2016年北京市延庆区中考一模数学试卷

2023年北京市延庆区中考数学一模试卷一、选择题：（共16分，每小题2分）第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F 运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F 运载火箭的重量大约是500000kg ．将数据500000用科学记数法表示，结果是（ ） A ．5×105B ．5×106C ．0.5×105D ．0.5×1063．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A ．34B ．12C ．13D ．145．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ＝﹣b6．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（ab ）2＝a 2b 27．如图是作线段AB 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AC ＝BCB ．AE ＝EBC ．∠B ＝45°D ．AB ⊥CD8．如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为x m ，它的邻边长为y m ．当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．正比例函数关系D ．反比例函数关系二、填空题（共16分，每小题2分）9．若√x −2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：3m 2﹣3n 2＝ ． 11．方程组{x +y =−12x −3y =8的解为 ．12．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B ＝ °．13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，△ADE 的面积是2，则△ABC 的面积是 ．14．如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2）．将△ABC 向左平移3个单位得到△A 'B 'C '，再向下平移1个单位得到△A ″B ″C ″，则点B 的对应点B ″的坐标为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2，请你写出一个符合要求的k 的值 ．16．甲、乙两种物质的溶解度y （g ）与温度t （℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中， ①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ； ④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同． 所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共68分，17-22题，每小题5分；23-26题，每小题5分；27-28题，每小题5分） 17．计算：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12． 18．解不等式组：{3x −1＞x +14x−53≤x ．19．已知x 2+x ﹣3＝0，求代数式（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．（1）求证：四边形ACDE是矩形；（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，且经过点（2，3）．（1）求k，b的值；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠BAC=12，AD＝3，求⊙O的半径．24．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a ＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是；（2）求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．25．（6分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a．抽取七年级20名学生的成绩如下：66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 7880 89b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：请根据以上信息，完成下列问题：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当m＝1时，求b的值；（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．（1）如图，D（﹣2，6），E（2，6），F（﹣3，1），G（﹣1，3），H（0，3），在线段DE，FG中，⊙O 的点H对称弦是；（2）等边△ABC的边长为1，点C（0，t）．若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；（3）点M在直线y=√3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=√3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．2023年北京市延庆区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共16分，每小题2分）第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．故选：D．2．2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（）A．5×105B．5×106C．0.5×105D．0.5×106解：数据500000用科学记数法表示为5×105．故选：A．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：B．4．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A ．34B ．12C ．13D ．14解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， ∴两次都取到白色小球的概率为14．故选：D ．5．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ＝﹣b解：根据数轴得：a ＜b ，|a |＞|b |，故C 选项符合题意，A ，B ，D 选项不符合题意； 故选：C ．6．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（ab ）2＝a 2b 2解：根据题意，大正方形的边长为a +b ，面积为（a +b ）2，由边长为a 的正方形，2个长为a 宽为b 的长方形，边长为b 的正方形组成， 所以（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2． 故选：A ．7．如图是作线段AB 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AC ＝BCB ．AE ＝EBC ．∠B ＝45°D ．AB ⊥CD解：由作图可知，CD 垂直平分线段AB ， ∴CA ＝CB ，AE ＝EB ，AB ⊥CD ， 故选项A ，B ，D 正确． 故选：C ．8．如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为x m ，它的邻边长为y m ．当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（ ）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．正比例函数关系D ．反比例函数关系解：由题意得， 2（x +y ）＝10， ∴x +y ＝5， ∴y ＝5﹣x ，即y 与x 是一次函数关系， 故选：A ．二、填空题（共16分，每小题2分）9．若√x −2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 x ≥2 ． 解：根据题意得：x ﹣2≥0，解得：x ≥2． 故答案为：x ≥2．10．分解因式：3m 2﹣3n 2＝ 3（m +n ）（m ﹣n ） ． 解：3m 2﹣3n 2＝3（m 2﹣n 2）＝3（m +n ）（m ﹣n ）． 故答案为：3（m +n ）（m ﹣n ）．11．方程组{x +y =−12x −3y =8的解为 {x =1y =−2 ．解：{x +y =−1①2x −3y =8②，①×3得：3x +3y ＝﹣3③， ②+③得是：5x ＝5， 解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：1+y ＝﹣1， 解得：y ＝﹣2，故原方程组的解是：{x =1y =−2．故答案为：{x =1y =−2．12．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B ＝ 32 °．解：∵∠A ＝48°， ∴∠D ＝∠A ＝48°， ∵∠APD ＝80°，∴∠B ＝∠APD ﹣∠D ＝80°﹣48°＝32°． 故答案为：32．13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，△ADE 的面积是2，则△ABC 的面积是 12.5 ．解：∵AD ＝2，DB ＝3， ∴AB ＝AD +BD ＝2+3＝5， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC=(AD AB)2=425，∵△ADE 的面积是2， ∴2S △ABC=425，∴S △ABC ＝12.5． 故答案为：12.5．14．如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2）．将△ABC 向左平移3个单位得到△A 'B 'C '，再向下平移1个单位得到△A ″B ″C ″，则点B 的对应点B ″的坐标为 （﹣2，1） ．解：根据题意知，点B （1，2）平移后对应点B ″的坐标为（1﹣3，2﹣1），即（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2，请你写出一个符合要求的k 的值 ﹣1（答案不唯一） ．解：∵点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2， ∴点A （﹣1，y 1）在第二象限，点B （2，y 2）在第四象限， ∴反比例函数y =kx(k ≠0)的图象在二、四象限， ∴k ＜0，∴k 的值可以为﹣1．故答案为：﹣1（答案不唯一）．16．甲、乙两种物质的溶解度y （g ）与温度t （℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中， ①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同． 所有正确结论的序号是 ①③ ．解：由图象可以看出，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，说法正确； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大，原说法错误．； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ，说法正确； ④当温度为t 1℃时，甲、乙的溶解度相同，原说法错误． 所有正确结论的序号是①③． 故答案为：①③．三、解答题（共68分，17-22题，每小题5分；23-26题，每小题5分；27-28题，每小题5分） 17．计算：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12．解：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12＝3﹣2√3+2+2√3＝5． 18．解不等式组：{3x −1＞x +14x−53≤x． 