第3章
空间向量与立体几何
第1课时 空间向量及其线性运算
春节期间,我国南方遭受了寒潮袭击,大风降温天气频发,已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶,感到风是从正北方向吹来．
问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？
提示：是．
1．空间向量
(1)定义：在空间中,既有大小又有方向的量,叫做空间向量．
(2)表示方法：空间向量用有向线段表示,并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．
2．相等向量
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.
问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．
提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．
问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？
提示：交换律、结合律、分配律．
1．空间向量的加减运算和数乘运算
OB＝OA＋AB ＝a＋b,BA＝OA－OB ＝a－b,
OC＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).
空间中有向量a,b,c(均为非零向量)．
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在惟一实数λ,使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
1．共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
向量a与b平行,记作a∥b.
规定,零向量与任何向量共线．
2．共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b＝λa.
1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．
2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种,结果仍是一个向量,方向取决于λ的正负,模为原向量模的|λ|倍．
3．两向量共线,两向量所在的直线不一定共线,可能平行．
第三章 3.1 3.1.1
3.1.2
请同学们认真完成练案[20]
A级 基础巩固
一、选择题
1．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于( D )
A．DB→ B．AC→
C．AB→ D．BA→
[解析] 解法一：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→
＝CA→－CB→＝BA→.
解法二：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→)
＝DA→＋BD→＝BA→.
2．已知空间向量AB→、BC→、CD→、AD→，则下列结论正确的是( B )
A．AB→＝BC→＋CD→ B．AB→－DC→＋BC→＝AD→
C．AD→＝AB→＋BC→＋DC→ D．BC→＝BD→－DC→
[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．
3．(2019－2020学年北京市房山区期末检测)在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是( B )
A．一个球 B．一个圆
C．半圆 D．一个点
[解析] 平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．
4．如图所示，已知A、B、C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量OP→的为( C )
A．OA→＋2AB→＋2AC→ B．OA→－3AB→－2AC→
C．OA→＋3AB→－2AC→ D．OA→＋2AB→－3AC→
[解析] 根据A、B、C、P四点共面的条件可知AP→＝xAB→＋yAC→.由图知x＝3，y＝－2，∴OP→＝OA→＋3AB→－2AC→，故选C．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E→＝14A1C1→，若AE→＝xAA1→＋y(AB→＋AD→)，则( D )
第三章 3.1.1空间向量及其加减运算
一、选择题
1．下列命题中，正确的有( )
(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；
(2)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(3)向量a、b相等的充要条件是 |a|＝|b|a∥b；
(4)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；
(5)AB→＝CD→的充要条件是A与C重合，B与D重合．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] C
[解析] (1)正确．∵AB→＝DC→，
∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥CD→.
又∵A、B、C、D不共线，∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，在▱ABCD中，AB→＝DC→.
(2)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．
∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c.
(3)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反．
(4)正确．a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|⇒/ a＝b.
(5)不正确．由AB→＝CD→，知|AB→|＝|CD→|，且AB→与CD→同向．故选C.
2．空间任意四个点A、B、C、D，则DA→＋CD→－CB→等于( )
A.DB→ B．AC→
C.AB→ D.BA→
[答案] D
[解析] 解法1：DA→＋CD→－CB→＝(CD→＋DA→)－CB→
＝CA→－CB→＝BA→.
解法2：DA→＋CD→－CB→＝DA→＋(CD→－CB→) ＝DA→＋BD→＝BA→.
3．已知空间向量AB→、BC→、CD→、AD→，则下列结论正确的是( )
A.AB→＝BC→＋CD→ B．AB→－DC→＋BC→＝AD→
C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→ D.BC→＝BD→－DC→
[答案] B
[解析] 根据向量加减法运算可得B正确．
4．如图所示，平行四边形ABCD的对角线交点是O，则下列等式成立的是(
最新中小学教案、试题、试卷
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．
答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量及其线性运算
1．空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，AB→＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： 最新中小学教案、试题、试卷
OB→＝OA→＋AB→＝a＋c；
BA→＝OA→－OB→＝a－b＝－c.
若P在直线OA上，则OP→＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝b＋a；
(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
知识点三 共线向量(或平行向量)
1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a与b平行，记作a∥b，规定零向量与任意向量共线．
2．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
