平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
【巩固练习】1．经过点P(2，-1)，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是()A．2x+y＝2B．2x+y＝4C．2x+y＝3D．2x+y＝3或x+2y＝02．已知A(3，2)和B(-1，4)两点到直线mx+y+3＝0的距离相等，则m 的值为()A．0或12-B．12或-6C．12-或12D．0或123．直线l 的方程为Ax+By+C＝0，若l 过原点和第二、四象限，则有()A．C＝0且B＞0B．C＝0且B＞0，A＞0C．C＝0且A·B＜0D．C＝0且A·B＞04．经过圆2220x x y ++=的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是()A．10x y -+=B．10x y --=C．10x y +-=D．10x y ++=5．若圆心在x C 位于y 轴左侧，且与直线x+2y＝0相切，则圆C 的方程是()A．22(5x y +=B．22(5x y +=C．22(5)5x y -+=D．22(5)5x y ++=6．直线x+y＝1与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是()1)1-，在1+)C．(11-)1+)7．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y x +-=交于A，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是()A．x+y+3＝0B．2x-y-5＝0C．3x-y-9＝0D．x-3y+7＝08．由直线y＝x+1上的一点向圆(x-3)2+y 2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．D．39.如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，那么实数a 的取值范围是_____.10.过点P (2，1)且与圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1＝0相切的直线的方程为_________.11.若直线x ＝1与直线2103a x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭垂直，则a ＝_________.12.若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是__________.13.过点M (0，1)作直线，使它被直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程.14．已知圆C 同时满足下列三个条件：①与y 轴相切；②在直线y ＝x 上截得弦长为；③圆心在直线x -3y ＝0上，求圆C 的方程．15.已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M 、N 两点，且OM ⊥O N(O 为坐标原点)，求m ；(3)在(2)的条件下，求以M N 为直径的圆的方程.16.已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，且以AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案与解析】1．【答案】D 【解析】当直线不过原点时，设直线方程为12x y a a +=，将P 点代入可得32a =，即直线方程为2x+y＝3；当直线过原点时直线方程为x+2y＝0．2．【答案】B 【解析】若A、B 在直线同侧，则有4213m --=--，解得12m =；若A、B 在直线异侧，可求得其中点(1，3)，代入直线方程得m+3+3＝0，得m＝-6．3．【答案】D【解析】由直线过原点，知C＝0，过第二、四象限知0AB-<，即A·B＞0．4．【答案】A【解析】设所求直线方程为x-y+m＝0，又过(-1，0)点，代入得m＝l，故直线方程为10x y -+=．5．【答案】D【解析】设圆心为(a，0)(a＜0)．因为直线x+2y＝0==，解得5a =-．所以圆C 的方程为22(5)5x y ++=．6．【答案】A【解析】由题意知，直线与圆相离，圆心(0，a)到1x y +=的距离a >，解得11a -<<．又0a >，故选A．7．【答案】C【解析】公共弦的垂直平分线为两圆的连心线，两圆心分别为(2，-3)，(3，0)，可得直线方程为3x-y-9＝0．8．【答案】C【解析】设满足条件的点为(a ，a+1)，则切线长l ==a＝1时，min l =．9.【答案】2222⎛⎫⎫ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.【答案】＝2或3－4－2＝0【解析】圆的标准方程为（x －1）2＋（y ＋1）2＝1，当切线斜率不存在时，x ＝2满足条件；当切线斜率存在时，可设直线方程为y －1＝k （x －2），利用圆心到直线的距离等于半径，即＝1，得k ＝34，∴切线方程为3x －4y －2＝0.11.【答案】23【解析】x ＝1斜率不存在，若要垂直，则23a x ⎛⎫-⎪⎝⎭+y +1＝0的斜率为0.12.【答案】x －y +2＝0【解析】由已知得两圆的圆心坐标分别为（0，0）和（－2，2）.所以直线l 的斜率为1，并过点（－1，1）.所以直线l 的方程是y －1＝x ＋1，即x －y +2＝0.13.【解析】解法一：直线斜率不存在时，即过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是100,3⎛⎫⎪⎝⎭和（0，8），显然不满足中点是点M （0，1）的条件.