2018年北京市中考数学一模分类26题代数综合

2018年北京市中考数学一模分类——26题代数综合题东26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．西26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221y mx mx m =++- (m ≠0)与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1y mx m =+-(m ≠0) ．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长； （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由；（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于．．．2．，结合函数的图象，直接写出m 的 取值范围.海26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．朝26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.丰26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．石26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠单位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点． （1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点．①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式； ②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．门26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.顺26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．通怀26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0)，与x轴交于点C，D(点C 在点D的左侧)，与y轴交于点A．(1)求抛物线顶点M的坐标；(2)若点A的坐标为（0，3），AB∥x轴，交抛物线于点B，求点B的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B，C两点之间的部分沿y轴翻折，翻折后的图象记为G，若直线与图象G有一个交点，结合函数的图象，求m的取值范围．房26. 抛物线2y ax bx =+-x 轴于点A （－1,0），C （3，0），交y 轴于点B ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D . 点P 为线段OB 上的点，点E 为线段AB 上的点，且PE ⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算PEPB的值；（3）请直接写出12PB +PD 的最小值为 .大26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)=-+++f y x m x m m m ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12p x x .（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．平26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．延26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标； （2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围．。

28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的附点”，直接写出b 的取值范围．x28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B 的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．28. P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PA PB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．28．给出如下定义：对于⊙O 的弦MN 和⊙O 外一点P （M ，O ，N 三点不共线，且P ，O 在直线MN 的异侧），当∠MPN ＋∠MON=180°时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点．图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.（1）如图2， ,22M ⎛ ⎝⎭，22N ⎛- ⎝⎭.在A （1，0），B （1，1），)C 三点中，是线段MN 关于点O 的关联点的是 ；（2）如图3， M （0，1），N 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.①∠MDN 的大小为 °；②在第一象限内有一点E),m ，点E 是线段MN 关于点O 的关联点，判断△MNE 的形状，并直接写出点E 的坐标；③点F 在直线23y x =-+上，当∠MFN ≥∠MDN 时，求点F 的横坐标F x 的取值范围．28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．28. 在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11Ax ,y ，()22B x ,y ,且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图．．．直接．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图22018大兴一模28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.1如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图22018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．2L 1图22018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ；② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.2018燕山一模27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图准蝶形AMB A BM。

北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编目录北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解不等式组（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：计算题（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：解四边形（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何证明（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：几何综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：函数计算及运用（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：二次函数综合（含答案）北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编：统计（含答案）解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解. 18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，∴原不等式解集为13x -<≤，∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩ 18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①② 解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩ 18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分 朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分① ②18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x －1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5……………………….5′ 门头沟区18. 解不等式组：1031+1.x x x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解. 17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分 由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分 它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分① ②18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)455 3 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． ·········································································1 解不等式②，得 x ＞-1． ·······································································3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ························································4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ·······················································5 怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x 18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分 原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分 延庆区18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解． 18．解：由①得，x <4． ……1分由②得，x ≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x <4． ……4分∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分计算题专题东城区17．计算：()2012sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭. =217.解：原式分分西城区17114sin 3015-⎛⎫+︒- ⎪⎝⎭．【解析】原式1541)52122=+⨯-=+=． 海淀区17．计算：11()3tan 302|3-︒+． 17.解：原式=3323-⨯+- ………………4分=5- ………………5分丰台区1702cos 45(3π)|1-︒+-+-．1702cos 45(3π)|1︒+-+．=211++ ……………………4分= ……………………5分石景山区17．计算：012sin 455(3--++° 17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分朝阳区17. 计算：2sin30°+ .8)4()31(01+-+-π17. 解：原式 2213212+++⨯= …………………………………………………4分 225+=. ……………………………………………………………5分燕山区17．计算：4cos30°－12 + 20180 + ||1－317．4cos30°－12 + 20180 + ||1－3 =13132234-++-⨯=3 门头沟区17．计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．平谷区17．计算：(1013132sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π.17．解：(1013132sin 603-⎛⎫-+--︒ ⎪⎝⎭π=331312-- ···········································································4 =1 ····································································································5 怀柔区17.计算：102130tan 3)3(31-︒⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π. 17.解：原式331132=--+ …………………………………………………4分.…………………………………………………………………5分延庆区17．计算：0113tan 301(2)()3π-︒+---．17．原式=3⨯33+3-1+1-3 ……4分=23-3 ……5分顺义区17．计算：()01312sin 452π--︒+-．