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人教版高中数学必修三 第三章 概率§1.4 古典概型(Classical Probability)

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第1页 共6页 §1.4 古典概型(Classical Probability)

一、排列与组合公式的复习

1. 两大计数原理： 乘法原理，加法原理（简单介绍）。

2. 排列、组合的定义及计算公式

（1）排列：)( ),1()2)(1(!! nrrnnnnrnnArn，

特例，全排列!nAnn。

（2）组合： )( ,!)1()2)(1(!nrrrnnnnrArnCrnrn

特例，1,0nrnnrnCCC。

3. 从n个不同的球中摸取r个球，

（1）有放回计序（重复排列）：rn种取法；

（2）无放回种取法；不计序（组合）：种取法；计序（排列）：rnrnCA

二、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)

1. 古典概型 “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。它具有下述特征：

（1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个，不妨设为n个，记为neeeS,,,21；

（2）每个基本事件出现的可能性是相等的，即有)()()(21nePePeP。

称这种数学模型为古典概型(Classical probability)或等可能概型。

它在概率论中具有非常重要的地位，一方面它比较简单，既直观，又容易理解，另一方面它概括了许多实际内容，有很广泛的应用。

2. 等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E共有n个基本事件，事件A包含了k个基本事件，则事件A的概率为

基本事件总数的有利事件数中的基本事件总数中所含的基本事件数ASAnkAP)(.

(A中所含的基本事件数,习惯上常常称为是A的有利事件数),不难验证,上述的概率)(P的确具有非负性、规范性和有限可加性.）

（【注】讲课时可以简单证明这个公式）

求解古典概率问题,一般要做好三方面的工作：

一是判明问题性质,分辨所解的问题,是不是古典概率问题.如果问题所及的试验,具有以下两个基本特征：(1)试验的样本空间的元素只有有限个；(2)试验中每个样本点出现的可能性相同.那么,我们就可断定它是一个古典概率问题. 第2页 共6页 二是掌握古典概率的计算公式．如果样本空间包含的样本点的总数为n，事件A包含的样本点数(即A的有利场合的数目)为k，那么事件A的概率是

P(A)=nk=样本点总数包含的样本点数事件A=样本点总数的有利场合数A.

三是根据公式要求，确定n和k的数值. 这是解题的关键性一步，计算方法灵活多变，没有一个固定的模式.

古典概率一种解法大体都是围绕n和k的计算而展开的.

三、几类基本问题:

抛硬币、掷骰(tóu)子、摸球、取数等随机试验，在概率问题的研究中，有着十分重要的意义. 一方面，这些随机试验，是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的概率模型.它们的内容生动形象,结构清楚明确，富有直观性和典型性，便于深入浅出地反映事物的本质，揭示事物的规律. 另一方面，这种模型化的处理方法，思想活泼，应用广泛，具有极大的普遍性，不少复杂问题的解决，常常可以归结为某种简单的模型. 因此，有目的地考察并掌握若干常见的概率模型，有助于我们举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，从根本上提高解答概率题的能力.

本部分主要讨论古典概率中的五类基本问题(摸球问题、分球入盒问题、随机取数问题、抽签问题和分组问题),给出它们的一般解法,指出它们的典型意义,介绍它们的常见应用.

例1（摸球问题） 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。

（1）从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

（2）从袋中不放回取两次，每次取一个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

（3）从袋中有放回取两次，每次取一个球，求取出的两球都是黑色球和至少有一个是黑球的概率。

解：设A表示事件{取出的两球是黑球}，B表示事件{取出的两球是白球}，C表示事件{至少有一个是黑球}

（1）()PA25C/28C14/5；

（2）()PA25A/14/5；

（3）1)(1)(BPCP23A/28A28/25.

