含参函数的单调性讨论

单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。

首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。

含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。

其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。

在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。

通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。

例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。

该函数的导数为$y'=2ax+b$。

因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。

更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。

再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。

总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。

正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。

”。

专题05 含参函数的单调性讨论【方法总结】分类讨论思想研究函数的单调性讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； (2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”； (4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”． 牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”． 考点一 导主一次型 【例题选讲】[例1] 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．【对点训练】1．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．讨论函数f (x )的单调性．1．解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a ＝0时，f (x )为常函数．2．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )，讨论函数f (x )的单调性． 2．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 考点二 导主二次型 【方法总结】此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三项式含参问题，有如下处理思路：(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论；(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，如果x 1，x 2都在定义域内，则讨论个零点x 1，x 2的大小；如果二次三项式不能因式分解，这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ>0分类讨论；【例题选讲】命题点1 是不是＋有没有＋在不在[例2] (2021·全国乙节选)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析 由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )． ①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－1－3a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－3a 3，1＋1－3a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－3a 3，＋∞上单调递增．[例3] (2018·全国Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2．①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0．所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． 综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[例4] 设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性． 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)． (1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．【对点训练】3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性． 3．解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－k 3， k 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－k 3，⎝⎛⎭⎫ k 3，＋∞上单调递增．4．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0．讨论f (x )的单调性．4．解析 由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0．此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0． 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2，x ∈(0，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在(a －a 2－82，a ＋a 2－82)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．5．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性． 5．解析 由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增； ②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a． x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减． 综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1－1－1a 和⎝⎛⎭⎫－1＋1－1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1－1－1a ，－1＋1－1a 上单调递减． 命题点2 是不是＋在不在＋大不大[例5] 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性． 解析 因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a<x <1， 即函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a， 即函数f (x )在(0，1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． [例6] 已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间．解析 根据题意可得，当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e －ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a．(1)当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0，即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增． (2)当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )单调递减．综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)； 当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0．[例7] 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋1x－ax ＋2(a ∈R )．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－(x －1)(ax －1)x 2．令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝1a ． 当a ≤0时，ax －1＜0，f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． [例8] 已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性． 解析 f ′(x )＝ax ＋1－a －2x ＝－2x ⎝⎛⎭⎫x ＋2＋a 2x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22，又f (x )的定义域为(－1，＋∞)， ①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减． ②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－a ＋22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫0，－a ＋22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a ＋22，＋∞上单调递减．[例9] (2016·山东)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ．讨论f (x )的单调性．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则2a ＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③若a ＞2，则0＜2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 【对点训练】6．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．6．解析 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； ②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减． 7．已知函数f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )，求函数f (x )的单调区间．7．解析 f (x )＝x 2e ax ＋1＋1－a (a ∈R )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x (ax ＋2)e ax ＋1 ． ①当a ＝0时，x >0，f ′(x )>0；x <0，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．②当a >0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，0，f ′(x )<0；x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－2a ，0． ③当a <0时，x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0；x ∈⎝⎛⎭⎫0，－2a ，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－2a ． 8．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1，讨论函数f (x )的单调性． 8．解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x ．(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a2a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈(1－a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在(1－a2a，＋∞)上单调递增． 9．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k ln x ＋4－x 2x ，其中常数k >0，讨论f (x )在(0，2)上的单调性． 9．解 因为f ′(x )＝k ＋4k x －4x 2－1＝⎝⎛⎭⎫k ＋4k x －4－x 2x 2＝－(x －k )⎝⎛⎭⎫x －4k x 2(x >0，k >0)．①当0<k <2时，4k >k >0，且4k >2，所以当x ∈(0，k )时，f ′(x )<0，当x ∈(k ，2)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；②当k ＝2时，4k ＝k ＝2，f ′(x )<0在(0，2)上恒成立，所以f (x )在(0，2)上是减函数；③当k >2时，0<4k <2，k >4k ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，4k 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫4k ，2时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 综上可知，当0<k <2时，f (x )在(0，k )上是减函数，在(k ，2)上是增函数；当k ＝2时，f (x )在(0，2)上是 减函数；当k >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，4k 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫4k ，2上是增函数． 10．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x(x ＋1)2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．10．解析 函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1．①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增． 当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减． 考点三 导主指对型 【例题选讲】[例10] 已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论函数f (x )的单调性．解析 函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2．当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． [例11] 已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析 易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)， 令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)． 当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a 2时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a2，e 时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，a 2时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫a2，＋∞时，f ′(x )＞0， 所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a2． 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 2，e ；当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫e ，a2． 【对点训练】11．已知函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)，讨论函数f (x )的单调性．11．解析 ∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a ．易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增． ∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．12．已知函数f (x )＝(x 2－2ax )ln x －12x 2＋2ax (a ∈R )．(1)若a ＝0，求f (x )的最小值； (2)求函数f (x )的单调区间．12．解析 (1)若a ＝0，f (x )＝x 2ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ln x ＋x 2×1x－x ＝2x ln x ，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，所以f (x )的最小值为f (1)＝－12．(2)f ′(x )＝(2x －2a )ln x ＋(x 2－2ax )·1x－x ＋2a ＝(2x －2a )ln x ，①当a ≤0时，2x －2a ＞0，由f ′(x )＞0可得x ＞1，由f ′(x )＜0可得0＜x ＜1， 此时f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜a 或x ＞1，由f ′(x )＜0可得a ＜x ＜1， 此时f (x )的单调递减区间为(a ，1)，单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)； ③当a ＝1时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ④当a ＞1时，由f ′(x )＞0可得0＜x ＜1或x ＞a ，由f ′(x )＜0可得1＜x ＜a ， 此时f (x )的单调递减区间为(1，a )，单调递增区间为(0，1)和(a ，＋∞)．综上所述：当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；当0＜a＜1时，f(x)的单调递减区间为(a，1)，单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)；当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a＞1时，f(x)的单调递减区间为(1，a)，单调递增区间为(0，1)和(a，＋∞)．考点四导主正余型【例题选讲】[例12](2017山东理)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝e x·(cos x－sin x＋2x－2)，其中e是自然对数的底数．(1)求函数g(x)的单调区间；(2)讨论函数h(x)＝g(x)－af (x)(a∈R)的单调性．解析(1)g′(x)＝(e x)′·(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(cos x－sin x＋2x－2)′＝e x(cos x－sin x＋2x－2－sin x－cos x＋2)＝2e x(x－sin x)．记p(x)＝x－sin x，则p′(x)＝1－cos x．因为cos x∈[－1，1]，所以p′(x)＝1－cos x≥0，所以函数p(x)在R上单调递增．而p(0)＝0－sin 0＝0，所以当x<0时，p(x)<0，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>0时，p(x)>0，g′(x)>0，函数g(x)单调递增．综上，函数g(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h(x)＝g(x)－af (x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)－a(x2＋2cos x)，所以h′(x)＝2e x(x－sin x)－a(2x－2sin x)＝2(x－sin x)(e x－a)．由(1)知，当x>0时，p(x)＝x－sin x>0；当x<0时，p(x)＝x－sin x<0．当a≤0时，e x－a>0，所以x>0时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x<0时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．当a>0时，令h′(x)＝2(x－sin x)(e x－a)＝0，解得x1＝ln a，x2＝0．①若0<a<1，则ln a<0，所以x∈(－∞，ln a)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(ln a，0)时，e x－a>0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(0，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．②若a＝1，则ln a＝0，所以x∈R时，h′(x)≥0，函数h(x)在R上单调递增．③若a>1，则ln a>0，所以x∈(－∞，0)时，e x－a<0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；x∈(0，ln a)时，e x－a<0，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；x∈(ln a，＋∞)时，e x－a>0，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．综上所述，当a≤0时，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在(－∞，ln a)，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a，0)上单调递减；当a＝1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(－∞，0)，(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a)上单调递减．【对点训练】13．(2017·山东)已知函数f(x)＝13x3－12ax2，其中参数a∈R．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性．13．解析(1)由题意得f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0．(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)．令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0．①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上所述，当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．。

