拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换
自动控制系统所涉及的数学问题较多，经常要结算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
1、拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的定义
如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数()f t ，它的定义域是 0t ≥，那么
()f t \的拉普拉斯变换定义为
()[()]()st F s L f t f t e dt ∞
-=⎰ （1）
式中， s 是复变数， s j σω=+（σ、ω均为实数），0
st e ∞
-⎰称为拉普拉斯积
分； ()F s 是函数()f t 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称()F s 为()f t 的象函数，而称()f t 为()F s 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数()F s 。所以，拉氏变换得到的是复数域内的数学模型。
2、几种典型外作用函数的拉氏变换
（1）单位阶跃函数1()t 的拉氏变换
(0)
1()1
()
t t t <⎧⎨
≥⎩ 拉氏变换得
00
1()[1()]1()st
st
F s L t t e dt e
s
∞
--∞===-⎰
当Re()0s >，则lim 0st
t e
-→∞
→。所以
111
[1()][0()]st
L t e
s s s
-∞=-=--=
（2）单位脉冲函数()t δ的拉氏变换
[()]1L t δ=
（3）单位斜坡函数t 的拉氏变换
0(0)
()(0)
t f t t
t <⎧=⎨
≥⎩
拉氏变换式0
()st F s te dt ∞
-=⎰
利用分部积分法
[]0
udv uv vdu ∞
∞
=-⎰
⎰
令
,st t u e dt dv -==
则
1,
st dt du v e s
-==-
所以
001()st st t F s e e dt s s ∞
∞--⎡⎤⎛⎫
=--- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
⎰
当Re()0s >时，lim 0st t e -→∞
→,则
2
011
()0st F s e dt s s ∞-=+
=⎰
（4）单位加速度函数的拉氏变换
2
0(0)()1(0)
2
t f t t t <⎧⎪=⎨≥⎪⎩
其拉氏变换式为
2311
()()2F s L t s
==
通常并不根据定义来求解象函数和原函数，而可从拉氏变换表（书P32-33）中直接查出。
3、拉氏变换的主要定理（书P31表2-2）
根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但
利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
在计算中经常用到的定理是微分定理：设()[()],F s L f t =则有
()()(0)df t L sF s f dt ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
，式中(0)f 是函数()f t 在0t =时的值。若初始值(0)0f =，则()()df t L sF s dt ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
。 同理，函数()f t 的高阶导数的拉氏变换为
12(1)()()(0)(0)(0)n n
n n n n
d f t L s F s s f s f f dt ---⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦
显然，如果原函数()f t 及其各阶导数的初始值都等于零，则原函数()f t 的n 阶导
数的拉氏变换就等于其象函数()F s 乘以n
s ，即()()n n n
d f t L s F s dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
3、拉普拉斯反变换（简称拉氏反变换）
拉普拉斯反变换的公式为
()[]⎰∞
+∞
--==j j 1
d e )(πj 21)(c c st s s F s F L t f
式中 1
-L ——表示拉普拉斯反变换的符号
通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数()f t 。所以，拉氏反变换得到的是时域的数学模型。 部分分式展开法：
在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式（n m ≥）
为了将()F s 写成部分分式，首先将()F s 的分母因式分解，则有
式中，
，
，…，
是
的根的负值，称为()F s 的极点，按照
这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。
1. F (s )的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换
式中， 是待定系数，它是 处的留数，其求法如下
lim()()()()
i
i
i i i s p s p A s p F s s p F s =-→=+=+
再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数
例： 求的原函数。
解: 首先将 的分母因式分解，则有
即得
