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概率论练习二答案

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22. 一工厂生产的电子管的寿命X（小时）服 从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要 求P (120 ≤ X ≤200)=0.8，允许σ最大为多少？ P (120 ≤ X≤200)
200 160 120 160 40 40 40 40 1 0.80
第2章 随机变量及其分布
40 0.9
40 40 1.281 σ 31.25 σ 1.281
计算机科学与技术学院 16
24.设X ~ N (3, 4)，求常数c，使 P( X c) P( X c)
P( X c) P( X c) 1

n
n!
e p n
n
n 1
(n 1)!
n n e Cn p q 1 n
( p ) (1 q ) ( p ) p e e n! n!
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 19
28.设 X 的分布列为 X 2 1 P 0.1 0.2
(10.05 0.12) 10.05 (10.05 0.12) 10.05 1 0.06 0.06
=1－{Φ (2)－ Φ (－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 15
1, 0 x 1 fX ( x) 其它 0,
代入 fY ( y ) 的表达式中
y/2 ) y / 2 d (e y/2 1 e ( ) , 0 f e X fY ( y) dy 0, 其它 1 y/2 e , y0 得 fY ( y) 2 其它 0,
5.设每次试验成功的概率为3 4 , 求首次成功 所需试验次数X的分布律及X取偶数的概率。
几何分布
P( X k ) p(1 p) ,
k 1
k 1, 2 ,
3 1 k 1 P( X k ) ( ) , 4 4

k 1, 2 ,
3 14 1 P( X取偶数) P( X 2n) 1 4 1 5 n 1 16
概率统计第二章习题课
习题二
1.是否分布列？
X
-1 -0.5 0 0.6
0 0.9 1 0.1
1 0.6
否
P
X
2 0.15
计算机科学与技术学院 2
P
第2章 随机变量及其分布
2. 袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球， 用X表示取出的3只球中的最大号码数，求X的分布列。
P( X 3) P(一球为3号, 两球为1,2号)
x h( y) e y / 2
由前述定理得
注意取 绝对值
y/2 ) y / 2 d (e y/2 f e 1 e ( ) , 0 X fY ( y) dy 0, 其它
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 21
已知X在(0,1)上服从均匀分布，
P( X n k ) P( X n k | X n) P( X n) q n k 1 p p q k 1
k n 1
q k 1 p P( X k )
第2章 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院 18
27 * .若每只母鸡产 k 个蛋的概率服从参数为的泊松 分布, 而每个蛋能孵化成小鸡的概率为 p . 试证 : 每只 母鸡有 n 只小鸡的概率服从参数为 p 的松泊分布. 设X 蛋数 , Y 小鸡数 . P(Y n) P ( X n) P (Y n | X n) P( X n 1) P(Y n | X n 1)
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 6
7.已知零件的次品率为0.1，现从中任取20个， 求:(1)恰有3个次品的概率； 令X 表示次品数, 则 X ~ B(20,0.1) 3 3 17 P( X 3) C20 (0.1) (0.9) (2)至少有3个次品的概率；
P( X 3) P( X k ) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
2
0 0.25
1 0.25
2 0.2
试求Y 2 X 1和Y X 的分布列.
Y 2 X 1 3 1 P
1
3
5
0.1 0.2 0.25
0.25 0.2
Y X2 P
第2章 随机变量及其分布
0 0.25
1 0.45
4 0 .3
计算机科学与技术学院 20
29.设随机变量X在[0, 1]上服从均匀分布， 求Y=-2lnX的概率密度. 解 在区间(0,1)上,函数lnx<0, 2 故 y =-2lnx >0, y 0 x 于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数
16 . 已知随机变量 X 的分布函数为 1 e x , x0 F ( x) x0 0, 求 (1) X 的分布密度 f ( x ); ( 2) P ( X 4) , P ( X 1).
e x , f ( x) F ' ( x) 0, x0 x0
P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）
第2章 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院 11
13. 设随机变量 X 的分布密度为 cx, f ( x) 0, 求： (1)c； 0 x 1 其它



f ( x)dx 1 得 c 2
(2) P (0.3 X 0.7)； (3)a, P ( X a ) P ( X a );
2
(2) Y | X | 的概率密度函数.
x h( y) ( y 1)/ 2
fY ( y) f X [h( y)] h( y)
至少要配备4名维修工人
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 10
12.电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4 的泊松分布，求 （1）每分钟恰有8次呼唤的概率; （2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。
48 4 P( X 8) e 0.029770 8! （查λ= 4泊松分布表） P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9) = 0.051134－0.021363=0.029771
2 1 C2 3 C5
1 10
2 1 C3 3 C5
P( X 4) P(一球为4号, 再在1,2,3中任取两球)