含参函数的单调性讨论汇编分类讨论问题的三大基本点包括：（Ⅰ）方程f'(x)=是否有根；（Ⅱ）如果方程f'(x)=有根，判断根是否在定义域内；（Ⅲ）如果根在定义域内且有两个，需要比较根的大小。

1.对于函数f(x)=axlnx-x+(a≠0)，讨论其单调性。

2.对于函数f(x)=e^(mx+x^2)，证明其在(-∞,0)上单调递减，在(0,∞)上单调递增。

3.对于函数f(x)=ex-ax-2，a∈R，讨论其单调性。

4.对于函数f(x)=ex-2ax，x∈[0,1]，a∈R，讨论其单调性。

5.对于函数f(x)=lnx+a(1-x)，a∈R，讨论其单调性。

6.对于函数f(x)=e^(-e^x+x)，（1）讨论其单调性；（2）设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值。

7.设函数f(x)=x+aln(x+1)，其中a∈R，求函数f(x)的单调区间。

8.对于函数f(x)=ln(x+a)+x，（1）讨论其单调性；（2）如果f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln2.9.已知函数f(x)=1/(x^2+1)，讨论其单调性。

10.对于函数f(x)=lnx-ax+1/(x-a)ln(x/(x-a))，讨论其单调性，其中a≤1.11.对于函数f(x)=alnx-x+ax，a∈R，求其单调区间。

12.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)，其中a∈R，讨论其单调性。

13.设函数f(x)=x+ax+b，g(x)=ecx+d，如果曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2，（1）求a、b、c、d；（2）如果x≥-2，讨论函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性。

14.已知函数$f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^x-x$，讨论$f(x)$的单调性。

首先求导数：$f'(x)=2ae^{2x}+(a-2)e^x-1$，令其等于0，得到$x=\ln\frac{1}{2}-\ln(a-2)$。

导数应用：含参函数的单调性讨论(一)一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。

二、典例讲解例1 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。

即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号。

一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。

变式练习2. 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。

对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。

1
导数应用之含参函数单调性的讨论
一．预备知识：
（一）二次方程根的分布：
1．已知方程4x 2+2(m-1)x+(2m+3)=0（m ∈R ）有两个正根，求实数m 的取值范围。

2．已知方程2x 2-(m+1)x+m=0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

（二）穿根法拓展：
1．
02
2
2>--+x x x 2．(e x -1)(x-1)＞0 3．(e x -1)(x-1)2＞0
4．(e -x -1)(x-1)＞0 5．(1-lnx)(x-1)＞0
二．导后“一次”型：
1．已知函数f(x)=ax-(a+1)·ln(x+1)，a ≥-1，求函数f(x)的单调区间。

