长宁区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案

长宁区2010学年第一学期高三数学检测试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．1、已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ．2、若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 ．3、（理）函数x a y π2sin =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

（文）函数x a y π2cos =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

4、若71(2)x x-的二项展开式中的第5项的系数是 （用数字表示）。

5、已知α为第三象限的角，53cos -=α,则)4tan(απ+= . 6、不等式093114212≥-x x 的解集为_______________。

7、给出下面4个命题:(1)x y tan =在第一象限是增函数； (2)奇函数的图象一定过原点； (3)f -1(x)是f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点 必在直线y=x 上； (4)"a>b>1"是"log a b<2"的充分但不必要条件.其中正确的命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ．9、无穷等比数列{}n a 中，公比为q ，且所有项的和为231a 的范围是_________10、设函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 . 11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ．12、（理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且 4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .（文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若0120=∠A ，且4AC AB ⋅=-则ABC ∆的面积等于 . 13、（理）已知函数f (x )=x 2＋2︱x ︱－15，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[－15,0]， 则满足条件的整数对),(b a 有 对．（文）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数),0(,sin 2sin )(π∈+=x xx x f 的“下确界”为____。

上海市长宁区2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84【答案】B【解析】【分析】 画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512- 【答案】D【解析】【分析】 以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r， 可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r ，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-． 故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开6D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2【答案】B【解析】【分析】 先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD == 又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以3262BC == 所以2212cos 2462266322AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=故选：B.【点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 4．已知3log 5a =，0.50.4b =，2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】【分析】与中间值1比较，,a c 可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】 0.50.41<，3log 51>，又550log 2log 3<<，∴5511log 2log 3>，即23log 5log 5>， ∴c a b >>．故选：D.本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．5． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A【解析】【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.6．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A【解析】【分析】【详解】 试题分析：由题意可得：131255i i i -=--. 共轭复数为3155i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系7．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a -==∑，则k =( )A ．2020B ．4038C ．4039D ．4040【答案】D【分析】计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案.【详解】11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，202021134039457403967403940401............n n a a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，故4040k =.故选：D .【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.8．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果.【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2323f x x ax =++'， 又函数()3239f x x ax x =++-在3x =-时取得极值， 所以()327630f a -=-+='，解得5a =.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.9．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y += B ．2212016x y += C ．221106x y += D ．2215x y += 【答案】D【解析】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得()()20,42,0，A F ，所以2c =，又1||AB BF =，所以122225a BF BF AF =+==，得5a =，1b ∴=， 所以椭圆的方程为2215x y +=.故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.10．如图所示程序框图，若判断框内为“4i <”，则输出S =（）A ．2B ．10C ．34D ．98 【答案】C【解析】【分析】由题意，逐步分析循环中各变量的值的变化情况，即可得解.【详解】由题意运行程序可得：4i <，122j =⨯=，0122s =+⨯=，112i =+=；4i <，224j =⨯=，22410s =+⨯=，213i =+=；4i <，428j =⨯=，103834s =+⨯=，314i =+=；4i <不成立，此时输出34s =.【点睛】本题考查了程序框图，只需在理解程序框图的前提下细心计算即可，属于基础题.11．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部.【详解】 由zi ＝1﹣i ，∴z ＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．12．在复平面内，31i i +-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果.【详解】 3(3)(1)12121(1)(1)i i i z i z i i i i +++===+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D .【点睛】本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年高三数学上期末一模试卷(带答案) 一、选择题1．已知数列{}n a的前n项和为n S，且1142n na-⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若对任意*Nn∈，都有()143np S n≤-≤成立，则实数p的取值范围是（）A．()2,3B．[]2,3C．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．在ABC∆中,,,a b c分别为角,,A B C所对的边,若2?a bcos C=,则此三角形一定是( )A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形3．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（）A．B．C．D．4．已知函数223log,0(){1,0x xf xx x x+>=--≤，则不等式()5f x≤的解集为 ( ) A．[]1,1-B．[]2,4-C．(](),20,4-∞-⋃D．(][],20,4-∞-⋃5．数列{}{},n na b为等差数列，前n项和分别为,n nS T，若3n22nnST n+=，则77ab=（）A．4126B．2314C．117D．1166．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如：在3阶幻方中，315N=)，则10N=（）A．1020B．1010C．510D．5057．已知集合2A{t|t40}=-≤，对于满足集合A的所有实数t，使不等式2x tx t2x1+->-恒成立的x的取值范围为()A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+8．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若229m n a a a =，则212m n+的最小值等于（ ） A ．1B ．12C ．34 D ．329．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．3210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 11．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．2812．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 14．数列{}21n-的前n 项1,3,7..21n-组成集合{}()*1,3,7,21nn A n N=-∈，从集合nA中任取()1,2,3?··n k k =个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+，例如当1n =时，{}1111,1,1===A T S ；当2n =时，{}21221,2,13,13,13137A T T S ==+=⨯=++⨯=，试写出n S =___15．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．16．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.17．若正数,a b 满足3ab a b =++，则+a b 的取值范围_______________。

