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实数大小比较的常用方法

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实数得大小比较得常用方法
一、法则法
比较实数大小得法则就就是:正数都大于零,零大于一切负数，两个负数相比较,绝对值大得反而小。

例1 比较与得大小。

析解:由于,且,所以。

说明：利用法则比较实数得大小就就是最基本得方法,对于两个负数得大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法
用平方法比较实数大小得依据就就是:对任意正实数a、ｂ有：。

例2 比较与得大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面得因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数得大小,目得就就是把含有根号得无理数得大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法
用数形结合法比较实数大小得理论依据就就是:在同一数轴上,右边得点表示得数总比左边得点表示得数大。

例3 若有理数a、b、ｃ对应得点在数轴上得位置如图1所示,试比较ａ、-a、b、－b、c、－ｃ得大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－ａ、b、－b、c、－c表示得点画出来,容易得到结论:
四、作差法:
差值比较法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个实数,先求出a与b得差,再根据
当a－b﹥0时,得到a﹥b。

当ａ－b﹤0时，得到ａ﹤b。

当ａ-b=0,得到a=ｂ。

例1:(１）比较与得大小。

（2)比较1－与1－得大小。

解 ∵－＝＜0 , ∴<。

解 ∵(1－）-(１-)=＞0 , ∴1－>1-。

例2、比较得大小。

解析:因为,所以。

五、作商法
比较实数得大小得依据就就是:对任意正数a 、b 有:来比较ａ与b 得大小。

例1：比较与得大小。

解:∵÷=<1 ∴<
例2 比较与得大小。

析解:设,
,则
即
例3：比较与得大小
解:÷＝×=﹤1
所以﹤
六、倒数法
倒数法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个正实数,先分别求出ａ与b 得倒数，再根据当>时,a ＜ｂ。

来比较a 与b 得大小。

例１：比较-与－得大小。

解∵=+ , =+
又∵+<+
∴-＞－
,n m ,11
a 2a 1a a a n m ,
1a 2a 1a a a ,
a 2a a ,
0)1a (a a 2a a ,1
a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,1
a 1a n ,1a 1a m 2434434232232434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2
例2、已知a﹥1，b﹥２，试比较与得大小
解：=＋=2＋因为a﹥1,所以２+﹤3
=+=3＋因为b﹥２,所以3+﹥3
因为﹤所以﹥
例3、设，则ａ、b、ｃ得大小关系就就是( )。