故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，与已知两直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，联立方程组1,3100,y kx x y =+⎧⎨-+=⎩①1,280,y kx x y =+⎧⎨+-=⎩②由①解得x A ＝731k -，由②解得x B ＝72k +.∵点M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M ，即731k -+72k +＝0.解得k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.解法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点.∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B（t ，8－2t ），M （0，1）是AB 的中点.由中点坐标公式，得A （－t ，2t －6）.又∵点A 在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，∴（－t ）－3（2t －6）＋10＝0，解得t ＝4.∴B （4，0），A （－4，2）.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.14．【解析】设所求圆的方程：222()()x a y b r -+-=，∵所求圆与y 轴相切，∴||a r =①．又圆心在30x y -=上，∴a ＝3b ，圆心到直线x -y ＝0的距离||3d a ==②，|3a ==，∴|a |＝3，∴a ＝±3，b ＝±1，即圆心坐标为(3，1)或(-3，-1)，半径r ＝3，所求圆的方程为22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．15.【解析】（1）（x －1）2＋（y －2）2＝5－m ，∴m ＜5.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，∴x 1x 2＝16－8（y 1＋y 2）＋4y 1y 2.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴16－8（y 1＋y 2）＋5y 1y 2＝0.①由2242,240x y x y x y m =-⎧⎨+--+=⎩得5y 2－16y ＋m ＋8＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝85m +，代入①得，m ＝85.（3）以MN 为直径的圆的方程为（x －x 1）（x －x 2）＋（y －y 1）（y －y 2）＝0，即x 2＋y 2－（x 1＋x 2）x －（y 1＋y 2）y ＝0.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－85x －165y ＝0.16.【解析】假设存在直线l 满足题设条件，且设l 的方程为y ＝x ＋m ，圆C 化为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，圆心C （1，－2），则AB 中点N 是两直线x －y ＋m ＝0与y ＋2＝－（x －1）的交点，即N 11,22m m +-⎛⎫-⎪⎝⎭.∵以AB 为直径的圆经过原点，∴|AN |＝|O N |.又CN ⊥AB ，|CN∴|AN .又|O N |＝由|AN |＝|O N |，解得m ＝－4或m ＝1.∴存在直线l ，其方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1.。
复习高中数学平面几何解析法高中数学平面几何是数学的一个重要分支，在解析几何中起着重要的作用。
掌握解析几何的基础知识，对于学生的学习和理解几何问题具有重要的意义。
本文将回顾高中数学平面几何解析法的基本概念、常用公式和解题方法，帮助读者复习和加深对该知识点的理解。
一、平面直角坐标系及其性质在解析几何中，使用平面直角坐标系是解决几何问题的关键。
平面直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴x轴和y轴组成，任意一点都可以用有序数对(x, y)表示。
平面直角坐标系的性质包括：1. 两点之间的距离公式：设A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)是平面上的两点，则AB的距离为√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。
2. 点到直线的距离公式：设点P(x₁, y₁)到直线Ax + By + C = 0的距离为d，则d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
二、直线的方程解析几何中，直线的方程有三种常见形式：一般式、斜截式和点斜式。
1. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
2. 斜截式：y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
3. 点斜式：y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率。
三、常见的直线问题在平面几何解析法中，我们经常遇到的问题包括：点的位置关系、直线的位置关系、直线与圆的位置关系以及直线与直线的位置关系等。
1. 点的位置关系：给定点P(x, y)，判断其是否在直线Ax + By + C = 0上，只需将P的坐标(x, y)代入直线的方程，若等式成立，则点P在直线上，否则点P不在直线上。
2. 直线的位置关系：判断两条直线Ax₁ + By₁ + C₁ = 0和Ax₂ + By₂ + C₂ = 0的位置关系，可以比较它们的斜率k₁和k₂。