2019届上海市长宁区、嘉定区高三上学期期末教学质量检测（一模）数学试题一、单选题1．已知x R ∈，则“0x ≥”是“1x >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】0x ≥推不出1x >， 10x x >⇒≥，∴“0x ≥”是“1x >”的必要非充分条件．故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2．有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，从中抽取98颗种子，下表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则估计这批种子发芽天数的中位数是( ) A ．2 B ．3C ．3.5D ．4【答案】B【解析】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，求中间两颗种子发芽天数的平均数即可得结果. 【详解】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列， 可得种子的发芽天数的正中间两颗的数据都是3，所以中位数为3332+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查中位数的定义与应用，属于基础题.如果样本容量是奇数,中间的数就是中位数;如果样本容量为偶数中间两个数的平均数就是中位数. 3．已知向量a 和b 的夹角为3π，且||2,||3a b ==，则(2)(2)a b a b -+=（ ） A ．10- B ．7-C ．4-D ．1-【答案】D【解析】根据数量积的运算律直接展开()()22a b a b -⋅+，将向量的夹角与模代入数据，得到结果． 【详解】()()22a b a b -⋅+= 2223?2a a b b +-＝8+3cos3a b π－18＝8+3×2×3×12－18＝－1， 故选D. 【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．4．某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的奇函数． 下列判断正确的是 （） A.①和②都是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①和②都是假命题 D.①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】根据奇函数的定义对题干中的命题的正误进行判断. 【详解】函数()y f x =的定义域为D ，1x 、2x D ∈．①若当()()120f x f x +=时，都有120x x +=，可得D 关于原点对称， 由奇函数的定义可得函数()y f x =是D 上的奇函数，故①正确；②若当()()12f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数，奇偶性不确定，故②错误． 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑()()f x f x -=-，即可判断，考查理解能力，属于基础题．二、填空题5．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B =______.【答案】{}1,2,3,4,5【解析】根据并集的定义可得出集合A B .【详解】{}1,2,3,4A =Q ，{}1,3,5B =，因此，{}1,2,3,4,5A B =U .故答案为：{}1,2,3,4,5. 【点睛】本题考查并集的运算，考查计算能力，属于基础题. 6．已知1312x -=，则x =________【答案】1【解析】直接利用矩阵中的公式运算即可. 【详解】由题得：2x+1＝3，所以得x ＝1. 故答案为1. 【点睛】本题考查增广矩阵中的运算．考查行列式，属于基础题．7．在()61x +的二项展开式中，2x 项的系数为_____（结果用数值表示）． 【答案】15【解析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x 的指数为2，求出展开式中2x 的系数．【详解】解：展开式的通项为16r r r T C x +=．令2r =得到展开式中2x 的系数是2615C =．故答案为：15． 【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．8．已知向量(),3a m =，()2,1b =-r ，若向量//a b r r，则实数m 为______．【答案】6-【解析】根据平面向量共线向量的坐标表示，列关于m 的方程，解出即可. 【详解】(),3a m =r Q ，()2,1b =-r ，且//a b r r，则有6m -=，解得6m =-.故答案为：6-. 【点睛】考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系，解题的关键就是根据共线向量的坐标表示列方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.9．已知幂函数()a f x x =的图像过点，则()f x 的定义域为________ 【答案】(0,)+∞【解析】依题意可求得12α=-，从而可求f （x ）的定义域． 【详解】依题意，得：1222α-==，所以12α=-，()12f x x-==，所以，定义域为：()0,+∞， 故答案为()0,.+∞ 【点睛】本题考查幂函数的性质，求得α是关键，属于基础题．10．若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为______． 【答案】12π【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题中条件求出这几个量，然后利用锥体的体积公式可计算出该圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，根据题意，圆锥的底面面积为29r ππ=，即则其底面半径是3r =， 圆锥的侧面积为315rl l πππ==，则其母线长为5l =，所以，圆锥的高为4h ==， 因此，圆锥的体积为149123ππ⨯⨯=. 故答案为：12π. 【点睛】本题考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力，属于基础题. 11．已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=________【解析】运用诱导公式化简为()sin a π-，再利用同角基本关系得到所求值. 【详解】依题意tan 2a =-，且,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭得：sin a =，所以()sin a π-= sin a =,故答案为5. 【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式和同角的基本关系式的应用，属于基础题． 12．已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是_______【答案】[1,2)【解析】由题意可得f （x ）与g （x ）的函数值的符号相同，结合函数的图象分类讨论求得x 的范围，即为所求． 【详解】函数()log a f x x =的定义域为()0,+∞，（1）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，g （x ）＞0，()()f xg x ＜0，不符合；（2）当1≤x ＜2时，f （x ）≥0，g （x ）＞0，()()f xg x ≥0，符合；（3）当x ＞2时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，()()f xg x ＜0，不符合；所以解集是[)1,2， 故答案为[)1,2. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，函数的图象的应用，属于基础题．13．如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ︒∠=，在B 处测得105DBA ︒∠=，且此时看楼顶D 的仰角30DBC ︒∠=，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD =____（精确到1m ）【答案】212【解析】先由正弦定理求得AB 和BD ，根据Rt △BCD 中因为30DBC ︒∠=，可得CD＝12BD ＝≈212。