17．解：()01312sin 452π--︒+-112132=-⨯+ (4)分13= ……………………………………………………………………………… 5分4=-解四边形专题东城区21．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE = AB ，连接DE ，AC .（1）求证：四边形ACDE 为平行四边形;（2）连接CE 交AD 于点O . 若AC=AB =3，1cos 3B =，求线段CE 的长.21.(1) 证明：∵平行四边形ABCD ，∴=AB DC ，AB DC ∥.∵AB =AE ，∴=AE DC ，AE DC ∥.∴四边形ACDE 为平行四边形. -------------------2分(2) ∵=AB AC ，∴=AE AC .∴平行四边形ACDE 为菱形.∴AD ⊥CE .∵AD BC ∥，∴BC ⊥CE.在Rt △EBC 中，BE =6, 1cos 3BC B BE ==, ∴=2BC . 根据勾股定理，求得=42BC 分 西城区21．如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ． （1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．BDA【解析】（1）补全的图形如图所示．90AOB ∠=︒． 证明：由题意可知BC AB =，DC AB =， ∵在ABD △中，ABD ADB ∠=∠， ∴AB AD =，∴BC DC AD AB ===， ∴四边形ABCD 为菱形， ∴AC BD ⊥， ∴90AOB ∠=︒．（2）∵四边形ABCD 为菱形， ∴OB OD =．在Rt ABO △中，90AOB ∠=︒，5AB =，3cos 5ABD ∠=，∴cos 3OB AB ABD =⋅∠=， ∴26BD OB ==．ABCDO海淀区21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . （1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是__________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_______.C B EOAD21．（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =, ∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ………………2分 ∴90BOA ∠=︒. ∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ………………3分 (2) 正方形； ………………4分2. ………………5分丰台区21．已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．ABCEDF21．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC .∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB . ∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4.∴Rt △AEG 中，EG=23.∴ED=43. ………………………5分 （其他证法相应给分）石景山区21．如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ． （1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．BA CE D21．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠． 又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分 （法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略． （2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==．∴624AB HE ==-=． ………………5分朝阳区21. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上任意一点，E 是BC 边中点，过点C作AB 的平行线，交DE 的延长线于点F ，连接BF ，CD ． （1）求证：四边形CDBF 是平行四边形； （2）若∠FDB =30°，∠ABC =45°，BC =，求DF 的长．21.（1）证明：∵CF ∥AB ，∴∠ECF ＝∠EBD . ∵E 是BC 中点， ∴CE ＝BE .∵∠CEF ＝∠BED ， ∴△CEF ≌△BED . ∴CF ＝BD .∴四边形CDBF 是平行四边形. ………………………2分（2）解：如图，作EM ⊥DB 于点M ，∵四边形CDBF 是平行四边形，BC ＝24，∴2221==BC BE ，DE DF 2=. 在Rt △EMB 中，2sin =∠⋅=ABC BE EM . ……………………3分在Rt △EMD 中，42==EM DE . …………………4分∴DF ＝8. ………………………………………………………5分燕山区23． 如图，在△ABC 错误!未找到引用源。

2018西城一模26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x2018石景山一模26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠）向右平移位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点．（1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2．（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.()244=00ax ax a --≠26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()02342≠-+-=aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．26.抛物线2y ax bx =+x 轴于点A （－1,0），C （3，0），交y 轴于点B ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D . 点P 为线段OB 上的点，点E 为线段AB 上的点，且PE ⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算PE PB的值； （3）请直接写出12PB +PD 的最小值为 .26.有一个二次函数满足以下条件： ①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =；③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.2018大兴一模26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．2018顺义一模26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．2018通州一模26. 在平面直角坐标系xOy 中，点C 是二次函数2441y mx mx m =+++的图象的顶点，一次函数4+=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .（1）请你求出点A ,B ,C 的坐标；（2）若二次函数2441y mx mx m =+++与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围.。

昌平区2018年初三年级第一次统一练习数 学 试 卷 2018．5一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的倒数是（ ）A ．12- B ．12C ．2-D ．22．气象学上将目标物的水平能见度小于10 000米时的非水成物组成的气溶胶系统造成的视程障碍称为霾或灰霾，水平能见度在1 000－10 000米的这种现象称为轻雾或霭. 测得北京市某天的能见度是9 820米，那么数据9 820用科学记数法可表示为（ ）A ．98210⨯B ．298.210⨯C ．39.8210⨯D ．40.98210⨯3. 如图，若AB ∥CD ，∠A ＝70°，则∠1的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．70°D ．110° 4．现将背面相同的4张扑克牌背面朝上，D BAC1洗匀后，从中任意翻开一张是数字5的概率为（）A．14B．13C．25 D．125．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能．．．是（）A. 2.5B.3C.4D.56．九（1）班体育委员记录了本班第一小组七位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮框的个数分别为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数和极差分别是（）A．4，7 B. 7，5 C. 5，7 D. 3，7 7．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）俯视图左视图主视图A．12abπ B．12acπ C．abπ D．acπ8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cmABCPBP的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P '.设Q 点运动的时间为t 秒，若四边形QP CP '为菱形，则t 的值为（ ）3二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数y x 的取值范围是 . 10．把多项式322x x x -+分解因式，结果为 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若cos ∠CAM =45，则tan ∠B 的值为 ．12．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，点P 在BC 上．若点P 为BC 的中点，则2m AP BP PC =+⋅的值为 ；若BC 边上有100个不同的点P 1，P 2，…，P 100，且m i =AP i 2+BP i ⋅P i C （i =1,2，…，100），则m =m 1+m 2+…+m 100 的值为 ．三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 13.计算：()1014sin 6013π-⎛⎫︒-+- ⎪⎝⎭．14. 解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．15. 已知222a a -=，求2223()42a a a a -+-+ 的值.PCB AACMBDEA16. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，AD =AB ，AE ⊥AC ，AE = AC ． 求证：BE =CD ．17. 将直线y x =沿y 轴向下平移后，得到的直线与x轴交于点A （30，），与双曲线my x=（0x >）交于点B ．（1）求直线AB 的解析式；（2）设点B 的纵坐标为a ，求m 的值（用含a 的代数式表示）．18. 某学校组织九年级（1）班和（2）班的学生到离校5千米的“农业嘉年华”参观，（1）班学生的行进速度是（2）班学生速度的1.25倍，结果（1）班学生比（2）班学生早到15分钟，求（2）班学生的速度．四、解答题（共４道小题，19—21小题各5分，22题4分，共19分） 19. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，延长AB 到E ，使BE =AB ，连接CE .（1）求证：直线CE 是⊙O 的切线；（2）连接OE 交BC 于点F ，若OF =2 , 求EF 的长.20. 某学校一直坚持开展用眼健康方面的教育，并进行跟踪治疗. 为了调查全校学生的视力变化情况，从中抽取部分学生近几年视力检查的结果做了统计（如图1），并统计了2018年这部分学生的视力分布情况（如表1和图2）.图2视力5.2及以上 y %视力5.1 20%视力4.9及以下 x %视力5.0 40%2012年部分学生视力分布统计图表12012 年部分学生视力分布统计表5.2及以上5.15.04.9及以下20ba60人数视力2009—2012 年部分学生视力为5.0的人数统计图人图1（1）根据以上图表中提供的信息写出：a = ，b = ， x + y = ；（2）由统计图中的信息可知，近几年学生视力为5.0的学生人数每年与上一年相比，增加最多的 是 年；（3）若全校有1000名学生，请你估计2018年全校学生中视力达到5.0及以上的约有人.21. 已知：如图，在□ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AE，DF分别与线段BC相交于点E，F，AE与DF相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．AGFEB C22.（1）人教版八年级数学下册92页第14题是这样叙述的：如图1，□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，HG∥AB，图中哪两个平行四边形的面积相等？为什么？根据习题背景，写出面积相等的一对平行四边形的名称为和；（2）如图2，点P为□ABCD内一点，过点P分别作AD、AB的平行线分别交□ABCD 的四边于点E 、F 、G 、H . 已知S □BHPE = 3，S □PFDG = 5，则PAC S ∆= ；（3）如图3，若①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重复、无缝隙）.已知①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD 的面积为11，则菱形EFGH 的周长为 ．图2图3图1⑤④③②①H PA BGEH DF C ABGEP DF C HGFE DCBA五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题9分，共23分）23. 已知抛物线22=-+-+．