成才之路·人教A版数学选修2-2 1.2.2 第2课时

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第2课时
一、选择题
1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.
2．(2014·贵州湄潭中学高二期中)曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝lnx＋1，∴f ′(1)＝1，
又f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.

3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，则数列{1fn}(n∈N*)的前n项和是( )

A．nn＋1 B．n＋2n＋1
C．nn－1 D．n＋1n
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的导数为f ′(x)＝2x＋1，
∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，

∴数列{1fn}(n∈N*)的前n项和为：

Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故选A.
4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图象是过第一、二、三象
限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)的图象是过第一、二、

三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，

顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.
5．函数y＝sin2x－cos2x的导数是( )
A．y′＝22cos2x－π4 B．y′＝cos2x－sin2x

C．y′＝sin2x＋cos2x D．y′＝22cos2x＋π4
[答案] A
[解析] y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′

＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－π4.
6．(2013·烟台质检)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象大致形
状是( )

[答案] B
[解析] 依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f ′(x)＝2ax，显然f ′(x)的图象
为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B.
二、填空题
7．(2013·天津红桥区高二段测)已知函数f(x)＝x·2x，当f ′(x)＝0时，x＝________.

[答案] －1ln2
[解析] f ′(x)＝2x＋x·2xln2＝2x(1＋xln2)，
由f ′(x)＝0及2x>0知，1＋xln2＝0，∴x＝－1ln2.
8．设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
[答案] π6
[解析] f ′(x)＝－3sin(3x＋φ)，
f(x)＋f ′(x)＝cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)

＝2sin3x＋φ＋5π6.
若f(x)＋f ′(x)为奇函数，则f(0)＋f ′(0)＝0，
即0＝2sinφ＋5π6，∴φ＋5π6＝kπ(k∈Z)．

又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.
9．(2014·江西临川十中期中)已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为
________．

[答案] 12ln2

[解析] ∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝1x＋a，设切点为(x0，y0)，则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，
且1x0＋a＝2，解之得a＝12ln2.
三、解答题
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y
＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解析] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.
∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1.
∵f ′(x)|x＝1＝4a＋2c，
∴4a＋2c＝1.

∴a＝52，c＝－92.

∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝52x4－92x2＋1.
一、选择题
11．(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a
＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．

令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－1x＋1.
∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.联立解得a＝3，故选D.
12．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，
则a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8，
∴a＝－6.

13．已知y＝tanx，x∈0，π2，当y′＝2时，x等于( )
A．π3 B．
2
3
π

C．π4 D．π6
[答案] C
[解析] y′＝(tanx)′＝sinxcosx′＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x＝2，

∴cos2x＝12，∴cosx＝±22，
∵x∈0，π2，∴x＝π4.
14．(2014·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f ′(x)是奇函数，
若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为( )

A．ln22 B．－ln22
C．ln2 D．－ln2
[答案] C
[解析] f ′(x)＝ex－ae－x，由f ′(x)为奇函数，得f ′(x)＝－f ′(－x)，即(a－1)(ex＋e
－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－
x
，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex

0

－e－x0＝32，解得x0＝ln2，故选C.

二、填空题
15．(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋
y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
[答案] 22－1

[解析] y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，
圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，
∴所求最近距离为22－1.
16．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
[答案] 2
[解析] 设切点P(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，

又∵y′|x＝x0＝1x0＋a＝1.
∴x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.
三、解答题
17．求下列函数的导数：

(1)y＝xsin2x； (2)y＝ex＋1ex－1；

(3)y＝x＋cosxx＋sinx； (4)y＝cosx·sin3x.
[解析] (1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′
＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.

(2)y′＝ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ex－12＝－2exex－12 .

(3)y′＝x＋cosx′x＋sinx－x＋cosxx＋sinx′x＋sinx2
＝1－sinxx＋sinx－x＋cosx1＋cosxx＋sinx2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1x＋sinx2.
(4)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
18．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程
为y＝1.求b，c的值．
[解析] 由f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f ′(x)＝x2－ax＋b，f ′(0)＝b，又由曲
线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f ′(0)＝0，故b＝0，c＝1.