2．已知函数f(x)=e x -ax ，讨论函数f(x)的单调性。

三．导后“二次型”：
3．已知函数f(x)=lnx+x 2-ax(a ∈R)，求函数f(x)的单调区间。

2
4．已知函数f(x)=m ·ln(x+2)+2
1x 2
+1，讨论函数f(x)的单调性。

5．求函数f(x)=(1-a)lnx-x+2
2
ax 的单调区间。

6．已知函数f(x)=(ax 2-x)·lnx-2
1ax 2
+x ，讨论f(x)的单调性。

四．导后求导型
7．已知函数f(x)=e x -x 2，求函数f(x)的单调区间。

8．已知函数f(x)=
x
e
x 1
ln ，求函数f(x)的单调区间。

9．已知函数f(x)=e mx +x 2-mx ，讨论函数f(x)的单调性。

3
4。

如何解决与函数单调性相关的参数问题陈今碧函数是高考必考的内容之一，也是众多知识的交汇点之一。

在解答题里面，经常看见有关讨论含参数函数的单调性或者求含参数函数的最值的问题。

学生们常感到不知道怎么讨论，即分类讨论的标准不明确。

本文根据作者的教学经验，归纳出了比较系统和实用的方案供读者参考，不当之处敬请读者指正。

1.讨论含参函数的单调性：先设y=f x,x∈A,令y′=f′x,a=0,解出x0,令x0∉A，求出x0的范围，再依以下顺序讨论：1°看f′x=0在定义域内是否有解.若无解，则f′x定号，否则进入2°.2°若有解，则比较跟的大小.例1.讨论函数y=ax2−2x+1,x∈−1,1的单调性.解:1°当a=0时:y=−2x+1在−1,1↗2°当a>0时:函数的对称轴为x=1>01)当0<1a≤1即a≥1时:y在 −1,1a↘,1a,1↗2)当1a>1即0<a<1时:y在−1,1↘,3°当a<0时:,函数的对称轴为x=1a<01)当−1≤1<0即a≤−1时:y在 −1,1↗,1,1↘2)当1<−1即−1<a<0时:y在−1,1↘.综上…例2.讨论f x=1+x1−xe−ax a>0的单调性.解:定义域为:x x≠1,f′x=ae−ax2x2+2−a,令2−a≥0得:0<a≤21°当0<a≤2时:∵x2≥0,2−a≥0∴f′x≥0∴y=f x在−∞,1↗,1,+∞↗2°当a>2时:令f′x=0得x1=−a−2,x2=a−2a >2→0<1a <12→−1<−2a <0→0<1−2a <1→ a −2a<1→x 2<1练1.讨论f ′ x =ax 3+3x +1的单调性.解:1°当a ≥0时:y =f x 在R ↗;2°当a <0时:y =f x 在 −∞,− −1a ↘, − −1a , −1a ↗, −1a,+∞, ↘. 练2.讨论f ′ x =x +a x的单调性. 解:1°当a ≤0时:y =f x 在 −∞,0 ↗, 0,+∞ ↗;2°当a >0时:y =f x 在 −∞,− a ↗, − a,0 ↘, 0, a ↘, a,−∞ ↗.2.求含参函数的值域（最值）：依以下顺序讨论：1°先讨论单调性（整个有意义的区间），2°再讨论极值点与定义域的关系. 例6.求值域：1)y =2x 2−ax −3,x ∈ −1,1 ;2)y = x 2− a +1 x +1 e x ,x ∈ −1,1 .解：1)函数的对称轴为：x =a ，结合图像可知： 1°当a <−1即a <−4时:f max x =f 1 =−a −1,f min x =f −1 =a −1; 2°当−1≤a <0即−4≤a <0时:f max x =f 1 =−a −1,f min x =f a =−18a 2−3; 3°当0≤a <1即0≤a <4时:f max x =f −1 =a −1,f min x =f a =−1a 2−3; 4°当a ≥1即a ≥4时:f ma x x =f −1 =a −1,f min x =f 1 =−a −1. 2)令y ′= x +1 x −a e x =0,得：x ==−1或x =a1°当a ≤−1时：y ′>0⇒y 在 −1,1 ↗⇒y ∈ f −1 ,f 1 = a +3e , 1−a e ;2°当a≥1时：y′<0⇒y在−1,1↘⇒y∈f1,f−1=1−a e,a+3;3°当−1<a<1时：列表如下：∴y min=1−a e a,y max=max,1−a e=M⇒y∈1−a e a,M.综上所述：……注：当−1<a<1时:还可因1−a e与a+3e的大小关系,进一步分类讨论为：1°当−1<a≤e2−3e2+3时：y∈1−a ea,1−a e;2°当e2−3e2+3<a<1时：y∈1−a e a,a+3e.总结：含参函数求值域，最核心的是讨论其单调性，讨论的顺序为：1)先讨论y’=0在定义域内是否有解；2）再讨论有几解；3）再讨论解的大小；4）最后比较极值与区间端点值(有时是极限值)的大小，进而求出函数的值域.。

〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('⇒=∈⇒<∈⇒>∈⇔∈⇔<⇔∈⇔>讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解[典例1] 讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间． 解：xax x f +=)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('222≠-=-=x xa x x a x f (它与a x x g -=2)(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f >-<⇔≠>或)0(0)('a x x a x x f <<<<-⇔≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a .步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并．[变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(1)('>+=+=x xa x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0<a 时 a x x x f ->⇔>>)0(0)('; a x x x f -<<⇔><0)0(0)('此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -．[典例2] 讨论x ax x f ln )(+=的单调性． 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞)0(11)('>+=+=x xax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) I ）当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('-=⇔=没有意义）此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ II ）当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立， （此时ax x f 10)('-=⇔=不在定义域内，没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞III)当0<a 时, 令ax x f 10)('-=⇔= 于是，当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)所以， 此时)(x f 在),0(a-为单调增函数，)(x f 在),1(+∞-a是单调减函数， 即)(x f 的增区间为)1,0(a -;)(x f 的减区间为),1(+∞-a．小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性．即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间内的符号．一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性． [变式练习2] 讨论x ax x f ln 21)(2+=的单调性． 解：x ax x f ln 21)(2+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('2>+=+=x xax x ax x f , 它与1)(2+=ax x g 同号. 令)0(010)('2>=+⇔=x ax x f ，当0≥a 时，无解；当0<a 时,aaa x --=-=1(另一根不在定义域内舍去)i)当0=a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立 （此时ax x f 10)('2-=⇔=没有意义） 此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞ii)当0>a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，(此时 方程012=+ax 判别式0<∆,方程无解)此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞iii)当0<a 时,当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号))+∞是单调减函数，即)(x f 的增区间为)1,0(a-;)(x f 的减区间为),1(+∞-a ．小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果．对于二次型函数（如1)(2+=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论． [典例3] 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间． 解：1)(232--+=x ax x a x f 的定义域为R ，)1)(13(123)('22+-=-+=ax ax ax x a x fI) 当0=a 时，⇒<-=01)('x f )(x f 在R 上单调递减，)(x f 减区间为R ，无增区间． II) 当0≠a 时032>a ，)('x f 是开口向上的二次函数，令)0(1,310)('21≠-===a ax a x x f 得, 因此可知（结合)('x f 的图象） i)当0>a 时，21x x >ax a x f a x a x x f 3110)(';3110)('<<-⇔<>-<⇔>或 所以此时，)(x f 的增区间为),31()1,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)31,1(a a -ii) 当0<a 时，21x x <ax a x f ax a x x f 1310)(';1310)('-<<⇔<-><⇔>或所以此时，)(x f 的增区间为),1()31,(+∞--∞aa 和；)(x f 的减区间为)1,31(a a -．小结：求函数单调区间可化为导函数的正负讨论（即分讨论其相应不等式的解区间），常见的是化为二次型不等式讨论，当二次函数开口定且有两根时，一般要注意讨论两根大小（分大、小、等三种情况）。

学科教师辅导讲义第16炼 含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。

本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。

一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。

即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0x a ->，其解集为(),a +∞，中间并没有进行分类讨论。

思考：为什么？因为无论参数a 为何值，均是将a 移到不等号右侧出结果。

所以不需要分类讨论，再例如解不等式20x a ->，第一步移项得：2x a >（同样无论a 为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a的不同取值会导致不同结果，显然a 是负数时，不等式恒成立，而a是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。

体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。

所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。

（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。

要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。

例如上面的不等式2x a >，a 所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a 的符号进行分类讨论。

导数专题：含参函数单调性讨论问题一、导数与函数的单调性1、用导数求函数的单调性的概念：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '≥，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '≤，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．【注意】（1）在某区间内()0(()0)f x f x ''><是函数()f x 在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．（2）可导函数()f x 在(,)a b 上是增(减)函数的充要条件是对(,)x a b ∀∈，都有()0(()0)f x f x ''><且()f x '在(,)a b 上的任何子区间内都不恒为零．2、确定函数单调区间的求法（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '；（3）解不等式()0f x '>，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式()0f x '<，解集在定义域内的部分为单调递减区间．二、含参函数单调性讨论依据讨论含参函数的单调性，其本质是导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主。

讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般需要分四个层次来分类：（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。

三、两大类含参导函数的具体方法1、含参一次函数单调性讨论（1）讨论最高次项是否为0，正负情况；（2）求解导函数的根；（3）定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值.2、含参二次函数单调性的讨论（1）确定函数的定义域；（2）讨论最高次项是否为0，正负情况；（3）可因式分解型，解得12,x x （注意讨论12x x =）；不可因式分解型，讨论0∆≤及0∆>；（4）讨论1x 和2x 的大小，能因式分解的，注意讨论12x x =；（5）12,x x 将定义域划分为若干个单调区间，分别讨论每个区间上导函数的正负值，判断根和区间端点位置关系的方法有3种：端点函数值+对称轴；韦达定理；求根公式。

利用导数讨论含参函数的单调性讨论函数的单调性是研究函数问题的基础，对于函数的最值、极值、零点等性质的研究，都是以函数的单调性为基础展开的。

在此，主要讨论含参函数单调性的讨论方法。

函数的单调性由导函数的正负决定，讨论函数的单调性关键在于研究导函数的正负。

含参函数导函数正负的确定最大的困难在于参数的影响，如何对参数进行分类讨论是问题的关键。

在此，我们将提出三种方法。

一．分离参数、数形结合函数求导后，导函数中的参数可以分离，形如：m x g x f -=)()('的形式，若)(x g 有最小值，则分min )(x g m ≤，min )(x g m >两种情况进行分类讨论。

（1）当min )(x g m ≤时，0)()('≥-=m x g x f ；（2）当min )(x g m >时，若0)()('=-=m x g x f 有一个解，且)(x g 单调，设解为0x ，则0x 将定义域分为两个区间，讨论函数的单调性。