y x kx k（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点；，且线段OP与x轴正半轴所夹（2）在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=103，求该抛物线的解析式；锐角的正弦值为45（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组. 成一个新的图形M，当直线y x b=-+与图形M有四个交点时，求b的取值范围24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B 按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．C 1C BA 1A图2A 1C 1ABC图1图3A25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B ，C 在x 轴上，点A ，E 在y 轴上，OB ︰OC =1︰3，AE =7，且tan ∠OCE =3，tan ∠ABO =2.（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（2）点D 在（1）中的抛物线上，四边形ABCD 是以BC 为一底边的梯形，求经过B 、D 两点的一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点D 作直线DQ ∥y 轴交线段CE 于点Q ，在抛物线上是否存在点P ，使直线PQ 与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD 的底角，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.昌平区2018年中考数学一模试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）13．解：原式=-+ (4)4312分=-2．………………………………………………………………………5分14．解：5x-12≤8x-6 ……………………………………………………………………………1分5x-8x≤12-6 ……………………………………………………………………………2分-3x≤6 ……………………………………………………………………………3分x≥-2． …………………………………………………………………………… 4分∴原不等式的解集在数轴上表示为……………… 5分 15．解：原式=223(2)(2)2a a a a a ⎡⎤-+⎢⎥+-+⎣⎦ (1)分=213()22a a a +++ …………………………………………………………………2分=242a a + …………………………………………………………………… 3分 =242a a +． …………………………………………………………………… 4分当2a 2 –a =2时，2a 2 =a +2. ∴原式=22422a a =. ………………………………………………………………… 5分16．证明： ∵AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，∴∠DAB=∠EAC =90°．∴∠DAB+∠1=∠EAC+∠1．即∠DAC=∠EAB ． ……………………… 1分 又∵AD=AB ，AE=AC ， …………………………………… 3分 ∴△DAC ≌△EAB (SAS)． ………………………… 4分 ∴CD = BE ． ……………………………… 5分17．解：（1）依题意，设直线AB 的解析式为y = x +b ．…………………………………………… 1分∵直线AB 与x 轴交于点A （3，0）， ∴0 = 3 + b . ∴b =-3. ……………………………………………………………………………… 2分∴直线AB 的解析式为y = x -3. ………………………………………………………… 3分 （2）∵直线AB 与双曲线my x（x ＞0）交于点B ，且点B 的纵坐标为a ，∴a = x -3. ∴x = a +3. …………………………………………………………………………………… 4分1DBCEA∴3m a a =+. ∴m = a (a +3). …………………………………………………………………………… 5分 18．解：设（2）班学生的速度为x 千米/小时． ………………………………………… 1分 依题意，得 ：55151.2560x x -= ． (2)分解得： x =4 ． ………………………………………………… 3分 经检验：x = 4是原方程的解，且符合实际意义． …………………………………… 4分答：（2）班学生的速度为4千米/小时． ………………………………………………… 5分四、解答题（共４道小题，19—21小题各5分，22题4分，共19分） 19．（1）证明：连接OC∵四边形ABCD 是O 的内接正方形， ∴AB=BC ，CO 平分∠DCB ，∠DCB =∠ABC =90°.∴∠1=45°，∠EBC =90°. ∵AB=BE ， ∴BC=BE .∴∠2=45°.∴∠OCE =∠1+∠2 = 90°. ∵点C 在O 上，∴直线CE 是O 的切线. ……………………………………2分（2）解：过点O 作OM ⊥AB 于M , ∴11=22AM BM AB BE ==.∴23BE ME=. (3)分∵FB ⊥AE ,∴FB ∥OM .∴△EFB ∽△EOM . …………………………………………………………4分∴EFEBEO EM =.∴223EF EF =+. ∴EF =4. …………………………………………………………5分 20．解：(1)80,40,40. ........................................................................ 3分 (2) 2018. (4)分（3）700. ……………………………………………………………………………5分 21．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥DC . ∴∠BAD +∠ADC=180°. ………………………………………1分 ∵AE 、DF 分别平分∠BAD 、∠ADC ，∴111,222BAD ADC ∠=∠∠=∠ .∴112()902BAD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ .∴∠AGD=90°. ∴AE ⊥DF . ………………………………………………………2分(2)由（1）知：AD ∥BC ,且BC= AD = 10，DC =AB =6，∠1=∠3,∠2=∠4 .∴∠1=∠AEB ,∠2=∠DFC .∴∠3=∠AEB ,∠4=∠DFC . ∴BE=AB =6，CF=DC =6. ∴BF =4. ∴EF =2. …………………………………………………3分∵AD ∥BC ,∴△EFG ∽△ADG .4321GAE B CDF∴15EG EF AGAD==. ∴145EG EG=-. ∴EG=23.∴AG=103. ……………………………………………………4分由（1）知∠FGE=∠AGD=90°，由勾股定理，得DG=3，FG=3.∴DF=. …………………………………………………5分22．解：（1）□AEPH 和□PGCF 或□ABGH 和□EBCF 或□AEFD 和□HGCD . …………… 1分 （2）1. ……………………………………………………………………………………… 2分 （3）24． ……………………………………………………………………………………… 4分五、解答题（共3道小题，第23题7分，第24题7分，第25题9分，共23分） 23．（1）证明：当y =0时，得220x kx k -+-=. ∵22244(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2(2)0k -≥，∴2(2)40k -+>.∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. …………………… 3分（2）解：如图，过点P 作PA ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，依题意得：104,sin 35OP POA =∠=.∴8,23AP OA ==.∵n <0, ∴8(2,)3P -.∵P 在抛物线上， ∴84223k k -=-+-+. ∴23k =-. ∴抛物线解析式为22833y x x =--+. ………………………………………5分 （3）当y =0时，228033x x +-=.∴1242,3x x =-=，∴抛物线与x 轴相交于点4(2,0),(,0)3.B C -当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b =-2. ………………………………………6分当直线y = - x + b 与抛物线228+-33y x x =相切时，22833x +x-x b =-+， ∴△ = 2584()093b ++=. ∴ b =12136-. ……………………………………………………………………7分∴ 当12136-＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. ………………………………………8分24．解：（1）如图1，依题意得：△A 1C 1B ≌△ACB .……… 1分∴BC 1=BC ，∠A 1C 1B =∠C =30°. ∴∠BC 1C = ∠C =30°.∴∠CC 1A 1 = 60°.…………………………… 2分（2）如图2，由（1）知：△A 1C 1B ≌△ACB .∴A 1B = AB ，BC 1 = BC ，∠A 1BC 1 =∠ABC . ∴∠1 = ∠2， 114263A B AB C B BC === ∴ △A 1BA ∽△C 1BC ………………… 3分∴112ΔΔ2439A BA C BCS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ……………………4分 ∵1Δ3C BC S =，∴1Δ43A BA S =. ……………………………5分（3）线段EP 1长度的最大值为8，EP 1长度的最小值1. ………… 7分 25．解：（1）依题意得：∠AOB =∠COE =90°，A 1C 1AB C图121C 1CBA 1A图2∴OAOB=tan ∠ABO =2, OE =OC tan ∠OCE =3. …………………………………………1分∴OA =2OB ,OE =3OC . ∵OB =OC =1︰3, ∴OC =3OB . ∴OE =9OB . ∵ AE =7, ∴9OB -2OB =7.∴OB =1,OC =3,OA =2,OE =9.∴A (0,2),B (-1,0),C (3,0),E (0,9).……………………………………………………2分设抛物线的解析式为：y =a (x +1)(x -3), ∴ 2=-3a ，即a =-23.∴抛物线解析式为：224233y x x =-++.…………………………………3分（2）过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D .∴ 2D A y y ==.∴D (2,2). …………………………………………4分 设直线BD 的解析式为y =kx +b ，∴022k b k b =-+⎧⎨=+⎩∴k=23, b =23.∴直线BD 的解析式为2233y x =+.…………………………………………5分 （3）易知直线CE 的解析式为y = -3x +9,Q (2,3).设与y 轴交于点F ，过点Q 作QM⊥y 轴于点M .则∠QMF =∠AOB = 90°. ∵∠QFM =∠ABO ，∴tan ∠QFM = tan ∠ABO =2 . ∴2QM MF=.∵Q (2,3)， ∴1132MF QM ,MO ===.∴F (0,2)即P (0,2).经验证，P (0,2)在抛物线224233y x x =-++上. 易求得，此时直线PQ 的解析式为122y x =+，直线PQ 与抛物线224233y x x =-++的另一个交点的坐标为52148,⎛⎫⎪⎝⎭. ……………………………………………7分 同理可求得满足条件的另两个点P 的坐标为22,-+⎝和122,--⎛ ⎝. ……………………………………9分 综上所述，满足条件的点P 的坐标为P1(0,2), P 252148,⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 32-+, P 42,-.。

2 ■ 亠. 亠 东城26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax 4ax 3a 2 a 0与x 轴交于A , B 两点(点A 在点B 左侧).(1) 当抛物线过原点时，求实数 a 的值； (2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标(用含 a 的代数式表示)； (3) 当AB W 4时，求实数a 的取值范围.东城27.已知△ ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且 AD=AB , 过点C 作AD 的垂线,交AD的延长线于点H .(1) 如图 1,若 BAC 60① 直接写出 B 和ACB 的度数； ② 若AB=2，求AC 和AH 的长；(2) 如图2,用等式表示线段 AH 与AB+AC 之间的数量关系，并证明.O 在直线MN 的异侧)，当/ MPN + Z MON= 180时，则称点 P 是线段MN 关于点O 的关联点•图1是点P 为线段MN 关于点O 的关联点的示意图•在平面直角坐标系 xOy 中，O O 的半径为1.东城28.给出如下定义：对于O O 的弦MN 和O O 外一点P ( M , O , N 三点不共线，且P ,阳1三点中，是线段MN 关于点0的关联点的是 ___________________________1—,点D 是线段 MN 关于点O 的关联点.2①/ MDN 的大小为 ___________西城26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G : y mx 2 2mx m 1 (m ^ 0与 y 轴交于点C ,抛物线G 的顶点为D ，直线l : y mx m 1 (m ^ 0).(1)当m 1时，画出直线l 和抛物线G ,并直接写出直线I 被抛物线G 截得的线段 长；(2) 随着m 取值的变化，判断点 C , D 是否都在直线I 上并说明理由； (3) 若直线I 被抛物线G 截得的线段长不小于.2,结合函数的图象，直接写出m 的 取值范围•西城27.正方形ABCD 的边长为2.将射线AB 绕点A 顺时针旋转a,所得射线与线段 BD 交于点M ，作CE 丄AM 于点E ,点N 与点M 关于直线 CE 对称，连接 CN. (1) 如图 1，当 0°<<45°时，① 依题意补全图1 ;② 用等式表示/ NCE 与/ BAM 之间的数量关系： ___________________ ;(1)如图2,乎.在 A (1, 0 ),B ( S’。

