2018届长宁区嘉定区高三一模数学版(附解析)(最新整理)

上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编三角函数2018.01.23（普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .3. 4；（长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]23,0(（徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）（嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．6．71-（杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________． 9. 理1±；（浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1（长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________9、6π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________. 9. 13（徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .（普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .17 C （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（16. B浦东新区2018届高三1月一模，理）16. 方程5log sin x x 的解的个数为（ ）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 16. B（长宁区2018届高三1月一模，理）17、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（ ）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222-± 17、A（嘉定区2018届高三1月一模，理）17．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π17．C（杨浦区2018届高三1月一模，理）17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（ ）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．17. A ；（普陀区2018届高三1月一模，理）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分（杨浦区2018届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分 ．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科 （1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分 （2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（长宁区2018届高三1月一模，理）20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证tan 3tan B A =; （2）若5cos C =求角A 的大小. 20、(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B , 即cos =3cos AC A BC B . …………2分 由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . …………4分 又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. …………6分(2)∵ 5cos 0C <C <π=,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =.…………8分 ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分（浦东新区2018届高三1月一模，理）19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角C SA D --的大小. 19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCDAC ⊆平面ABCD∴AC ⊥SD ………………4分 又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD∴AC⊥SB. ………………6分（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE ⊥SA, CE ⊥SA.∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分 计算得：DE 2，CE 6，CD ＝2，则CD ⊥DE.3cos 3CED ∠=, 3arccos 3CED ∠= 所以所求二面角的大小为3arccos3.………12分（嘉定区2018届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分） 由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分） （2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分） 所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）。

高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 方程lg(34)1x +=的解x =2. 若关于x 的不等式0x a x b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A B C D -，12AA =，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示）9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}n nb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞ 16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过2017 D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小；（用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2A n A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m =⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214yx+=的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为25，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点；（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标M y的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）；（1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列，点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；。

嘉定区2018学年第一学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 已知集合{}1234A =,,,，{}135b =,,，则A B = ．【答案】12345{,,,,} 【解析】12345A B ={,,,,}． 2． 已知1312x-=，则x = ． 【答案】1 【解析】由1312x -=，即213x +=，解得1x =． 3． 在()61x +的二项展开式中，2x 项的系数为 ．（结果用数值表示） 【答案】15【解析】观察可知，2223615T C x x =⋅=，所以2x 项的系数为15． 4． 已知向量321a m b ==-(,),(,)，若向量a ∥b ，则实数m = ．【答案】6-【解析】由a ∥b ，得321m =-，则6m =-． 5． 已知幂函数f x x α=()的图像过点222(,)，则f x ()的定义域为 ． 【答案】0+∞(,)【解析】由题意得222α=，则12α=-，所以121f x x x-==()，则f x ()的定义域为0+∞(,)．6． 若圆锥的侧面面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为 ． 【答案】12π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，圆锥的高为h ．由题可得2159S rl S r ==⎧⎪⎨==⎪⎩侧底ππππ，解得53l r =⎧⎨=⎩，则224h l r =-=． 所以1123V S h π=⋅⋅=底．7． 已知角2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π，且2α=-tan ，则α-=sin(π) ．【答案】255【解析】由2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π,π，且2α=-tan ，可得255α=sin ，所以255αα-==sin(π)sin ．8． 已知函数a f x x =()log 和2g x k x =-()()的图像如图所示，则不等式0f x g x ≥()()的解集是 ．【答案】12[,)【解析】由0002f xg x f x x g x x ⋅⎧⎪⇔>⎨⎪≠⎩≥≥()()()()，由下图可知，当12x ∈[,)满足0f x g x ⋅≥()()．9． 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶．线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ∠=︒．已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m （精确到1m ）．【答案】212【解析】在A BD △中，由正弦定理得4518030105BD A B=︒︒-︒-︒sin sin()，解得3002BD =m ． 在BCD △Rt 中，由30DBC ∠=︒，则115022122CD BD ==≈m ．10．若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率 ． 【答案】920【解析】1226533366920C C C P C C ⋅⋅==⋅ yyOx1()y f x =yyxO1 2()y g x =ABCDyxy=g (x )y=f (x )–11234O11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为 ． 【答案】13⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由112n n n a a ++=① 当1n =时，2112a a =-，当2n ≥时，1112n n n a a --+=② ①－②得1112n n na a +--=-，所以2242222k k k a a a a a a -=+-++-=()()111364k a -+⋅． 所以21234212321111221233224k k k k k S a a a a a a --=++++++=+++=-⋅； 2122k k k S S a -=-=151364k a +-⋅． 由数列{}n S 收敛于常数A ，则n n S A →∞=lim ． 所以221k k k k S S -→∞→∞=lim lim ，即2133a =+，得13a =．12．已知123a a a ,,与123b b b ,,是6个不同的实数，若方程123123x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-||||||||||||的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素． 【答案】3【解析】转化为123f x x a x a x a =-+-+-()||||||和123g x x b x b x b =-+-+-()||||||图像的交点．由此类函数的图像可知，如下图最多可有3个交点，即集合集合A 中最多有3个元素．二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知x ∈R ，则“0x ≥”是“1x ＞”的（ ）． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】由1x ＞⇒0x ≥，而0x ≥⇒/1x ＞，故为必要非充分条件．14．有一批种子共有98颗．对于1颗种子来说， 它可能1天发芽， 也可能2天发芽， 下表是不同发才天数的种子数的记录：yxy=g (x )y=f (x )O发芽天数 1 3 3 4 5 6 7 种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）． （A ）2 （B ）3 （C ）35. （D ）4 【答案】B【解析】由98颗种子的中位数为第49和50颗，位于第三天中，所以这组数据的中位数是3． 15．已知向量a 和b 的夹角为3π，且2a =，3b =，则()()22a b a b -⋅+=（ ）． （A ）10- （B ）7- （C ）4- （D ）1- 【答案】D【解析】()()2222122232223232312a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=-．16．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y f x =()的定义域为D ，12x x D ∈,．①若当120f x f x +=()()时，都有120x x +=，则函数y f x =()是D 上的奇函数． ②若当12f x f x <()()时，都有12x x <，则函数y f x =()是D 上的增函数． 下列判断正确的是（ ）．（A ）①和②都是真命题 （B ）①是真命题，②是假命题 （C ）①和②都是假命题 （D ）①是假命题，②是真命题 【答案】C【解析】对于命题①，存在两个角度思考，定义域关于原点对称没有说明，其次不能表示任意性，即存在120f x f x +=()()，有120x x +=，不符合奇函数的定义．对于命题②，同样也不能表示任意性，即存在12f x f x <()()，有12x x <，也不符合单调增函数的定义．【点评】本题侧重于考查学生对概念的理解，对常见的概念的理解要深刻和准确。