【评注】 如果把题中的“白球”、“黑球”换为“正品”、“次品”或“甲物”、“乙物”等等,我们就可以得到各种各样的“摸球问题”.为了让学生对此有深切的体会,再看下面的例子：（学生基本上能答对）

(1)一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.问：① 5只都是好的概率为多少？② 5只中有2只坏的概率为多少？ (答案：①540537CC;②54023337CCC)

(2)在相应地写有2,4,6,7,8,11,12及13的8张相同的卡片中,任意取出2张,求由所取得的两个数构成的分数为可约的概率. (答案:2825CC)

(3)从一副扑克牌(52张)中任取6张,求得3张红色牌和三张黑色牌的概率.(答案：652326326CCC)

(4)用火车运载两类产品,甲类n件,乙类m件.有消息证实,在路途中有2件产品损坏.求损坏的是不同产品的概率. (答案:211mnmnCCC)

(5)一个班级有n2个男生和n2个女生,把全班学生任意地分成人数相等的两组,求每组中男女生人数相等第3页 共6页 的概率. (答案：nnnnnCCC24222)

(6)从数1,2,…, n中任取两数,求所取两数之和和偶数的概率.

(答案：当n为偶数时, 222/2nnCCp；当n为奇数时,222/)1(22/)1(nnnCCCp)

练习1：在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。（138.0510049713CCC）

【提问】能自己推出本题的一般情形吗？（让学生课后自己回去考虑）

不难发现,上述各个问题的解决,都可以归结为摸球问题. 我们说摸球问题具有典型意义,原因也正在于此.

例2 (分球入盒问题)（分房模型） 将n个球随机地放入N个盒子中)(Nn（设盒子的容量不限），求：

（1）每个盒子至多有一个球的概率；

（2）某个指定的盒子中恰有m（mN）个球的概率；

（3）某指定n个盒子中各恰有一个球的概率；

（4）恰有n个盒子中各有一个球的概率；

（5）至少有两个球在同一个盒子中.

解：先求n个球随机地放入N个盒子的方法总数。因为每个球都可以落入N个盒子中的任何一个，有N种不同的放法，所以n个球放入N个盒子共有nnNNNN种不同的放法。

设（1）至（5）个问题中对应事件分别为521,,AAA，

（1）第一个球可以放进N个盒子之一，有N种放法；第二个球只能放进余下的1N个盒子之一，有1N种放法；．．．第N个球只能放进余下的1nN个盒子之一，有1nN种放法；所以共有)1()1(nNNN种不同的放法。故

)(1APnnNnNANnNNN)1()1(；

（2）先从n个球中任选m个分配到指定的某个盒子中，共有mnC种选法；再将剩下的mn个球任意分配到剩下的1N个盒子中，共有mNn)1(种放法。所以

nmnmnNNCAP)1()(2；

（3）nNnAP!)(3；（4）)(4APnnNNA；（5）1)(5AP)(1APnnNNA1.

【评注】 n个球在Ｎ个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型,可用以描述许多直观背景很不相同的随机试验.为了阐明这一点,我们列举一些貌异质同的试验：

(1)生日. ｎ个人的生日情形,相当于ｎ个球放入Ｎ=365个盒子中的不同排列(设一年365天).

(2)性别. ｎ个人的性别分布,相当于把ｎ个球放入Ｎ=2个盒子中. 第4页 共6页 (3)意外事件. 如果把ｎ个意外事件按其发生在星期几来分类,相当于ｎ个球放入Ｎ=7个盒子中.

(4)掷骰子. 掷ｎ颗骰子的可能结果,相当于把ｎ个球放入Ｎ=6个盒子中.

(5)质点入格. ｎ个质点落于Ｎ个格子中的可能情形,相当于ｎ个球分入Ｎ个盒子中.

(6)旅客下站. 一列火车中有ｎ名旅客,它在Ｎ个站上都停.旅客下站的各种能情形,相当于n个球分到Ｎ个盒子中的各种情形.

(7)住房分配. n个人被分配到Ｎ个房间中去住,则人相当于球,房间相当于盒子.

(8)印刷错误. ｎ个印刷错误在一本具有Ｎ页的书中的一切可能的分布,相当于ｎ个球放入Ｎ个盒子中的一切可能分布(ｎ必须小于每一页的字数).

从上面所列举的部分试验,我们不难体会分球入盒的模型的意义.因而使该例成为古典概率中的典型问题之一,为一类实际问题的求解,提供了有效的途径.作为练习,读者可利用本题的思想方法,解答下列各题：

(1)同时掷4颗质量均匀的骰子,求出现完全不相同的点数的概率. (答案：4466A )

(2)设每人生日在星期几是等可能的,求6人生日都集中在一周中任意两天但不是都在同一天的概率.

