第1讲 坐标系
一、知识梳理
1．坐标系
(1)伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·x（λ>0），y′＝μ·y（μ>0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(2)极坐标系
在平面内取一个定点O叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx（x≠0）Ｗ.
3．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
4．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则该圆的方程为：
ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0.
常用结论
几种简单曲线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ(－π2≤θ
圆心为(r，π2)，半径为r的圆
ρ＝2rsin θ(0≤θ
过极点，倾斜角为α的直线
(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)，
(2)θ＝α和θ＝π＋α
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcos θ＝a
(－π2
过点(a，π2)，与极轴平行的直线
ρsin θ＝a
学习资料
班 级： 科 目： 2022届高考数学统考一轮复习
第十章 选修系列 选修4-4 第1节 坐标系课时规范练（文，含解析）北师大版 第十章 选修系列
选修4-4 坐标系与参数方程
第一节 坐标系
课时规范练
1．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin错误!＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长．
解析：因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是圆心为(2，0),直径为4的圆．
因为直线l的极坐标方程为ρsin错误!＝2,
化成直角坐标方程为y＝错误!（x－4)，
则直线l过A(4，0)，倾斜角为错误!，
所以A为直线l与圆C的一个交点．
设另一个交点为B,则∠OAB＝错误!。
如图，连接OB。
因为OA为直径,从而∠OBA＝错误!，
所以AB＝4cos π6＝2错误!.
所以直线l被曲线C截得的弦长为2错误!。
2．(2020·青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为错误!(其中φ为参数)．以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1）求圆C的极坐标方程；
(2)设直线l的极坐标方程是ρsin错误!＝2，射线OM：θ＝错误!与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．
解析:(1)圆C的普通方程为x2＋（y－1)2＝1，又x＝ρcos θ,y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ。
(2)把θ＝错误!代入圆的极坐标方程可得ρP＝1，
把θ＝错误!代入直线l的极坐标方程可得ρQ＝2，
所以｜PQ｜＝|ρP－ρQ|＝1。
3．（2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2＋y2＋2x－4＝0,曲线C2的方程为y2＝x，以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程;
（2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π。
第2讲 参数方程
一、知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程
名称 普通方程 参数方程
直线 y－y0＝k(x－x0) x＝x0＋tcos αy＝y0＋tsin α
(t为参数)
圆 (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 x＝x0＋rcos θy＝y0＋rsin θ
(θ为参数且0≤θ<2π)
椭圆 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) x＝acos ty＝bsin t
(t为参数且0≤t<2π)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝2pt2y＝2pt(t为参数)
常用结论
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝t1＋t22；
(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
二、教材衍化
1．已知曲线C的参数方程为x＝3t，y＝2t2＋1(t为参数)，点M(－6，a)在曲线C上，则a＝ ．
解析：由题意得－6＝3t，a＝2t2＋1，所以t＝－2，a＝9.
答案：9
2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝2＋22t，y＝22t(t为参数)，与圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4交于A，B两点，求|AB|.
高考
1 / 19 选修4—4坐标系与参数方程
必备知识预案自诊
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:{𝑥'=𝜆·𝑥,𝜆>0,𝑦'=𝜇·𝑦,𝜇>0的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个O,叫作极点,自极点O引一条Ox,叫作极轴;再选定一个单位.一个单位(通常取)及其正方向(通常取方向),这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的叫作点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫作点M的极角,记为.有序数对叫作点M的极坐标,记为.
3.极坐标与直角坐标的互化
(1)设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ).
互化的前提条互化公式 高考
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(1)极点与原点重合;
(2)极轴与x轴非负半轴重合;
(3)取相同的长度单位 {x=ρ𝑐𝑜𝑠θ,y=ρ𝑠𝑖𝑛θ,①
{ρ2=x2+y2,𝑡𝑎𝑛θ=yx(𝑥≠0)②
(2)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍).一般取ρ≥0,θ∈[0,2π).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ()
(2)点P在曲线C上,则点P的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程. ()
(3)如果点P的直角坐标为(-√2,√2),那么它的极坐标可表示为(2,3π4). ()
(4)参数方程{𝑥=-1-𝑡,𝑦=2+𝑡(t为参数)所表示的图形是直线. ()
(5)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ. () 高考
3 / 19 2.在极坐标系中,过点(2√2,π4)作圆ρ=4sin θ的切线,则切线的极坐标方程是()