a a a n上海市长宁（嘉定）区 2018 届高三一模数学试卷2017.12一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = {1, 2,3, 4}， B = {2, 4,5}，则 A B =2. 不等式xx +1≤ 0 的解集为 43. 已知sin = 3n -1，则cos(+ 5) =2 4. lim n →∞ 3+1 = 5. 已知球的表面积为16，则该球的体积为6. 已知函数 f (x ) = 1 + log x ， y = f -1(x ) 是函数 y = f (x ) 的反函数，若 y = f -1(x ) 的图像过点(2, 4) ，则 a 的值为a 2 -a 7 7. 若数列{a n } 为等比数列，且 a 5 = 3 ，则=388. 在∆ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若(a + b + c )(a - b + c ) = ac ， 则 B =9. 若(2x + 1 )n 的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展开式中常数项的 x值为10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当时 x ∈[2, 4] ，f (x ) =| log (x - 3) | ，则 1的值为f ( )42211. 已知数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 = 1， 2S n = a n a n +1 （ n ∈ N * ），若b = (-1)n 2n +1， a n a n +1则数列{b n } 的前 n 项和T n =12. 若不等式 x 2 - 2 y 2 ≤ cx ( y - x ) 对满足 x > y > 0 的任意实数 x 、 y 恒成立，则实数c 的最大值为二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 设角的始边为 x 轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“ sin> 0 ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件n +1a b C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 若直线l 1 和l 2 是异面直线， l 1 在平面内， l 2 在平面内， l 是平面与平面的交线， 则下列命题一定正确的是（ ）A. l 与l 1 、l 2 都不相交B.C. l 至多与l 1 、l 2 中的一条相交D. l 与l 1 、l 2 都相交l 至少与l 1 、l 2 中的一条相交| |15. 对任意两个非零的平面向量和，定义⊗ = | |cos ，其中为和的夹角，若两个非零的平面向量 a 和b 满足：① | a |≥| b | ；② a 和b 的夹角∈ (0, ) ；③ 4a ⊗b 和b ⊗ a 的值都在集合{x | x = n , n ∈ N }中，则 ⊗ 的值为（ ）2A. 5 2B.⎧ 2x ⎪ 3 2 0 ≤ x ≤ 1 2C. 1D. 1 2 16. 已知函数 f (x ) = ⎨⎪2 - 2x ⎩ 1 < x ≤ 12，且 f 1 (x ) = f (x ) ， f n (x ) = f ( f n -1 (x )) ， n = 1, 2,3,⋅⋅⋅ ，则满足方程 f n (x ) = x 的根的个数为（ ）A. 2n 个B. 2n 2 个C. 2n 个D. 2(2n -1) 个三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，设长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = BC = 3 ， AA 1 = 4 .（1） 求四棱锥 A 1 - ABCD 的体积； （2） 求异面直线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 已知复数 z 满足| z |= （1） 求复数 z ；， z 2 的虚部为 2.（2） 设 z 、 z 2 、 z - z 2 在复平面上的对应点分别为 A 、 B 、C ，求∆ABC 的面积.2119. 一根长为 L 的铁棒 AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 AC = BD = 2m .（1） 设∠BOD =，试将 L 表示为的函数； （2） 求 L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.20. 已知函数 f (x ) = 2x + 2-x .（1） 求证：函数 f (x ) 是偶函数；（2） 设 a ∈ R ，求关于 x 的函数 y = 22x + 2-2x - 2af (x ) 在 x ∈[0, +∞) 时的值域 g (a ) 表达式； （3） 若关于 x 的不等式 mf (x ) ≤ 2-x + m -1在 x ∈ (0, +∞) 时恒成立，求实数 m 的取值范围.21. 已知数列{a } 满足： a = 1，1=， n ∈ N * . n1n +1（1） 求数列{a n } 的通项公式；（2） 设数列{b n } 的前 n 项和为 S n ，且满足S n +1= Sn a 2 a 2+16n 2 - 8n - 3 ，试确定b 的值，使得数列{b n } 为等差数列；nn +1（3） 将数列{1} 中的部分项按原来顺序构成新数列{c } ，且c = 5 ，求证：存在无数个2n1n满足条件的无穷等比数列{c n } .a 21 + 4 n a a2 14n - 3参考答案一. 填空题1. {2, 4}2. (-1,0]3. - 454. 1 35.3236. 47. 188.239. 112010.1 11. 2- n +1 + (-1)n +1n +112. 2 - 4二. 选择题 13. A14. D15. B16. C三. 解答题17.（1）12；（2） arccos16.2518.（1） z = 1 + i 或 z = -1 - i ；（2）1.19.（1） L =2 + sin 2cos；（2） L min = 4 ，超过4 则无法通过. 20.（1）证明略；（2） a ≤ 2 时，值域为[2 - 4a , +∞) ， a > 2 时，值域为[-a 2 - 2, +∞) ； （3） m ≤ - 1.321.（1） a n =；（2） b 1 = 1；（3）证明略.2 2。

长宁区2019届高三第一学期期末质量检测数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B = 答案：}6,4,3,2,1{ 考点：集合的运算。

解析：A 或B 元素就是A U B 的元素，不重复，所以，A B = }6,4,3,2,1{2. 已知1312x -=，则x =答案：1考点：矩阵运算。

解析：由题得：2x+1＝3，所以，x ＝1。

3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 答案：20考点：二项式定理。

解析：6161()r r r r T C x x-+=626r r C x -=，令62r -＝0，得：r ＝3，所以，常数项为：36C ＝204. 已知向量(3,)a m = ，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m =答案：－6考点：两个平面向量平行的性质。

解析：因向量a ∥b，所以，－m ＝6，m ＝－65. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 答案：π33 考点：圆锥的侧面积和体积的计算。

解析：S 侧＝rl π＝2π， 又2r ππ=，所以，r ＝1，l ＝2，所以，圆锥的高h ＝22213-=， V ＝133π⨯⨯＝π33 6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞考点：幂函数的图象，函数的定义域，指数运算。

解析：依题意，得：122222α-==，所以，12α=-，121()f x xx-==，所以，定义域为：),0(+∞ 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=答案：552 考点：同角三角函数，诱导公式。

解析：依题意，得：25sin 5a =，所以，sin()a π-=25sin 5a =。

8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[考点：对数函数、一次函数的图象及其性质，分类讨论的数学思想。

2018年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B=．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．已知，则cos（30°+2α）=．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．12．已知n∈N*，若，则n=．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则=．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．417．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．118．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．2018年上海市嘉定区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合．【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a=．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3=a﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是2．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．7．已知，则cos（30°+2α）=．【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]=﹣cos[2（75°﹣α）]=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]=﹣[2×﹣1]=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2018时，不满足条件k≤2018，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2018，S=，k=2满足条件k≤2018，S=+，k=3…满足条件k≤2018，S=++…+，k=2018满足条件k≤2018，S=++…++，k=2018不满足条件k≤2018，退出循环，输出S的值．由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0．再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率．【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．第3次球恰好传回给甲的有两种情况，∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为3．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，=≥3，问题得以解决．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），∴+=（3，1﹣2b），∴=≥3，当且仅当b=时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．12．已知n∈N*，若，则n=4．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，由此求得n的值．【解答】解：∵n∈N*，若，则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，∴n=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则=100．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，即可得出S2009．【解答】解：=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10=10×=201000，则=100．故答案为：100．【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k=1+|x|＞1；∴实数k的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若φ=时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|．【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；∴设，r=；∴圆M的方程为：；令x=0，；∴；∴y=y0±2；∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4．故选：A．【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．18．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项【考点】数列的函数特性．【专题】探究型．【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选C．【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S•20=•20梯形ABCF=（30﹣20tanα+30）•20•10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，∵S△ABF=BC•BF=150cm2，容器内溶液量为150×20=300cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）=．当f（x）取最小值时，，，k∈Z，所以，所求x的取值集合是．（2）由f（C）=2，得，因为0＜C＜π，所以，所以，．在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，所以△ABC的面积，因此△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．【解答】（1）解法一：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1．当k=1时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即k•a﹣x﹣a x=a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）=0，因为a x+a﹣x＞0，所以，k=1．（2）由，得，解得a=3或（舍）．所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，则当时，，解得；当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．综上，．【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，∴由题意，，…化简得3x2+4y2=12，…∴动点P的轨迹C的方程为．…（2）设N（x，y），则=，﹣2≤x≤2．…①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，解得，，此时，故舍去．…②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，解得m=1，或m=3（舍）．…综上，m=1．（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，，，∵点A、B在椭圆C上，∴，，∴=，化简得．…①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=．…②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为∴△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，△ABA1的面积，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．【考点】数列的求和；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4．（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可．（3）通过，推出x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．【解答】本题，第1小题，第2小题，第3小题．解：（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i．…（算错一个扣，即算对一个得，算对两个得3分）（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n=λ•z1，即（x n，y n）=λ（x1，y1），…又z n+1=（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1=λ为实数，…故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N．…（3）因为，故x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，…所以x n+4y n+4=16x n y n，…又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，…而，，…所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102．…【点评】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．。