若)(x g 有最大值，则分max )(x g m ≥，max )(x g m <两种情况进行分类讨论。

1.（2012年全国卷文科21题） 设函数2)(--=ax e x f x . （1）求)(x f 的单调区间；解：函数)(x f 的定义域为()+∞∞-,，a e x f x -=)('，①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞∞-,单调递增； ②若0>a ，则由0)('=x f 得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,ln a x 时，0)('>x f ； 所以)(x f 的单调减区间是()a ln ,∞-，单调增区间是()+∞,ln a ； 2.（2016年山东文科20题）设x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈. （1）令)()('x f x g =，求)(x g 的单调区间. 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，1221ln )()('-+-+==a ax x x f x g ，a xx g 21)('-=（1）若0≤a ，则0)('>x g ，)(x g 在()+∞,0单调递增；（2）若0>a ，则由0)('=x g 得ax 21=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('>x g ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('<x g ，所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递减.3.（2015年北京卷文科19题）设函数x k x x f ln 2)(2-=.（1）求)(x f 的单调区间和极值；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xkx x k x x f -=-=2')(，①若0≤k ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增； ②若0>k ，则由0)('=x f 得k x =，当()k x ,0∈时，0)('<x f ，当()+∞∈,k x 时，0)('>x f所以)(x f 的单调减区间是()k ,0，单调增区间是()+∞,k .4.（2015年全国二卷文科21题） 已知函数)1(ln )(x a x x f -+=. （1）讨论)(x f 的单调性；解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，xaxa x x f -=-=11)('， ①若0≤a ，则0)('>x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 1=，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 1,0时，0)('>x f ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈0,1a x 时，0)('<x f ；所以)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,1a单调递减； 5.（2016年四川卷文科21题） 设函数x a ax x f ln )(2--=. （1）讨论)(x f 的单调性； 解：函数)(x f 的定义域为()+∞,0，⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=22'121212)(x a x x ax x ax x f ，①若0≤a ，则0)('<x f ，)(x f 在()+∞,0单调递减；②若0>a ，则由0)('=x f 得ax 21=，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈a x 21,0时，0)('<x f ，当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,21a x 时，0)('>x f ；所以)(x f 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21a 单调递增； 若0)()('=-=m x g x f 有两个解，则可以将定义域分为三个区域进行讨论。

