第2课时 平面向量的正交分解及坐标表示
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．
(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？
提示：唯一．
(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量OA.根据平面向量基本定理，OA＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？
提示：相同．
(3)如果向量OA也用(x，y)表示，那么这种向量OA与实数对(x，y)之间是否一一对应？
提示：一一对应．
(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？
提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出AB的坐标吗？
提示：能．AB＝(x2－x1，y2－y1)．
2．归纳总结，核心必记
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，则(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示．
(3)向量i，j，0的坐标表示
i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
(4)平面向量的坐标运算
文字 符号
加法 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
数乘
向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
[考纲要求]
1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
突破点一 平面向量基本定理
[基本知识]
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，设AB―→＝a，BC―→＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
二、填空题
1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB―→＝a，AD―→＝b，则BE―→等于________．
答案：b－12a
2．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案：0
3．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e 1＋2 e 2，b＝－e 1＋e 2，则2a－b＝________.
答案：3 e 1＋3 e 2
[典例感悟]
1.(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC―→＝3EC―→，F为AE的中点，则BF―→＝( )
A.23AB―→－13AD―→ B.13AB―→－23AD―→
C．－23AB―→＋13AD―→ D．－13AB―→＋23AD―→
解析：选C 如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以BC―→＝GD―→＝AD―→－AG―→＝AD―→－12AB―→，∴AE―→＝AB―→＋BE―→＝AB―→＋23BC―→＝AB―→＋23AD―→－12AB―→＝23AB―→＋23AD―→，于是BF―→＝AF―→－AB―→＝12AE―→－AB―→＝1223AB―→＋23 AD―→－AB―→＝－23AB―→＋13AD―→，故选C.
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算
学习目标
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2.会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。
学习任务：
(一)平面向量的正交分解：
阅读课本94-95页，回答下列问题
1、什么是正交分解？
2、观察右图，OAa,完成下列问题:
(1)向量1OA与向量i共线，则存在唯一实数x，使得iOA___1;
(2)向量2OA与向量j共线，则存在唯一实数y，使得jOA__2;
(3)由平行四边形法则，________________OAa.
3、阅读课本第95-96页，完成下列问题
向量的坐标表示的定义：分别选取与x轴、y轴方向相同的 向量i，j作为 ，对于任一向量a，
____________一对实数x、y，使得axiyj，（,xyR），实数对(,)xy叫___________，记作_________
其中x叫 ，y叫 。
说明：（1）对于a，有且仅有一对实数(,)xy与之对应；
（2）相等的向量的坐标 ；
（3）i（ ， ），j（ ， ），0(0,0)；
（4）直角坐标系中点A、向量OA、有序数（x,y）有什么关系？从原点引出的向量OA的坐标(,)xy
就是 。
(二)平面向量的坐标运算
1.阅读课本第96页，完成问题
已知),(),,(2211yxbyxa，则
(1)ba____________________,ba____________________(用坐标表示)。
(2)a____________________(R)(用坐标表示)。
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算．
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝________________________.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b等于( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0) D．(－1,2)
2．已知a－12b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
