2014广东省高考压轴卷 理科数学 Word版含解析

2014高考数学(理科)真题-广东1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A.{1,0,1}-B.{1,0,1,2}-C.{1,0,2}-D.{0,1} 【答案】B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+ 【答案】A【解析】2525(34):=34(34)(34)25(34)34,.25i z i i i i i -=++--==-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A.8B.7C.6D.5【答案】C 【解析】:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.C M m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D【解析】09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+从 而 两 曲 线 均 为 双曲线,又:25故 两 双 曲 线 的焦 距 相 等,选 D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是 A.（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）【答案】B【解析】01,21,260,.B =∴即 这 两 向 量 的 夹 角 余 弦 值 为 从 而 夹 角 为 选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10【答案】A 【解析】(350045002000)2%200,20002%50%20,.A ++⋅=⋅⋅=∴样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 【答案】D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为 A.60 B..90 C.120 D.130 【答案】D【解析】12345112512225513112252541,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D.x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选9.不等式521≥++-x x 的解集为. 【答案】（-∞，-3]∪[2，+∞）10.曲线25+=-xey 在点)3,0(处的切线方程为【答案】035=-+y x【解析】'5'5,5,35,530xx y e y y x x y -==-∴=-∴-=-+-=所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为.【答案】61 【解析】3671067,36,136,.6C C =要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则=b a .【答案】2 【解析】2222222:cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,2224,2,2b C c B a aa b bB C C B B B C B A B aa b ba b c a c b b b ab ac a ab aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++=.【答案】50 【解析】51011912101112202019151201011,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=设则14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿ 【答案】（1,1） 【解析】221212(sin )cos ,,:1,(1,1)C y x C y C C ρθρθ===∴即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿【答案】9 【解析】22,()()9CDF AEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆显然的面积的面积16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 【答案】5523(1)()sin()sin ,121243232(2)(1):()sin(),4()()))44coscos sin )(sin()cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),2s f A A Af x x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=+-+-===∴=∈∴由得in 33()sin()444)f θπππθθπθθ=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.【答案】121272(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======频率分布直方图如下所示(](](]0044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值. 【答案】:(1):,,,,A ,,解证明平面平面平面平面平面平面⊥⊂∴⊥=⊂⊥PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,平面平面又平面平面解法一过作交于∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF AD AF A CF ADF00,,G GH AF H,EH,,CD 2,30,130,==1,2平面A 平面A 过作于连则为二面角的平面角设从而⊥∴⊥⊥∠--=∠=∴∠=CF DF EG DF EHG D AF E DPC CDF CF CD4,,,12,23,2233EG .4∥还易求得EF=从而=∴=∴==⋅===DE CFCP EF DC DP CPDE DF DE EF DF3,223cos 易得故===⋅∴=====∴∠==AE AF EF AE EF EH AF HG GH EHGEH 19=:,,,,,2,(0,0,2),C(0,2,0),,,22,0),解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则λλ==-DP DC DA x y z DC A CF CP F11,,43,0),222ADF 1CP (3,1,0),2AEF 可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为λ⊥===-DF CF F E n22221212(x,y,z),0,0,||||2利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为=⋅=⋅=⋅==⋅⨯n n AE n AF n n n n n19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =.(1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式; 【答案】211222122331212121233121232112(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,51587,3,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(1)n n n na S a a a a S a S a a a a a a a a a S a a a a a S na n n n S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧⎨=⎩∴=--=-=====--∴≥=-----①②联立①②解得综上③当时11122161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,1,216122211(21)322411322232(1)11,n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k n k k k a a k k k k k k k k k k k n k ++--+=+=+===⨯+==+=+-+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说时,,2 1.n n N a n *∈=+猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.【答案】22222:(1)33,954, 1.94解椭圆的标准方程为:====∴==-=-=∴+=c c e a a a b a c x y C00(2),,4(3,2),(3,2).