解：{3x −1＞x +1①4x−53≤x②，由①得：x ＞1， 由②得：x ≤5，则不等式组的解集为1＜x ≤5．19．已知x 2+x ﹣3＝0，求代数式（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）的值． 解：（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）＝4x 2﹣9﹣x 2+3x ＝3x 2+3x ﹣9， 当x 2+x ﹣3＝0时，原式＝3（x 2+x ﹣3）＝3×0＝0．20．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +m ﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵Δ＝m 2﹣4（m ﹣1）＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）x =−m±(m−2)2， 解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣m +1， ∵方程只有一个根是正数， ∴﹣m +1＞0， ∴m ＜1．21．如图，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，∠BAC ＝90°．点M 为边AD 的中点，连接CM 并延长，交BA 的延长线于点E ，连接DE ． （1）求证：四边形ACDE 是矩形；（2）若BE ＝10，DE ＝12，求四边形BCDE 的面积．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠MAE ＝∠MDC ， ∵点M 为边AD 的中点， ∴MA ＝MD ，在△MAE 和△MDC 中，{∠MAE =∠MDCMA =MD ∠AME =∠DMC，∴△MAE ≌△MDC （ASA ）， ∴ME ＝MC ，∴四边形ACDE 是平行四边形， ∵∠ACD ＝∠BAC ＝90°，∴四边形ACDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥BE，∵BE＝10，DE＝12，∴AE＝AB＝CD=12BE=12×10＝5，∵BE∥CD，∴S四边形BCDE=12×（5+10）×12＝90，∴四边形BCDE的面积是90．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，且经过点（2，3）．（1）求k，b的值；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，∴k=1 2，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），∴3=12×2+b，∴b＝2；（2）如图所示：当x＝2时，mx﹣2≤12x+2，即2m﹣2≤3，解得m≤5 2，结合图象可知，当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，m的取值范围是12≤m≤52．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠BAC=12，AD＝3，求⊙O的半径．（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠DOC＝90°．∴∠AOD+∠BOC＝90°．∵∠ADO＝∠BOC，∴∠AOD+∠ADO＝90°．∴∠DAO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴AD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BAC+∠B＝90°．过点C作CE⊥AB于点E，∴∠ECB +∠B ＝90°． ∴∠BAC ＝∠ECB ． ∴tan ∠ECB ＝tan ∠BAC =12，设BE ＝a （a ＞0），则CE ＝2a ，BC =√5a ． ∴AC ＝2√5a ，AB ＝5a ． ∴OA ＝OB ＝2.5a ． ∴OE ＝1.5a ． ∵△ADO ∽△EOC ， ∴AD AO =OE EC． ∴AD AO=1.5a 2a=34．∵AD ＝3， ∴OA ＝4． ∴⊙O 的半径为4．24．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是 3.24 ； （2）求出满足的函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）； （3）求实心球从出手到落地点的水平距离．解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.24），∴实心球竖直高度的最大值是3.24m，故答案为：3.24；（2）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.24），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.24，将点（0，1.8）代入，得1.8＝16a+3.24，解得a＝﹣0.09．∴抛物线的表达式为y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24；（3）令y＝0，∴0＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24，∴x1＝10，x2＝﹣2（舍）．答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米．25．（6分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a．抽取七年级20名学生的成绩如下：66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 7880 89b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：请根据以上信息，完成下列问题：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a 的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n ．比较m ，n 的大小，并说明理由．解：（1）成绩在60≤x ＜70组的人数为：20﹣2﹣3﹣6﹣5＝4（人），补全频数分布直方图如下： 将七年级20名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为80+802=80，因此中位数是80，即a ＝80；（2）抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为：1﹣5%﹣45%−72360=30%， 此次八年级测试成绩达到优秀的学生为：200×30%＝60（人）， 答：八年级测试成绩达到优秀的学生大约有60人；（3）抽取的七年级20名学生成绩在平均分81分以上的有9人，即m ＝9， 抽取的八年级20名学生成绩中80分及以上的学生有：20×（72360+30%）＝10（人），把八年级20名学生的成绩由高到低排列，设第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80﹣b （b ＞0）． ∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81， ∴x +80﹣b ＝81×2．∴x ＝82+b ．∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82，∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分， ∴n ＝10．∴m ＜n ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当m＝1时，求b的值；（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．解：（1）当m＝1时，点A的坐标为（4，1），∵点A在抛物线y＝x2﹣2bx+1上，∴1＝42﹣2b×4+1上，∴b＝2；（2）∵抛物线的对称轴x＝b，当m＝n时，即（x0，n）和（4，m）关于对称轴对称，所以对称轴x＝b＝（x0+4）÷2．从而得到x0＝2b﹣4，∵0＜x0＜b，∴0＜2b﹣4＜b，解得2＜b＜4∴2＜b＜4．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝45°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．（1）①证明：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ＝45°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD ＝∠CAD =12∠BAC ＝45°，∴∠B ＝∠CAD ，∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE ，∵∠AFE ＝∠CAD +∠ACE ，∠AEF ＝∠B +∠BCE ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴AE ＝AF ．②解：如图1，过点C 作CM ⊥AC 于点C ，交AD 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，∵∠CAD ＝45°，∴△ACM 是等腰直角三角形，∴CA ＝CM ，∠M ＝45°，∵∠ACM ＝90°，∴∠ACF +∠MCF ＝90°，由旋转的性质得：∠FCG ＝90°，CF ＝CG ，∴∠ACF+∠ACG＝90°．∴∠MCF＝∠ACG，∴△MCF≌△ACG（SAS），∴∠CAG＝∠M＝45°，故答案为：45；（2）解：依题意补全图2，√2AC＝AF+AG，证明如下：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，则∠ACM＝90°，∵∠CAD＝45°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴∠M＝45°，CA＝CM，AM=√2AC，∵∠ACM＝90°，∴∠ACF+∠MCF＝90°，由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，∴∠ACF+∠ACG＝90°．∴∠MCF＝∠ACG，∴△MCF≌△ACG（SAS），∴MF＝AG，∵AM＝AF+MF，∴AM＝AF+AG，∴√2AC＝AF+AG．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．（1）如图，D（﹣2，6），E（2，6），F（﹣3，1），G（﹣1，3），H（0，3），在线段DE，FG中，⊙O 的点H对称弦是DE、FG；（2）等边△ABC的边长为1，点C（0，t）．若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；（3）点M在直线y=√3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=√3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．解：（1）如图1，设⊙O与x轴交于点D′和E′，交y轴的正半轴于点G′，DE关于GH的对称弦是D′E′，FG关于AH的对称弦是D′G′，故答案为：DE ，FG ；（2）如图2，设AB 关于直线l 的对称弦是A ′B ′，连接OA ′， 在Rt △A ′DO 中，A ′D =12A ′B ′=12AB =12，OA ′＝2， ∴OD =√22−(12)2=√152，∴CD =√32AB =√32，∴OC ＝OD ﹣OC =√15−√32，∴t 1=√3−√152，当AB 在A ′B ′下方时，t 2=−√3+√152， 根据圆的对称性可得：t 3=√15−√32，t 4=√3+√152；（3）如图3，当PQ在图中位置时，点M的横坐标最大，∵PQ⊥OM，P′Q′与PQ关于过N点的直线l对称，∴OM⊥P′Q′，∴∠OHP′＝90°，P′H=12P′Q′=12PQ＝1，∴OH=√3，∵HM＝2MN＝2，∴OM＝2+√3，∵直线OM的解析式为：y=√3x，∴∠MOG＝60°，∴OG＝OM•cos60°=2+√3 2，∴m最大=2+√3 2，当点N在P′Q′上时，PQ不存在对称弦，此时OG=√32，由对称可知，当⊙M在第三象限时，m最小=−2+√32，∴−√3+22≤m≤√3+22，且m≠±√32．。