(答案：66277)22(C)

(3)有n个质点,每个质点都等可能地落于Ｎ(ｎ≤Ｎ)个格子中的每一个.试求每一格子至多含一点的概率.

(答案：nnnNNAC)

(4)设有n个人,每个人都等可能地被分配到n个房间中的任一间去住.求恰有一个空房间的概率.

(答案:nnnnnACC121．)

练习2：某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？

例3（抽签问题）袋中有a只黑球,b只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只摸出来,求第k次摸出的一只球是黑球的概率(bak1).

解法一： 把a只黑球及b只白球都看作是不同的(例如设想把它们进行编号),若把摸出的球依次放在排列成一直线的ba位置上,则可能的排列法相当于把ba个元素进行全排列,总数为)!(ba,把它们作为样本点全体．有利事件数为)!1(baa,这是因为第k次摸得黑球有a种取法,而另外1ba次摸球相当于1ba只球进行全排列,有)!1(ba种构成法,故所求概率为

baababaaPk)!()!1(.

这个结果与k无关．回想—下,就会发觉这与我们平常的生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.

解法二 ： 把a只黑球看作是没有区别的,把b只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一直线的a+b位置上,因若把a只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球,而黑球的位置可以有bbaC种放法,以这种放法作为样本点.这时有利事件数为11abaC,这是由于第k次取得黑球,这个位置必须放黑球,剩下的黑球可以

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最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》示范教案2

最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》示范教案2

示范教案

整体设计

教学分析

本小节教材引用了6个例题来说明古典概型的应用．分别是“掷一颗及两颗骰子”“不放回和放回检验产品”“出拳游戏”以及“遗传基因问题”．这些都是在日常生活生产和学习中常见的实际问题，贴近学生的实际，容易引起学生的兴趣，也符合古典概型的条件，学生在理解题意的基础上不难解决．

古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．这一部分可以多介绍一些符合古典概型的实际问题，让学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型，加以解决．

值得注意的是：由于学生没有学习排列组合的有关知识，教学中不要把重点放在“如何计数”上．

三维目标

1．理解古典概型及其概率的计算公式．

2．通过实例理解古典概型的特征，让学生学会把一些实际问题转化为古典概型．

3．在解决过程中初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．

重点难点

教学重点：掌握古典概型的概念以及利用古典概型求解随机事件的概率．

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(1)掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．

(2)一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1,2,3，„，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1,2,3，„，10.

根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？

为此我们学习古典概型，教师板书课题．

思路2.将扑克牌(52张，去掉大小王)反扣在桌上，先从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心1”，“抽到红心2”，„，“抽到红心K”这13种情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52种情况的可能性是相等的．所以，当出现红心是“抽到红心1”，“抽到红心2”，„，“抽到红心K”这13种情形之一时，事件B就发生，于是P(B)＝1352＝14.为此我们学习古典概型．

最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》

最新人教版高中数学必修3第三章《古典概型》

数学人教B必修3第三章3.2 古典概型

1．理解古典概型及概率计算公式．

2．掌握古典概型试验所具有的特征．

3．了解概率的一般加法公式．

1．具有以下两个特征的试验称为古典概型：

(1)______：在一次试验中，可能出现的结果只有______个，即只有______个不同的基本事件．

(2)__________：每个基本事件发生的可能性是________．

一次试验中的“可能结果”实际是针对特定的观察角度而言的，例如，甲、乙、丙三名同学站成一排，计算甲站在中间的概率时，若从三个同学的站位来看，共有“甲乙丙”“甲丙乙”“乙甲丙”“乙丙甲”“丙甲乙”“丙乙甲”六种结果，若仅从甲的站位看，则可能结果只有三种，即站“1号位”“2号位”“3号位”．

【做一做1】下列选项中是古典概型的有( )．

A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止

2．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是________；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝________.所以古典概型中，随机事件A的概率P(A)＝__________.这一定义称为概率的古典定义．

用集合的观点来考察事件A的概率，有利于帮助我们生动、形象地理解事件A与基本事件的关系，有利于理解公式P(A)＝mn.如图所示，把一次试验中等可能出现的几个结果组成一个集合I，其中每一个结果就是I中的一个元素，把含m个结果的事件A看作含有m个元素的集合，则事件A是集合I的一个子集，则有P(A)＝cardAcardI＝mn.

