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线性代数期末复习卷08与答案

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- 1 - 福建农林大学考试试卷

课程名称：线性代数 考试时间 120

专业 年级 班 学号 姓名

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总得分

得分

评卷人

得分 评卷人 一、填空题（每空2分，共24分）

1. 行列式0540321中，元素-4的余子式M23=50；元素2的代数余子式 A12=054。

2. ),,(321XXXf=32212322212495XkXXXXXX，这个二次型对应的对称矩阵为

1202569kk， 3k 时，这个二次型为正定二次型。

3. 设三阶矩阵A的行列式|A|=81，则|2A|= 1 ，|A-1|= 8 。

4. 矩阵A=1001，B=0110则AB=0110；BA=0110。

5. 向量组1=(1，0，-1)，2=(k，3，0)，3=(-1，4，k)线性相关，则k= —3 。

6. 11112130x中，一次项x的系数为 2 。

7. 线性方程组AX=β有解，则rArA。

8. 两个同型矩阵A和B等价的充要条件是秩(A) = 秩(B)。

得分 评卷人 二、选择题（每小题 3分，共 15分）

1. 若矩阵AA-1= A-1A=I，那么矩阵A的行列式|A|应（ B ）

A)|A|=0 B)|A|≠0 C)|A|=k (k>1) D)|A|=k (k<-1)

2. A、B均为n阶正交方阵，则AB必为（ D ）

A)对称阵 B)正定阵 C)负定阵 D)正交阵 - 2 - 3. 设A，B都是n阶方阵，下列各项中正确的是（ D ）

A) 若A、B都是对称阵，则AB也是对称阵

B) 若A≠0且B≠0，则AB≠0

C) A可逆，AB的秩等于秩（A）

D) 若AB是可逆阵，则A和B都是可逆阵

4. 设0是非齐次线性方程组AX=的一个解，12,r是AX=0的基础解系，则（ B ）

A) 0，12,r线性相关

B) 0，12,r线性无关

C) 0，12,r的线性组合都是AX=的解

D) 0，12,r的线性组合都是AX=0的解

5. 两个n阶初等矩阵的乘积为（ C ）

A) 初等矩阵 B)单位矩阵 C)可逆矩阵 D)不可逆矩阵

得分 评卷人 三、判断题（每小题2分，共 10 分）

1． n阶行列式D中有多于n2-n个元素为0，则D=0。 ( √ )

2． 若矩阵A的列向量组线性相关，则它们的行向量组也线性相关。 ( × )

3． 方阵A与它的转置AT因为有相同的特征值，所以有相同的特征向量。( × )

4． 若AX=b（b≠0）有无穷多解，则AX=0也有无穷多解。 ( √ )

5． n阶矩阵A的秩为r，则必有所有r阶子式都不为零。 ( ×

)

得分 评卷人 四、计算、解答（共 44

分）

1． （8分）计算行列式70241202152101014

解：原式=

（4分）

2． （8分）设011220111X=112011111，求矩阵X

120212024124072410520015220011701171202120201170117015220001785072400945120201171000151790015 - 3 - 解 ：（可用不同方法求A-1 ） A*=222212412

A-1=

22221241261 (4分)

X= A-1611120111110640316311 (8分)

3（12分）设

问k为何值时，

1） 方程组有惟一解

2） 无解

3） 有无穷解，并求出此时通解

解：增广阵1111()22021AAbkkk

111102020212kkkk111102020012(1)kkk ……4

（1）当2k时，因为()2()rArA，所以方程组无解； ……6

（2）当2k且1k时，因为()()3rArA，所以方程组有唯一解；……8

（3）当1k时，因为()()23rArA，所以方程组有无穷多解， ……10

且此时11111011/303020102/300000000A，即方程组的同解于

1321323xxx，所求通解1/312/3001XC. ……12

4.（8分）设3R空间中的一组基： x1+x2-x3=－1

2x1+kx2-2x3=0

kx1+2x2+x3=k - 4 - 31111,0,3,122１２

1、求,１２的内积和夹角

2、试用施密特正交化过程把它化为标准正交基。

解

112122111313233121122111110[,]3011[,]3211[,][,][,][,]11106(1)131132221112bbbbbbbbbbbbbbb　　　　　=21121

再把它们单位化，取

12121233310111,1,321126161bbeebbbeb

5.（8分）设A=242422221，求正交阵P，使P-1AP=∧为对称阵。

解：求A的特征值EA=242422221

=0)7()2(2

- 5 - (2分)

221时

由0)2(XEA即

得分 评卷人 五、证明题（每小题7 分，共 7 分）

1、设A*是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明*A=(A)n-1（区别A=0及A≠0两种情形）