延庆区2023年初三一模数学试题及答案一、选择题1. 若 (5x - 2)(2x + 3) = 0，则 x 的值为多少？A) -3/2 B) -1/2 C) 2/5 D) -5/72. 在三角形 ABC 中，AB = 8 cm，BC = 10 cm，∠ABC = 90°。

则∠ACB 的正弦值为多少？A) 3/5 B) 4/5 C) 12/13 D) 9/253. 若 2x + 3y = 4，3x - 4y = 1，则 xy 的值为多少？A) 25/26 B) 4/5 C) 1/2 D) -2/34. 设函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，则 f(1/2) 的值为多少？A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 25. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为 (3, 4)，点 Q 的坐标为 (7, 2)，则 PQ 的中点的坐标为多少？A) (5, 3) B) (6, 3) C) (4, 3) D) (6, 2)二、填空题1. 已知正方形 ABCD 的边长为 3 cm，则其对角线 BD 的长度为 __ cm。

2. 若x = 2 + √3，则√(x^2 - 4x + 7) 的值为 __。

3. 一辆汽车从 A 地出发，以每小时 60 公里的速度向 B 地行驶，行程共 240 公里。

则汽车行驶的时间为 __ 小时。

4. 已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a = 2，f(1) = 5，f(-1) = 1，则c 的值为 __。

