________；变形：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝_____________________________例题讲解1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值.2、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值。