2018年嘉定区高考数学模拟试卷请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．一．填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数12)(-=x x f 的反函数是=-)(1x f________________________．2．复数z 满足i z i 34)21(-=-，则=z _________．3．已知向量}15sin ,15{cos 00-=a ，}15cos ,15sin {00-=b ，则=+b a ________．4．（理）在921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，31x 的系数是__________．（文）若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+02x x y y x ，则y x z +=4的最大值是_________．5．若方程1222=+my x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______________．6．（理）曲线⎩⎨⎧+=+=ty t x 2112（t 为参数，R t ∈）的焦点坐标是_______________．（文）曲线24x y =的焦点坐标是_______________．7．（理）已知21)2(22lim 1=-++∞→n n n n a ，则实数a 的取值范围是__________________． （文）已知数列{}n a 的通项为12-=n a n ，n S 是{}n a 的前n 项和，则=∞→nnn S a 2lim ________．8．从集合}9,7,5,3,1{中取出数m ，从集合}8,6,4,2{中取出数n ，组成分数nm，则 nm为真分数的概率是___________．9．方程x xlg 1=的近似解≈x _____________（精确到1.0）． 10．若点P 到平面α的距离为1，A 是平面α内的动点，斜线段PA 与平面α恒成030角， 则动点A 在平面α内的轨迹所围成的图形的面积为_______________．11．将n 位选民参加无记名投票后的选票进行随机编号，依次为1，2，…，n ，参加竞选的候选人共有k 名，编号依次为1,2,…,k ，给出定义：⎩⎨⎧=号候选人当选号选票不同意第第号候选人当选同意第票号选第j i ，j i ，a j i 01，其中N j i ∈,，且n i ≤≤1，k j ≤≤1，那么22221n a a a S +++= 的实际意义是：______________________________________________________________________． 12．（理）已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足1)()()2()2(=++++x f x f x f x f ，21)1(=f ，41)2(=f ，则=)2006(f ______________． （文）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且以3为周期，若1)1(>f ，132)2(-+=a a f ， 则实数a 的取值范围是_______________．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论 是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分．13．已知},3|12||{R x x x A ∈>+=，},06|{2R x x x x B ∈≤-+=，则B A 为…（ ） (A) ]2,1()2,3[ -- (B) ),1(]2,3(+∞-- (C))2,1[]2,3( -- (D)]2,1(]3,( --∞14．在实数集R 上定义运算⊕：y y x y x -++=⊕1222，则满足x y y x ⊕=⊕的实数对),(y x 在平面直角坐标系内对应点的轨迹是……………………………………（ ） (A) 一个圆(B) 双曲线(C) 一条直线(D) 两条直线15．（理）已知函数1))(()(+--=b x a x x f ，且m 、n 是方程0)(=x f 的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是…………………………………………………………（ ） (A) n b a m <<< (B) b n m a <<< (C) b n a m <<< (D) n b m a <<<（文）函数64)(2--=x x x f 的定义域为],0[m ，值域为]6,10[--，则m 的取值范围是……………………………………………………………………………………（ ） (A) ]4,0[ (B) ]4,2[ (C) ]6,2[ (D) ]6,4[16．（理）一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人以前进3步，再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距 离为1个单位长度．令)(n P 表示第n 秒时机器人所在位置的坐标，且记0)0(=P ． 则下列结论中错误的是………………………………………………………………（ ） (Ａ)3)3(=P (Ｂ)1)5(=P (Ｃ))2005()2003(P P > (Ｄ))2006()2004(P P <（文）设)1(11216121+++++=n n S n ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值是…………（ ） (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分12分） 已知复数i z +=θ21sin ，θθ2cos cos 22i z +=，其中)2,0(πθ∈．设21z z z +=，且复数z 在复平面上对应的点P 在直线022=-+y x 上，求θ的值所组成的集合．18．（本题满分12分）（理）在四面体ABCD 中，BD 、CD 、AD 两两互相垂直，且4==CD BD ，E 是BC 中点，异面直线AB 与DE 所成角的大小是52arccos，求四面体ABCD 的体积． （文）如图，在四面体ABCD 中，6==CD AB ，异面直线AB 、CD 所成角的大小是31arccos ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点．求线段MN 的长．文科题图ABCMND理科题图ABCED19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用下图中的两条线段表示；该商品在30天内的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：（1）根据提供的图象，写出该种商品每件的 销售价格P 与时间t 的函数关系式，并根据表中数 据确定日销售量Q 与时间t 的一个函数式；（2）用y 表示该商品的日销售金额，写出y 关于t 的函数关系式，求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知点)0,1(F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，且0=⋅NF NM ，点R 满足=+NR NM ．（1）求动点R 的轨迹C 的方程；（2）（理）过点)0,1(-A 作斜率为k 的直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，且PFQ ∠为钝角，求直线l 的斜率k 的取值范围．（2）（文）过)0,4(B 作直线l 交轨迹C 于P 、Q 两点，求OQ OP ⋅的值．21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分 , 第3小题满分7分．用n m S →表示数列{}n a 从第m 项到第n 项（共1+-m n 项）之和． （1）在递增数列{}n a 中，n a 与1+n a 是关于x 的方程014422=-+-n nx x （n 为正整数）的两个根．求{}n a 的通项公式并证明{}n a 是等差数列；（2）对（1）中的数列{}n a ，判断数列31→S ，64→S ，97→S ，…，k k S 323→-的类型； （3）（理）对一般的首项为1a ，公差为d 的等差数列，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论． （3）（文）对（1）中的数列作进一步研究，提出与（2）类似的问题，你可以得到怎样的结论，证明你的结论．22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数xx f 11)(-=，),0(+∞∈x ． （1）作出函数)(x f y =的大致图象并根据图象写出函数)(x f 的单调区间；（2）（理）证明：当b a <<0且)()(b f a f =时，1>ab ；（2）（文）设210<<a ，1>b ，试比较)(a f 与)(b f 的大小； （3）（理）若存在实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的函数的值域为],[mb ma （0≠m ），求实数m 的取值范围； （3）（文）是否存在实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的值域也是],[b a ．若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．Oxy2018年嘉定区高考数学模拟试卷参考答案与评分标准一、填空题1．)1(log 22+x （0≥x ）；2．i -2；3．1；4．（理）126；（文）5；5．)2,0(；6．（理）)1,2(；（文）⎪⎭⎫⎝⎛161,0；7．（理）)4,0(；（文）4；8．21；9．5.2；10．π3； 11．2号候选人的得票数（或同意2号候选人当选的选票数）；12．（理）41；（文）⎪⎭⎫⎝⎛-1,32．二、选择题13．A ；14．D ；15．B ；16．D 三、解答题17．θθθθθ22221cos 21)2cos 1(12cos cos sin i i i i z z z +=++=+++=+=…（4分） ∴ )cos 2,1(2θP ，∵ 点P 在直线022=-+y x 上，∴ 02cos 412=-+θ，…（6分）41cos 2=θ，21cos ±=θ，…（9分） ∴ θ的值所组成的集合是}35,34,32,3{ππππ……（12分）18（理）．取AC 中点F ，连结EF 、DF ，则EF ∥AB ，∴ DEF ∠（或其补角）是异面直线AB 与DE 所成的角……（2分）设h AD =，在△DEF 中，22=DE ，16212+==h DF EF ，……（4分） 则EDF DEF ∠=∠，于是DEF ∠为锐角，52cos =∠DEF ，……（6分）521622162122282cos 22222=+=+⋅⋅=⋅⋅-+=∠h h EF DE DF EF DE DEF解得212=h ……（10分）∴ 3211621244213131=⋅⋅⋅⋅==Sh V ……（12分）18（文）．取AD 中点E ，连结EM 、EN ，则EM ∥CD ，EN ∥AB ，于是MEN ∠（或其补角）是异面直线AB 与CD 所成的角……（1分）当31cos =∠MEN ，则12313323331222222=⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅-+=NE ME NE ME MN ，32=MN …（6分）当31cos -=∠MEN ，则24313323331222222=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=NE ME NE ME MN ，62=MN ……………………（11分） ∴ MN 的长为32或62．……（12分）19．（1）⎩⎨⎧∈≤<+-∈≤<+=Nt t t Nt t t P ,3020,80,200,202 ……（3分）40+-=t Q （N t t ∈≤<,300）……（6分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧∈≤<--∈≤<+--=Nt t t Nt t t y ,3020,400)60(,200,1250)15(222……（10分） 当200≤<t ，15=t 时，1250max =y ，当3020≤<t 时，y 随t 的增大而减小，（12分） ∴ 在30天中的第15天，日销售金额取得最大值1250元．…………（14分）20．（1）由已知，N 是MR 的中点，设),(y x R ，则)0,(x M -，)2,0(yN ，……（2分）∴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=2,y x NM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2,1y NF ……（3分）， 由0=⋅得042=+-y x ，……（4分）即x y 42=…………（5分） ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= …………（6分）（2）（理）直线l 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=+=x y x k y 4)1(2得0442=+-k y ky …（8分）△016162>-=k ，11<<-k ……（9分），设),(11y x P ，),(22y x Q ，则ky y 421=+，421=y y ……（10分）由PFQ ∠为钝角，可得0<⋅……（11分）{}11,1y x -=，{}22,1y x -=，于是0)1)(1(2121<+--y y x x ，即01414212221<+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y y ，()01416212221221<+++-y y y y y y ， ()042621221<-+-y y y y ，0481662<--k ，解得2102<<k ……（13分）∴ 直线l 的斜率k 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-22,00,22 ……（14分） （2）（文）若直线l 垂直于x 轴，则l 的方程为4=x ，则)4,4(P ，)4,4(-Q ， 0=⋅…………（8分）当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为)4(-=x k y ，由⎩⎨⎧=-=x y x k y 4)4(2得01642=--k y ky ……（10分），当0≠k 时，直线l 与抛物线总有两个交点．设),(11y x P ，),(22y x Q ，则ky y 421=+，1621-=y y ……（12分）∴()0161616212212121=-=+=+=⋅y y y y y y x x∴ 0=⋅……（14分）21．（1）解方程014422=-+-n nx x 得121-=n x ，122+=n x ……（1分） ∵ {}n a 是递增数列，∴ 12-=n a n ，121+=+n a n ，21=-+n n a a ……（3分） ∴ 数列{}n a 是等差数列，其通项公式是12-=n a n （n 为正整数）……（4分）（2）当k 为正整数时，91831323323-=++=--→-k a a a S k k k k k9189)1(18)1(32)1(3+=-+=+→-+k k S k k ，∴ 18323)1(32)1(3=-→-+→-+k k k k S S （常数） ∴数列31→S ，64→S ，97→S ，…，k k S 323→-是等差数列……（9分）（3）（理）可以从多个方面加以推广．对一般的以1a 为首项，d 为公差的等差数列， 如照抄（2）中的问题（即三项之和）得2分，证明结论得3分，共得5分；如对（2）中的问题有所改变，如改为四项之和，得3分，证明得3分，共6分； 如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数m ，判断数列m S →1，m m S 21→+，……，km m k S →+-1)1(的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．（3）（文）提出具体的若干项的问题的，如41→S ，85→S ，……，k k S 434→-的，得3分， 判断结论得3分，共6分；如对（2）中的问题有所创新，如：“对于任意给定的正整数m ，判断数列m S →1，m m S 21→+，……，km m k S →+-1)1(的类型”，得4分，证明结论得3分，共7分．22．（1）图象如右图所示．……（3分）单调递减区间：]1,0(；……（4分）单调递增区间：),1[+∞……（5分）（2）（理）由b a <<0，)()(b f a f =及函数的单调性知，10<<a ，1>b ，……（7分）∴ 1111)(-=-=a a a f ， bb b f 1111)(-=-=，由b a 1111-=- 得211=+ba ， ∴ abab ab ab b a b a 22112=≥+=+=，∴ 1≥ab ，即1≥ab ……（10分） （2）（文）由210<<a ，1>b 得21>a ，110<<b，……（7分） 于是1121111)(=->-=-=a a a f ，11111)(<-=-=bb b f ……（9分） ∴ )()(b f a f >……（10分）（3）（理）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(mb ma f ∉=，矛盾． ∴ )1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ……（12分）当)1,0(,∈b a 时，由)(x f 是减函数知，mb a f =)(，ma b f =)(， 即mb a =-11，ma b=-11，得b a =，舍去．……（14分） 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，ma a f =)(，mb b f =)(，即ma a =-11，mb b=-11，∴ b a ,是方程012=+-x mx 的两个不相等实根，且这 两根均大于1．∴ △041>-=m 且011>+-m ，121>m ，解得410<<m ……（17分） ∴ 实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0…（18分）（3）（文）当)1,0(∈a ，),1(+∞∈b 时，],[1b a ∈，而],[0)1(b a f ∉=，矛盾． ∴ )1,0(,∈b a 或),1(,+∞∈b a ……（12分）当)1,0(,∈b a 时，)(x f 是减函数，于是有b a f =)(，a b f =)(， 即b a =-11，a b=-11，得b a =，舍去．……（14分） 当),1(,+∞∈b a 时，由)(x f 是增函数知，a a f =)(，b b f =)(，即a a =-11，b b =-11，∴ a ，b 是方程012=+-x x 的两根，但方程012=+-x x 没有实根．即实数b a ,也不存在．……（17分）∴ 不存在这样的实数a ，b （b a <<0），使得函数)(x f y =在],[b a x ∈上的值域也是],[b a ．……（18分）。