5. 若sinα = 3/5，则cosα 的值为 __。

三、解答题1. 计算：2(4x - 3) - 3(x - 2) = 7 - (2x + 1)。

解：首先展开等式两边的括号，得到：8x - 6 - 3x + 6 = 7 - 2x - 1。

化简得：5x = -2x + 2。

移项得：7x = 2。

因此，x = 2/7。

2. 如图所示，直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，边 AC = 12 cm，BD ⊥ AC 于 D，且 CD = 6 cm。

2016年北京中考通州区初三一模数学试卷及答案D初三数学一模试卷第2页（共8页）初三数学一模试卷第3页（共8页）初三数学一模试卷第4页（共8页）2．如图，数轴上有A 、B 、C 、D 四点，其中表示互为相反数的两个实数所对应的点是A ．点A 与点DB ．点A 与点C C ．点B 与点D D ．点B 与点C3．下列各式运算的结果为6a 的是A ．33aa + B ．33()a C ．33aa ⋅D ．122aa ÷4. 下面四个图形分别是低碳、节水、节能和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是A ．B ．C ．D ．5．在一定温度下向一定量的水中不断加入食盐（NaCl ），那么能表示食盐溶液的溶质质量分数y 与加入的食盐（NaCl ）的量x 之间的变化关系的图象大致是 D C B A -3-2-110 D.C.B.A.xyxyx yyx OOO O初三数学一模试卷第5页（共8页）6．在一个不透明的盒子中装有m 个除颜色外完全相同的球，这m 个球中只有3个红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为15，那么m 的值是A ．12B ．15C ．18D ．217．如图，把含有45︒角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形纸条的对边上．如果∠1=20︒，那么∠2的度数是 A. 30︒B.25︒C.20︒D. 15︒8．为了弘扬优秀传统文化，通州区30所中学参加了“名著·人生”戏剧展演比赛，最后有13所中学进入决赛，他们的决赛成绩各不相同.某中学已进入决赛且知道自己的成绩，但是否进入前7名，还必须知道这13所中学成21初三数学一模试卷第6页（共8页）绩的A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差9．如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，那么A 、B 间的距离是 A ．18米 B ．24米C ．30米D ．28米10. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，已知点A 的坐标是（-2，3），点C 的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是A ．（0，0）B ．（-1，1）C ．（-1，0）D ．（-1，-1）CBA初三数学一模试卷第7页（共8页）二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11. 已知3m n +=，2m n -=，那么22m n -的值是 ．12. 写出图象经过点（-1，1）的一个函数的表达式是______________________________. 13．手机悦动圈是记录步行数和热量消耗数的工具，下表是孙老师用手机悦动圈连续记录的一周当中，每天的步行数和卡路里消耗数（热量消耗，单位：大卡）星期 一 二 三 四 五 六 日 步行数 5025 5000 4930 5208 5080 10085 10000 卡路里消耗201200198210204405400孙老师发现每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系.孙老师想使自己的卡路里消耗数达到300大卡，预估他一天步行约为__________步.（直接写出结果，精确到个位） 14. 我们知道，无限循环小数都可以化成分数．例如：将0.3化成分数时，可设0.3x =，则有3.310x =，1030.3x =+，103x x =+，解得13x =，即0.3化成分数是13．仿此方法，将0.45化成分数是初三数学一模试卷第8页（共8页）____________．15．在学习“用直尺和圆规作射线OC ，使它平分∠AOB ”时，教科书介绍如下：＊作法：（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA 于D ，交OB 于E ；（2）分别以D ，E 为圆心，以大于12DE的同样长为半径作弧，两弧交于点C ；（3）作射线OC ．则OC 就是所求作的射线.小明同学想知道为什么这样做，所得到射线OC 就是∠AOB 的平分线.小华的思路是连接DC 、EC ，可证△ODC ≌△OEC ，就能得到∠AOC =∠BOC . 其中证明△ODC ≌△OEC 的理由是_______________________________________.16. D O BA CE初三数学一模试卷第9页（共8页）高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的， 可以用其面积关系验证勾股定理. 图2 是由图1放入矩形内得到的，90BAC ∠=︒，AB =3，AC =4，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上， 那么矩形KLMJ 的面积为__________. 三、解答题（本题共72分，第17－26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 计算：0312(π2016)4cos60()2--+--︒+；18. 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->--≥2215143x x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来.初三数学一模试卷第10页（共8页）19．已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．20．如图，在△ABC 中，AC =BC ，BD ⊥AC 于点D ，在△ABC 外作∠CAE =∠CBD ，过点C 作CE ⊥AE 于点E .如果∠BCE =140︒，求∠BAC 的度数.EDA初三数学一模试卷第11页（共8页）21．通州区运河两岸的“运河绿道”和步行道是健身的主要场地之一. 杨师傅分别体验了60公里的“运河绿道”骑行和16公里的健步走，已知骑行的平均速度是健步走平均速度的4倍，结果健步走比骑行多用了12分钟，求杨师傅健步走的平均速度是每小时多少公里？