长宁区高中2018-2019学年上学期高三数学期末模拟试卷含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<2． 已知x ，y 满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．13． 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的右焦点F ，直线x=与其渐近线交于A ，B 两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．54B ．162C ．54+18D ．162+185． 已知2a =3b =m ，ab ≠0且a ，ab ，b 成等差数列，则m=（ ）A ．B ．C ．D ．66． 若⎩⎨⎧≥<+=-)2(,2)2(),2()(x x x f x f x则)1(f 的值为（ ） A ．8 B ．81 C ．2 D ．217． 如果函数f （x ）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f （x ）在区间上是（ ）A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为﹣3D ．减函数且最大值为﹣38． 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）A ．7B ．6C ．5D ．49． 设集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={y|y=2x }，则AB （ ）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．（1，2）10．已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，+∞）D ．（2，+∞）11．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）A.83 B ．4 C.163 D ．20312．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨qC ．p ∧qD ．p ∨q二、填空题13．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．15．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 且倾斜角等于的直线与抛物线在x 轴上方的曲线交于点A ，则AF 的长为 ．16．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．17．1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为______________.【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．18．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）三、解答题19．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。

长宁区2019学年第一学期高三数学检测试题一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共计56分）．1、已知集合(,0]A =-∞，{1,3,}B a =，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围是 ．2、若复数11i z =-，224i z =+，其中i 是虚数单位，则复数12z z 的虚部是 ．3、（理）函数x a y π2sin =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

（文）函数x a y π2cos =)0(>a 的最小正周期为2，则实数_______=a 。

4、若71(2)x x-的二项展开式中的第5项的系数是 （用数字表示）。

5、已知α为第三象限的角，53cos -=α,则)4tan(απ+= . 6、不等式093114212≥-x x 的解集为_______________。

7、给出下面4个命题:(1)x y tan =在第一象限是增函数； (2)奇函数的图象一定过原点； (3)f -1(x)是f(x)的反函数,如果它们的图象有交点,则交点 必在直线y=x 上； (4)"a>b>1"是"log a b<2"的充分但不必要条件.其中正确的命题的序号是______.(把你认为正确的命题的序号都填上8、如图是一个算法的流程图，则最后输出的S = ．9、无穷等比数列{}n a 中，公比为q ，且所有项的和为231a 的范围是_________10、设函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-+∞∈-=1,,2,1,222x x x x x x f ，则函数)(x f y =的零点是 . 11、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．若 连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 ．12、（理）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()221a b c bc-+=-，且 4AC AB ⋅=-，则ABC ∆的面积等于 .（文）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若0120=∠A ，且4AC AB ⋅=-则ABC ∆的面积等于 . 13、（理）已知函数f (x )=x 2＋2︱x ︱－15，定义域是),](,[Z b a b a ∈，值域是[－15,0]， 则满足条件的整数对),(b a 有 对．（文）对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数),0(,sin 2sin )(π∈+=x xx x f 的“下确界”为____。