【做一做2】若书架上放有中文书五本，英文书三本，日文书两本，则抽出一本外文书的概率为( )．

高中数学《古典概型》教学设计

高中数学《古典概型》教学设计

高中数学《古典概型》教学设计

【小编寄语】查字典数学网小编给大伙儿整理了高中数学《古典概型》教学设计 ，期望能给大伙儿带来关心!

一、内容和内容解析

内容：古典概型的概念及概率运算公式。

内容解析：本节课是高中数学(必修3)第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情形下进行教学的。古典概型是一种专门的数学模型，也是一种最差不多的概率模型，它曾是概率论进展初期的要紧研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们能够解决一类随机事件(等可能事件)的概率，而且能够得到概率精确值，同时幸免了大量的重复试验。学好古典概型能够为其它概率的学习奠定基础，有利于明白得概率的概念，并能够说明生活中的一些问题。

古典概型概念中的核心是它的两个特点，(1)试验中所有可能显现的差不多事件只有有限个(有限性);(2)每个差不多事件显现的可能性相等(等可能性)，专门是特点(2)，因此教学的重点不是“如何运算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、明白得、深化古典概型的两个特点及概率运算公式。同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用统计、化归等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

教学重点：明白得古典概型及其概率运算公式。

二、目标和目标解析

目标：明白得古典概型及其概率运算公式，并能运算有关随机事件的概率。

目标解析：

1、通过学生对掷硬币、骰子及例1的比较、分析，引导学生概括出古典概型的两个特点。

2、从掷硬币、骰子试验的有关概率运算中归纳出古典概型的概率运算公式。 3、借助问题背景及动手操作，让学生不断体验古典概型的特点(2)，充分认识到它在运用古典概型概率运算公式中的重要性。

4、体验将问题转化为古典概型中的思想，尝试用概率知识解析实际问题，并积极探究有关概率中较复杂的问题，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。

两个知识点古典概型与概率可乘性

两个知识点古典概型与概率可乘性

两个知识点古典概型与概率可乘性

古典概型和概率可乘性是概率论中的两个重要概念。它们在描述随机事件和计算概率时起到了关键作用。下面我们将分别详细介绍这两个概念。

古典概型（Classical Probability）

古典概型是指在同等可能性的前提下，根据事物的一些性质对随机事件进行分类。它通常适用于事件具有确定性、随机性较小的情况，比如掷硬币、掷骰子、抽牌等。古典概型的基本性质是每个事件的发生概率是相等的。

举个简单的例子，假设有一个标准的六面骰子，每个面的数字分别为1、2、3、4、5、6、如果我们想要计算掷一次骰子，出现3的概率，首先我们要明确该事件有多少个有利的结果，也就是掷骰子出现3的情况。显然，只有一个面是3的，所以有利结果的个数是1、然后，我们需要知道总的可能结果有多少个，也就是骰子的总面数，这里是6、因此，根据古典概型，掷一次骰子，出现3的概率就是1/6

概率可乘性（Multiplicative Property of Probability）

概率可乘性是指多个独立事件共同发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。当事件之间是独立的时候，我们可以使用概率可乘性来计算复合事件的概率。

例如，假设有一个包含红球和蓝球的袋子，其中有3个红球和2个蓝球。如果我们从袋子中连续抽两次球，每次抽取后都将球放回，然后再次抽球，我们想要计算先抽到红球，然后再抽到蓝球的概率。 首先，我们需要明确两个事件的发生概率。第一次抽到红球的概率是3/5，因为袋子中有3个红球和5个总球数。第二次抽到蓝球的概率是2/5，因为第一次抽取后还将球放回，袋子中的红球数量仍然是3个，蓝球数量是2个，所以总共的球数是5个。根据概率可乘性，两个事件共同发生的概率就是(3/5)*(2/5)=6/25

这个例子说明，当事件之间是独立的时候，我们可以将每个事件的概率相乘来计算复合事件的概率。这是因为每次抽取球后，袋子中的球数和颜色分布都没有改变，事件之间相互独立。