专题10分类讨论法解决含参函数单调性问题1．函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致不同的结果，因而要对参数进行分类讨论．常见的有含参函数的单调性、含参函数的极值、最值等问题，解决时要分类讨论．分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整．2．利用分类讨论解决含参函数的单调性、极值、最值问题的思维流程3．口诀记忆导数取零把根找，先定有无后大小；有无实根判别式，两种情形需知晓．因式分解见两根，逻辑分类有区分；首项系数含参数，先论系数零正负．首项系数无参数，根的大小定胜负；定义域，紧跟踪，两根是否在其中．题型一可求根或因式分解1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．2．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当a >0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当a <0时，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减；当a ＝0时，f (x )为常函数．3．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)，讨论函数f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )4．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x ，a >0，试讨论函数y ＝f (x )的单调性．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝ax 2－(a ＋1)x ＋1x ＝(ax －1)(x －1)x ．①当0<a <1时，1a >1，∴x ∈(0，1)f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )在(0，1)②当a ＝1时，1a ＝1，∴f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；③当a >1时，0<1a <1，∴x (1，＋∞)时，f ′(x )>0；x f ′(x )<0，∴函数f (x )(1，＋∞)综上，当0<a <1时，函数f (x )在(0，1)当a ＝1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >1时，函数f (x )(1，＋∞)5．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．讨论函数f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝ax ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2．当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．(1)当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(2)当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)当－12＜a ＜0时，Δ＞0．设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a ．由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a ＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )6．已知f (x )＝(x 2－ax )ln x －32x 2＋2ax ，求f (x )的单调递减区间．解析：易得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(2x －a )ln x ＋x －a －3x ＋2a ＝(2x －a )ln x －(2x －a )＝(2x －a )(ln x －1)，令f ′(x )＝0得x ＝a2或x ＝e ．当a ≤0时，因为x ＞0，所以2x －a ＞0，令f ′(x )＜0得x ＜e ，所以f (x )的单调递减区间为(0，e)．当a ＞0时，①若a2＜e ，即0＜a ＜2e ，当x f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )②若a2＝e ，即a ＝2e ，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )没有单调递减区间；③若a2＞e ，即a ＞2e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，当x f ′(x )＜0，当x f ′(x )＞0，所以f (x )综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递减区间为(0，e)；当0＜a ＜2e 时，f (x )当a ＝2e 时，f (x )无单调递减区间；当a ＞2e 时，f (x )7．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．解析：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1，∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1.(2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a .易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．8．已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解析：(1)g ′(x )＝1x ＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴，得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a＜x ＜1，即函数g (x )(1，＋∞)若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ．若a >0，试讨论函数f (x )的单调性．解析：因为f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，所以f ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x．由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由f ′(x )>0得x >1或0<x <12a ，由f ′(x )<0得12a <x <1，即函数f (x )(1，＋∞)若12a >1，即0<a <12，由f ′(x )>0得x >12a 或0<x <1，由f ′(x )<0得1<x <12a ，即函数f (x )在(0，1)若12a ＝1，即a ＝12，则在(0，＋∞)上恒有f ′(x )≥0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当0<a <12时，函数f (x )在(0，1)当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数f (x )减，在(1，＋∞)上单调递增．10．函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1，当a ≠0时，求f (x )的单调区间与极值．解析：因为f ′(x )＝－2ax 2＋2(a 2－1)x ＋2a (x 2＋1)2＝－2a(x 2＋1)2·(x －a (1)a >0时x (－∞，－a －1)(－a －1，a )(a ，＋∞)f ′(x )－＋－f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.(2)当a <0时，x (－∞，a )(a ，－a －1)(－a －1，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.综上，当a >0时，f (x )的递增区间是(－a －1，a )，递减区间是(－∞，－a －1)，(a ，＋∞)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.当a <0时，f (x )的递增区间是(－∞，a )，(－a －1，＋∞)，递减区间是(a ，－a －1)，f (x )的极小值为f (－a －1)＝－a 2，极大值为f (a )＝1.11．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)，讨论f (x )的单调性．解析：f ′(x )＝x (x －(a 2－2a ))(x ＋1)(x ＋a )2.①当a 2－2a <0时，即1<a <2，又a 2－2a ＝(a －1)2－1>－1.②当a ＝2时，f ′(x )＝x (x ＋1)(x ＋2)2≥0，f (x )在(－1，＋∞)上递增．③当a 2－2a >0时，即a >2时，x (－1,0)(0，a 2－2a )(a 2－2a ，＋∞)f ′(x )＋－＋综上，当1<a <2时，f (x )的递增区间是(－1，a 2－2a )，(0，＋∞)，递减区间是(a 2－2a,0)；当a >2时，f (x )的递增区间是(－1,0)，(a 2－2a ，＋∞)，递减区间是(0，a 2－2a )；当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)上递增．12．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x 在(－∞，＋∞)上单调递增．②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a .当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝当x ∞，f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.故f (x )∞，13．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－ax －x 2，讨论f (x )在定义域上的单调性．解析：f ′(x )＝a x ＋1－a －2x 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－a ＋22f (x )的定义域为(－1，＋∞)，①当－a ＋22≤－1，即当a ≥0时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．②当－1＜－a ＋22＜0，即－2＜a ＜0时，若x 1f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x －a ＋22，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．③当－a ＋22＝0，即a ＝－2时，f ′(x )≤0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．④当－a ＋22＞0，即a ＜－2时，若x ∈(－1，0)，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减；若x f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；若x －a ＋22，＋f ′(x )＜0，则f (x )单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a ＜0时，f (x )1－a ＋22，(0，＋∞)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减；当a ＜－2时，f (x )在(－1，0)－a ＋22，＋14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x ·(cos x －sin x ＋2x －2)，其中e 是自然对数的底数．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)讨论函数h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R)的单调性．解析：(1)g ′(x )＝(e x )′·(cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (cos x －sin x ＋2x －2)′＝e x (cos x －sin x ＋2x －2－sin x －cos x ＋2)＝2e x (x －sin x )．记p (x )＝x －sin x ，则p ′(x )＝1－cos x ．因为cos x ∈[－1，1]，所以p ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数p (x )在R 上单调递增．而p (0)＝0－sin 0＝0，所以当x <0时，p (x )<0，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x >0时，p (x )>0，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．综上，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)因为h (x )＝g (x )－af (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )，所以h ′(x )＝2e x (x －sin x )－a (2x －2sin x )＝2(x －sin x )(e x －a )．由(1)知，当x >0时，p (x )＝x －sin x >0；当x <0时，p (x )＝x －sin x <0．当a ≤0时，e x －a >0，所以x >0时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x <0时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减．当a >0时，令h ′(x )＝2(x －sin x )(e x －a )＝0，解得x 1＝ln a ，x 2＝0．①若0<a <1，则ln a <0，所以x ∈(－∞，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(ln a ，0)时，e x －a >0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(0，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．②若a ＝1，则ln a ＝0，所以x ∈R 时，h ′(x )≥0，函数h (x )在R 上单调递增．③若a >1，则ln a >0，所以x ∈(－∞，0)时，e x －a <0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增；x ∈(0，ln a )时，e x －a <0，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；x ∈(ln a ，＋∞)时，e x －a >0，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；当0<a <1时，函数h (x )在(－∞，ln a )，(0，＋∞)上单调递增，在(ln a ，0)上单调递减；当a ＝1时，函数h (x )在R 上单调递增；当a >1时，函数h (x )在(－∞，0)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减．题型二导函数不可因式分解1．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋ax ＋1．讨论f (x )的单调性．解析：由题意知f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－2x ＋a ，对于f ′(x )＝0，Δ＝(－2)2－4×3a ＝4(1－3a )．①当a ≥13时，f ′(x )≥0，f (x )在R 上单调递增；②当a <13时，令f ′(x )＝0，即3x 2－2x ＋a ＝0，解得x 1＝1－1－3a 3，x 2＝1＋1－3a 3，令f ′(x )>0，则x <x 1或x ＞x 2；令f ′(x )<0，则x 1<x <x 2．所以f (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增．综上，当a ≥13时，f (x )在R 上单调递增；当a <13时，f (x )∞2．已知函数f (x )＝x 3－kx ＋k 2．讨论f (x )的单调性．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－k ，当k ≤0时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当k ＞0时，令f ′(x )＝0，得x ＝±k 3，令f ′(x )＜0，得－k3＜x ＜k3，令f ′(x )＞0，得x ＜－k3或x ＞k 3，所以f (x )－k 3，∞k3，＋3．已知函数f (x )＝(1＋ax 2)e x －1，当a ≥0时，讨论函数f (x )的单调性．解析：由题易得f ′(x )＝(ax 2＋2ax ＋1)e x ，当a ＝0时，f ′(x )＝e x ＞0，此时f (x )在R 上单调递增．当a ＞0时，方程ax 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4a ．①当0＜a ≤1时，Δ≤0，ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，所以f ′(x )≥0，此时f (x )在R 上单调递增；②当a ＞1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1－1－1a，x 2＝－1＋1－1a．x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．所以f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a，－1综上，当0≤a ≤1时，f (x )在R 上单调递增；当a ＞1时，f (x )∞，－11＋1－1a，＋1－1－1a ，－14．已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．解析：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＞2时，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x f ′(x )＜0；当x f ′(x )＞0.所以f (x )综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )5．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程；(2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性．解析：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x ，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1.(2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a －14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a＞0，且x 2＞x 1，故F (x )④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1.(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )－23，－a 的取值范围．解析：(1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1.①当Δ≤0⇒－3≤a ≤3，f ′(x )≥0，且在R 的任给一子区间上，f ′(x )不恒为0，所以f (x )在R 上递增；②当Δ>0⇒a <－3或a > 3.由f ′(x )＝0⇒x 1＝－a －a 2－33，x 2＝－a ＋a 2－33.x(－∞，x 1)(x 1，x 2)(x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋所以f (x )的单调递增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)；单调递减区间是(x 1，x 2)．(2)因为f (x )－23，－－23，－(x 1，x 2)．所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≤0－23，－所以2a ≥－3x －1x在－23，－a ≥2.7．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a ＞0，讨论f (x )的单调性．解析：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ≤0，即0＜a ≤22时，对一切x ＞0都有f ′(x )≥0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＞0，即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.由f ′(x )>0，得0<x <x 1或x >x 2.由f ′(x )<0，得x 1<x <x 2.所以f (x )在。