2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ， 利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π． 【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3； 当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果． 【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点， 函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ． 【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键． 三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开． （1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解． 【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值． 【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4， 则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为 （2 ，+∞） ． 【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合． 【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞） 【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形． 【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2）， 所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， 则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18． （1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积． 【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长． （2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ， 所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性． 【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数； 【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ）， 此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞ ，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜ ，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）． （1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=， ＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ， ＜ ， （k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=， ＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。

2018年上海嘉定区嘉一联合中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若a＝f(log47)，，c＝f(0.2－0.6)，则a、b、c的大小关系是( )A．c＜b＜a B．b＜c＜aC．c＜a＜b D．a＜b＜c参考答案：A略2. 已知f（x）是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则＜0．如果f（）=，4f（log x）＞3，那么x的取值范围为（）A．（0，）B．（，2）C．（，1]∪（2，+∞）D．（0，）∪（，2）参考答案：B考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件判定函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化即可得到结论，解答：解：依题意得，函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，不等式4f（log x）＞3等价于f（log x）＞，∵f（）=，∴f（log x）＞f（），∵f（x）是定义域为实数集R的偶函数，∴不等式f（log x）＞f（）等价为f（|log x|）＞f（），即|log x|＜，则﹣＜log x＜，由此解得＜x＜2，故选B．点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件判定函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质的应用．3. 已知复数 (为虚数单位).则其共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限参考答案：A4. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 若不等式4x2﹣log a x＜0对任意x∈（0，）恒成立，则实数a的取值范围为( )A．[，1）B．（，1）C．（0，）D．（0，]参考答案：A考点：指、对数不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方，可得0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，解此对数不等式求得a的范围．解答：解：∵不等式4x2﹣log a x＜0对任意x∈（0，）恒成立，∴x∈（0，）时，函数y=4x2的图象在函数y=log a x的图象的下方，∴0＜a＜1．再根据它们的单调性可得4×≤，即 log a≤，∴≥，∴a≥．综上可得，≤a＜1，故选：A．点评：本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．6. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．参考答案：D略7. 在各项不为零的等差数列{a n}中，，数列{b n}是等比数列，且，则的值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8参考答案：C【分析】根据等差数列的性质可知，代入方程可求出，再根据等比数列的性质即可代入求解.【详解】因为等差数列中，所以，因为各项不为零，所以，因为数列是等比数列，所以所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列中，当时，，等比数列中，当时，，属于中档题.8. 若双曲线+=1（m＜0＜n）的渐近线方程是y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得可得=，再由曲线的离心率为e=，运算求得结果．【解答】解：根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=x，可得=，则该双曲线的离心率为e==，故选：B．9. 若,则满足等式的实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A10. 已知集合，则a= ()A．1 B．-1 C．±1 D．0参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知,,,则参考答案：12. 设，若，则实数的取值范围是．参考答案：13. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为．参考答案：1题意得直线过定点．①当a<0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故a<0不合题意；②当a≥0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的N，为三角形区域．若这个三角形的面积为1，则有AB=2，所以点B的坐标为(1,2)，代入，得a=1．14. 不等式的解集是．参考答案：或略15. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+a n﹣1=（）n（n≥2），S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3S n﹣a n?2n+1= ．参考答案：n+1【考点】数列的应用；等差数列与等比数列的综合；类比推理．【分析】先对S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n两边同乘以2，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出3S n﹣a n?2n+1的表达式．【解答】解：由S n=a1?2+a2?22+…+a n?2n①得2?s n=a1?22+a2?23+…+a n?2n+1②①+②得：3s n=2a1+22（a1+a2）+23?（a2+a3）+…+2n?（a n﹣1+a n）+a n?2n+1=2a1+22×（）2+23×（）3+…+2n×（）n+a n?2n+1=2+1+1+…+1+2n+1?a n=n+1+2n+1?a n．所以3S n﹣a n?2n+1=n+1．故答案为n+1．16. 若直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1，，，则该球的表面积为 .参考答案：略17. 设为双曲线的左右焦点，以为直径作圆与双曲线左支交于两点，且.则双曲线的离心率为 __________参考答案：【知识点】双曲线的应用．H6解析：∵以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A，B两点，且∠AF1B=120°，∴△OF1A是等边三角形∴|AF1|=c，，∴，∴=故答案为。