3 10 6 10
P( X 5) P(一球为5号, 再在1,2,3,4中任取两球)
2 1 C4 3 C5
第2章 随机变量及其分布
3 4 5 1 3 6 P 10 10 10
X
计算机科学与技术学院
3
3.设在15只零件中有3只是次品，在其中 不放回取4次，每次任取一只，以 X 表示 取出次品的只数，求 X 的分布律. 超几何分布
4 k C3k C12 P( X k ) , k 0,1,2,3. 4 C15
第2章 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
4
4.设随机变量X的分布律为：
1 P( X c) P( X c) 2
1 P( X ) 2
第2章 随机变量及其分布
c3
计算机科学与技术学院 17
26*.若随机变量X服从几何分布，证：
P( X n k | X n) P( X k )
P( X k)(1 p) p
k 1
k1,2,
k 3 20
(3)次品数的最可能值.
k = [( n + 1)p ]=2
第2章 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
7
第8，9，10，11都是二项分布 的题目，其中后两题可以使用泊松 近似简化计算，我们重点讲解第10 题。
第2章 随机变量及其分布
计算机科学与技术学院
8
10.设同类型设备100台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 一台设 备发生故障可由一个人维修. 问至少要配备 多少维修工人，才能保证当设备发生故障时 不能及时维修的概率小于0.01? 解 设需要配备 N 个维修工人, 设 X 为同时发生故障的设备台数， 则 X ~ B( 100, 0.01) 泊松近似
P( X N )
第2章 随机变量及其分布
k N 1

100
k C1计算机科学与技术学院 9
100 0.01 1
P( X N )
k N 1


1 0.01 e k!
1
k
查附表3得 N=4
N+1=5
0
第2章 随机变量及其分布
x
当 x 1时, F ( x ) 1
计算机科学与技术学院 12
15. 随机变量 X 的密度函数为 c , f ( x) 1 x 2 0, 1 求c及P (| X | ) . 2 因为 f ( x)dx 1, 故

x 1 其他
即Y服从参数为1/2的指数分布.
第2章 随机变量及其分布 计算机科学与技术学院 22
30.设随机变量X在[0, 6]上服从均匀分布， 求Y=|X -3|的概率密度.
解 FY ( y ) P(| X 3 | y ) P(3 y X y 3) 1 y dx ,(0 y 3) 3 y 6 3 FY ( y ) 0,( y 0);
a (1) P( X k ) , k 1, 2, , N N a (2) P( X k ) k , k 1, 2, , 2

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概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。

概率论与数理统计答案 第二章1-2节

概率论与数理统计答案 第二章1-2节

第二章 随机变量及其分布
关键词： 随机变量 离散型随机变量、分布律 连续型随机变量、概率密度 概率分布函数 重伯努利实验、二项分布、泊松分布 均匀分布、正态分布、指数分布 随机变量的函数的分布
1
§1 随机变量
定义
2 3
例1: 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现 H的总次数 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间 S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对 应, 即有
1) P { X = k} = C3k p k (1 − p )3− k , k = 0,1, 2,3 (
( 2)
P { X = 2} = C32 p 2 (1 − p)
21
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为 e− λ λ k
P { X = k} = k! ， = 0,1, 2, ⋅⋅⋅, λ > 0 k
互不影响
例如： 1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果： 正面，反面， P (出现正面 ) = 1 2 2.将一颗骰子抛n次，设A={得到1点}，则每次试验 只有两个结果：A , A , P ( A ) = 1 6
12
定义随机变量X表示n重伯努利试验中事件A发生的次 数, 我们来求它的分布律. X所有可能取的值为0,1,2,...,n. 由于各次试验是相互独立的, 因此事件A在指定的 k(0≤k≤n)次试验中发生, 在其它n−k次试验中A不发生 的概率为
13
设A在n重伯努利试验中发生X次，则
k P பைடு நூலகம் X = k} = Cn p k (1 − p ) n − k ， = 0，⋅⋅⋅，n k 1，
⎛n⎞ k Cn = ⎜ ⎟ 表示n中 ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ 任选k的组合数目
《概率论与数理统计》课程练习计算题 2

《概率论与数理统计》课程练习计算题 2

三、解答题１.设对于事件A 、B C 、有=)(A P 4/1)()(==C P B P ，0)()(==BC P AB P ,8/1)(=AC P ,求A 、C B 、至少出现一个的概率。

解：由于，AB ABC ⊂从而由性质4知,0)()(=≤AB P ABC P ，又由概率定义知0)(≥ABC P ,所以0)(=ABC P ，从而由概率的加法公式得)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=8581341=-⨯= ２.设有10件产品,其中有３件次品,从中任意抽取５件，问其中恰有2件次品的概率是多少?解：设A 表示:“任意抽取的5件中恰有2件次品”。

则510)(C n =Ω。

５件产品中恰有2件次品的取法共有23C 37C 种，即23)(C A n =37C 。

于是所求概率为P A n A n ()()/()==Ω23C 37C /84/35510=C3．一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个(有放回)。

求:(1）第二次取出的是次品的概率；（2)两次都取到正品的概率;（3）第一次取到正品,第二次取到次品的概率。

解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”（i =１,2)，则（1）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P 611221221221210=⨯+⨯= (2)两次都取到正品的概率为 )(21A A P )|()(121A A P A P =362512101210=⨯=(3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为)(21A A P 3651221210=⨯= 4.一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次，每次取一个（不放回）。

求：(1）至少取到一个正品的概率；（2）第二次取到次品的概率;(3）恰有一次取到次品的概率。

解：设i A 表示:“第i 次取出的是正品”(i =1，2）,则(1）至少取到一个正品的概率)(121A A P -)|()(1121A A P A P -=66651111221=⨯-=(２）第二次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=611111221121210=⨯+⨯=（３)恰有一次取到次品的概率为)(2121A A A A P )|()()|()(121121A A P A P A A P A P +=331011101221121210=⨯+⨯=5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件,求：(1)两件都是正品的概率；(2）恰有一件次品的概率；(3）至少取到一件次品的概率。

《概率论与数理统计》习题及答案

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。