A、ａ>b>c
B、ａ>ｃ>b
C、c>b>a
D、b＞ｃ>a
解析：当几个式子中得被开方数得差相等且式子中得运算符号相同时,可选用倒数法。

首先,,
,因为,所以，则ｂ>c。

又因为,所以,则ａ>b。

由此可得:ａ＞b>c。

故选A。

七、平方法
平方法得基本就就是思路就就是先将要比较得两个数分别平方,再根据a＞0,b>0时,可由>得到a＞b来比较大小,这种方法常用于比较无理数得大小。

例5:比较与得大小
解:, =8+2。

又∵８＋２＜8+２∴<。

八、估算法
估算法得基本就就是思路就就是设a,b为任意两个正实数,先估算出a,b两数或两数中某部分得取值范围,再进行比较。

例４:比较与得大小
解:∵３＜<4 ∴-３＜1 ∴＜
九、比较被开方数法。

基本就就是思路就就是,当a>0,b＞0,若要比较形如ａ得大小，可先把根号外得因数a与c平方后移入根号内,再根据被开方数得大小进行比较。

例６:比较2与3得大小
解:∵2=＝,3＝＝。

又∵28＞27，∴2＞3。

十、特殊值法
比较两个实数得大小，有时取特殊值会更简单。

例1:当时,,,得大小顺序就就是______＿___＿＿__。

解:(特殊值法)取＝,则:＝,＝２。

∵<＜2,∴＜＜。

例２、已知x＜y<０,设,则M、Ｎ、P、Q得大小关系就就是( )。

A、M<Q＜P<N Ｂ、M<P＜Q<Ｎ C、Ｑ<N<P<ＭＤ、N＜Q＜P＜M
解析:根据条件,不妨设,则M=４,N＝１,。

不难得到：Ｎ<Q<P＜M。

因此，应选D。

例３、已知a﹥1,b﹥2,则______ (填﹥、﹤或=)
分析:为填空题,可用赋值法。

取a=2，b=3代入,﹥所以填入“﹥〉”。

例4 设a＝20,b=(－３)2,c＝,d＝,则a、b、ｃ、d按由小到大得顺序排列正确得就就是
（)
A、ｃ<a＜d<b
B、b<d<a<ｃ
C、a＜ｃ<d<b
D、ｂ＜c＜a<ｄ
分析可以分别求出a、b、c、ｄ得具体值,从而可以比较大小、
解因为a=２0=1,b＝(－3）2=9，c＝＝-，d==2，而－<１＜2<9,所以c<a＜d＜b、故应选A、
除以上七种方法外，还有利用数轴上得点,右边得数总比左边得数大;以及绝对值比较法等比较实数大小得方法。

对于不同得问题要灵活用简便合理得方法来解题。

能快速地取得令人满意得结果。

十一、中间值法(还就就是判不了,就把中人找)
如果a<c,c<b,那么a<ｂ。

若通过放缩能够确定两个实数中得一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时,可选用此法。

例1、比较得大小。

解析:因为,所以。

所以,即。

例２、比较−3、55与−得大小
解: −3、55﹤−3、5 −﹥−即−﹥−3、5
所以−3、55﹤−3、5﹤−即−３、55﹤−
十二、分子有理化法
例14、比较得大小。

解析：,。

因为,故,所以。

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比较两个实数大小的典型方法

比较两个实数大小的典型方法

比较两个实数大小的典型方法比较两个实数大小通常用作差法，其步骤为：①作差；②变形；③判断差的符号；④结论.概括为“三步一结论”，其中变形是比较两个实数大小的关键，下面给出变形的基本手段。

一、因式分解例1， 若0q >，且1q ≠，比较31q +与2q q +大小.解：32222(1)()(1)(1)(1)(1)(21)(1)(1)q q q q q q q q q q q q q +-+=+-+-+=+-+=+-201(1)(1)0q q q q >≠∴+->且 故31q +>2q q +点评：通过因式分解可得到若干个因式连乘积，有助于我们利用性质判断出符号. 二、配方例2， 已知,a b R ∈，比较44a b +与33a b ab +的大小.解：443333()()()()a b a b ab a a b b b a +-+=-+-332222223()()()()()[()]024b a b a b a b a ab b a b a b =--=-++=-++≥当且仅当a b =时等号成立.4433a b a b ab ∴+≥+点评：二次三项式往往很难看出与0的大小，配方后转化成含有完全平方式的形式，有助于我们判断出符号. 三、判别式例3，设,m R x R ∈∈，比较21x x -+与222m mx --的大小.解：2222(1)(22)(21)(21)x x m mx x m x m -+---=+-++二次三项式22(21)(21)x m x m +-++的判别式 为222(21)4(21)443m m m m ∆=--+=---二次三项式2443m m ---的判别式为2(4)4(4)(3)320,'∆=----=-<22(21)(21)0x m x m ∴+-++>，恒成立.22(1)(22)0,x x m mx -+---> 即21x x -+ >222m mx --点评：判别式对于解决作差之后为二次三项式的符号的判别有独特的作用.如果变量有多个，可以以其中一个为主元然后判别。