22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b=+与反比例函数(0)m y m x =≠的图象交于点A （3，1），且过点B （0，-2）.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）如果点P是x轴上一点，且ABP△的面积是3，求点P的坐标．23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，求四边形ABCD的面积．E AyxBA-4-3-2-1-4-3-2-14321432O1初三数学一模试卷第12页（共8页）初三数学一模试卷第13页（共8页）24. 已知关于x 的一元二次方程22(21)0xk x k k -+++=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为5时，求k 的值.25. 北京市初中开放性实践活动从2015年10月底进入正式实施阶段. 资源单位发布三种预约方式：自主选课、团体约课、送课到校，可供约25万人次学生学习. 截至2016年3月底，某区统计了初一学生参加自主选课人次的部分相关数据，绘制的统计图如下：截至2016年3月底，某区初一学生 自主选课人次分布统计图其他类 12%电子与控制 m %能源与材料 6%结构与机械 22%健康与安全 18%自然与环境 10%信息与数据 2%根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）据2016年3月底预约数据显示，该区初一学生有12000人次参加自主选课，而团体约课比自主选课多8000人次，送课到校是团体约课的2.5倍. 请在下图中用折线统计图将该区初一学生自主选课、团体约课、送课到校人次表示出来；（3）根据上面扇形统计图的信息，请你为资源单位提一条积极的建议.截至2016500004000020000初三数学一模试卷第14页（共8页）初三数学一模试卷第15页（共8页）26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ． （1）求证：AB =BE ； （2）连结OC ，如果PD =3，∠ABC=60︒，求OC 的长．27.已知二次函数2y xmx n=++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，P CD OE A初三数学一模试卷第16页（共8页）与y 轴交于点C .（1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）将二次函数2y xmx n=++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围； （3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y xmx n=++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261xax a -++的值；xy321-3-1-2-44321O-1-2-3初三数学一模试卷第17页（共8页）28．△ABC 中，45ABC ∠=︒，AB BC ≠，BE AC ⊥于点E ，AD BC⊥于点D .（1）如图1，作ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，连接AF . 求证：FAB FBA ∠=∠；（2）如图2，连接DE ，点G 与点D 关于直线AC 对称，连接DG 、EG .①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并加以证明.图2图1FEA EA DD初三数学一模试卷第18页（共8页）29. 对于⊙P 及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P 是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 32），顶点C 、D 在x 轴上，且OC =OD.（1）当⊙P 的半径为4时，①在P 1（0，3-），P 2（233），P 3（23-1）中可以成为矩形ABCD 的“等距圆”的圆心的是_________________________； ②如果点P 在直线313y x =-+上，且⊙P是矩形ABCD 的“等距圆”，求点P的坐标；（2）已知点P 在y 轴上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，如果⊙P 与直线AD 没有公共点，直接写出点P 的纵坐标m 的取值范围.初三数学一模试卷第19页（共8页）yxO ABC D202016届初三数学一模参考答案一、选择题(本题共30分，每小题3分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDCDCBBADB二、填空题(本题共18分，每小题3分)11. 6； 12. 1y x =-、y x =- (答案不唯一)； 13.7500； 14. 511或4599； 15.SSS ； 16. 110；三、解答题（本题共72分，）17. 解：原式=121482+-⨯+；………………… 4分；=9. ………………… 5分.18．解不等式组:3415122， ①②x x x x .≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩解：解不等式①，得1x ≤；………………… 2分； 解不等式②，得1x >-； ………………… 4分；………………… 5分.所以这个不等式组的解集是11x -<≤.-1119. 已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分；∵2210a a --=，∴221a a -=， …………………4分；∴2242a a -=∴原式=246+=. ………………… 5分.20．解：∵BD⊥AC，CE⊥AE，∴90∠=∠=︒，BDC E∵∠CAE=∠CBD，∴△BDC∽△AEC，…………………2分；∴∠BCD=∠ACE，∵∠BCE =140︒，∴∠BCD=∠ACE=70︒，…………………4分；∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=55︒. …………………5分.21．解：设杨师傅健步走的平均速度是每小时x公里. ………… 1分；根据题意得：166012-=. …………x x4603分；解得：x=，…5……… 4分；经检验：5x =是原方程的根且符合实际问题的意义，答：杨师傅健步走的平均速度是每小时5公里. ………… 5分.22． 解：（1）∵反比例函数(0)m y m x=≠的图象过点A （3，1），∴31m = ∴3m =.