代几综合2018西城一模28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQkCQ ，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ ，2AQk CQ （或2BQCQ ）．已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q ，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r 时，①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(12,0)A 是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当1r，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k 时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b 与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．备用图C yxO Q 图1C y x OA 1A 2Q2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11,x y ，点N 的坐标为22,x y ，且12x x ，12y y ，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；（2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．。

代数综合专题东城区20. 已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=.(1) 求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根；(2) 若方程有一个根的平方等于4，求m 的值.20. （1）证明：()()2=+3-42m m ∆+()2=+1m∵()2+10m ≥，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实根. -------------------2分（2）解：由求根公式，得()()1,231=2m m x +±+， ∴1=1x ，2=+2x m .∵方程有一个根的平方等于4，∴()2+24m =.解得=-4m ，或=0m . -------------------5分西城区20．已知关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，0m ≠）．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．【解析】（1）2222(3)4(3)691269(3)0m m m m m m m m ∆=--⨯-=-++=++=+≥ ∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得(3)(3)2m m x m --±+=， ∴11x =，23x m=-（0m ≠）． ∵此方程的两个实数根都为正整数，∴整数m 的值为1-或3-．海淀区20．关于x 的一元二次方程22(23)10x m x m --++=.（1）若m 是方程的一个实数根，求m 的值；（2）若m 为负数．．，判断方程根的情况. 20．解：（1）∵m 是方程的一个实数根，∴()222310m m m m --++=. ………………1分 ∴13m =-. ………………3分 (2)24125b ac m ∆=-=-+.∵0m <，∴120m ->.∴1250m ∆=-+>. ………………4分∴此方程有两个不相等的实数根.丰台区20．已知：关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2m = 0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求m 的值．20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ>0.∴Δ=24421680m m --⋅=->（）．∴2m <. ………………………2分（2）∵2m <，且m 为非负整数，∴=0m 或1. ………………………3分当m =0时，方程为240x x -=，解得方程的根为01=x ，24x =，符合题意；当m =1时，方程为2420x x -+=，它的根不是整数，不合题意，舍去.综上所述，m =0. ………………………5分石景山区20．关于x 的一元二次方程2(32)60mx m x +--=．（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为负整数．20．解：（1）∵24b ac ∆=-2(32)24m m =-+2(32)0m =+≥∴当0m ≠且23m ≠-时,方程有两个不相等实数根. …………… 3分 （2）解方程，得： 12x m=,23x =-． …………… 4分 ∵m 为整数,且方程的两个根均为负整数,∴1m =-或2m =-．∴1m =-或2m =-时, 此方程的两个根都为负整数. …………… 5分朝阳区20. 已知关于x 的一元二次方程0)1(2=+++k x k x ．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k 的取值范围.20. （1）证明：依题意，得k k 4)1(2-+=∆ …………………1分.)1(2-=k …………………………………2分∵0)1(2≥-k ，∴方程总有两个实数根. ………………………3分（2）解：由求根公式，得11-=x ，k x -=2. …………………………4分∵方程有一个根是正数，∴0>-k .∴0<k .………………………………5分燕山区21．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为1时，求k 的值．21．（1） 证明：因为[])(14)12(4222k k k ac b +⨯⨯-+-=- 01〉=所以有两个不等实根 …………3′..(2)当x=1 时，01)12(12=++⨯+-k k k 02=-k k ′1021==k k 或 ………5′门头沟区22. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且方程有两个非零的整数根，求k 的取值.22（本小题满分5分）解：（1）由题意得，168(1)0k ∆=--≥．………………………………………1分∴3k ≤． ………………………………………2分（2）∵k 为正整数，∴123k =，，．当1k =时，方程22410x x k ++-=有一个根为零；……………………3分当2k =时，方程22410x x k ++-=无整数根； ……………………4分当3k =时，方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根.综上所述，1k =和2k =不合题意，舍去；3k =符合题意．……………5分大兴区20. 已知关于x 的一元二次方程01632=-+-k x x 有实数根，k 为负整数．（1）求k 的值；（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．20.解：（1）根据题意，得Δ=(－6)2－4×3（1－k ）≥0．解得2≥-k ．……………………………………………………………1分∵k 为负整数，∴k =－1，－2．……………………………………… 2分（2）当1=-k 时，不符合题意，舍去； ………………………………… 3分当2=-k 时，符合题意，此时方程的根为121==x x ．………… 5分平谷区20．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．20．解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴()2Δ2410k =-->····················· 1 =8－4k >0.∴2k < (2)（2）∵k 为正整数，∴k =1． ··························· 3 解方程220x x +=，得120,2x x ==-． ············· 5 怀柔区20.已知关于x 的方程226990-+-=x mx m .（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x 1，x 2，其中x 1>x 2，若x 1=2x 2，求m 的值.20.(1）∵△=(-6m)2-4(9m 2-9) ……………………………………………………………………1分=36m 2-36m 2+36=36>0.∴方程有两个不相等的实数根……………………………………………………………2分（2）66332m x m ±===±.……………………………………………………3分 ∵3m+3>3m -3,∴x 1=3m+3,x 2=3m-3, …………………………………………………………………………4分 ∴3m+3=2(3m -3) .∴m=3. …………………………………………………………………………………………5分 延庆区20．已知：∠AOB 及边OB 上一点C ．求作：∠OCD ，使得∠OCD=∠AOB ．要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写做法；（说明：作出一个．．即可） 2．请你写出作图的依据．C B O A20． （1）作图（略） ……2分（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；等边对等角. ……5分顺义区20．已知关于x 的一元二次方程()21260x m x m --+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是负数，求m 的取值范围．20．（1）证明：∵()214(26)m m ⎡⎤∆=----⎣⎦221824m m m =-+-+21025m m =-+ ()25m =-≥0 …………………………………………………… 2分 ∴ 方程总有两个实数根． ………………………………………………… 3分（2）解：∵1(5)2m m x -±-==， ∴ 13x m =-，22x =． ……………………………………………… 4分 由已知得 30m -<．∴ 3m <． ………………………………………………………………… 5分。

解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解. 18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，∴原不等式解集为13x -<≤，∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩ 18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①② 解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分丰台区18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩ 18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分 朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分 燕山区① ②18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x－1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5……………………….5′门头沟区 18. 解不等式组：1031+1.x x x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解. 17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分 由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分 它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分① ②平谷区18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)455 3 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． ······················· 1 解不等式②，得 x ＞-1． ······················· 3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ·················· 4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ················· 5 怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x 18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分 原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分 延庆区18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解． 18．解：由①得，x <4． ……1分由②得，x ≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x <4． ……4分∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分顺义区18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分。