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2017.12一. 宝山区11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为【解析】根据题意，210x bx b -+++≤恒成立，∴24(1)0b b ∆=++≤，即2b =-.2mx x -+为奇函数，∴0m =，即22,()4,x x x t f x x x t⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩. 分零点讨论，如图所示，当 (,2)t ∈-∞-，1个零点；当[2,0)t ∈-，2个零点；当[0,4)t ∈，3个零点，当[4,)t ∈+∞， 2个零点. 综上，t 的取值范围为[2,0)[4,)-+∞.12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足： 12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)Px y 、333(,)P x y 按横序排列，则实数k 的值为 【解析】根据题意，312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，∴223231x x k x x -=-，1x 、2x 、3x 为 方程3310x x --=的三个解，且123x x x <<.解法一：3313104()3()222x x x x --=⇔-=，∵3cos34cos 3cos θθθ=-，设cos 2x θ=， 即1cos32θ=，360360n θ︒︒=+，20120n θ︒︒=+，n ∈Z .∵cos140cos260cos20︒︒︒<<， ∴12cos140x ︒=，22cos260x ︒=，32cos 20x ︒=，222232314cos 204cos 802cos 202cos 40x x k x x ︒︒︒︒--===-+ 22(2cos 201)(2cos 801)cos40cos160cos40cos201cos20cos40cos20cos40cos20cos40︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒----+===+++，即1k =. 解法二：结合图像可知，123x x x <<，213y y y <<，两函数2y x =、13y x=+消去y 可得方程3310x x --=（解分别为123x x x <<），消去x 得方程326910y y y -+-=（解分别 为213y y y <<），设3()31f x x x =--，32()691g y y y y =-+-3(2)3(2)1y y =---+， 根据平移性质可知，函数()g y 图像可由()f x 图像按向量(2,2)平移得到，且()f x 对称中心 为(0,1)-，∴()g y 的对称中心为(2,1)，∴()f x 与()g y 的图像关于(1,0)对称，如图所示，即AB CD =，∴3132x x y y -=-，∴22323231311x x y y k x x x x --===--解法三：利用计算器，求解三次方程3310x x --=，求出1x 、2x 、3x ，代入求出1k =.16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 为递增数列，且i x ∈*N （1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）；数列乙：1y 、2y 、3y 、4y 、5y 满足{1,1}i y ∈-（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）则在甲、乙的所有内积中（ ）A. 当且仅当11x =，23x =，35x =，47x =，59x =时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B. 当且仅当12x =，24x =，36x =，48x =，510x =时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15-、13-、11-、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A 、C 选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B 选项，所以选D. 二. 徐汇区11. 若不等式1(1)(1)31n na n +--⋅<++对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 【解析】当n 为奇数，不等式为131a n -<++，即131a n >--+对一切奇数恒成立，∵1331n --<-+，∴3a ≥-；当n 为偶数，不等式为131a n <-+，对一切偶数恒成立， ∵1133121n -≥-++，∴83a <；综上所述，a 的取值范围是8[3,)3-. 12. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于y 轴对称，当函数()y f x =与()y g x =在区 间[,]ab 上同时递增或同时递减时，把区间[,]a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区 间[1,2]为函数|2|x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是【解析】结合图像，|2|x y t =-的零点2log x t =应满足2log [1,1]t ∈-，解得1[,2]2t ∈.16. 如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，E 为1CC 的中点，点P 、Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上动点，求PEQ ∆周长的最小值（ ）A. B. C. D.【解析】作11PG B C ⊥，取BC 的中点F ，∴QE QF =，作E 关于11B C 的对称点H ，∴GH GE =，∴PQ QE ++PE GQ QF GE GQ QF GH FH ≥++=++≥=所以选B.三. 普陀区11. 已知正三角形ABC M 是ABC ∆所在平面内的任一动点，若||1MA =，则||MA MB MC ++的取值范围为【解析】根据题意，作出示意图||||MA MB MC MA MA AB MA AC ++=++++|3||3|MA AB AC MA AD =++=+，||1MA =，||3AD =当MA 与AD 反向时，有最小值0，当MA 与AD 同向时，有最大值6，所以||MA MB MC ++的取值范围为[0,6].12. 双曲线2213x y -=绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数()f x 的图像，关于此函 数()f x 有如下四个命题：① ()f x 是奇函数；② ()f x的图像过点3)2或3)2-；③ ()f x 的值域是33(,][,)22-∞-+∞； ④ 函数()y f x x =-有两个零点；则其中所有真命题的序号为【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得其中一条渐近线垂直于x 轴，如图中红色 实线或红色虚线所示，结合图像，可知①②正确.16. 定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x x x f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8【解析】作出()f x 图像如图所示，周期为2，设351()322x h x x x -==+--，即求()f x 与()h x 交点 横坐标之和. 结合图像可知，共有3个交点，其中两个交点关于(2,3)点对称，另一个交点的横坐标为1，所以交点的横坐标之和为2215⨯+=，即所有零点之和为5四. 长宁区/嘉定区11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n n S a a +=（*n N ∈），若121(1)nn n n n b a a ++=-， 则数列{}n b 的前n 项和n T =【解析】11a =，112222S a a a =⇒=，1111122()22n n n n n n n n S S a a a a a a -+-+--=-=⇒-=， ∴奇数项1、3、5、…、成等差数列，偶数项2、4、6、…、成等差数列，综上n a n =，2111(1)(1)()(1)1n n n n b n n n n +=-=-+++，∴1112b =--，21123b =+，31134b =--，……， 11(1)(1)1n nn b n n =-+-+，消项求和，11(1)1n n T n =-+-+. 12. 若不等式222()x y cx y x -≤-对满足0x y >>的任意实数x 、y 恒成立，则实数c 的 最大值为【解析】典型恒成立问题，∵()0x y x -<，∴参变分离得222212()21y x y x c y xy x x--≤=--， (0,1)y t x =∈，即求212()1t f t t -=-的最小值，22122(1)4(1)1()11t t t f t t t ------===--12(1)441t t-+-≥-，当且仅当12t =-时等号成立，∴c的最大值为4. 15. 对任意两个非零的平面向量α和β，定义||cos ||ααβθβ⊗=，其中θ为α和β的夹角， 若两个非零的平面向量a 和b 满足：① ||||a b ≥；② a 和b 的夹角(0,)4πθ∈；③ a b ⊗和 b a ⊗的值都在集合{|,}2n x x n N =∈中，则a b ⊗的值为（ ） A. 52 B. 32 C. 1 D. 12 【解析】根据题意，||1||b a ≤，cos (2θ∈，∴||cos 1||b b a a θ⊗=<，∵b a ⊗的值在集合{|,}2n x x n N =∈中，∴||1cos 2||bb a a θ⊗==，∴||2cos ||a b θ=∈，∴a b ⊗= 2||cos 2cos (1,2)||a b θθ=∈，∵a b ⊗的值在集合{|,}2n x x n N =∈中，∴32a b ⊗=. 选B. 16. 已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=， 1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ ）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n 个D. 2(21)n -个【解析】画出1()f x 、2()f x 、3()f x 的图像，如图所示，由图可知，1()f x x =有2个根，2()f x x =有22个根，3()f x x =有32个根，…，归纳可得，()n f x x =有2n 个根.五. 金山区10. 向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|||2|5a i a j -+-=，则|2|a i +的取值范围为【解析】本题与2016年虹口一模17题几乎一样， 根据题意，(1,0)i =，(0,1)j =，设(,)a x y =，根据|||2|5a i a j -+-=的几何意义，(,)x y 轨迹是一条线段（图中AB ），|2|a i +的几何意义为(,)x y 到点(2,0)-的距离，由图可知，距离最短为CD =3AD =，范围为 11. 某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a ，设n a 为第n 年末后该地区森林木材存量，则n a = 【解析】根据题意，15410n n a a a -=-，待定系数，15()4n n a a λλ--=-，可得25a λ=， ∴2{}5n a a -是首项为23232054a a a -=，公比为54的等比数列，∴1235()544n n a a a --=⋅= 35()54n a ⋅，即352()545n n a a a =⋅+. 本题要注意1a a ≠，152341020a a a a =-=. 12. 关于函数||()|||1|x f x x =-，给出以下四个命题：① 当0x >时，()y f x =单调递减且没 有最值；② 方程()f x kx b =+（0k ≠）一定有实数解；③ 如果方程()f x m =（m 为常 数）有解，则解的个数一定是偶数；④ ()y f x =是偶函数且有最小值；其中假命题的序号 是【解析】根据图像可得，① 在(0,1)单调递增，错误；② 正确；③ ()0f x =只有一个解，错误；④ 为偶函数，最小值为0，正确；∴假命题是①③.16. 给出下列四个命题：（1）函数arccos y x =（11x -≤≤）的反函数为cos y x =（x ∈R ）；（2）函数21m m y x +-=（m ∈N ）为奇函数；（3）参数方程2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t R ∈）所表示的曲线是圆；（4）函数221()sin ()32x f x x =-+，当2017x >时，1()2f x >恒成立；其中真 命题的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】① cos y x =定义域为R ，arccos y x =的值域不为R ，不能互为反函数，错误； ② ∵m ∈N ，∴(1)m m +为偶数，∴21m m +-为奇数，∴21m m y x +-=为奇函数，正确； ③ 消参可得方程为221x y +=，1x ≠-，不是一个完整的圆，错误；④ 1()2f x >恒成立， 即22sin ()3x x >在(2017,)+∞上恒成立，因为2sin [0,1]x ∈且有周期性，2()(0,)3x ∈+∞，结 合图像性质可知，不能恒成立，错误. 正确的只有②，所以选D.六. 青浦区10. 已知函数22log ()0()30x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是【解析】由题意，当0x ≤，2log ()y x a =+有一个零点，∴0a >且(0)0f ≥，∴1a ≥；当0x >时，23y x ax a =-+有两个不同的零点，2940a a ∆=->，49a >；综上，1a ≥. 11. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S =【解析】由题意，A 、B 、C 在同一直线上，∴1111n n n a a a -+++-=，即11n n n a a a -++=， 121a a ==，30a =，451a a ==-，60a =，781a a ==，90a =，……，可知周期为6， 且每6项之和为0，∵201863362=⨯+，∴20181233602S a a =++⨯=.12. 已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件：① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <；② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立；则m 的取值范围是【解析】由题意，根据① 对任意实数x 都有()0f x <或()0g x <，可得0m <，(1)0f <，解得30m -<<；根据② 总存在0(,2)x ∈-∞-，使00()()0f x g x <成立，可得(2)0f ->，解得2m <-；综上，(3,2)m ∈--16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆221:12C x y +=和222:14C x y +=，又点A 坐标为(3,1)-，M 、N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A. 0个B. 2个C. 4个D. 无数个【解析】数形结合，如图所示，选D七. 虹口区10. 设椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于M 、N 两 点，若△2MNF 的内切圆的面积为π，则2MNF S ∆=【解析】设内切圆半径为r ，△2MNF 的周长为C ，根据题意，1r =，48C a ==，2142MNF S C r ∆=⨯⨯= 11. 在ABC ∆中，D 是BC 的中点，点列n P （*n N ∈）在直线AC 上，且满足1n n n n n P A a P B a P D +=⋅+，若11a =，则数列{}n a 的通项公式n a = 【解析】2n n n P B P C P D +=，11()222n n n n n n n n n n n P B P C a a P A a P B a a P B P C +++=⋅+⋅=+⋅+⋅， ∵n P A 与n P C 共线，但不与n P B 共线，∴102n n a a ++=，112n n a a +=-，11()2n n a -=-. 12. 设2()22x f x x a x b =+⋅+⋅，其中,a b N ∈，x R ∈，如果函数()y f x =与函数 (())y f f x =都有零点且它们的零点完全相同，则(,)a b 为【解析】设零点0x ，0()0f x =，0(())0(0)0f f x f =⇒=，∴0b =，∴2()2f x x ax =+， 当0a =，2()f x x =，4(())f f x x =，有唯一零点0x =，符合；当0a ≠，()(2)f x x x a =+， 有两个零点10x =和22x a =-，(())()[()2]0()0f f x f x f x a f x =+=⇒=和()2f x a =-， ∵()0f x =已满足有两个相同的零点10x =和22x a =-，∴方程()2f x a =-无解， 即2220x ax a ++=无解，248002a a a ∆=-<⇒<<，∴1a =；综上，(,)a b 为(0,0)或(1,0).16. 已知Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，4AB =，6AC =，在三角形所在的平面内有两个动点M 和N ，满足||2AM =，MN NC =，则||BN 的取值范围是（ ）A. B. [4,6]C. D. 【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，根据题意，M 点的轨迹为224x y +=，设N 点坐标为(,)m n ，∵N 为MC 中点，则M 点为(2,26)m n -，代入方程224x y +=可得到N 点轨迹22(3)1m n +-=，是一个以(0,3)为圆心，1为半径的圆，设圆心(0,3)为D ，可得5BD =，∴||BN 的最小值为14BD -=，最大值为16BD +=，选B.八. 杨浦区11. 已知函数()cos (sin )f x x x x =x R ∈，设0α>，若函数()()g x f x α=+ 为奇函数，则α的值为【解析】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇 函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N . 12. 已知点C 、D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD MC λ=，则实 数λ的取值范围为【解析】数形结合，取极端情况.作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3；当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈. 16. 设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积，则123S S S ++的 最大值是（ ）A. 12B. 2C. 4D. 8 【解析】构造如图所示的长方体，根据题意，该长方体的体对角线长度等于球的直径，为2，设AD a =，AC b =，AB c =，∴2224a b c ++=，1232ab bc ac S S S ++++=≤ 22222222211[()()()][2()]244a b b c a c a b c +++++=++=， ∴选B.九. 松江区10. 已知函数()|2|1f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围为【解析】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点， 当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a >，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >.11. 定义(,)a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中 为真命题的是 （写出所有真命题的序号）① 若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数；② 若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数；③ 若()f x 、()g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数；④ 若()f x 、()g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数.【解析】①的反例如图所示，②③④为真命题12. 已知数列{}n a 的通项公式为2n n a q q =+（0q <，*n N ∈），若对任意*,m n N ∈都有 1(,6)6m n a a ∈，则实数q 的取值范围为 【解析】0q <，130a q =<，11(,6)6n a a ∈，∴0n a <，2220a q q =+<，1(,0)2q ∈-. ∴1a 最小，2a 最大，121(,6)6a a ∈，213662q q q <<+，解得14q >-，即1(,0)4q ∈-. 16. 已知曲线1:||2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A. (,1][0,1)-∞-B. (1,1]-C. [1,1)-D. [1,0](1,)-+∞【解析】分类讨论，当0λ=，2y =±，符合题意；当0λ≠，22144x y λ+=. 当0λ>，表示椭圆，根据题意，44λ>，01λ<<；当0λ<，表示双曲线，渐近线斜率小于等于11≤，10λ-≤<，综上所述，[1,1)λ∈-，选C.（分析整理 谭峰）。

