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高一数学常考立体几何证明题及答案

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1、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE; （2）平面CDE平面ABC。

2、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，

求证： 1//AC平面BDE。

3、已知ABC中90ACBo,SA面ABC,ADSC,

求证：AD面SBC．

4、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．

5、正方体''''ABCDABCD中，求证：

（1）''ACBDDB平面；

（2）''BDACB平面.

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．

(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，90BDCo，

求证：BD平面ACD A

E

D B C

AE D1

CB1

D

C B A

SDCBAD1ODBAC1B1A1CA1

A B1

B C1

C D1

D G E F

8、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.

9、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.

（1）求证：1//AC平面BDE；

（2）求证：平面1AAC平面BDE.

10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；

（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；

（2）求证：ADPB．

12、如图1,在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC 的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．

13、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．

求证：AH⊥平面BCD．

14．(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．

已知：如图，三棱锥S—ABC，SC∥截面EFGH，AB∥截面EFGH. 求证：截面EFGH是平行四边形．

15．(12分)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝23a，如图．

(1)求证：MN∥面BB1C1C；

(2)求MN的长．

16．(12分)(2009·浙江高考)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．

(1)证明：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．

17．(12分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．

求证：(1)直线EF∥面ACD.

（2）平面EFC⊥平面BCD

.

1、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。

求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。

证明：（1）BCACCEABAEBE

同理，ADBDDEABAEBE

又∵CEDEE ∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC， ∴平面CDE平面ABC

2、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点，

求证： 1//AC平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，

∵E为1AA的中点，O为AC的中点

∴EO为三角形1AAC的中位线 ∴1//EOAC

又EO在平面BDE内，1AC在平面BDE外 ∴1//AC平面BDE。

3、已知ABC中90ACBo,SA面ABC,ADSC,

求证：AD面SBC．

证明：90ACB∵° BCAC

又SA面ABC SABC BC面SAC BCAD

又,SCADSCBCCAD面SBC

4、已知正方体1111ABCDABCD，O是底ABCD对角线的交点.

求证：(１) C1O∥面11ABD；(2)1AC面11ABD．

证明：（1）连结11AC，设11111ACBDO，连结1AO

∵ 1111ABCDABCD是正方体 11AACC是平行四边形

∴A1C1∥AC且 11ACAC

又1,OO分别是11,ACAC的中点，∴O1C1∥AO且11OCAO

11AOCO是平行四边形

111,COAOAO∥面11ABD，1CO面11ABD ∴C1O∥面11ABD A

E

D B C

AE D1

CB1

D

C B A

SDCBAD1ODBAC1B1A1C（2）1CCQ面1111ABCD 11!CCBD

又1111ACBD∵， 1111BDACC面 111ACBD即

同理可证11ACAD， 又1111DBADD

1AC面11ABD

5、正方体''''ABCDABCD中，求证：（1）''ACBDDB平面；（2）''BDACB平面.

6、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，

∴BD∥平面B1D1C．

同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，,,ACBDEF分别为,ADBC的中点，且22EFAC，

90BDCo，求证：BD平面ACD

证明：取CD的中点G，连 结,EGFG，∵,EF分别为,ADBC的中点，∴EG12//AC

12//FGBD，又,ACBD∴12FGAC，∴在EFG中，222212EGFGACEF

∴EGFG，∴BDAC，又90BDCo，即BDCD，ACCDC

∴BD平面ACD

8、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E、F、G分别是AB、AD、11CD的中点.求证：平面1DEF∥平面BDG.

证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD

又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG

∵1DGEB四边形1DGBE为平行四边形，1DE∥GB

又1DE平面BDG，GB平面BDG1DE∥平面BDG

1EFDEE，平面1DEF∥平面BDG

9、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点. A1

A B1

B C1

C D1

D G E F

（1）求证：1//AC平面BDE；

（2）求证：平面1AAC平面BDE.

证明：（1）设ACBDO，

∵E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO

又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE

（2）∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD

又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC，BD平面BDE，平面BDE平面1AAC

10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，2AB，4PAAD，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．

证明：在ADE中，222ADAEDE，AEDE

∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE

（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在RtPAD，42PD，在RtDCE中，22DE

在RtDEP中，2PDDE，030DPE

11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是060DAB且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；

（2）求证：ADPB．

证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD

又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD

（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG

且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，

PB平面PBG，ADPB

12、如图1,在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC 的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．

证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，

∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC ∴DB⊥1AO．

设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．

在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM．

∵OM∩DB=O，∴ 1AO⊥平面MBD．

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高一数学立体几何题目

高一数学立体几何题目

1.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：AB⊥C1F；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．

2.如图所示，矩形ABCD中，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC和BD交于点G．

（Ⅰ）求证：AE∥平面BFD；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BFG的体积．

3.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点．

求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．

4.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BB1D1D．

5.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．

6.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．

7.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、CD和SC的中点．求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1．

8.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．

（1）求证：AB1⊥BC1；

（2）求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值．

9.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：

（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．

10.如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．

立体几何证明垂直专项含练习题及答案-共8页

立体几何证明垂直专项含练习题及答案-共8页

立体几何证明------垂直

一.复习引入

1.空间两条直线的位置关系有：_________,_________,_________三种。

2.（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相_________.