代几综合2018西城一模28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当r =①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________．②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当k =r 的取值范围．（3）若存在r的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C附点”，直接写出b 的取值范围．x2018平谷一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠，12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.（1）已知点A （2,0），B （0,23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．2018石景山一模28．对于平面上两点A ，B ，给出如下定义：以点A 或B 为圆心， AB 长为半径的圆称为点A ，B 的“确定圆”．如图为点A ，B的“确定圆”的示意图．．．． （1）已知点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(3,3)， 则点A ，B 的“确定圆”的面积为_________；（2）已知点A 的坐标为(0,0)，若直线y x b =+上只存在一个点B ，使得点A ，B 的“确定圆”的面积为9π，求点B 的坐标；（3）已知点A 在以(0)P m ，为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y x = 若要使所有点A ，B 的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m 的取值范围．2018怀柔一模PB≤3，28. P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PA则点P为⊙C的“特征点”．(1)当⊙O的半径为1时．①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是；②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是．．．⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．2018海淀一模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在一点T 不与O 重合，使点P 关于直线OT 的对称点'P 在⊙C 上，则称P 为⊙C 的反射点．下图为⊙C 的反射点P 的示意图．（1）已知点A 的坐标为(1,0)，⊙A 的半径为2，①在点(0,0)O ，(1,2)M ，(0,3)N -中，⊙A 的反射点是____________； ②点P 在直线y x =-上，若P 为⊙A 的反射点，求点P 的横坐标的取值范围； （2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，y 轴上存在点P 是⊙C 的反射点，直接写出圆心C 的横坐标x 的取值范围．2018朝阳一模28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为线段AB的伴随点．（1）当t=-3时，①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是；②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N，且MN=，求b的取值范围；（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．2018东城一模28．给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.（1）如图2，2222M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，2222N⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.在A（1，0），B（1，1），)2,0C三点中，是线段MN关于点O的关联点的是；（2）如图3， M（0，1），N3122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，点D是线段MN关于点O的关联点.①∠MDN的大小为°；②在第一象限内有一点E)3,m m，点E是线段MN关于点O的关联点，判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；③点F在直线323y x=-+上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标Fx的取值范围．2018丰台一模28．对于平面直角坐标系xOy 中的点M 和图形1W ，2W 给出如下定义：点P 为图形1W 上一点，点Q 为图形2W 上一点，当点M 是线段PQ 的中点时，称点M 是图形1W ，2W 的“中立点”．如果点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，那么“中立点”M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x ．已知，点A (-3，0)，B (0，4)，C (4，0)． （1）连接BC ，在点D (12，0)，E (0，1)，F (0，12)中，可以成为点A 和线段BC 的“中立点”的是____________；（2）已知点G (3，0)，⊙G 的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K 可以成为点A 和⊙G 的“中立点”，求点K 的坐标；（3）以点C 为圆心，半径为2作圆．点N 为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N ，使得y 轴上的一点可以成为点N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点N 的横坐标的取值范围．2018房山一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，当图形W 上的点P 的横坐标和纵坐标相等时，则称点P 为图形W 的“梦之点”. （1）已知⊙O 的半径为1. ①在点E （1,1），F （－22 ,－22）,M (－2，－2)中，⊙O 的“梦之点”为 ； ②若点P 位于⊙O 内部，且为双曲线ky x=（k ≠0）的“梦之点”，求k 的取值范围. （2）已知点C 的坐标为（1，t ），⊙C 的半径为 2 ，若在⊙C 上存在“梦之点”P ，直接写出t 的取值范围.（3）若二次函数21y ax ax =-+的图象上存在两个“梦之点”()11Ax ,y ，()22B x ,y ,且122x x -=，求二次函数图象的顶点坐标.2018门头沟一模28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为11(,)x y ，点N 的坐标为22(,)x y ，且12x x ≠，12y y =,我们规定：如果存在点P ，使MNP ∆是以线段MN 为直角边的等腰直角三角形，那么称点P 为点M 、N 的 “和谐点”. （1）已知点A 的坐标为)3,1(，①若点B 的坐标为)3,3(，在直线AB 的上方，存在点A ，B 的“和谐点”C ，直接写出点C 的坐标；②点C 在直线x =5上，且点C 为点A ，B 的“和谐点”，求直线AC 的表达式.（2）⊙O 的半径为r ，点D (1,4)为点E (1,2)、F ),(n m 的“和谐点”，若使得△DEF 与⊙O 有交点，画出示意图直接．．．．．写出半径r 的取值范围.备用图1 备用图22018大兴一模28.在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴上一点A 作平行于x 轴的直线交某函数图象于点D ，点P 是x 轴上一动点，连接D P ，过点P 作DP 的垂线交y 轴于点E （E 在线段OA 上，E 不与点O 重合），则称∠DPE 为点D ，P ,E 的“平横纵直角”.图1为点D ，P ,E 的“平横纵直角”的示意图.1如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数图象与y 轴交于点(0,)F m ，与x 轴分别交于点B （3-，0），C （12，0）. 若过点F 作平行于x 轴的直线交抛物线于点N . （1）点N 的横坐标为 ；（2）已知一直角为点,,N M K 的“平横纵直角”，若在线段OC 上存在不同的两点1M 、2M ，使相应的点1K 、2K 都与点F 重合，试求m 的取值范围；（3）设抛物线的顶点为点Q ，连接BQ 与FN 交于点H ,当4560QHN ︒≤≤︒∠时，求m 的取值范围．图22018顺义一模28．如图1，对于平面内的点P 和两条曲线1L 、2L 给出如下定义：若从点P 任意引出一条射线分别与1L 、2L 交于1Q 、2Q ，总有12PQ PQ 是定值，我们称曲线1L 与2L “曲似”，定值12PQ PQ 为“曲似比”，点P 为“曲心”．例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为1r 、2r （都是常数）的两个同心圆1C 、2C ，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M 、N ，因为总有12''r O M O N r =是定值，所以同心圆1C 与2C 曲似，曲似比为12r r ，“曲心”为O'．（1）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与抛物线2y x =、212y x =分别交于点A 、B ，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；（2）在（1）的条件下，以O 为圆心，OA 为半径作圆，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，是否存在k 值，使⊙O 与直线BC 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“212y x =”改为“21y x m=”，其他条件不变，当存在⊙O 与直线BC 相切时，直接写出m 的取值范围及k 与m 之间的关系式．图1Q 2Q 1L 2L 1P图2C 2C 1NMO'2018通州一模28.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,y x Q 与()22y x P ，.若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 或y 轴平行(或重合)，则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和定义为点Q 与点P 之间的“直距PQ D ”.例如在下图中，点()1,1P ，()3,2Q ，则该直角三角形的两条直角边长为1和2，此时点Q 与点P 之间的“直距”=3PQ D .特别地，当PQ 与某条坐标轴平行(或重合)时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”.（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则_______=AO D ，_______=BO D ； ② 点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D 的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点；点F 是直线24y x =+上一动点.请你直接写出点E 与点F 之间“直距EF D ”的最小值.2018燕山一模27．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的顶点为M ，直线y=m 与抛物线交于点A ，B ，若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A ，B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶．(1)由定义知，取AB 中点N ，连结MN ，MN 与AB 的关系是 (2)抛物线221x y =对应的准蝶形必经过B (m ，m ),则m = ，对应的碟宽AB 是 (3)抛物线)0(3542>--=a a ax y 对应的碟宽在x 轴上，且AB =6. ①求抛物线的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P （p x ，p y ），使得∠APB 为锐角，若有，请求出p y 的取值范围.若没有，请说明理由.,备用图准蝶形AMB A BM。

北京市各区2018届中考一模数学试卷精选汇编8套全集合（解析版）计算题专题东城区17．计算：()2012sin 60-π-2++1-3-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭. =22⨯17.解：原式分分西城区17114sin 3015-⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭．【解析】原式1541)52122=+⨯-=+-=． 海淀区17．计算：11()3tan 30|2|3-︒+． 17.解：原式=332-+ ………………4分=5- ………………5分丰台区1702cos 45(3π)|1︒+-+-．1702cos 45(3π)|1︒+-+-．=211++ ……………………4分= ……………………5分石景山区17．计算：012sin 455(3---++°17．解：原式=2512⨯-+- ………………4分4=-- ………………5分 朝阳区17. 计算：2sin30°+ .8)4()31(01+-+-π17. 解：原式 2213212+++⨯= …………………………………………………4分 225+=. ……………………………………………………………5分燕山区17．计算：4cos30°－12 + 20180 + ||1－317．4cos30°－12 + 20180 + ||1－3 =13132234-++-⨯=3 门头沟区 17．计算：()201254sin 603π-⎛⎫--++-︒ ⎪⎝⎭．平谷区17．计算：(10112sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π.17．解：(10112sin 603-⎛⎫-+-︒ ⎪⎝⎭π=3112-- (4)=1 (5)怀柔区17.计算：12130tan3)3(31-︒⎪⎭⎫⎝⎛-+---π.17.解：原式1132=-+…………………………………………………4分.…………………………………………………………………5分延庆区17．计算：0113tan301)()3π-︒+---．17．原式=3⨯33+3-1+1-3 ……4分=23-3……5分顺义区17．计算：()01312sin452π-+-︒+-．17．