∴反比例函数的表达式为3y x=. ………………… 1分； ∵一次函数y kx b =+的图象过点A （3，1）和B （0，-2）.∴312k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：12k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数的表达式为2y x =-. …………………3分；（2）令0y =，∴20x -=，2x =，∴一次函数2y x =-的图象与x 轴的交点C 的坐标为（2，0）. ∵S △ABP = 3， 1112322PC PC ⋅+⋅=. ∴2PC =，∴点P 的坐标为（0，0）、（4，0）． ………………… 5分；23.（1）证明：∵AB ∥CD ，CE ∥AD ， ∴四边形AECD 是平行四边形， (1)分；∵AC 平分∠BAD ， ∴EAC DAC ∠=∠， ∵AB ∥CD ，∴EAC ACD ∠=∠，∴DAC ACD∠=∠，∴AD=CD，…………………2分；∴四边形AECD是菱形.（2）∵四边形AECD是菱形，∴AE=CE，∴EAC ACE∠=∠，∵点E是AB的中点，∴AE=BE，∴B ECB∠=∠，∴90ACE ECB∠+∠=︒，即90ACB∠=︒…………………3分；∵点E是AB的中点，EC=2.5，∴AB=2EC=5，∴BC=3.…………………4分；∴S△ABC =162BC AC⋅=.EA∵点E是AB的中点，四边形AECD是菱形，∴S△AEC =S△EBC=S△ACD=3.∴四边形ABCD的面积=S△AEC +S△EBC+S△ACD=9. …………………5分；24. （1）证明：△=()()22214k k k-+-+⎡⎤⎣⎦=2244144k k k k++--=10>∴方程有两个不相等的实数根；…………………2分；（2）∵方程有一个根为5，∴2255(21)0k k k-+++=，29200k k-+=∴14k=，25k=…………………5分.25．（1）30m=； (1)分；截至2016（2）画图正确…………………4分；（3）积极的建议…………………5分.26．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA 的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB=BE；（2）连结OC，如果PD=3ABC=60 ，求OC的长．（1）证明：连结OD.∵OA=OD，∴DAO ADO∠=∠，∵PD切⊙O于点D，∴PD⊥OD，∵BE⊥PD，∴OD∥BE，…………………1分；∴E ADO∠=∠，∴E DAO∠=∠，…………………2分；∴AB=BE.（2）解：∵OD∥BE，∠ABC=60︒，∴60DOP ABC∠=∠=︒，∵PD⊥OD，∴tan DPDOPOD∠=，233=PCDOEA∴2OD =， (3)分；∴4OP =， ∴6PB =， ∴sin PC ABC PB ∠=， ∴326PC=，∴33PC = ∴3DC = …………………4分；∴222DC OD OC +=， ∴222327OC =+=，∴7OC =（舍负）. ………………… 5分； 27. 解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩解得：43m n =-⎧⎨=⎩二次函数的表达式为243y x x =-+. …………………2分；顶点坐标为（2，-1） ………………… 3分； （2）39b <<.………………… 5分； （3）∵()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数243y xx =-+的图象上，∴PQ ∥x 轴， ∵二次函数243y xx =-+的对称轴是直线2x =，又∵12x x <，2PQ a =. ∴12x a =-，22x a=+. ………………… 6分；∴()()2212612261xax a a a a a -++=--+++=5. ………………… 7分. 28.证明：（1）∵AD BC ⊥，45ABC ∠=︒ ∴45BAD ∠=︒∴AD BD =，………………… 1分； ∵DF 平分ADB ∠ ∴12∠=∠，在△ADF 和△BDF 中 ∵=,1=2,=,AD BD DF DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ADF ≌△BDF . ∴AF BF =.∴FAB FBA ∠=∠. (2)分；或用“三线合一”（2） 补全图形 ………………… 3分；21图1FEAD数量关系是：GD AE BE +=. ………………… 4分；过点D 作DH DE ⊥交BE 于点H ∴90ADE ADH ∠+∠=︒， ∵AD BC ⊥， ∴90BDH ADH ∠+∠=︒， ∴ADE BDH ∠=∠，∵AD BC ⊥，BE AC ⊥，AKE BKD ∠=∠， ∴DAE DBH ∠=∠， 在△ADE 和△BDH 中 ∵=,=,DAE DBHAD BD ADE BDH ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，∴△ADE ≌△BDH . ∴DE DH =，AE BH=， ………………… 5分； ∵DH DE ⊥， ∴45DEH DHE ∠=∠=︒， ∵BE AC ⊥， ∴45DEC ∠=︒，H图2KE A D∵点G 与点D 关于直线AC 对称，∴AC 垂直平分GD ，∴GD ∥BE ，45GEC DEC ∠=∠=︒， ∴90GED EDH ∠=∠=︒，∴GE ∥DH ， (6)分；∴四边形GEHD 是平行四边形∴GD EH =，………………… 7分. ∴GD AE BE +=.或过点D 作DH DE ⊥交AC 的延长线于点H.29. （1）当⊙P 的半径为4时，①P 1（0，3-），P 2（233）； ………………… 2分；②如果点P 在直线31y x =+上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”，求点P 的坐标；解：由题意可知：B （3-2）、D 3，0）图2LGEAD BC发现直线31y x =+经过点B 、D. ………………… 3分； ∴直线31y =+与y 轴的交点E 为（0，1），∵矩形ABCD 且OC =OD.∴点E 到矩形ABCD 四个顶点距离相等.∴PE =4，△BFE ≌△DOE ∴BF =OD 3，OE =EF =1，∴22222134ED EO OD =+=+=，∴2ED =，………………… 4分；∴EB =ED =2，当点P 在x 轴下方时，可证△DNP≌△DOE ，∴DN =OD 3OE =PN =1， ∴点P 的坐标为（3-1）；………………… 5分；yxFMPPN E OABCD当点P在x轴上方时，可证△EPM ∽△EBF，∴PM=2BF=3ME=2EF=2，∴点P的坐标为（23-3）. …………………6分；（2）1313-<<m≠m1. …………………8分.。

