2.6对数与对数函数 学案

对数函数学案学习目标：1.知识目标：理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象.（重点）2.能力目标：探索并了解对数函数的单调性与特殊点. （难点）3.情感目标：养成科学严谨的学习态度，能发现数学中的对称美、抽象美等.自主学习1、对数函数前提：____________________________________;解析式:____________________________________;自变量:____________________________________；2、对数函数的图象和性质（1）请在给出的直角坐标系中画出对数函数的图象(2)请根据下面的提示写出对数函数的性质I)定义域是：____________; II)值域________________;III)定点_________即=x ____=y _______V)单调性：当10<<a 时，在()+∞,0上是_____________;当1>a 时，在()+∞,0上是_________________;自主测评判断下面说法是否正确？1）函数x y 2log 3=是对数函数（ ）2）对数函数的图象一定在y 轴的右侧（ ）3）1>a 时，在直线1=x 右侧的对数函数值一定大于零（ ）4）函数()x x f 2log=在()+∞,0上是增函数 （ ）1>a 10<<a课堂探究思考1 对数函数的定义是怎样的？提升总结例1、用描点法画出函数x y 2log=和x y 21log =的图象；并通过图象观察总结对数函数的性质思考2 归纳总结对数函数的性质有哪些？例2、求下列函数的定义域（1且0≠>a a ）（1）2logx y a = （2）()x y a -=4log例3、（1）比较5.3log 与3log22的大小； （2）已知()()1log 2log7.07.-<m m o ，求m 的取值范围；当堂检测1、判断以下函数是对数函数的是 （ ）（1）()23log2-=x y （2）x y x )1(log -= （3）23.0log x y = （4）x y ln =2、比较下列各组大小（1）76log 与54log 2121（2）3log 与3log 5121 （3）3.0log 31与8.0log 2提升总结课堂小结：布置作业：完成限时作业22。

第6节 对数与对数函数 学生用书 课时冲关九[基础训练组]1．(2019·北京市模拟)log 223＋log 26等于( )A ．1B ．2C ．5D ．6解析：B [原式＝log 2⎝⎛⎭⎫23×6＝log 222＝2.] 2．(2019·武汉市模拟)若实数a ，b 满足a ＞b ＞1，m ＝log a (log a b )，n ＝(log a b )2，l ＝log a b 2，则m ，n ，l 的大小关系为( )A ．m ＞l ＞nB ．l ＞n ＞mC ．n ＞l ＞mD ．l ＞m ＞n 解析：B [∵实数a ，b 满足a ＞b ＞1，∴0＝log a 1＜log a b ＜log a a ＝1， ∴m ＝log a (log a b )＜log a 1＝0,0＜n ＝(log a b )2＜1，l ＝log a b 2＝2log a b >n ＝(log a b )2. ∴m ，n ，l 的大小关系为l ＞n ＞m .故选B.]3．函数f (x )＝x log a |x ||x |(0<a <1)图像的大致形状是( )解析：C [法一：特殊值法：取a ＝12，当x ＝2时，f (2)＝－1＜0，排除A ，B.当x ＝－2时，f (－2)＝1＞0，排除D.故选C.法二：当x >0时，f (x )＝log a x ，由于f (x )为奇函数，结合奇函数的图像特征知选项C 符号条件．]4．不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤165，94 B.⎣⎡⎭⎫165，94 C.⎝⎛⎦⎤1，165D.⎝⎛⎦⎤1，94解析：B [不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2,3,4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4>(4－1)2，log a5≤(5－1)2，得165≤a <94，故选B.]5．(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图像关于点(1,0)对称解析：C [由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图像关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误；又f ′(x )＝1x －12－x ＝2(1－x )x (2－x )(0＜x ＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A ，B 错误．故选C.]6．(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 解析：f (－x )＝ln (1＋x 2＋x )＋1(x ∈R )，f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln (1＋x 2＋x )＋1＝ln (1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2. 答案：－27．(2019·河南市模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值等于________．解析：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵当x ＞0时，f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2， 则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝－f (2)＝－1. 答案：－18．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．解析：因为函数y ＝a x 与y ＝log a x 在[1,2]上的单调性相同，所以函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝(a ＋log a 1)＋(a 2＋log a 2)＝a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，故a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．答案：210．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)， 且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x ) ＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. [能力提升组]11．(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b解析：B [∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3， ∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32. ∴1a ＋1b ＝log 0.30.4， ∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab <1.又∵a >0，b <0，∴ab <0即ab <a ＋b <0.故选B.]12．(2019·贵阳市一模)已知奇函数f (x )在R 上是减函数，且a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110，b ＝f ()log 39.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：B [∵f (x )为奇函数，∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 3110 ＝f (－log 3110)＝f ()log 310.∵log 310>log 39.1>20.8，且f (x )在R 上是减函数， ∴a ＜b ＜c ，故选B.]13．(2019·潍坊市一模)函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝2且f (x )在R 上的导数f ′(x )满足f ′(x )－3＞0，则不等式f (log 3x )＜3log 3x －1的解集为________．解析：令g (x )＝f (x )－3x ，则g ′(x )＝f ′(x )－3＞0， 可得g (x )在R 上递增．由f (1)＝2，得g (1)＝f (1)－3＝－1， f (log 3x )＜3log 3x －1，即g (log 3x )＜g (1)， 故log 3x ＜1，解得0＜x ＜3. 答案：(0,3)14．已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝－ln x ＋1x －1＝－f(x)，∴f(x)＝ln x＋1x－1是奇函数．(2)由x∈[2,6]时，f(x)＝ln x＋1 x－1＞lnm(x－1)(7－x)恒成立．∴x＋1x－1＞m(x－1)(7－x)＞0，∵x∈[2,6]，∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7.。

D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
14
第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
11
第十一页，共四十五页。
2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
12
第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
第二十三页，共四十五页。
对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．

【解析】 由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，
∴loga2＝1，a＝2.
∴f(x)＝log2x. 【答案】 D
3．如果log1x＜log1y＜0，那么( 2 2 A．y＜x＜1 B．x＜y＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x
)
【解析】 ∴x＞y＞1.
【答案】
∵y＝log1x是(0，＋∞)上的减函数， 2
【答案】
(1)A
(2)(－∞，－1)
(－1，＋∞)
x＋2a＋1 已知函数f(x)＝log2 . x－3a＋1 (1)求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的 奇偶性和单调性．
【思路点拨】 性． (1)利用真数大于0构建不等式，但要注
意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调
第六节
对数与对数函数
1．对数的概念 如果ax ＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数， x＝logaN 记作___________．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
①loga1＝_____， 0
性质
②loga a＝____， 1 N ③alogaN＝____
换底 公式
logcb logca logab＝ ___________
1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关 系？你能得到什么规律？
【提示】
作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点
的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可 得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条
件？ 【提示】 b∈(0，1)． 若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且 b∈(1，＋∞)． 若 logab ＞ 0 ， 则 a ， b∈(1 ， ＋ ∞ ) 或 a ，