上海市长宁、嘉定区2019届高三上学期期末教学质量检测（一模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“x≥0”是“x>1”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：∵x≥0推不出x>1，x>1⇒x≥0，∴“x≥0”是“x>1”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同发芽天数的种子数的记录：统计每颗种子种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是()A. 2B. 3C. 3.5D. 4【答案】B【解析】解：将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，=3，可知正中间两颗种子的发芽天数都是3，所以中位数为3+32故选：B．根据中位数的概念可求得．本题考查了中位数的概念.属基础题．3.已知向量a⃗和b⃗ 的夹角为π，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，则(2a⃗−b⃗ )(a⃗+2b⃗ )=()3A. −10B. −7C. −4D. −1【答案】D【解析】解：(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=2a⃗2−2b⃗ 2+3a⃗⋅b⃗=8−18+3×2×3cos π3=−1，故选：D．首先把原式展开，再利用数量积求值．此题考查了数量积计算问题，属容易题．4.某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．①若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，则函数y=f(x)是D上的奇函数．②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y=f(x)是D上的奇函数．下列判断正确的是()A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题【答案】B【解析】解：函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D．①若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，可得D关于原点对称，由奇函数的定义可得函数y=f(x)是D上的奇函数，故①正确；②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y=f(x)是D上的增函数，奇偶性不确定，故②错误．故选：B．由奇函数的定义，注意定义域关于原点对称，其次可考虑f(−x)=−f(x)，即可判断①②．本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查理解能力，属于基础题．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1,2，3，4}，B={1,3，5}，则A∪B=______【答案】{1,2，3，4，5}【解析】解：A∪B={1,2，3，4，5}．故答案为：{1,2，3，4，5}．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的定义及运算．6.已知∣∣∣x−112∣∣∣=3，则x=______．【答案】1【解析】解：∵∣∣∣x−112∣∣∣=3，∴2x+1=3，解得x=1．故答案为：1．利用二阶行列式展开式直接求解．本题考查二阶行列式的求法，考查行列式展开法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.在(1+x)6的二项展开式中，x2项的系数为______(结果用数值表示)．【答案】15【解析】解：展开式的通项为T r+1=C6r x r．令r=2得到展开式中x2的系数是C62=15．故答案为：15．通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为2，求出展开式中x2的系数．本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.考查计算能力．8.已知向量a⃗=(m,3)，b⃗ =(2,−1)，若向量a⃗//b⃗ ，则实数m为______．【答案】−6【解析】解：∵a⃗//b⃗ ；∴−m−6=0；∴m=−6．故答案为：−6．根据a⃗//b⃗ 即可得出−m−6=0，解出m即可．考查向量坐标的概念，平行向量的坐标关系．)，则f(x)的定义域为______．9.已知函数f(x)=x a的图象过点(2,√22【答案】(0,+∞)【解析】解：设幂函数为y=xα，∵幂函数y=f(x)的图象经过点(2,√2)，2∴√2=2α，2，解得α=−12故f(x)=，√x故函数的定义域是(0,+∞)，故答案为：(0,+∞)．求出幂函数的解析式，然后求解函数的定义域即可．本题考查幂函数的解析式的求法，基本知识的考查．10.若圆锥的侧面积为15π，底面面积为9π，则该圆锥的体积为______．【答案】12π【解析】解：根据题意，圆锥的底面面积为9π，则其底面半径是3，底面周长为6π，圆锥的侧面积为15π，×6πl=15π，又12∴圆锥的母线为5，则圆锥的高√52−32=4，×4×9π=12π．所以圆锥的体积13故答案为：12π．求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．,π)，且tanα=−2，则sin(π−α)=______．11.已知α∈(π2【答案】2√55,π)，且tanα=−2，【解析】解：α∈(π2∴sinα=−2cosα，∵sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，4∴sinα=2√5，5∴sin(π−α)=sinα=2√5，5．故答案为：2√55=−2，sin2a+cos2a=1，求得sina的值由题意可得sinα>0，再结合tana=sinαcosα本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．≥0的解集12.已知函数f(x)=log a x和g(x)=k(x−2)的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)是______．