2016年门头沟区初三一模考试数学试卷2016．5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是2．2015年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年大会在北京隆重举行．在此次活动中，共有11个徒步方队，27个装备方队12 000名官兵通过天安门广场接受党和人民的检阅．将数字12 000用科学记数法表示为A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105D．0.12×1053．右图是某几何体的三视图，这个几何体是A ．圆柱 B．三棱柱C．球 D．圆锥4．有5张形状、大小、质地等均完全相同的卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆，背面也完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是A．B．C．D．5．某市乘出租车需付车费y（元）与行车里程x（千米）之间函数关系的图象如图所示，那么该市乘出租车超过3千米后，每千米的费用是A．0.71元B．2.3元C．1.75元D．1.4元6．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB=BC，Ð1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于A．20°B．30°C．32°D．25°7．右图是某市10 月 1 日至7 日一周内“日平均气温变化统计图”．在这组数据中，众数和中位数分别是A．13，13 B．14，14C．13，14 D．14，138．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么OD的长是A．2 B．C．1D．9．如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点 A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是A． B．C． D．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（4，0），C（0，3）．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于M、N两点，设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．化简：．12．分解因式：=．13．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著，完成于明嘉靖三年（1524年），全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为．14．在平面直角坐标系xOy中，A（1，2），B（3，2），连接AB．写出一个函数（k≠0），使它的图象与线段AB有公共点，那么这个函数的表达式为．15．某地中国移动“全球通”与“神州行”收费标准如下表：65～70分钟之间，那么他选择较为省钱（填“全球通”或“神州行”）．16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：．18．已知x－3y=0，求的值．19．解不等式，并把它的解集表示在数轴上，再写出它的最小整数解．20．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．21．“上海迪士尼乐园”将于2016年6月16日开门迎客，小明准备利用暑假从距上海2160千米的某地去“上海迪士尼乐园”参观游览，下图是他在火车站咨询得到的信息：根据上述信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点为A（－1，n）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）如果P是x轴上一点，且满足∠APO=45°，直接写出点P的坐标．23．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．24．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tan C=，求⊙O的直径．25. 阅读下列材料：2015年秋冬之际，北京持续多天的雾霾让环保成为人们关注的焦点，为了身心健康，人们纷纷来京郊旅游．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．爨、妙峰山、龙门涧等众多景点受到广大旅游爱好者的青睐．据统计，2015年门头沟游客接待总量为22.1万人次．其中潭柘寺的玉兰花和戒台寺的祈福受到了游客的热捧，两地游客接待量分别达3.8万人次、2.175万人次；爨底游客接待量分别为2.6万人次和1.76万人次；妙峰山樱桃园的游客密集度较高，达1.8万人次．2014年门头沟游客接待总量约为20万人次．其中，潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%；百花山游客接待量为2.62万人次，比2013年增加了0.4万人次；妙峰山樱桃园的大樱桃采摘更是受到广大游客的喜爱，接待量为2.2万人次．2013年，潭柘寺、双龙峡、妙峰山樱桃园游客接待量分别为3.2万人次、1.3万人次和1.49万人次．根据以上材料回答下列问题：（1）2014年，潭柘寺的游客接待量为万人次；（2）选择统计表或统计图，将2013－2015年潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园的游客接待量表示出来；（3）根据以上信息，预估2016年门头沟游客接待总量约为万人次，你的预估理由是．26．阅读材料，回答问题：（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”．上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：．（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如下图，它是由八个全等直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC，，．又∵ = ，∴，整理得，∴．（3）如图，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．27．已知关于x的一元二次方程mx2+(3m+1)x+3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+(3m+1)x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在－3≤x≤之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．28．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BA E的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF 分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）图1 图229．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．图1 图2 图3 （1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC 于P，那么∠APB∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．（3）如图4，点C是函数（x＞0）图象上一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，直接写出∠AOB 的关联角∠APB的顶点P的坐标．图42016年门头沟区初三一模考试数学答案及评分参考2016.5题号11 12 13答案三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27、28题，每小题7分，第29题8分）17．（本小题满分5分）解：原式=，………………………………………………………4分=.………………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：原式=，……………………………………………………………1分=．………………………………………………………………………2分∵x－3y=0，∴x=3y．………………………………………………………………3分∴当x=3y时，原式=．…………………………………………5分19．（本小题满分5分）解：．，……………………………………………………………………1分，………………………………………………………………………2分，，……………………………………………………………………………3分．