含参函数单调性的分类讨论问题一、含参函数单调性讨论步骤1.求定义域；2.求导数；3.数轴标根；4.判断导数正负；5.确定函数的单调性（单调区间）.二、常见含参函数的形式分类1.一次函数形式⎪⎩⎪⎨⎧→-=→>→-=→<→+=单调区间数轴标根单调区间数轴标根(0(0)(k b x k k b x k b kx x f 2.二次函数形式))(()()(212x x x x a x f c bx ax x f --='→→++=因式分解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→<>→>→→<→→=∆→→<>→=→单调区间或比较两根大小单调区间数轴标根单调区间数轴标根不能判断或一次函数讨论形式讨论参数)(0000002121x x x x a a a 3.指数函数形式（含xe ）⎩⎨⎧→++='→++='→→=根据参数分类讨论根据参数分类讨论因式分解的式子含))(()())(()()()(c bx a e xf c e b e a x f e x f x x x x题型一一次函数型例1.1讨论函数ax x x f -=ln )(的单调性.【解析】练1.1已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++=，讨论)(x f 的单调性.【解析】题型二二次函数型例2.1设函数2()ln f x ax a x =--，其中a R ∈，讨论()f x 的单调性.【解析】由题意，()2121'2,0ax f x ax x x x-=-=>①当0a 时，2210ax -≤，()'0f x ≤，()f x 在()0,+∞上单调递减.②当0a >时，令()0f x '=，有x =，当x ∈时，()'0f x <；当)x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增.练2.11已知函数1()ln f x x a x x=-+，讨论()f x 的单调性.【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．①若2≤a ，则()0'≤f x ，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减．②若2a >，令()0f x '=得，2a x =或2a x =．当(0,)(,)22a a x -+∈+∞ 时，()0f x '<；当(,22a a x ∈时，()0f x '>．所以()f x在(0,2a，(,)2++∞a单调递减，在(,22a a +单调递增．练2.12设函数1()ln 1x f x a x x -=++，其中a 为常数．讨论函数()f x 的单调性．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +++'=+=++，（1）当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，（2）当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，①当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --'=≤+，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，②当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，③当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1(1)a x a -++=，2(1)a x a -+=，由11a x a+-=-0a =>-，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在(1)(0,a a -++，(1)(,)a a-++∞上单调递减，在(1)(1)(,a a a a -+-+上单调递增．例2.2已知函数32()22f x x ax =-+，讨论()f x 的单调性.【解析】2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0=x 或3a x =.①若0>a ，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；②若0=a ，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；③若0<a ，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.练2.21已知函数1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，求)(x f 的单调区间.【解析】练2.22已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈，讨论()f x 的单调性.【解析】因为322)11(=)(′x x x a x f －－－322)(1(=x ax x )－－，（1）当0a ≤时，(0,1)x ∈，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，(1,)x ∈+∞，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；（2）当0>a 时，3322+(2)(1(=2)(1(=)(′x a x a x x a x ax x x f ))－－)－－①当02a <<时，1>2a ，(0,1)x ∈或)x ∈+∞，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，x ∈，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；②当2a =时，1=2a，(0,)x ∈+∞，()0f x '≥，)(x f 单调递增，③当2a >时，1<2<0a ，x ∈或(1,)x ∈+∞，0>)(′x f ，)(x f 单调递增，x ∈，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；题型三指数型例3.1已知函数2()()x x f x e e a a x =--，讨论()f x 的单调性.【解析】函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()x f x e =，在(,)-∞+∞单调递增．②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =．当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．③若0a <，则由()0f x '=得ln(2a x =-．当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln()2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a-∞-单调递减，在(ln(),)2a -+∞单调递增．练3.1已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-，讨论()f x 的单调性.。

