长安大学：自动控制原理采样控制系统 2第八章

式中： Z ----定义在Z平面上的一个复变量，称为Z变换子；
Ts ----采样周期； S---拉氏变换算子。
F (z) F *(s) f (kTs )zk k 0
上式收敛时，被定义为采样函数 f *(t) 的Z变换。即
Z f *(t) F (z) f (kTs )zk
k 0
注意： 1、上面三式均为采样函数 f *(t) 的拉氏变换式； 2、 F(z) 是 f *(t) 的Z变换式；
采样系统中既有离散信号，又有连续信号。 采样开关接通时刻，系统处 于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
2、 计算机控制系统
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号， 即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输 出是连续信号， 故需要A/D和D/A实现两种信号的转换。
3、 F(z) 只表征连续函数 f (t)
在采样时刻的信号特性， 在采样时刻之间的特性，不能反映。
(2) Z变换方法 Z变换方法多种，主要的有
1) 级数求和法。以例说明
例 求单位价跃函数1（t）的Z变换.
解：因为
Z[1*(t)] Z[1(t)] 1(nT )Z n 1 Z 1 Z 2 ...... Z n ...... n0
f * (t) f (t)T (t) f (kTs ) (t kTs ) k 0
对上式两边取拉氏变换
f * (t)
F * (s) L f (kTs ) (t kTs ) f (kTs )ekTss
k 0
k0
可看出，F * (s) 是以复变量s表示的函数。引入一新变量z
Z eTss
瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间 内的值均为常数，其导数为0，故称为零阶保持器。

自动控制原理习 题分析第八章8-1 题分析第八章
∴X(z)= Z[L 1(X(s))]
z z = + aTs bTs ze ze (b a)(s + b) = s= b = 1 z(z ebTs ) z(z eaTs ) (s + a)(s + b) = aTs bTs (z e )(z e ) 1 1 + aTs bTs X(s)= z(e e ) s+a s+b = 2 aTs bTs (a+b)Ts z (e e )z + e
n n n
自动控制原理习题分析第八章8-15 自动控制原理习题分析第八章 离散控制系统的结构图 如图 所示.采样周期T 所示.采样周期T s = 1s. (1)求系统的开环脉 冲传递函数 (2)求系统的闭环脉 冲传递函数
G(s)= Gh(s)Go(s)= G1(s)G2(s) =(1 e
Tss
G(z) = G1G 2(z) = Z{L 1[G 1(s)G 2(s)]} = Z{L 1[G 2(s) e TssG 2(s)]} = Z{L 1[G 2(s)]} Z{L 1[e TssG 2(s)]} = Z[g 2(t)] Z[g 2(t Ts )] = G 2(z) z 1G 2(z) z 1 = G 2(z) z
1 , ) 2 s (s + 2)
Tss
其中:G1(s)= 1 e
1 G2(s)= 2 s (s + 2) 1 令g2(t)= L [G2(s)] 则g2(t Ts )= L [e G2(s)]
1 Tss
1 G 0(s) G 2(z) = Z L s = Z L 1[G 2(s)]
由(1) : 1 [(1 K) +(1 + K)e 由(3) : 1 + [(1 K) +(1 + K)e e Ts /T > (K 2)/(K + 2); 1> e

8-1求下列函数的z 变换。

(1) /()t T x t a = (2) 2()at x t t e -= (3) ()sin x t t t ω= (4) 2()1t x t e -=+ 解 (1) 查z 变换表得()zX z z a=- (2) 查z 变换表得223(1)() 2(1)T z z x t t z +=→-，由复数位移定理得223()() ()()aT aTataT T z z e e x t t eX z z e ----+=→=- (3) 查z 变换表得2sin ()sin ()2cos 1z Tx t t X z z z T ωωω=→=-+，由z 域微分定理得22222(sin sin 2sin cos 2sin )()sin ()()(2cos 1)d Tz z T T z T T z T y t t t Y z Tz X z dz z z T ωωωωωωω-++=→=-=-+ (4) 查z 变换表得222(21)()1(1)()T T T z z z z e X z z z e z z e -----=+=---- 8-2求下列函数的z 变换。

(1) 3()(1)(2)s X s s s +=++ (2) 21()s X s s+=(3) 1()(1)(2)X s s s s =++ (4) 21()(1)s e X s s s --=+ (1T s =)解 (1) 321()(1)(2)12s X s s s s s +==-++++，查z 变换表得22()T Tz zX z z e z e --=--- (2) 22111()s X s s s s+==+，查z 变换表得22(1)()(1)z z z X z z +-=-(3) 11/211/2()(1)(2)12X s s s s s s s ==-+++++，查z 变换表得 222()()2(1)()(1)()()2(1)()()T T T T T T z z e z e z z z e z z z e X z z z e z e -----------+--=---(4)121221()(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)(1)T T T T TX z z Z s s Tz z zz z z z e T e z T e z e z e -------⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥---⎣⎦-++-+=-++ 8-3 求下列函数的z 反变换。

10z1 30z2 70z3
1 3z1 2z2 10z1
10z1 30z2 20z3
30z2 20z3 30z2 90z3
得到
70 z 3 70z3
X (z) 10z1 30z2 70z3
作z反变换
60z4
60z4 210z4
140 z 5
x(nT) 0 (t) 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T)
xn (t) x(nT )
T
(t nT ),
nT t (n 1)T
二、零阶保持器的数学模型
样点值的常值外推，其输入输出关系如图
时间函数 拉氏变换
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh (s)
1 s
1 eTs s
1 eTs s
频率特性
Gh
(
j
)பைடு நூலகம்
1
e jT
j
1 jT 1 jT
1 jT
e 2 (e2 e 2 )
j
T sin( T
2)
e
j
s
T 2
由于 T 2
可写为
s
Gh (
j )
2 s
sin( s ) s
e 2 s
零阶保持器的近似实现
由于
eTs 1 Ts 1 T 2s2
取泰勒级数的前两项
2!
1 eTs Gh (s) s
1 s
(1
1 eTs
)
eTs 1Ts
T 1 Ts
关于采样定理的说明
1、采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t) 中恢复 原连续时间信号 x(t) 的条件。对于频谱丰富的时