………………………………………………………………………………4分将它的解集表示在数轴上∴它的最小整数解为．……………………………………………………………5分20．（本小题满分5分）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．…………………………………………………………1分∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=30°．……………2分∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠ACB=60°，∠DCB=∠CDE+∠CED，∴∠DEC=∠ACB=30°．……………………………………………………3分∴∠BDC=∠DEC．………………………………………………………………4分∴BD=DE．…………………………………………………………………………5分21．（本小题满分5分）解：设小明乘坐城际直达动车到上海需要x小时．……………………………………1分依题意，得．…………………………………………………………2分解得x=10．………………………………………………………………………………3分经检验：x=10是原方程的解，且满足实际意义．……………………………………4分答：小明乘坐城际直达动车到上海需要10小时．……………………………………5分22．（本小题满分5分）解：（1）∵点A（－1，n）在反比例函数的图象上，∴n=2．………………………………………………………………………1分∴点A的坐标为（－1，2）．……………………………………………2分∵点A在一次函数的图象上，∴．∴．∴一次函数的表达式为．………………………………………3分（2）点P的坐标为（－3，0）或（1，0）．……………………………………5分23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠F A B =∠ABE =90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠F A B =∠ABE =∠AFE=90°．∴四边形AB EF是矩形． (1)分又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠F A E=∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．∴四边形AB EF是正方形． (2)分（2）解：如图，过点P作PH⊥AD于H．∵四边形AB EF是正方形，∴ BP=PF，BA⊥AD，∠P AF=45°．∴AB∥PH．又∵AB=4，∴AH=PH=2．…………………………………………………………………3分又∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．……………………………………………………4分在Rt△PHD中，∠PHD=90°．∴tan∠ADP=．………………………………………………………5分24．（本小题满分5分）（1）证明：连接OD．∵DE为⊙O的切线，∴D E⊥O D，…………………………………………………………………1分∵AO=OB，D是AC的中点，∴OD∥BC．∴DE⊥BC．…………………………………………………………………2分（2）解：连接DB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴DB⊥AC，∴∠CDB=90°．∵D为AC中点，∴AB=BC，在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∵DE=2，tan C=，∴，……………………………………………………………3分由勾股定理得：DC=，在Rt△DCB中，∠BDC=90°，∴BD=DC·tan C＝，…………………………4分由勾股定理得：BC=5，∴AB=BC=5，∴⊙O的直径为5．………………………………………………………………5分25．（本小题满分5分）解：（1）4；………………………………………………………………………………1分（2）略；………………………………………………………………………………3分（3）略．………………………………………………………………………………5分26．（本小题满分5分）解：（1）；…………………………………………………………………1分（2）略；…………………………………………………………………………3分（3）∵矩形ABCD折叠点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8－x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8－x)2=x2，解得x=5．∴BE=8－5=3．………………………………………………………………5分27．（本小题满分7分）（1）证明：∵△= (3m+1)2－4×m×3，=(3m－1)2.……………………………………………………………1分∵(3m－1)2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根．………………………………………………2分（2）解：令y=0，那么mx2+(3m+1)x+3=0.解得，. …………………………………………………3分∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1.∴抛物线的表达式为.…………………………………………4分（3）解：∵当x=0时，y=3，∴C（0，3）.∵当y=0时，x1=－3，x2=－1.又∵点A在点B左侧，∴A（－3，0），B（－1，0）.∵点D与点B关于y轴对称，∴D（1，0）.设直线CD的表达式为y=kx+b.∴解得∴直线CD的表达式为y=－3x+3. …………………………………………5分又∵当时，.∴A（－3，0），E（，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A'（－3+n，0），E'（，）.当直线y=－3x+3过点A'（－3+n，0）时，∴－3(－3+n)+3=0，∴n=4.当直线y=－3x+3过点E'（，）时，∴，∴n=.∴n的取值范围是≤n≤4. ………………………………………………7分28．（本小题满分7分）解：（1）∠BA E=45°．…………………………………………………………………1分（2）①依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2．………………3分证明：如图1，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得△AFB．∴∠ADB=∠FBA，∠1=∠3，DN=BF，AF=AN．∵正方形ABCD，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°．∴∠FBM=∠FBA +∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°．∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2．∵旋转△ABE得到△AB'E'，∴∠E'AB'=45°，∴∠2+∠3=90°－45°=45°，又∵∠1=∠3，∴∠2+∠1=45°．即∠FAM=45°．∴∠FAM =∠E'AB'=45°．又∵AM=AM，AF=AN，∴△AFM≌△ANM．∴FM=MN．又∵FB2+BM2=FM2，∴DN2+BM2=MN2．………………………………………………5分（3）判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a．如图2，将△ADF绕点A瞬时针旋转90°得△ABG，推出DF=GB；b．由△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE；c．由DF=GB和EF=DF+BE推出EF=GE，进而得△AEG≌△AEF；d．由△AEG≌△AEF推出∠EAF=∠EAG=45°；e．与②同理，可证MN2=BM2+DN2．………………………………………7分29．（本小题满分8分）解：（1）是．……………………………………………………………………………1分（2）①如图，过点A作AH⊥OB于点H．∵∠APB是∠MON的关联角，OP=2，∴OA·OB=OP2=4．在Rt△AOH中，∠AOH=90°，∴，∴．∴S△AOB，．…………………………3分∵∠APB是∠MON的关联角，∴OA·OB=OP2，即．∵点P为∠MON的平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=．∴△AOP∽△POB．∴∠OAP=∠OPB．∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠O A P+∠OPA=180°－30°=150°．……5分②S△AOB．……………………………………………………6分（3）P点的坐标为，．…………………………………8分说明：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。