第11讲-函数与方程
一、考情分析
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．
二、知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点
零点个数210
[微点提醒]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.
2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
三、 经典例题
考点一 函数零点所在区间的判定
【例1】 (1)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )零点所在的区间为( ) A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，3)
D.(3，4)
(2)设函数y ＝x 3
与y ＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫12x －2
的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间
是________.
【解析】 (1)因为y ＝ln x 与y ＝x －2在(0，＋∞)上都是增函数， 所以f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上是增函数， 又f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，
根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝ln x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内. (2)设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪
⎫
12x －2
，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12x －2
的图
象如图所示.
因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
＝－1<0，
f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120
＝7>0，
所以f (1)f (2)<0，所以x 0∈(1，2).
规律方法 确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：
(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 考点二 确定函数零点的个数
【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －2，x ≤0，
－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
(2)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ∈[0，1），
2－x 2
，x ∈[－1，0），且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点有( ) A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
【解析】 (1)法一 由f (x )＝0得⎩⎨⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎨⎧x >0，
－1＋ln x ＝0，
解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点.
法二 函数f (x )的图象如图1所示，由图象知函数f (x )共有2个零点.
图1
(2)由f (x ＋1)＝f (x －1)，即f (x ＋2)＝f (x )，知y ＝f (x )的周期T ＝2. 在同一坐标系中作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象(如图2).
图2
由于两函数图象有2个交点.
所以函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内有2个零点. 规律方法 函数零点个数的判断方法：
(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；
(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 考点三 函数零点的应用
【例3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ＋a ，x ≤0，
3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值
范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，1) C.(－1，0)
D.[－1，0)
(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，
ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )
A.[－1，0)
B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞)
D.[1，＋∞)
【解析】 (1)当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝1
3.
因此当x ≤0时，f (x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根，∴a ＝－e x (x ≤0)，则－1≤a <0.
(2)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点.作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.
规律方法 1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值.
2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. [方法技巧]
1.转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.