解：()01312sin452π-+-︒+-112132=-⨯+………………………………………………………4分13=……………………………………………………………………………… 5分4=解不等式组专题东城区18． 解不等式组4+6,23x x x x ⎧⎪+⎨⎪⎩＞≥， 并写出它的所有整数解. 18. 解：4+6,23x x x x ⎧⎪⎨+⎪⎩①②＞≥， 由①得，-x ＞2，------------------1分由②得，1x ≤， ------------------2分∴不等式组的解集为-1x 2＜≤.所有整数解为-1, 0, 1. ---------------------5分西城区18．解不等式组3(2)4112x x x ++⎧⎪⎨-<⎪⎩≥，并求该不等式组的非负整数解．【解析】解①得，364x x ++≥，22x -≥，1x -≥，解②得，12x -<，3x <，∴原不等式解集为13x -<≤，∴原不等式的非负整数解为0，，2．海淀区18．解不等式组：()5331,263.2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩ 18.解：() 5331, 263. 2x x x x +>-⎧⎪⎨-<-⎪⎩①② 解不等式①，得3x >-. …2分解不等式②，得2x <. ………4分所以 原不等式组的解集为32x -<<. ………5分丰台区18．解不等式组：341,51 2.2x x x x ≥-⎧⎪⎨->-⎪⎩ 18．解：解不等式①，得1x ≤， ……………………2分解不等式②，得1x >-. ……………………4分∴原不等式组的解集是11x -<≤．………5分石景山区18．解不等式组：3(1)45622x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩，． 18．解：原不等式组为3(1)45,62.2x x x x +>++<⎧⎪⎨⎪⎩ 解不等式①，得2x <-． ………………2分 解不等式②，得2x <． ………………4分 ∴原不等式组的解集为<2x -． ………………5分 朝阳区18. 解不等式组 ：⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x18. 解：原不等式组为⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2216),3(21x x x x解不等式①，得 5<x . ………………………………………2分① ②解不等式②，得 21>x .………………………………………………4分 ∴ 原不等式组的解集为521<<x . …………………………………5分 燕山区18．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －32<1，2（x ＋1）≥x －1.18．解：由（1）得，x-3<2X<5 ……………………….2′（2） 得 2x+2≥x-1x ≥-3 ……………………….4′所以不等式组的解是-3≤x ＜5 ……………………….5′ 门头沟区18. 解不等式组：1031+1.x x x ⎧-<⎪⎨⎪-⎩，≤3(）18．（本小题满分5分）解不等式①得，x ＜3， …………………………………………2分解不等式②得，x ≥﹣2， ………………………………4分所以，不等式组的解集是﹣2≤x ＜3． ………………5分大兴区17.解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 并写出它的所有整数解. 17. 解：⎪⎩⎪⎨⎧>++≤+x x x x 2274)3(2 ① ②由①，得21-≥x . ………………………………………………………1分 由②，得2<x . …………………………………………………………2分 ∴原不等式组的解集为221<≤-x . ………………………………………4分 它的所有整数解为0，1. …………………………………………………5分平谷区18．解不等式组3(1)45,513x x x x -≥-⎧⎪-⎨->⎪⎩，并写出它的所有整数解．．．． 18．解：3(1)455 3 1x x x x -≥-⎧⎪⎨-->⎪⎩①② 解不等式①，得 x ≤2． ································································································· 1 解不等式②，得 x ＞-1． ······························································································ 3 ∴原不等式组的解集为12x -<≤． ········································································· 4 ∴适合原不等式组的整数解为0,1,2． ········································································ 5 怀柔区18.解不等式组:()⎪⎩⎪⎨⎧<+-<-.1213,213x x x x 18.解：由①得：3x < . ………………………………………………………………………2分由②得：9x >- …………………………………………………………………………4分原不等式组的解集为93x -<< ………………………………………………………5分延庆区18．解不等式组：523(2)53.2x x x x -<+⎧⎪⎨+≤⎪⎩， 并写出它的所有整数解．18．解：由①得，x <4． ……1分由②得，x ≥1 ． ……3分∴ 原不等式组的解集为1≤x <4． ……4分∴ 原不等式组的所有整数解为1，2，3． ……5分顺义区18．解不等式组：()7+1,2315 1.x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩18．解不等式组：()7+12315x x x x +⎧≥-⎪⎨⎪+<-⎩解：解不等式①得 x ≥3- ……………………………………………………………2分 解不等式②得 2x > ………………………………………………………………4分 不等式组的解集是 2x > …………………………………………………………5分函数计算及运用专题东城区22. 已知函数()30y x x=＞的图象与一次函数()20y ax a =-≠的图象交于点A ()3,n . （1）求实数a 的值；(2) 设一次函数()20y ax a =-≠的图象与y 轴交于点B .若点C 在y 轴上，且=2ABC AOB S S △△，求点C 的坐标.22.解：（1）∵点()3,A n 在函数()30y xx=＞的图象上， ∴=1n ，点()3,1A .∵直线()20y ax a =-≠过点()3,1A ，∴ 321a -= .解得 1a =. ----------------------2分(2)易求得()0,2B -. 如图，12AOB A S OB x =⋅△，1=2ABC A S BC x ⋅△ ∵=2ABC AOB S S △△，∴=24BC OB =.∴()10,2C ,或()20,6C -. ----------------------5分西城区22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，与y 轴的交点为B ，线段AB 的中点M 在函数k y x=（0k ≠）的图象上 （1）求m ，k 的值;（2）将线段AB 向左平移n 个单位长度（0n >）得到线段CD ，A ，MB 的对应点分别为C ，N ，D ．①当点D 落在函数k y x=（0x <）的图象上时，求n 的值． ②当MD MN ≤时，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【解析】（1）如图．∵直线y x m =+与x 轴的交点为0()4,A -，∴4m =．∵直线y x m =+与y 轴的交点为B ，∴点B 的坐标为(0,4)B ．∵线段AB 的中点为M ，∴可得点M 的坐标为(2,2)M -．∵点M 在函数k y x =（0k ≠）的图象上， ∴4k =-．（2）①由题意得点D 的坐标为(,4)D n -，∵点D 落在函数k y x=（0k ≠）的图象上， ∴44n -=-，解得1n =．②n 的取值范围是2n ≥． 海淀区22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （2，2），Q （－1，2），函数m y x =.（1）当函数my x=的图象经过点P 时，求m 的值并画出直线y x m =+． （2）若P ，Q 两点中恰有一个点的坐标（x ，y ）满足不等式组,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0），求m 的取值范围．22．解：（1）∵函数my x=的图象经过点()22P ，， ∴2=2m，即4m =． ………………1分 图象如图所示. ………………2分（2）当点()22P ，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组2222m m⎧>⎪⎨⎪<+⎩，得04m <<． ………………3分 当点()12Q -，满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）时， 解不等式组221m m>-⎧⎨<-+⎩，得3m >． ………………4分∵P Q ，两点中恰有一个点的坐标满足,m y xy x m⎧>⎪⎨⎪<+⎩（m ＞0）， ∴m 的取值范围是：03m <≤，或4m ≥． ………………5分丰台区22．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数2y x=的图象与一次函数y kx b =+的图象的交点分别为P (m ，2)，Q (-2，n ). （1）求一次函数的表达式；（2）过点Q 作平行于y 轴的直线，点M 为此直线上的一点，当MQ = PQ 时，直接写出点M 的坐标.22．（1）解： ∵反比例函数2y x=的图象经过点(,2)P m ，Q (-2，n )， ∴1m =，1n =-．∴点P ，Q 的坐标分别为(1，2)，(-2，-1). …….…….…….……2分 ∵一次函数y kx b =+的图象经过点P (1，2)，Q (-2，-1)，∴2,2 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为1y x =+． .…….…….…….……3分 （2）点M 的坐标为（-2，-2，……………5分石景山区22．在平面直角坐标系xOy 中，函数a y x=（0x >）的图象与直线1l y x b =+：交于点(3,2)A a -．（1）求a ，b 的值；（2）直线2l y x m =-+：与x 轴交于点B ，与直线1l 交于点C ，若S △ABC 6≥，求m 的取值范围．22．解：（1）∵函数()0a y x x=>的图象过点()3,2A a -，∴23a a -=，解得3a =． ………………1分∵直线1l y x b =+：过点()3,1A ,∴2b =-． ………………2分 （2）设直线2y x =-与x 轴交于点D ，则(2,0)D ， 直线y x m =-+与x 轴交于点(,0)B m ， 与直线y x b =+交于点22(,)22m m C +-． ①当S △ABC =S △BCD +S △ABD =6时，如图1. 可得211(2)(242m m -+- 解得2m =-，8m =②当S △ABC =S △BCD -S △ABD =6时，如图2. 可得211(2)(2)1642m m ---⨯=， 解得8m =，2m =-（舍）. 综上所述，当8m ≥或2m -≤时，S△ABC 6≥. ………………5分朝阳区22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数xky =的图象在第四象限交于点C ，CD ⊥x 轴于点D ，tan ∠OAB ＝2，OA ＝2，OD ＝1．（1）求该反比例函数的表达式；（2）点M 是这个反比例函数图象上的点，过点M作MN ⊥y 轴，垂足为点N ，连接OM 、AN ，如果 S △ABN ＝2S △OMN ，直接写出点M 的坐标.22. 解：（1）∵AO ＝2，OD ＝1，∴AD ＝AO+ OD ＝3. ………………………………………………1分 ∵CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，6tan =∠⋅=OAB AD CD ..∴C （1，－6）. ……………………………………………………2分 ∴该反比例函数的表达式是xy 6-=. ……………………………………3分 （2）点M 的坐标为（－3,2）或（53，－10）. ……………………5分 ∴OM 27=215 OM=715∴⊙O 的半径是715…………………………………6′ 门头沟区20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数ky x=（k ≠0）的图象相交于点)A a . （1）求a 、k 的值；（2）直线x =b （0b >）分别与一次函数y x =、反比例函数ky x=的图象相交于点M 、N ， 当MN =2时,画出示意图并直接写出b 的值.20．（本小题满分5分） （1）∵直线y x =与双曲线ky x=（k ≠0）相交于点)A a .∴a =1分∴A3k =………………………2分 （2）示意图正确………………………………3分 3b =或1 ………………………………5分大兴区22．如图，点A 是直线2y x =与反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象的交点．过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，且OB =2． （1）求点A 的坐标及m 的值；(2)已知点P (0，n) (0＜n ≤8) ，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =于点C 11(,)x y , 交反比例函数1m y x-=（m 为常数）的图象于点D 22(,)x y ,交垂线AB 于点E 33(,)x y , 若231x x x <<，结合函数的图象，直接写出123++x x x 的取值范围．22．（1）解：由题意得，可知点A 的横坐标是2，……………………1分由点A 在正比例函数2y x =的图象上，∴点A 的坐标为（2，4）……………………………………2分又 点A 在反比例函数1m y x-=的图象上，142m -∴=，即9m =．……………………………………… 3分（2）6<x 1+x 2+x 3≤7 ……………………………………………… 5分平谷区22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF 于点O ，交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．