含参的单调区间的讨论

含参函数单调性

一、求函数单调性的一般步骤

例一：求函数xxxfln212的单调性

二、求函数单调性步骤 1、求函数定义域baA,

2、求函数的导函数

3、解导数在定义域内的零点：0'xf，得,...,21xxxx

4、列表：

x 1,xa 1x 21,xx 2x ax,2

xf' 0 0

xf

5、得出函数函数单调性

三、模型模拟 例题1、讨论xaxxf的单调性，并求出单调区间

练习1、讨论xaxxfln的单调性，并求出单调区间

例题2、讨论xaxxfln212的单调性，并求出单调区间

练习2、讨论xaaxxxfln1212的单调性，并求出单调区间

四、实题演练（共5小题） 1．已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）．

（1）当a=﹣1时，求函数的单调区间；

（2）当0≤a＜时，讨论f（x）的单调性．

2．（2011•怀化一模）已知函数f（x）=﹣3x+（2﹣a）lnx（a∈R）

（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调区间及极值；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

3．已知函数f（x）=2ax2﹣4lnx（a∈R）

（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；

（2）讨论函数f（x）的单调性．

4．（2015•保定一模）已知函数f（x）=ex﹣ax+a，其中a∈R，e为自然对数的底数．

（1）讨论函数f（x）的单调性，并写出对应的单调区间；

（2）设b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．

5．（2015秋•建阳市校级月考）已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，其中x∈[﹣2，2]．

（1）当a=1时，求它的单调区间；

（2）当a∈R时，讨论它的单调性；

（3）若f（x）≥12﹣4a恒成立，求a的取值范围．

五、实题演练参考答案

1．（2）因为f（x）=lnx﹣ax+﹣1（a∈R）．

数学

篇思路探寻含参函数问题中的参数对函数的影响较大，函数的单调性、单调区间、图象、对称轴、最值一般会随着参数的变化而变化.在解答含参函数问题时，常需运用分类讨论思想，解题的过程较为复杂，需分多种情况进行讨论.为了避免因分类讨论带来的麻烦，我们不妨转换解题的思路，采用等价转换法、数形结合法、函数性质法来解题.一、等价转换法等价转换法是指通过等价转换，将问题转化为易于求解的问题的一种解题方法.运用等价转换法解题，要将已知条件和所求目标关联起来，找到两者之间的联系，结合所学的知识、经验将问题进行合理的转化.例1.已知函数f()x=|lgx|，当0f()b.证明：ab<1.解：∵f()a>f()b，∴|lga|>|lgb|,将其两边平方后可得lg2a>lg2b，∴(lga+lgb)(lga-lgb)>0,即lg(ab)∙lgab>0，∵0f()b两边平方，将问题转化为解不等式问题，根据对数函数的单调性和不等式的性质即可证明结论.二、数形结合法数形结合法是解答函数问题的重要方法.在解答含参函数问题时，可根据题意绘制出函数的图象，借助图形来讨论在取不同参数时函数图象的位置、变化情况、函数的性质、最值，从而明确参数对函数图象的影响，建立关系式，求得问题的答案.例2.若f(x)=|x-1|，对任意x∈[m,n](m

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导数中分类讨论的三种常见类型

高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，

而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对

研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出

结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.

几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思

想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对

于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根

据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.

类型一：导函数根的大小比较

实例1：求函数3211

32a

fxxxaxa

，xR的单调区间.

分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对

函数3211

32a

fxxxaxa

进行求导可以得到导函数

'21fxxaxa，观察可知导函数可以因式分解为

'211fxxaxaxax，由此可知方程

'0fx有两个实根

1xa，

21x，由于a的范围未知，要讨论函数

3211

32a

fxxxaxa

的

单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a，1a，1a三种情况

进行讨论：

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,aa



,1a-1



1,

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数

fx的单调递增区间为

,a和

1,，单调递减区间为

,1a.

当1a时，'0fx在R上恒成立，所以函数

fx的单调递增区间为



,，没有单调递减区间.

当1a时，

fx，'fx随x的变化情况如下：x



,1-1



1,aa



,a

'fx+0_0+



fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增

高三数学专题含参函数的单调性

1.设f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求出这三个单调区间．

2.判断函数f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的单调性．

3.已知函数f(x)＝x2＋2alnx，

(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为l，求实数a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

4.设函数f(x)＝ax－(a＋1)ln(x＋1)，其中a≥－1，求f(x)的单调区间．

5.已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．试求f(x)的单调区间．

6.讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)lnx(a≥0)的单调性．

7.函数f(x)＝ax2－a－lnx，讨论f(x)的单调性．

8.设函数f(x)＝(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．

9.已知函数f(x)＝－a(x－lnx)．

(1)当a＝1时，试求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)当a≤0时，试求f(x)的单调区间．

10.已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．

11.设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.

讨论f(x)在其定义域上的单调性．

12.已知函数f(x)＝alnx＋x2－(1＋a)x(x>0)，其中a为实数．求函数f(x)的单调区间．

13.已知函数f(x)＝ex－ax＋a，其中a∈R，e为自然对数的底数．讨论函数f(x)的单调性，并写出对应的单调区间．

14.已知函数f(x)＝－ax2＋(1＋a)x－lnx(a∈R)．当a>0时，求函数f(x)的单调递减区间．

15.设函数f(x)＝x2－mlnx(m>0)，求函数f(x)的单调区间．