(),若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为-±±-=-x y y y k x x00222200200(),194(94)18()9()40,,0,即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意=-++=++-⎡⎤+--=⎣⎦∆=y k x x y x y k x k y kx xy kx220022002200222000012(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,(9)240,,1,即:即两切线相互垂直-⎡⎤---+=⎣⎦--+=∴--+-=∴=-k y kx y kx k y kx k x k x y k y k k20202200224:1,913,(3,2),(3,2),13.即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为-=--∴+=-±±∴+=y x x y P x y21.（本题14分）设函数()f x =2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.【答案】2222221:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2)解则①或②由①得+++++->++>++<-++->∆=--=-><-x x k x x k x x k x x k x x k k k k22222,21=01210:11230,23044(3)4(2)0(2),方程的解为由得由②得:方程的判别式∴++--±∴++-><->-++++<+++=∆=-+=--><-x x k x x k x x x x k x x k k k k21230:112,11111(,1(121(12).该方程的解为由得∴-±+++<-<<-+<-∴--<-<-<-+-+∴=-∞-----+-++∞x x k x k D23'23222'(2)0,2(2)1()2(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),设则当时当时--=>⎡⎤++=-⋅⋅⎢⎥⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈--u x x k f x u x x u x x x k i x x x x k f x ii x 2'2'2'10,21310,()0;()(1,1,10,21310,()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,当时当时综上在上的单调增区间为+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴>∈-++∞+>+++>+>∴<-∞---+x x x k f x iii x x x x k f x iv x x x x k f x f x D ():(11),(1).在上的单调减区间为----++∞f x D2222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,设由知当时又显然当时从而不等式=+++++-∈>=+++-=++<->x x k x x k k k k k g 22222222()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]2[(2)(3)]>⇔<-=+++++--+++-=++-++++-+f x f g x g g x g x x k x x k k x x k x x k k26,1113(3)(1)(225)1111,<-∴--<-<-<-<<-<--+=+-+++k x x k x x2()(3)(1)0,()(1),()(11,11),2250,11当欲使即亦即即<+->∴><++--<<-+∴--<-+<<i x x x f x f g x g x x x x k22(3)(1)0,225(2()(5)3(5)0,()(1),()(1);)13,此时时即--<+->+++=++++<-++<<><-x x x x k x x k k k g x g f x f ii x22(iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(3)(1)0,2253(1,时不合题意--<<+-<+++<-++<∴><<+->+++<-+x x x x x k k g x g x x x x k x25)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,(1,1111)(1),从而综上所述合题意欲使则即的解集为:+<∴<>+->∴<+++-+--<<-+-+<<-+<>k g x g x x x g x g x x x x k f x f11(13)(1(11.(1,---⋃--⋃-⋃-+-。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=( ) A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案B2、已知复数z 满足(34)25,i z +=则z =( ) A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案A.考查复数的运算，()()()25342534343434i z i i i i ⋅-===-++⋅- 3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -= ( )A ．8 B.7 C.6 D.5答案 C.考查线性规划，求出三条直线的交点为()111,1,(2,1),,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭，故3,36m n m n ==--=，4、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的( ) A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等答案D.考查双曲线，注意到两条双曲线的22234c a b k =+=-相等，故而选D. 5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是( ) A ．（-1,1,0）B. （1,-1,0）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）答案B.考查向量的夹角与运算，将ABCD 四个选项代入1cos ,cos602a b a b a b⋅===⋅即可选出正确答案6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20答案 D.考查分层抽样.总人数为10000人，100002%200⋅=，其中高中生抽取20002004010000=⋅人，故抽取的高中生近视人数为4050%20⋅=人7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是( )A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 答案D.考查空间直线的位置关系.可利用正方体来判断，易得答案. 8、设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为( ) A.130 B.120 C.90 D.60答案A.考查分类计数原理、排列组合.先分成3类，4个0、3个0、2个0 （1）4个0①4个0，1个1：155C =②4个0，1个-1：155C = （2）3个0：①3个0，2个1：2510C =②3个0，1个1,1个-1：115420=C C ⋅ ③3个0，2个-1：2510C =小学初中高中年级O（3）2个0①2个0，3个1：3510C =②2个0，2个1,1个-1：215330C C ⋅= ③2个0，1个1，2个-1：215330C C ⋅= ④2个0，3个-1：3510C =综上所述，所有的可能性有130种二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式125x x -++≥的解集为答案(][),32,-∞-⋃+∞.考查简单的绝对值不等式，用几何意义很快得出答案. 10、曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为答案53y x =-+.考查复合函数求导、切线方程.'5'05,|5x x y e y -==-=-，故切线方程为53y x =-+.本题易错点在符合函数求导忘记乘以5-.11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 答案16.考查分步技术原理和古典概型.基本事件731010120C C ==种，包括6且6为中位数的，前3个数从0—5六个数中选3个，后三个数只能是7、8、9，故满足题意的事件有3620C =种，从而概率为16.本题主要分析准确6为7个数的中位数这个条件就可以很快做出来. 12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+，则ab= 答案2.考查正余弦定理，边角互化.222222222a b c a c b b c b ab ac+-+-⋅+⋅=，化简即可.13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=答案50.考查等比数列的基础知识.依题意有51011a a e ⋅=，所求等式左边()10501011ln ln 50a a e =⋅==（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________答案()1,1.考查极坐标方程.212:,:1C y x C y ==，联立方程很快得出结果15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD中， 点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF 答案9.考查相似三角形面积比等于相似比的平方.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f 。