22．（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF． (1)∵□ABCD，∴AD∥BC．∴∠AFB=∠CBF．∴∠ABF=∠AFB．∴AB=AF．∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°．∴∠BAO=∠BEO．∴AB=BE．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∴□ABEF是菱形． (2)（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE．∴BE=2CE．∵AB=4，∴BE=4．∴CE=2．过点A作AG⊥BC于点G． (3)∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形．∴BG=GE=2．∴AF=CG=4． (4)∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=∴CF=怀柔区22．在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y=kx+b 的图象与y 轴交于点B （0,1），与反比例函数xmy =的图象交于点A(3，-2). (1)求反比例函数的表达式和一次函数表达式；(2)若点C 是y 轴上一点，且BC=BA ，直接写出点C 的坐标.y x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O22．(1)∵双曲线x m y =过A （3，-2），将A （3，-2）代入xmy =， 解得：m= -6.∴所求反比例函数表达式为: y=x6-. …………………………………1分 ∵点A （3，-2）点B （0,1）在直线y=kx+b 上，∴-2=3k+1. …………………………………………………………………………………2分 ∴k=-1.∴所求一次函数表达式为y=-x+1. …………………………………………………………3分 (2)C(0，123+ )或 C(0，231- ). ……………………………………………………5分延庆区22．在平面直角坐标系xOy 中，直(0)y kx b k =+≠ 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0)my m x=≠的图象在第一象限交于点P （1，3），连接OP ． （1）求反比例函数(0)my m x=≠的表达式； （2）若△AOB 的面积是△POB 的面积的2倍，求直线y kx b =+的表达式．22．（1）3y x……1分 （2） 如图22（1）：∵∴OA =2PE =2∴A （2,0） ……2分 将A （2,0），P （1,3）代入y =kx +b 可得∴……3分 图22（1）∴直线AB 的表达式为：y =-3x +6同理：如图22（2）直线AB 的表达式为：y =x +2 ……4分 综上：直线AB 的表达式为y =-3x+6或y =x +2 ……5分图22（2）顺义区22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线24y x =+与双曲线ky x=（k ≠0）相交于A （-3，a ），B 两点． （1）求k 的值；（2）过点P （0，m ）作直线l ，使直线l 与y 轴垂直，直线l 与直线AB 交于点M ，与双曲线ky x=交于点N ，若点P 在点M 与点N 之间，直接写出m 的取值范围．22．解：（1）∵点A （-3，a ）在直线24y x =+上，∴2(3)42a =⨯-+=-．∴点A 的坐标为（-3，-2）． …………………………………… 1分 ∵点A （-3，-2）在双曲线ky x=上， ∴23k-=-， ∴6k =． …………………………………… 3分 （2）m 的取值范围是 04m <<． ……………………………… 5分二次函数综合专题 东城区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()02342≠-+-=a a ax ax y 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧）． （1）当抛物线过原点时，求实数a 的值； （2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a 的代数式表示）； （3）当AB ≤4时，求实数a 的取值范围．26.解：(1) ∵点()0,0O 在抛物线上，∴320a -=，23a =.--------------------2分(2)①对称轴为直线2x =；②顶点的纵坐标为 2a --.--------------------4分 (3) （i ）当0a ＞时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＜，≥解得2.3a ≥（ii ）当0a ＜时，依题意，-20320.a a -⎧⎨-⎩＞，≤解得a ＜-2.综上，2a -＜，或23a ≥. --------------------7分西城区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线和抛物线G ，并直接写出直线被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x【解析】（1）当1m =时，抛物线G 的函数表达式为22y x x =+，直线的函数表达式为y x =，直线被抛物线Gx（2）∵抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0,1)C m -，∵2221(1)1y mx mx m m x =++-=+-， ∴抛物线G 的顶点D 的坐标为(1,1)--， 对于直线：1(0)y mx m m =+-≠， 当0x =时，1y m =-，当1x =-时，(1)11y m m =⨯-+-=-， ∴无论m 取何值，点C ，D 都在直线上． （3）m的取值范围是m ≤m海淀区26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26．解： 抛物线22y x ax b =-+的顶点在x 轴上，24(2)04b a --∴=.2b a ∴=. ………………1分（1）1a = ，1b ∴=.∴抛物线的解析式为221y x x =-+.① 1m b == ，2211x x ∴-+=，解得10x =，22x =. ………………2分 ②依题意，设平移后的抛物线为2(1)y x k =-+.抛物线的对称轴是1x =，平移后与x 轴的两个交点之间的距离是4，∴(3,0)是平移后的抛物线与x 轴的一个交点.2(31)0k ∴-+=，即4k =-.∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分（2）16m ≥. ………………6分丰台区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．)22a -，∴对称轴为x = 2．………………………………………1分 ∵抛物线最高点的纵坐标是2，∴a = -2． ………………………………………2分 ∴抛物线的表达式为2286y x x =-+-. ……………3分（2）由图象可知，2b = 或-6≤b <0.………………6分由图象的对称性可得：x 1+x 2=2． (7)分石景山区26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠）向右平移位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点．xy（1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．解:（1）()A. ………………………………… 2分（2）①设抛物线2G的表达式为2(y m x =+如图所示，由题意可得AD ==∵=90BAC ∠°，AB AC =， ∴=45ABD ∠︒.∴BD AD ==∴点B的坐标为. ∵点B 在抛物线2G 上，可得3m =-.∴抛物线2G的表达式为23y x =-+，即223y x x =+ ………………… 5分②m <<-. ………………… 7分 朝阳区26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B . （1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程()244=00ax ax a --≠有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.26.解：（1）44)2(4422---=--=a x a ax ax y ．∴A （0，－4），B （2，0）．……………………………………2分 （2）当抛物线经过点（1，0）时，34-=a ．…………………… 4分 当抛物线经过点（2，0）时，1-=a ． …………………………6分 结合函数图象可知，a 的取值范围为134<≤-a ．……………… 7分燕山区24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k (k ≠0)与x 轴,y 轴分别交于A,B 两点，且点B(0,2)，点P 在y 轴正半轴上运动，过点P 作平行于x 轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A 的坐标；（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数xny =（n ≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式； (3)当t<4时，若直线y=t 与直线l 和（2）反比例函数的图象分别交于点C ，D ，当CD 间距离大于等于2时，求t 的取值范围.24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，∴k=2∴ y=2x+2∴A(-1,0) ……………………….2′（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1∴M(1,4)代入xny =得，n=4 ∴xy 4=……………………….2′ （3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)如图，CD=2，当y=t 向下运动但是不超过x 轴时，符合要求∴ t 的取值范围是 0 <t ≤2 ……………………….5′门头沟区26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =； ③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”， 平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)- 设二次函数表达式为：2(3)2y a x =-- ……………1分 ∵该图象过(1,0)A∴20(13)2a =--，解得12a =……………2分 ∴表达式为21(3)22y x =-- （2）图象正确………………………………………………………3分 由已知条件可知直线与图形“G ”要有三个交点① 当直线与x 轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求 346x x += ……………………………………4分 ∴34511x x x ++＞ ……………………………………5分 ②当直线过21(3)22y x =--的图象顶点时，有2个交点， 由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22y x =--+ ∴令21(3)222x --+=-时，解得3x =±3x =-6分∴3459x x x +++＜综上所述345x x x ++11＜＜…………7分大兴区26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．26.（1） 解关于x 的一元二次方程，()223120x m x m m -+++=得x =2m +1, x =m ………………………………………………………2分 ∵m ＞0, x 1＜x 2∴x 1=m , x 2=2m+1. …………………………………………………… 3分 2x 1-x 2+3=2m -2m -1+3=2 …………………………………………… 4分（2）符合题意的n 的取值范围是. …………………………………7分平谷区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2． （1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26．解：（1）∵抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2，∴b =2． ································································· 1 （2）①∴抛物线的表达式为243y x x =-+-． ∵A （x 1，y ），B （x 2 ，y ）， ∴直线AB 平行x 轴．∵213x x -=， ∴AB =3． ∵对称轴为x =2， ∴AC =12． ···························································· 2 ∴当12x =时，54y m ==-． ......................... 3 ②当y =m =-4时，0≤x ≤5时，41y -≤≤； (4)当y =m =-2时，0≤x ≤5 时，24y -≤≤； ....... 5 ∴m 的取值范围为42m -≤≤-． .. (6)怀柔区26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ． (1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．y x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O26.(1)M(2，-1)； ………………………………………………………………………………2分 (2)B(4，3)； …………………………………………………………………………………3分 (3)∵抛物线y=mx 2-4mx+4m-1(m ≠0)与y 轴交于点A （0,3）, ∴4n-1=3.∴n=1. ……………………………………………………………………………………4分 ∴抛物线的表达式为342+-=x x y .由34212++=+x x m x . 