2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷及答案

第1页（共15页）

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B= ．

2．（4分）不等式的解集为

．

3．（4分）已知，则= ．

4．（4分）= ．

5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为 ．

6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为 ．

7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则= ．

8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B= ．

9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为 ．

10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为 ．

11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn= ．

12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为 ．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（ ）

第2页（共15页）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

14．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）

A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交

15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（ ）

A． B． C．1 D．

16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程fn（x）=x的根的个数为（ ）

A．2n个 B．2n2个 C．2n个 D．2（2n﹣1）个

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．

（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；

（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．

第3页（共15页）

（1）求复数z；

（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．

19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．

（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；

（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．

20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．

（1）求证：函数f（x）是偶函数；

（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g（a）表达式；

（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．

21．（18分）已知数列{an}满足：a1=1，，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}的前n项和为Sn，且满足，试确定b1的值，使得数列{bn}为等差数列；

（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{cn}．

第4页（共15页）

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B= {2，4} ．

【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，

∴A∩B={2，4}．

故答案为：{2，4}．

2．（4分）不等式的解集为

（﹣1，0]

．

【解答】解：∵，

∴或，

解得：﹣1＜x≤0，

故答案为（﹣1，0]．

3．（4分）已知，则= ．

【解答】解：∵sinα=，

∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．

故答案为：﹣

4．（4分）= ．

【解答】解：==，

∴=，

第5页（共15页）

故答案为：．

5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为

．

【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，

所以这个球的体积为：=．

故答案为：．

6．（4分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为 4 ．

【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），

∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），

又f（x）=1+logax，

∴2=1+loga4，即a=4．

故答案为：4．

7．（5分）若数列{an}为等比数列，且a5=3，则= 18 ．

【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，

又由数列{an}为等比数列，且a5=3，

则有a2•a8=a3•a7=9，

则=9+9=18；

故答案为：18．

8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B= ．

【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

第6页（共15页）

∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，

又cosB==﹣，

∴B=，

故答案为：．

9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为

1120

．

【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．

∴=，其展开式的通项=，

令8﹣2r=0，得r=4．

∴该展开式中常数项的值为．

故答案为：1120．

10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为 ．

【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，

∴，

又当x∈[2，4]时，，

∴f（）=f（）=．

故答案为：．

11．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，2Sn=an•an+1（n∈N*）．若bn=（﹣1）n，则数列{bn}的前n项和Tn= ﹣1+ ．

第7页（共15页）

【解答】解：∵2Sn=an•an+1（n∈N*）．

当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1•an，

∴2an=2Sn﹣2Sn﹣1=an（an+1﹣an﹣1），

∵a1=1，

∴an≠0

∴an+1﹣an﹣1=2，

∴（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）=2，

∴an﹣an﹣1=1，

∴数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列，

∴an=1+（n﹣1）=n，

∴bn=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），

数列{bn}的前n项和Tn=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），

当n为偶数时，Tn=﹣1+，

当n为奇数时，Tn=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，

综上所述Tn=﹣1+，

故答案为：﹣1+．

12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为

2﹣4 ．

【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，

∴c≤=，

令，

第8页（共15页）

∴=f（t），

f′（t）==，

当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．

∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．

∴实数c的最大值为2﹣4．

故答案为：﹣4．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件

【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，

∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，

“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，

∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．

故选：A．

14．（5分）若直线 l1和l2 是异面直线，l1在平面 α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）

A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交

【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：