证明：当A≠0时，由A A*=AE，

*nAAAEA，*nAAA，1*nAA

当A=0时，若R（A）＜n-1时，则A*=0，1*0nAA，

若R（A）=n-1时，则R（A*）=1，1*0nAA

7,2321

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线性代数期末试题及参考答案

线性代数期末试题及参考答案

1 / 8 线性代数期末试题及参考答案

一、单项选择题

1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。

010

100 (B>100

000

010 (C> 100020

001(D> 100012

001

2．设向量组123,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是

< ）。

3．设A为n阶方阵，且250AAE。则1(2)AE< ）

(A> AE (B> EA (C> 1()3AE (D> 1()3AE

4．设A为nm矩阵，则有< ）。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则

< ）

二、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分>

1．A是n阶方阵，R，则有AA。 < ）

2．A，B是同阶方阵，且0AB，则111)(ABAB。 < ）

2 / 8 3．如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。

( >

4．若BA,均为n阶方阵，则当BA时，BA,一定不相似。 ( >

5．n维向量组4321,,,线性相关，则321,,也线性相关。 < ）

三、填空题

1．012

10nn。

2．A为3阶矩阵，且满足A3,则1A=______，*3A。

3．向量组11

1

1，20

2

5，32

4

7，41

2

0是线性

4．已知123,,是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩()RA=3，

11

2

3

4，234

44

4，则方程组Axb的通解为。fgMAHkwHrE

5．设231

11

503Aa

，且秩(A>=2，则a=。

四、计算下列各题

1．已知A+B=AB，且121

342122A

，求矩阵B。

2.设(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而TA，求nA。

3 / 8 3.已知方程组1123211232123xxax

xxx

xaxxa有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型

32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。<1）

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

线性代数期末考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？

A. A的行列式为0

B. A的行列式不为0

C. A的逆矩阵不存在

D. A的逆矩阵是其转置矩阵

答案：B

2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：

A. 系数矩阵的行列式为0

B. 系数矩阵的行列式不为0

C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩

D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩

答案：B

3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：

A. 零矩阵

B. 单位矩阵

C. 任意对角矩阵

D. 任意方阵

答案：B

4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：

A. 包含相同数量的向量 B. 包含相同数量的线性无关向量

C. 可以相互线性表出

D. 具有相同的维数

答案：D

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。

答案：r

2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,

α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。

答案：选择

3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。

答案：1/2

4. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。

答案：n-r

三、解答题（每题15分，共40分）

1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案：

特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\

线性代数期末考试试题及答案 2

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线性代数期末考试试题及答案

一、选择题（每题5分，共30分）

1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（ ）

A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数

B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数

C. r(A) ≤ min(m, n)

D. r(A) = max(m, n)

答案：C

2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（ ）

A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)

B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)

C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &

5 \end{pmatrix}\)

D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &

9 \end{pmatrix}\)

答案：D

3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（ ）

A. α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 线性无关

B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关

C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关

D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关

答案：B

4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（ ）

A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵

B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵

C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵

D. A的n次幂An也是可逆矩阵

答案：D

5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（ ）

A. 方程组Ax = b有唯一解

B. 方程组Ax = b无解

C. 方程组Ax = 0有非零解

D. 方程组Ax = b有无穷多解

线性代数期末考试试题及答案 3

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线性代数期末考试试题及答案

第一节：选择题

1. 下列哪个向量不是矩阵A的特征向量？

A. [2, 1, 0]

B. [0, 1, 0]

C. [1, 1, 1]

D. [0, 0, 0]

答案：D

2. 线性变换T：R^n -> R^m 可逆的充分必要条件是？

A. T是一个单射

B. T是一个满射

C. T是一个双射

D. T是一个线性变换

答案：C

3. 设线性空间V的维数为n，下列哪个陈述是正确的？

A. V中的任意n个线性无关的向量都可以作为V的基

B. V中的任意n - 1个非零向量都可以扩充为V的基

C. V中的任意n个非零向量都可以扩充为V的基 D. V中的任意n - 1个非零向量都可以作为V的基

答案：A

4. 设A和B是n阶方阵，并且AB = 0，则下列哪个陈述是正确的？

A. A = 0 或 B = 0

B. A = 0 且 B = 0

C. A ≠ 0 且 B = 0

D. A = 0 且 B ≠ 0

答案：C

第二节：计算题

1. 计算矩阵乘法

A = [1, 2; 3, 4]

B = [5, 6; 7, 8]

答案：

AB = [19, 22; 43, 50]

2. 计算矩阵的逆

A = [1, 2; 3, 4]

答案：

A^(-1) = [-2, 1/2; 3/2, -1/2] 3. 计算向量的内积

u = [1, 2, 3]

v = [4, 5, 6]

答案：

u ∙ v = 32

第三节：证明题

证明：对于任意向量x和y，成立下列关系式：

(x + y) ∙ (x - y) = x ∙ x - y ∙ y

证明：

设x = [x1, x2, ..., xn]，y = [y1, y2, ..., yn]。