拓展三 含参函数单调性的分类讨论考点一 导函数为一根【例1】．（2020·安徽）已知函数3()f x x ax =+.讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >. 令()0f x '<，解得x <<，则()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减. 【一隅三反】1．（2020·河南）已知函数()()22e xx x f a x =-+.讨论函数()f x 的单调性；【答案】答案见解析【解析】()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e xxxx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.2．（2020·山西运城）已知函数()()ln 21f x x ax a =-+∈R .讨论()f x 的单调性； 【答案】具体见解析【解析】函数()ln 21f x x ax =-+，定义域为()0,∞+，()12f x a x'=-， 当0a ≤时，()0f x '>.故()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间.当0a >时，令()120f x a x'=-=，得102x a =>；当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增； 当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增，此时无减区间； 当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.3．（2020·青海高二期末（理））已知函数，1()ln ()f x a x a R x=+∈.讨论()f x 的单调性； 【答案】当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 【解析】因为1()ln =+f x a x x ，所以2211()(0)'-=-=>a ax f x x x x x . 当0a 时，()0f x '<恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<，得10x a <<；由()0f x '>，得1x a>. 故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. 综上，当0a 时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.考点二 导函数为两根【例2】．（2020·四川南充·高二期末（理））已知函数()()22ln f x ax a x x =+--，()a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若对任意0x >，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）当0a ≤时，在()0,+∞上，()f x 是减函数, 当0a >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 是减函数,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 是增函数；【解析】解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞）又()()()()()2/221211122ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数 当a ＞0时，由f′（x ）=0得：1x a =或12x =-（舍） 所以：在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＜0，f （x ）是减函数在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，f′（x ）＞0，f （x ）是增函数 【一隅三反】1．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+．判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得2113()()()ln (1)222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，(0,)x ∈+∞；∴21(1)1(1)(1)()1ax a x ax x F x ax x a x x-+-+-++'=-+-==． 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0F x '>，有10x a <<：()F x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；令()0F x '<，有1x a >：()F x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 综上，当0a ≤时，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 2．（2020·河南郑州）已知函211()()().22x f x x e a x =-++讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】答案见解析【解析】()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭， 令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即2a e=-时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增.3．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+，讨论函数()f x 的单调性；【答案】见解析 【解析】因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=.令()0f x '=，解得x a =或1x =. 若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a .若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数.若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .考点三 不能因式分解【例3】．（2019·全国湖北·高二期中（文））设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈讨论()f x 的单调性； 【答案】答案见解析【解析】()f x 定义域为()0,∞+，()22211'1a x ax f x x x x-+=+-=， 令()221,4g x x ax a =-+∆=-，①当22a -≤≤时，0∆≤，()'0f x ≥，故()f x 在()0,∞+上单调递增， ②当2a <-时，>0∆，()0g x =的两根都小于零，在()0,∞+上，()'0f x >， 故()f x 在()0,∞+上单调递增，③当2a >时，>0∆，()0g x =的两根为12x x ==，当10x x <<时，()'0f x >；当12x x x <<时，()'0f x <；当2x x >时，()'0f x >； 故()f x 分别在()()120,,,x x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 【一隅三反】1．（2019·洋县中学月考）已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（Ⅰ）3k =；（Ⅱ）答案见解析； 【解析】（Ⅰ）()1()0f x x k x x'=+->，∵曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行， ∴(1)1f '=-，即21k -=-，故3k =；（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当k 2≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增； ② 当2k >时，211()x kx f x x k x x-+'=+-=，令()0f x '=，得210x kx -+=.∵240k ∆=->，∴方程()0f x '=有两不等实根12x x ==.∵120x x k +=>，1210x x =>，∴210x x >>.令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<.综上所述，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在0,2k ⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 另法（常规方法）：讨论24k ∆=-的符号.当240k ∆=-≤，即22k -≤≤时，210-+≥x kx 恒成立，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增； ② 当240k ∆=->，即2k <-或2k >时，方程()0f x '=有两不等实根12,x x .（i ）当2k <-时，由12120,10x x k x x +=<=>知120x x <<，则12()()()0x x x x f x x--'=>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增；（ii ）当2k >时，由12120,10x x k x x +=>=>知210x x >>， 令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<. 故()f x 在1(0,)x 、2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减.综上，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在0,2k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在22k k ⎛-+⎪⎝⎭上单调递减，在2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. 2．已知函数221()ln ()x f x a x a R x-=-∈，讨论()f x 的单调性；【答案】见解析【解析】()f x 的定义域为(0,)+∞，1()2ln f x x a x x=--21()2f x x '=+2221a x ax x x-+-=， 对于2210x ax -+=，28a ∆=-，当[a ∈-时，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当(,a ∈-∞-时，对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.当)a ∈+∞时，令()0f x '>，得04a x <<或4a x >，令()0f x '<x <<，所以()f x 在，)+∞上是增函数，在上是减函数.综上，当(,a ∈-∞时，()f x 在(0,)+∞上是增函数；当)a ∈+∞时，()f x 在，)+∞上是增函数，在(44a a 上是减函数.。

含参函数的单调性讨论类型一：导函数可转化为一次函数或二次函数型分类讨论步骤： ① 求定义域.② 讨论导数的最高项系数.若最高项系数含有参数则需分大于零，小于零，等于零进行讨论； 若最高项系数不含参数则此步略. ③ 求极值点，即导函数的变号零点.首先讨论有无极值点：一次函数型有无极值点一目了然；二次函数型可用判别式、因式分解等方法判定. 然后讨论两极值点的大小，以及极值点与给定区间端点的大小关系，即极值点是否在给定区间内. ④总结例1：讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间变式1：已知函数()ln ()af x x a R x=+∈，试讨论其在[1,]e 上的单调性及最值.变式2：讨论x ax x f ln )(+=的单调性 例2：设函数aax x a x x f 244)1(31)(23+++-=讨论函数)(x f 的单调性.变式1：设函数x a x a x x f ln 4)1(221)(2++-=，讨论函数)(x f 单调性.变式2：设函数)0(ln 4)1(221)(2≥++-=a x x a ax x f ，讨论函数)(x f 单调性.例3：设函数a ax ax x x f 24431)(23++-=，讨论函数)(x f 单调性.变式1：讨论xax x f +=)(的单调性，求其单调区间变式2：设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >（1） 讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值例4：已知函数(),(0,1],f x x a x a R +=-+∈∈，讨论函数的单调区间类型二：导函数不可转化为多项式函数型分类讨论步骤：① 求定义域; ② 求导函数;③ 先讨论只有一种单调区间的（即()0f x '≥或()0f x '≤）的情况，再讨论有增有减的情况（即导函数存在变号零点）; ④ 总结例5：讨论函数()22xf x e ax =-+的单调区间变式1：讨论函数()22x f x e ax =-+在[0,1]上的单调区间变式2：讨论函数2()(2)2x a f x e x x ax =--+的单调区间例6:试讨论()ln 2f x x x ax =-的单调区间变式：试讨论()ln 2f x x x ax =-在(0,)e 的单调区间。