3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行

5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么_________________________.

6.两个平面的位置关系:_________,_________.

7.判定定理1：如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面，那么这两

个平面平行.

8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面________.

9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行.

10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面.

二．知识点梳理

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义 判定

语言描述 如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥α 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形

条件 b为平面α内的任一直线，而l对这一直线总有l⊥α l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m，n

结论 l⊥ l⊥

要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质

性质

语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

图形

高中《立体几何》大题(附答案解析)

高中《立体几何》大题(附答案解析)

《立体几何》大题及答案解析

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥SABCD−

中，底面ABCD

为矩形，SD⊥

底面ABCD

，2AD=

，

2DCSD==

，点M

在侧棱SC

上，

∠ABM=60

。

（I）证明：M

是侧棱SC

的中点；

()

ΙΙ

求二面角SAMB−−

的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC-A

1B

1C

1中，AB⊥AC,D、E分别为AA

1、B

1C的中点，DE⊥平面BCC

1

（Ⅰ）证明：AB=AC （Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B

1C与平面BCD所成的角的大小

A

C

B A

1

B

1 C

1

D

E

3.（2009浙江卷）如图，DC⊥

平面ABC

，//EBDC

，22ACBCEBDC====

，120ACB∠=

，,PQ

分别为,AEAB

的中点．（I）证明：//PQ

平面ACD

；（II）求AD

与平面ABE

所成角的正弦值．

4.（2009北京卷）如图，四棱锥PABCD−

的底面是正方形，PDABCD⊥底面

，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：

平面AECPDB⊥平面

；

（Ⅱ）当2PDAB=

且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.（2009江西卷）如图，在四棱锥PABCD−

中，底面ABCD

是矩形，PA⊥

平面ABCD

，4PAAD==

，

2AB=

．以BD

的中点O

为球心、BD

为直径的球面交PD

于点M

．

（1）求证：平面ABM

⊥平面PCD

；

（2）求直线PC

与平面ABM

所成的角；

（3）求点O

到平面ABM

的距离．

6.（2009四川卷）如图，正方形ABCD

所在平面与平面四边形ABEF

所在平面互相垂直，△ABE

是等腰直角

三角形，,,45ABAEFAFEAEF°

==∠=

（I）求证：EFBCE⊥平面

；

（II）设线段CD

、AE

的中点分别为P

、M

，求证： PM

∥BCE平面

（III）求二面角FBDA−−

的大小。

O A P

B

C M

D7.（2009湖北卷文）如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是SD上的点，且DE

高中立体几何证明题

高中立体几何证明题

高中立体几何证明题

一、线面平行的证明

题1

已知正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}，E，F分别是AB，BC的中点，求证：EF∥平面A_{1}C_{1}D。

解析

1. 连接AC。

- 在 ABC中，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥ AC。

2. 正方体ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}中：

- AC∥ A_{1}C_{1}。

- 由EF∥ AC和AC∥ A_{1}C_{1}可得EF∥ A_{1}C_{1}。

- 又A_{1}C_{1}⊂平面A_{1}C_{1}D，EFnot⊂平面A_{1}C_{1}D。

- 根据线面平行的判定定理，所以EF∥平面A_{1}C_{1}D。

题2

在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，D是AB的中点，求证：AC_{1}∥平面CDB_{1}。 解析

1. 连接BC_{1}，交B_{1}C于点E。

- 在三棱柱ABC - A_{1}B_{1}C_{1}中，E为BC_{1}的中点。

2. 因为D是AB的中点：

- 所以在 ABC_{1}中，DE∥ AC_{1}。

- 又DE⊂平面CDB_{1}，AC_{1}not⊂平面CDB_{1}。

- 根据线面平行的判定定理，可得AC_{1}∥平面CDB_{1}。

二、线面垂直的证明

题3

在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA = PB = PC = PD，求证：PA⊥平面ABCD。

解析

1. 连接AC，BD交于点O，连接PO。

- 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC，BD中点。

- 又PA = PC，PB = PD，根据等腰三角形三线合一的性质：

- 可得PO⊥ AC，PO⊥ BD。 - 而AC∩ BD = O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD。

- 根据直线与平面垂直的判定定理，所以PO⊥平面ABCD。