数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}M =-,{0,1,2}N =,则M N = ( ) A .{0,1} B .{1,0,2}- C .{1,0,1,2}-D .{1,0,1}- 2.已知复数z 满足(34i)25z +=,则z =( )A .34i -+B .34i --C .34i +D .34i -3.若变量x ,y 满足约束条件,1,1,y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥且2z x y =+的最大值和最小值分别为m 和n ,则m n -=( )A .5B .6C .7D .84.若实数k 满足9k 0＜＜,则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的( )A .焦距相等B .实半轴长相等C .虚半轴长相等D .离心率相等5.已知向量(1,0,1)=-a ,则下列向量中与a 成60 夹角的是( )A .(1,1,0)-B .(1,1,0)-C .(0,1,1)-D .(1,0,1)-6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A .200,20B .100,20C .200,10D .100,10 7.若空间中四条两两不同的直线1l ,2l ,3l ,4l ,满足12l l ⊥,23l l ⊥,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14l l ∥C .1l 与4l 既不垂直也不平行D .1l 与4l 的位置关系不确定8.设集合12345{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=,那么集合A 中满足条件“12345||||||||||3x x x x x ++++1≤≤”的元素个数为( )A .60B .90C .120D .130二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|1||2|x x -++≥5的解集为 . 10.曲线52x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos 2b C c B b +=,则ab= . 13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且510119122e a a a a +=,则1220ln ln ln =a a a +++… .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页）（二）选做题（14-15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线1C 和2C 的交点的直角坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在AB 上且2EB AE ＝,AC 与DE 交于点F ,则CDF AEF ∆=∆的面积的面积 .三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数π()sin()4f x A x =+,x ∈R ,且5π3(122f =.（Ⅰ）求A 的值； （Ⅱ）若3()()2f f θθ+-=,π(0,)2θ∈,求3π()4f θ-.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件）,获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 80.32(40,45] 1n 1f (45,50]2n2f（Ⅰ）确定样本频率分布表中1n ,2n ,1f 和2f 的值； （Ⅱ）根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图；（Ⅲ）根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.18.（本小题满分13分）如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,30DPC ∠ ＝,AF PC ⊥于点F ,FE CD ∥,交PD于点E .（Ⅰ）证明：CF ⊥平面ADF ； （Ⅱ）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21234n n S na n n +=--,*n ∈N ,且315S =. （Ⅰ）求1a ,2a ,3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()f x =,其中2k <-.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （Ⅱ）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（Ⅲ）若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x的集合（用区间表示）.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0 :11,,60,.22BB=∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:C C C80.104080130,D.x x x x xC C AC C++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-xx的解集为.(][)(][) ,32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin ))cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),42f A A Af x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得sin 433()sin()).44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE∥CD ， 交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅======⋅∴===为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CFF E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><-->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-±+++<--<-+<-∴--<-<-<-+<-+∴=-∞-------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈---+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-++∞+>+++>+>∴<-∞--------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴----<<-+-+----+<+->∴><+<-++<<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f -+-<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-+⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。