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2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷题目一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.设集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=.2.函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期是π，则ω=.3.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.4.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a= .5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= .6.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种.7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3.8.若数列{an}的所有项都是正数，且+ +…+ =n2+3n(n∈N*)，则 ( )= .9.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0};②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x);③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数;④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x)，且f﹣1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是.(写出所有真命题的序号)11.设向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A、B、C三点共线，则 + 的最小值为.12.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm.二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x<2”是“x2<4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是( )A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值15.给出下列命题：(1)存在实数α使 .(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的题号为( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)16.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞， ]B.[3，+∞)C.[﹣2 ，2 ]D.[﹣3，3]三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2;(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;(2)设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 .(I)求角A的大小;(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1，2)，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象，与线段DB交于点N(点N不与点D重合)，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：(1)求证：b=﹣ ;(2)设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成t的函数S=S(t)，并求S的最大值.20.已知函数f(x)=9x﹣2a•3x+3：(1)若a=1，x∈[0，1]时，求f(x)的值域;(2)当x∈[﹣1，1]时，求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.21.已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N;(1)求证：an+2﹣an是一个定值;(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期;(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例.2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷答案一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.设集合A={x||x﹣2|<1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} .【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：|x﹣2|<1，即﹣1集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2.函数y=sin(ωx﹣)(ω>0)的最小正周期是π，则ω= 2 .【考点】正弦函数的图象.【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值.【解答】解：∵y=sin(ωx﹣)(ω>0)，∴T= =π，∴ω=2.故答案是：2.3.设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为.【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出.【解答】解：复数 = = = 对应的点到原点的距离= = .故答案为： .4.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a= 3 .【考点】反函数.【分析】由题意可得函数f(x)=log2(x+1)+a过(1，4)，代入求得a的值.【解答】解：函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4，1)，即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1，4)，∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a，a=3.故答案为：3.5.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= 6 .【考点】二项式系数的性质.【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值.【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6.故答案：66.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60 种.【考点】排列、组合及简单计数问题.【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案.【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种.故答案为60.7.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3.【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr= π×2，解得r= .故圆锥的高h= = ，∴圆锥的体积V= πr2h= cm3.故答案为： .8.若数列{an}的所有项都是正数，且+ +…+ =n2+3n(n∈N*)，则 ( )= 2 .【考点】数列的求和;极限及其运算.【分析】利用数列递推关系可得an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出.【解答】解：∵ + +…+ =n2+3n(n∈N*)，∴n=1时， =4，解得a1=16.n≥2时，且+ +…+ =(n﹣1)2+3(n﹣1)，可得：=2n+2，∴an=4(n+1)2.=4(n+1).∴ ( )= =2.故答案为：2.9.如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为.【考点】余弦定理.【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案.【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC= =﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为： .10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0};②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x);③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数;④若函数f(x)存在反函数f﹣1(x)，且f﹣1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f﹣1(x)图象的公共点必在直线y=x上;其中真命题的序号是①②.(写出所有真命题的序号)【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】①函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0.②利用偶函数的定义和性质判断.③利用单调函数的定义进行判断.④利用反函数的性质进行判断.【解答】解：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，为常数函数，所以f(x)的值域是{0}，所以①正确.②若函数为偶函数，则f(﹣x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正确.③因为函数f(x)= 在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，所以③错误.④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1(x≤0)的交点坐标有(﹣1，0)，(0，1)，显然交点不在直线y=x上，所以④错误.故答案为：①②.11.设向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A、B、C三点共线，则 + 的最小值为8 .【考点】基本不等式.【分析】A、B、C三点共线，则=λ ，化简可得2a+b=1.根据 + =( + )(2a+b)，利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量 =(1，﹣2)， =(a，﹣1)， =(﹣b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，∴ = ﹣ =(a﹣1，1)， = ﹣ =(﹣b﹣1，2)，∵A、B、C三点共线，∴ =λ ，∴ ，解得2a+b=1，∴ + =( + )(2a+b)=2+2+ + ≥4+2 =8，当且仅当a= ，b= ，取等号，故 + 的最小值为8，故答案为：812.如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm.【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径.【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d= =13故答案为：13.二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x<2”是“x2<4”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先求出x2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可.【解答】解：由x2<4，解得：﹣2故x<2是x2<4的必要不充分条件，故选：B.14.若无穷等差数列{an}的首项a1<0，公差d>0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是( )A.Sn单调递增B.Sn单调递减C.Sn有最小值D.Sn有最大值【考点】等差数列的前n项和.【分析】Sn=na1+ d= n2+ n，利用二次函数的单调性即可判断出结论.【解答】解：Sn=na1+ d= n2+ n，∵ >0，∴Sn有最小值.故选：C.15.给出下列命题：(1)存在实数α使 .(2)直线是函数y=sinx图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的题号为( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【考点】正弦函数的定义域和值域;两角和与差的正弦函数;正弦函数的对称性;余弦函数的定义域和值域.【分析】(1)利用辅助角公式将可判断(1);(2)根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断(2);(3)根据余弦函数的性质可求出y=cos(c osx)(x∈R)的最大值与最小值，从而可判断(3)的正误;(4)用特值法令α，β都是第一象限角，且α>β，可判断(4).【解答】解：(1)∵ ，∴(1)错误;(2)∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴(2)正确;(3)根据余弦函数的性质可得y=cos(cosx)的最大值为ymax=cos0=1，ymin=cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正确;(4)不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α>β，但tanα故选B.16.如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是( )A.(﹣∞， ]B.[3，+∞)C.[﹣2 ，2 ]D.[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题.【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+ ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f(y)= + ，利用基本不等式可求得f(y)min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立.通过对sinx>0、sinx<0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案.【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔ + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f(y)= + ，则asinx+1﹣sin2x≤f(y)min，当y>0时，f(y)= + ≥2 =3(当且仅当y=6时取“=”)，f(y)min=3;当y<0时，f(y)= + ≤﹣2 =﹣3(当且仅当y=﹣6时取“=”)，f(y)max=﹣3，f(y)min不存在;综上所述，f(y)min=3.所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立.①若sinx>0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，则0由于g′(t)=1﹣ <0，所以，g(t)=t+ 在区间(0，1]上单调递减，因此，g(t)min=g(1)=3，所以a≤3;②若sinx<0，则a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3;③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R;综合①②③，﹣3≤a≤3.故选：D.三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2;(1)求三棱锥A﹣BCD的体积;(2)设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小(结果用反三角函数值表示).【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.【分析】(1)由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积.(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小.【解答】解：(1)如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2 ，∴BD= =2 ，CD= =2 ，则VA﹣BCD= = == .(2)以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，2，2)，D(2 ，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，M( )，=(2 ，﹣2，﹣2)， =( )，设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ= = = .θ=arccos .∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos .18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2 .(I)求角A的大小;(II) 若a= ，b+c=3，求b和c的值.【考点】余弦定理;解三角形.【分析】(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值.(II)由余弦定理及a= ，b+c=3，解方程组求得b和c的值.【解答】解：(I)在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos(B+C)]﹣4cos2A+2=7，又∵cos(B+C)=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0.解得，∴ .(II)由 .又 .由 .19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC，将其中的`区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为(1，2)，曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b(k>0)的图象，与线段DB交于点N(点N不与点D重合)，且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：(1)求证：b=﹣ ;(2)设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S(t)，并求S的最大值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2;由，消去y得△=0即可证明b=﹣ ;(2)写出点P的坐标(t，2t2)，代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标;令y=2求出N的坐标;②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S(t)，利用基本不等式求出S的最大值.【解答】(1)证明：函数y=ax2过点D(1，2)，代入计算得a=2，∴y=2x2;由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=(﹣k)2﹣4×2×b=0，解得b=﹣ ;(2)解：设点P的横坐标为t，则P(t，2t2);①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣ =2t2，解得k=4t;y=4tx﹣2t2令y=0，解得x= ，∴M( ，0);令y=2，解得x= + ，∴N( + ，2);②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S(t)=2×2﹣×2×[ +( + )]=4﹣(t+ );由t+ ≥2• = ，当且仅当t= ，即t= 时“=”成立，所以S≤4﹣2 ;即S的最大值是4﹣ .20.已知函数f(x)=9x﹣2a•3x+3：(1)若a=1，x∈[0，1]时，求f(x)的值域;(2)当x∈[﹣1，1]时，求f(x)的最小值h(a);(3)是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n>m>3;②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由.【考点】函数的最值及其几何意义;函数的值域.【分析】(1)设t=3x，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，φ(t)的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f(x)的值域;(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a，分类讨论当a< 时，当≤a≤3时，当a>3时，求出最小值，则h(a)的表达式可求;(3)假设满足题意的m，n存在，函数h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论.【解答】解：(1)∵函数f(x)=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2，对称轴为t=a.当a=1时，φ(t)=(t﹣1)2+2在[1，3]递增，∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]，∴函数f(x)的值域是：[2，6];(Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[ ，3]，当a< 时，ymin=h(a)=φ( )= ﹣ ;当≤a≤3时，ymin=h(a)=φ(a)=3﹣a2;当a>3时，ymin=h(a)=φ(3)=12﹣6a.故h(a)= ;(Ⅲ)假设满足题意的m，n存在，∵n>m>3，∴h(a)=12﹣6a，∴函数h(a)在(3，+∞)上是减函数.又∵h(a)的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6(n﹣m)=(n﹣m)•(m+n)，又∵n>m>3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n>m>3矛盾.∴满足题意的m，n不存在.21.已知无穷数列{an}的各项都是正数，其前n项和为Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N;(1)求证：an+2﹣an是一个定值;(2)若数列{an}是一个周期数列(存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有an+T=an成立，则称{an}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期;(3)若数列{an}是各项均为有理数的等差数列，cn=2•3n﹣1(n∈N*)，问：数列{cn}中的所有项是否都是数列{an}中的项?若是，请说明理由，若不是，请举出反例.【考点】数列递推式.【分析】(1)由rSn=anan+1﹣1，利用迭代法得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，由此能够证明an+2﹣an为定值.(2)当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r>0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期.(3)因为数列{an}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出Sn.【解答】(1)证明：∵rSn=anan+1﹣1，①∴rSn+1=an+1an+2﹣1，②②﹣①，得：ran+1=an+1(an+2﹣an)，∵an>0，∴an+2﹣an=r.(2)解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2= ，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+ ，a+r，2r+ ，a+2r，3r+ ，….当r>0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，….所以当a>0且a≠1时，该数列的周期是2，(3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+ )，化简2a2﹣ar﹣2=0，a= 是有理数.设 =k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，an=1，Sn=n.r≠0时(k﹣r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，an= ，Sn= ，∵cn=2•3n﹣1(n∈N*)，an=1时，不符合，舍去.an= 时，若2•3n﹣1= ，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k= ，不是整数，因此数列{cn}中的所有项不都是数列{an}中的项. 【2018届上海市长宁区高考数学模拟试卷及答案】。