比较实数大小的几种方法

比较实数大小的几种方法


八
当 ＞ ， Ｏ ，若 １ ６ ８０ ＞ 时① 詈＞ ， ＞； ｂ 则
②若旱＝１ ＝ ； ａ ， ＜ ． Ｄ ， ｂ③若丁 ＜１则０ ６ ａ Ｄ
年
解 令 ＝ ｌ： ， ｎ ， ： ｍ 一， 一１ ｎ 则ｍ＝１ ， ｍ２
１
＝ 一
，
例 比 ｍ等一等的， ４ 较＝ 大、 Ｊ ． 解因 等× １因 ：为 ＝ 帚＝ ＜又 ，
例 ３ 比较 ３ ／ 一 １ １ 、 的大 、 与 ＋２ ／
小．
１ 丽
，
则 ｎ ６ｃ 的大小关系是 、 、、
解 ：南条件 知０ ０ ７ ． ２ ０ ＝ｃ ＋２ ０ ＝６ ０ ８ 一 － ４
一１ 一 （ ＋２ ） １
＝ － ２ ０ ＜，
解： 因为 （ ３
３ 一１ １ ２ — —
Ｘ ＋ （ｖ ） ＝３ ２＋
解 ：因为 （ ／ ＋ 、 ）＝ （ ／ ） 、 ／ ｚ 、 ：
＋ ２×
… ｂ －ｂ 所 以 、 ｍａ ＜ ． Ａ Ｂ、 一 Ｃ的关系是 Ａ＞
、
ｉ 。 。
＋ ｂ ＞ ０，
－
ａ＋
２ ／４ （、 ） 、 ）＝１ ×２ Ｘ一 ７， ／ ×（ ／ ｚ ６ ＝ ２ ４ ＝４
也
索、 猜想 、 归纳其 隐藏 的特殊规律．
例 ７ 用 计 算 器计 算 ：／ 、
，
打
遇
＋
例２比 凡的 小（＞ 华 大 ． 十 ｍ
而 ３ ２／ ２＋ 、
、 ＞４ ／ ． ／ 、
四、 数法 倒
＞３ ，所 以 、厂 ＋ ２ ／
３ ２．
Ｃ＞ Ｂ．
农
语数 外 学 习 （ 中版 ） 初
初中数学多方法比较两个实数的大小

初中数学多方法比较两个实数的大小

多方法比较两个实数的大小
河北 高顺利
比较两个实数的大小和比较两个有理数的大小一样，方法较多，对于不同形式表示的实数，要灵活选用比较大小的方法．
一、比较绝对值法
例1 比较1与1-的大小．
解：因为11=+；11，
11>，根据两个负数，绝对值大的反而小，可知11>．
二、添加根号法
例2 比较133
解：110333===
因为111119
>>
即133
> 三、取近似值法
例3 比较2.71的大小．
1.7321
2.732，
又因为2. 732 2. 7>，
1 2.7>．
四、比较平方法
例4 比较π-的大小．
解：因为22210π(3.1415)==，，
而22210 3.15π>>，
π>，所以π-．
五、放缩法
例5 22的大小。

解：因为2378<<<，
，
23252<+=<，
22<．
六、运用方根定义法
例6 解：由根式的定义知20a -≥，所以2a ≤， 所以30a -<．
0<．
0，
七、作差法
例7 0.5的大小．
0.5-，
20>．
0>．
0.50->，
0.5>．。

2.1.1比较实数大小的方法

2.1.1比较实数大小的方法


1．比较实数大小的依据． 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一
对应关系．那些表示实数的点在数轴上有 次序地(无缝隙地)排列．数轴上的一个动点 向着数轴的正方向运动时，它所对应的实 数越来越大，由此可以得到下面两个结论：
(1) 数轴上的任意两点中，右边点对应的实
数比左边点对应的实数大； (2) 对于任意两个实数 a 和 b ，在 a ＝ b ， a>b ， a<b三种关系中，有且仅有一种关系成立．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2.1.1
比较实数大小的方法
1．含有不等号
的 式 子 叫不等式．若a，b是两实数，那么a≥b即为 a>b或a＝b ；a≤b即为 a<b或a＝b . 2．数轴上的任意两点中，右边点对应的实 数比左边点对应的实数 大 ．
“≠”“>”“<”“≥”或“≤”
3．若a，b∈R，则在a＝b，a>b，a<b三种
2．比较两个实数大小的方法．
如果a－b是正数，那么a>b；如果a>b，那
么a－b是正数． 如果a－b是负数，那么a<b；如果a<b，那 么a－b是负数． 如果a－b等于零，那么a＝ b；如果 a＝b， 那么a－b等于零．
又( 15)2－42＝－1<0， ∴2( 15－4)<0，则 3＋ 5<4.
[点评]
要比较大小的两个实数中有无理数， 不能直接作差，可作它们的平方差．
比较 3＋ 7与 2 5的大小．
解：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝(10＋2 21)－20＝2( 21－5)． ∵( 21)2－52＝21－25＝－4<0， ∴2( 21－5)<0，∴ 3＋ 7<2 5.