初中数学总复习----直线与圆位置关系知识点与经典例题

初中数学总复习----直线与圆位置关系知识点与经典例题课标要求

1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

3.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二．知识框架

相离 几何法

弦长

直线与圆的位置关系 相交 代数法

切割线定理

相切

直线与圆 代数法

求切线的方法

几何法

圆的切线方程

过圆上一点的切线方程

圆的切线方程 切点弦

过圆外一点的切线方程 方程

三．直线与圆的位置关系及其判定方法

1.利用圆心0),(CByAxbaO到直线的距离22BACBbAad与半径r的大小来判定。

（1）rd直线与圆相交

（2）rd直线与圆相切

（3）rd直线与圆相离

2.联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量的一元二次方程，通过解的个数来判定。

（1）有两个公共解（交点），即0直线与圆相交

（2）有且仅有一个解（交点），也称之为有两个相同实根，即0直线与圆相切

（3）无解（交点），即0直线与圆相离

3.等价关系

相交0rd

相切0rd

相离0rd

练习

（位置关系）1.已知动直线5:kxyl和圆1)1(:22yxC，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？

（位置关系）2.已知点),(baM在圆1:22yxO外，则直线1byax与圆O的位置关系是（）

A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

（最值问题）3.已知实数x、y满足方程01422xyx，

（1）求xy的最大值和最小值；

（2）求yx的最大值和最小值；

（3）求22yx的最大值和最小值。

〖分析〗考查与圆有关的最值问题，解题的关键是依据题目条件将其转化为对应的几何问题求解，运用数形结合的方法，直观的理解。转化为求斜率的最值；转化为求直线bxy截距的最大值；转化为求与原点的距离的最值问题。

（位置关系）4.设Rnm,，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则nm的取值范围是（）

（位置关系）5.在平面直角坐标系xoy中，已知圆224xy上有且仅有四个点到直线

1250xyc的距离为1，则实数c的取值范围是

6．直线0323yx截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是 ( C )

A、6 B、4 C、3 D、2

（位置关系）7．圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是（ ）

A．2 B．21 C．221 D．221

（最值问题）8.设A为圆1)2()2(22yx上一动点，则A到直线05yx的最大距离为______.

9．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443yx与圆C相切，则圆C的方程为（ ）

A．03222xyx B．0422xyx

C．03222xyx D．0422xyx

10.若曲线21xy与直线bxy始终有两个交点，则b的取值范围是__________.

（对称问题）11.圆4)1()3(:221yxC关于直线0yx对称的圆2C的方程为:( ) A. 4)1()3(22yx B. 4)3()1(22yx

C. 4)3()1(22yx D. 4)1()3(22yx

12. 直线3ykx与圆22(2)(3)4xy相交于NM,两点，若||MN23，

则k的取值范围是( )

A．3[,0]4 B．33[,]33 C．[3,3] D．2[,0]3

13.圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R)．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒相交于两点；

(2)求⊙C与直线l相交弦长的最小值．

[解析] (1)将方程(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，变形为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0.

直线l恒过两直线2x＋y－7＝0和x＋y－4＝0的交点，

由 2x＋y－7＝0x＋y－4＝0得交点M(3,1)．

又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M(3,1)在圆C内，∴直线l与圆C恒有两个交点．

(2)由圆的性质可知，当l⊥CM时，弦长最短．

又|CM|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，

∴弦长为l＝2r2－|CM|2＝225－5＝45.

四．计算直线被圆所截得的弦长的方法

1.几何法：运用弦心距、半径、半弦长构成的Rt计算，即222drAB

2.代数法：运用根与系数关系（韦达定理），即BABABAxxxxkxxkAB4)()1(1222

（注：当直线AB斜率不存在时，请自行探索与总结；

弦中点坐标为）（2,2BABAyyxx，求解弦中点轨迹方程。）

练习

1.直线32xy被圆08622yxyx所截得的弦长等于（）

2.过点)1,2(的直线中被圆04222yxyx截得的弦长最大的直线方程

是( )

A.053yx B. 073yx C. 053yx D. 053yx

3.已知圆C过点)0,1(，且圆心在x轴的正半轴上，直线1:xyl被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为（）

4.直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为( )

A.32 B.34 C．25 D.355

5.已知圆4)4()3(:22yxC和直线034:kykxl

（1)求证:不论k取什么值,直线和圆总相交;

(2)求k取何值时,圆被直线截得的弦最短,并求最短弦的长.

6.若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为( )A．1 B．－1 C.12 D．2

7.已知过点3,3M的直线l与圆224210xyy相交于,AB两点，

（1）若弦AB的长为215，求直线l的方程；

（2）设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程．

解：（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为3x，此时有24120yy，弦||||268ABAByy，所以不合题意．

故设直线l的方程为33ykx，即330kxyk．

将圆的方程写成标准式得22225xy，所以圆心0,2，半径5r．

圆心0,2到直线l的距离2|31|1kdk，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以2223115251kk，即230k，所以3k．

所求直线l的方程为3120xy．

（2）设,Pxy，圆心10,2O，连接1OP，则1OPAB．当0x且3x时，11OPABkk，又(3)(3)ABMPykkx，

则有23103yyxx，化简得22355222xy．．．．．．（1）

当0x或3x时，P点的坐标为0,2,0,3,3,2,3,3都是方程（1）的解，所以弦AB中点P的轨迹方程为22355222xy．

8.已知圆0622myxyx和直线032yx相交于QP,两点,O为原点,且OQOP,求实数m的取值.

五．已知切点，求切线方程

1.经过圆222ryx上一点）（00,yxP的切线方程为200ryyxx

2.经过圆222)()(rbyax上一点）（00,yxP的切线方程为200))(())((rbybyaxax

3.经过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为0220000FyyExxDyyxx

练习

1.经过圆上一点)8,4(P作圆9)8()7(22yx的切线方程为（）

2.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为（ ）

A．023yx B．043yx C．043yx D．023yx

六．切点未知，过园外一点，求切线方程

1.k不存在，验证是否成立；

2.k存在，设点斜式，用圆到直线的距离rd，即

)(00xxkyy

1)(200kxakybr

练习

1.求过)5,3(A且与圆0744:22yxyxC相切的直线方程。

七．切线长

若圆222)()(:rbyaxC，则过圆外一点),(00yxP的切线长22020)()(rbyaxd 练习

1.自点 1)3()2()4,1(22yxA作圆的切线，则切线长为（ B ）

(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 5

2.自直线y=x上点向圆x2+y2-6x+7=0引切线，则切线长的最小值为

八．切点弦方程

过圆222)()(:rbyaxC外一点),(00yxP作圆C的两条切线方程，切点分别为BA,,则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax

1．过点C(6，－8)作圆x2＋y2＝25的切线于切点A、B，那么C到两切点A、B连线的距离为( )

A．15 B．1 C.152 D．5

九．切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即

PDPCPT2

练习

1.自动点P引圆1022yx的两条切线PBPA,，直线PBPA,的斜率分别为21,kk。

（1）若12121kkkk，求动点P的轨迹方程；

（2）若点P在直线myx上，且PBPA，求实数m的取值范围。

〖解析〗

（1）由题意设),(00yxP在园外，切线101),(:20000kykxxxkyyl，