由△=0，得: 161-=m ……………………………………………………………………5分∵抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点C 的坐标为（1,0），∴点C 关于y 轴的对称点C 1的坐标为（-1,0）.把（-1,0）代入m x y +=21，得：21=m .……………………………………………6分 把（-4,3）代入m x y +=21，得：5=m .∴所求m 的取值范围是161-=m 或21＜m ≤ 5. …………………………………………7分延庆区26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2-4ax +3a (a ＞0)与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧）．（1）求抛物线的对称轴及点A ，B 的坐标；（2）点C （t ，3）是抛物线243(0)y ax ax a a =-+>上一点，（点C 在对称轴的右侧），过点C 作x 轴的垂线，垂足为点D ．①当CD AD =时，求此时抛物线的表达式； ②当CD AD >时，求t 的取值范围．26．（1）对称轴：x =2 ……1分A （1，0）或B （3，0） ……1分 （2）①如图1，∵AD =CD∴AD =3∴C 点坐标为（4，3） ……3分 将C （4，3）代入243y ax ax a =-+∴316163a a a =-+∴a =1∴抛物线的表达式为：243y x x =-+ ……4分 ②34t << ……6分 过程略顺义区26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．26．解：（1）依题意12-=-b，b =2, 由B （0，-1），得c=-1,∴抛物线的表达式是221=+-y x x ．…………………… 2分4（2）向下平移4个单位得到225=+-y x x ，……………………… 3分 ∵OP =OQ ，∴P 、Q 两点横坐标相同，纵坐标互为相反数．∴2221250+-++-=x x x x ．∴13=-x ，21=x ．………………………………………………… 5分 把13=-x ，21=x 分别代入225=+-y x x ．得出Q 1（-3，-2），Q 2（1，-2）．………………………………… 7分统计专题东城区24．随着高铁的建设，春运期间动车组发送旅客量越来越大.相关部门为了进一步了解春运期间动车组发送旅客量的变化情况，针对2014年至2018年春运期间铁路发送旅客量情况进行了调查，具体过程如下.(I)收集、整理数据请将表格补充完整：（II）描述数据为了更直观地显示春运期间动车组发送旅客量占比的变化趋势，需要用___________(填“折线图”或“扇形图”)进行描述；（III）分析数据、做出推测预计2019年春运期间动车组发送旅客量占比约为___________，你的预估理由是_________________________________________ .24. 解：(I)：56.8%；----------------------1分(II)折线图；----------------------3分(III)答案不唯一，预估的理由须支撑预估的数据，参考数据61%左右.--------5分西城区23．某同学所在年级的500名学生参加“志愿北京”活动，现有以下5个志愿服务项目：A．纪念馆志愿讲解员．B．书香社区图书整理．C．学编中国结及义卖．D．家风讲解员．E．校内志愿服务．要求：每位学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个5个项目的情况，该同学随机对年级中的40名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下：收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示）．B，E，B，A，E，C，C，C，B，B，A，C，E，D，B，A，B，E，C，A，D，D，B，B，C，C，A，A，E，B，C，B，D，C，A，C，C，A，C，E，整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图．选择各志愿服务项目的人数统计表分析数据、推断结论：a：抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是__________．（填A E-的字母代号）b：请你任选A E-中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目．【解析】B项有10人，D项有4人．选择各志愿服务项目的人数比例统计图中，B占25%，D占10%．分析数据、推断结论：a．抽样的40个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是C．b：根据学生选择情况答案分别如下（写出任意两个即可）．⨯=（人）．A：50020%100⨯=（人）．B：50025%125C：50030%150⨯=（人）．⨯=（人）．D：50010%50⨯=（人）．E：50015%75海淀区24．某校九年级八个班共有280名学生，男女生人数大致相同，调查小组为调查学生的体质健康水平，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全.收集数据调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本，下面的取样方法中，合理的是___________（填字母）；A．抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本B．抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本C．从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本整理、描述数据抽样方法确定后，调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下：整理数据，如下表所示：分析数据、得出结论调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩（直方图）进行了对比，2017年九年级部分学生体质健康成绩直方图你能从中得到的结论是_____________，你的理由是________________________________. 体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目，则全年级约有________名同学参加此项目.24．C ………………1分≤<x8085x≤<85908 10………………2分（2）去年的体质健康测试成绩比今年好．（答案不唯一，合理即可） (3)分去年较今年低分更少，高分更多，平均分更大．（答案不唯一，合理即可）………………4分（3）70．………………6分丰台区24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：优秀成绩为80＜x≤100，良好成绩为50＜x≤80，合格成绩为30≤x≤50．）【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示：其中a =__________.【得出结论】（1）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是________校的学生；（填“甲”或“乙”）（2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________；（3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24．解：a=80；………………………1分（1）甲；………………………2分（2）110；………………………3分（3）答案不唯一，理由需支持推断结论.如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数75高于甲校的中位数65，说明乙校分数不低于70分的学生比甲校多. ………………………5分石景山区24．某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：24．解:（1）0，1，4，5，0，0 ………………1分（2）14，84.5，81 ………………4分（3）甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙,说明甲成绩稳定;两人的平均数相同且甲的极差小于乙,说明甲成绩变化范围小.（写出其中一条即可）或：乙，理由：在90≤x≤100的分数段中，乙的次数大于甲.………………6分（答案不唯一，理由须支撑推断结论）朝阳区24. 水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．收集数据从甲、乙两个大棚各收集了25株秧苗上的小西红柿的个数：甲26 32 40 51 44 74 44 63 73 74 81 546241 33 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33乙27 35 46 55 48 36 47 68 82 48 57 667527 36 57 57 66 58 61 71 38 47 46 71整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45~65个为产量良好，65~85个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论a．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为株；b．可以推断出大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）24. 解：整理、描述数据按如下分组整理、描述这两组样本数据分得出结论a．估计乙大棚产量优秀的秧苗数为84 株；…………………………3分b．答案不唯一，理由须支撑推断的合理性.………………………………5分燕山区22．豆豆妈妈用小米运动手环记录每天的运动情况，下面是她6天的（1）4月5日,4月6日，豆豆妈妈没来得及作记录，只有手机图片，请你根据图片数据，帮她补全表格．(2)豆豆利用自己学习的统计知识，把妈妈步行距离与燃烧脂肪情况用如下统计图表示出来，请你根据图中提供的信息写出结论： ．（写一条即可）步行距离燃烧脂肪4月1日－6日妈妈步行距离与燃烧脂肪情况统计图（3）豆豆还帮妈妈分析出步行距离和卡路里消耗数近似成正比例关系，豆豆妈妈想使自己的卡路里消耗数达到250千卡，预估她一天步行距离为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）22. （1）填数据 ……………………….2′(2)写出一条结论: ……………………….4′（3）预估她一天步行约为__________公里．（直接写出结果，精确到个位）门头沟区24.地球环境问题已经成为我们日益关注的问题.学校为了普及生态环保知识，提高学生生态坏境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛.以下是从初一、初二两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一：76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73 98 74（1）根据上表中的数据，将下列表格补充完整；整理、描述数据：908090608060格）分析数据：（2）得出结论：你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）.24.（1）补全表格正确：初一：8 …………………………………………1分众数：89 …………………………………………2分中位数：77 …………………………………………3分（2）可以从给出的三个统计量去判断如果利用其它标准推断要有数据说明合理才能得分………………5分大兴区24.甲乙两组各有10名学生，进行电脑汉字输入速度比赛，现将他们的成绩进行统计，过程如下：收集数据各组参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：分析数据两组数据的众数、中位数、平均数、方差如下表所示：得出结论(1)若每分钟输入汉字个数136及以上为优秀，则从优秀人数的角度评价甲、乙两组哪个成绩更好一些？(2)请你根据所学的统计知识，从不同角度评价甲、乙两组学生的比赛成绩（至少从两个角度进行评价）.24. （1）乙组成绩更好一些 (2)分（2）答案不唯一，评价需支撑推断结论…………………………………………………6分（说明：评价中只要说对2条即可，每条给2分，共4分）平谷区23．为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整.收集数据随机抽取甲乙两所学校的20名学生的数学成绩进行分析：甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 9181 92 85 85 95 88 88 90 44 91 乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 8890 88 67 88 91 96 68 97 59 88 整理、描述数据分析数据两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：的值是．得出结论a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为 .b可以推断出学校学生的数学水平较高，理由为 . （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） (2)分析数据经统计，表格中m的值是88 ． (3)得出结论a若甲学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为300 . (4)b 答案不唯一，理由须支撑推断结论. (7)怀柔区24.某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩（十分制）如下：整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：（说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格.）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：得出结论(1)如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为人；(2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球。