2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B=．2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=．6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；﹣a n是一个定值；（1）求证：a n+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．2017年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B={2} ．【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，则A∩B={2}，故答案为：{2}2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：．4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．【考点】反函数．【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=6．【考点】二项式系数的性质．【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得，解得n=6．故答案：66．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：2πr=π×2，解得r=．故圆锥的高h==，∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．故答案为：．8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）=2．【考点】数列的求和；极限及其运算．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．=4（n+1）．∴（）==2．故答案为：2．9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．【考点】余弦定理．【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC==﹣，∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得，∴AB=故答案为：．10．有以下命题：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f（x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以①正确．②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=﹣与其反函数y=x2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以④错误．故答案为：①②．11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8．【考点】基本不等式．【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），∵A、B、C三点共线，∴=λ，∴，解得2a+b=1，∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，故+的最小值为8，故答案为：812．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“x＜2”是“x2＜4”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）A．S n单调递增B．S n单调递减C．S n有最小值D．S n有最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：S n=na1+d=n2+n，∵＞0，∴S n有最小值．故选：C．15．给出下列命题：（1）存在实数α使．（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．其中正确命题的题号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos （cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；故选B．16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]【考点】函数恒成立问题．【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，令f（y）=+，则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，当y ＞0时，f （y ）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f （y ）min =3；当y ＜0时，f （y ）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y ）max =﹣3，f （y ）min 不存在； 综上所述，f （y ）min =3．所以，asinx +1﹣sin 2x ≤3，即asinx ﹣sin 2x ≤2恒成立．①若sinx ＞0，a ≤sinx +恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令g （t ）=t +（0＜t ≤1），则a ≤g （t ）min ．由于g′（t ）=1﹣＜0，所以，g （t ）=t +在区间（0，1]上单调递减， 因此，g （t ）min =g （1）=3， 所以a ≤3；②若sinx ＜0，则a ≥sinx +恒成立，同理可得a ≥﹣3；③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，﹣3≤a ≤3． 故选：D ．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2；（1）求三棱锥A ﹣BCD 的体积；（2）设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD 的体积．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，∴BD==2，CD==2，===则V A﹣BCD=．（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），设异面直线AD与CM所成角为θ，则cosθ===．θ=arccos．∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．【考点】余弦定理；解三角形．【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c的值．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．解得，∴．（II）由．又．由．19．某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：（1）求证：b=﹣；（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据函数y=ax2过点D，求出解析式y=2x2；由，消去y得△=0即可证明b=﹣；（2）写出点P的坐标（t，2t2），代入①直线MN的方程，用t表示出直线方程为y=4tx﹣2t2，令y=0，求出M的坐标；令y=2求出N的坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S（t），利用基本不等式求出S 的最大值．【解答】（1）证明：函数y=ax2过点D（1，2），代入计算得a=2，∴y=2x2；由，消去y得2x2﹣kx﹣b=0，由线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，得△=（﹣k）2﹣4×2×b=0，解得b=﹣；（2）解：设点P的横坐标为t，则P（t，2t2）；①直线MN的方程为y=kx+b，即y=kx﹣过点P，∴kt﹣=2t2，解得k=4t；y=4tx﹣2t2令y=0，解得x=，∴M（，0）；令y=2，解得x=+，∴N（+，2）；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数为S=S（t）=2×2﹣×2×[+（+）]=4﹣（t+）；由t+≥2•=，当且仅当t=，即t=时“=”成立，所以S≤4﹣2；即S的最大值是4﹣．20．已知函数f（x）=9x﹣2a•3x+3：（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域．【分析】（1）设t=3x，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，φ（t）的对称轴为t=a，当a=1时，即可求出f（x）的值域；（2）由函数φ（t）的对称轴为t=a，分类讨论当a＜时，当≤a≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的m，n存在，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，求出h（a）的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a•3x+3，设t=3x，t∈[1，3]，则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，∴函数f（x）的值域是：[2，6]；（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，当a＜时，y min=h（a）=φ（）=﹣；当≤a≤3时，y min=h（a）=φ（a）=3﹣a2；当a＞3时，y min=h（a）=φ（3）=12﹣6a．故h（a）=；（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，则，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）•（m+n），又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．∴满足题意的m，n不存在．21．已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；（1）求证：a n﹣a n是一个定值；+2=a n （2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2•3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．【考点】数列递推式．【分析】（1）由rS n=a n a n+1﹣1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），由此能够证﹣a n为定值．明a n+2（2）当n=1时，ra=aa2﹣1，故a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期．（3）因为数列{a n}是一个有理等差数列，所以a+a=r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，解得a是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n．【解答】（1）证明：∵rS n=a n a n+1﹣1，①∴rS n+1=a n+1a n+2﹣1，②②﹣①，得：ra n+1=a n+1（a n+2﹣a n），∵a n＞0，∴a n+2﹣a n=r．（2）解：当n=1时，ra=aa2﹣1，∴a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，…．当r＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，∴r=0时，数列写出数列的前几项：a，，a，，…．所以当a＞0且a≠1时，该数列的周期是2，（3）解：因为数列{a n}是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简2a2﹣ar﹣2=0，a=是有理数．设=k，是一个完全平方数，则r2+16=k2，r，k均是非负整数r=0时，a=1，a n=1，S n=n．r≠0时（k﹣r）（k+r）=16=2×8=4×4可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时a=2，a n=，S n=，∵c n=2•3n﹣1（n∈N*），a n=1时，不符合，舍去．a n=时，若2•3n﹣1=，则：3k=4×3n﹣1﹣1，n=2时，k=，不是整数，因此数列{c n}中的所有项不都是数列{a n}中的项．2017年4月18日。

2018 届嘉定区高考数学模拟试卷及答案备考高考数学时可以通过做一些高考数学模拟题来检测自己的知识欠缺点，在备考时分侧重点复习，以下是为你的2018 届嘉定区高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

2018 届嘉定区高考数学模拟试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 、设集合A={x|} , B={y|y=x2},则A A B=()A.[ - 2, 2]B.[0 , 2]C.[2 , +=)D.{( - 2, 4) , (2 , 4)}2 、已知条件p：关于的不等式有解；条件q：指数函数为减函数，则p 成立是q 成立的().A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3 、在△中，为边的中点，若，，贝S ()A.B.C.D.4 、已知等差数列的公差为,若成等比数列, 则()A.B.C.D.5 、若函数,,,又,,且的最小值为,则的值为()A.B.C.D.26 、指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为()A. 单调递增B. 单调递减C. 在上递增，在上递减D. 在上递减，在上递增7 、已知中，，，D为边BC的中点，贝S ()A.3B.4C.5D.68 、数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n 等于()A.17B.16C.15D.149 、在△ ABC中，若(tanB+tanC)二tanBtanC - 1,贝Scos2A=() A. - B.C. - D.10 、函数的单调增区间与值域相同,贝实数的取值为()A.B.C.D.11 、已知函数,其中. 若对于任意的,都有,贝的取值范围是()A.B.C.D.12 、，则O是三角形的()A. 垂心B. 外心C. 重心D. 内心二、填空题：本大题共 4 小题,每小题5分。

13 、正项等比数列中的是函数的极值点,贝.14 、已知：正数x, y 满足3x+4y=xy 贝3x+y 的最小值是.15 、正方体的棱长为3,点P是CD上一点，且，过点三点的平面交底面ABCDF，点Q在直线BC上，则=.16 、已知函数贝关于的不等式的解集为。