【答案】[1,2)【解析】解：由图象f(x)=log a x可得x∈(0,1)时，f(x)<0，x∈(1,+∞)时，f(x)>0，当x=1时f(x)=0由图象g(x)=k(x−2)可得x∈(−∞,2)时，g(x)>0，x∈(2,+∞)时，g(x)<0，不等式f(x)g(x)≥0，即{g(x)>0f(x)≥0或{g(x)<0f(x)≤0；∴x∈[1,2)∴不等式f(x)g(x)≥0的解集为[1,2)故答案为：[1,2)根据f(x)=log a x和g(x)=k(x−2)图象可得f(x)和g(x)的正负，即可求解不等式f(x)g(x)≥0的解集．本题考查了函数图象求解x范围解决不等式的问题，是基础题．13.如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD的高度，D为楼顶，线段AB的长度为600m，在A处测得∠DAB=30∘，在B处测得∠DBA=105∘，且此时看楼顶D的仰角∠DBC=30∘，已知楼底C和A、B在同一水平面上，则此楼高度CD=______m(精确到1m)【答案】212【解析】解：△ABD中，AB=600，∠DAB=30∘，∠DBA=105∘，∴∠ADB=45∘，由正弦定理得BDsin30∘=600sin45∘，解得BD=600×12√22=300√2；在Rt△BCD中，∠DBC=30∘，∴CD=12BD=150√2≈212，即楼高CD约212米．故答案为：212．根据题意，利用正弦定理求得BD的长，再由直角三角形的边角关系求出CD的值．本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．14.若甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的概率为______．【答案】920【解析】解：甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n=C63C63=400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m=C61C52C32=180，∴两人选修的课程中恰有1门相同的概率p=mn =180400=920．故答案为：920．甲、乙两位同学随机地从6门课程中各选修3门，基本事件总数n=C63C63=400，两人选修的课程中恰有1门相同包含的基本事件个数m=C61C52C32=180，由此能求出两人选修的课程中恰有1门相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n+a n+1=12n，若数列{S n}收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为______．【答案】{13}【解析】解：n=2k(k∈N∗)为偶数时，a1+a2=12，a3+a4=123，……，a2k−1+a2k=1 22k−1，S n=12(1−14k)1−14=23(1−14k)→23.(k→+∞)．n=2k−1(k∈N∗)为奇数时，a2+a3=122，a4+a5=124，……，a2k−2+a2k−1=122k−2，S n=a1+14(1−14k−1)1−14=a1+13(1−14k−1)→a1+13．∵数列{S n}收敛于常数A，∴a1+13=23．解得a1=13．故答案为：{13}.对n分类讨论，利用等比数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．本题考查了分类讨论、等比数列的求和公式、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有______个元素．【答案】1【解析】解：令f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+ |x−b3|，将关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题不妨令a1<a2<a3<，b1<b2<b3，由于f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|={3x−a1−a2−a3,x>a3x−a1−a2+a3,a2<x<a3−x−a1+a2+a3,a1<x<a2−3x+a1+a2+a3,x<a1，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|={3x−b1−b2−b3,x>b3x−b1−b2+b3,b2<x<b3−x−b1+b2+b3,b1<x<b2−3x+b1+b2+b3,x<b1，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段拆线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等．当a1，a2，a3的和与b1，b2，b3的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾不妨令a1，a2，a3的和小于b1，b2，b3的和即a1+a2+a3<b1+b2+b3，−a1−a2−a3>−b1−b2−b3，两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．不妨认为左边f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，故答案为：1．由题意，可将关于x的方程|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|解的个数问题转化为f(x)=|x−a1|+|x−a2|+|x−a3|，g(x)=|=|x−b1|+|x−b2|+|x−b3|两个函数图象交点个数问题，将两个函数变为分段函数，由于两个函数都是折线，分别讨论折线端点处的函数值，作出符合题意的图象，即可得出图象交点个数，从而得出方程解的个数本题考查函数的综合运用，属于函数中较难理解的题，用到数形结合的思想，转化化归的思想，属于能开拓思维训练能力的好题，也是易错题三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.求下列不等式的解集：(1)|2x−3|<5；(2)4x−4×2x−12>0．【答案】解：(1)|2x−3|<5⇔−5<2x−3<5⇔−1<x<4，所以不等式的解集为{x|−1<x<4}；(2)原不等式可化为：(2x−6)(2x+2)>0，∴2x>6，∴x>log26，所以原不等式的解集为{x|x>log26}．【解析】(1)根据|f(x)|<a(a>0)⇔−a<f(x)<a解得；(2)把2x看成整体，先解一元二次不等式，再解指数不等式可得．本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题．18.《九章算术》中，将地面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P−ABCD中，PD⊥底面ABCD．(1)已知AD=CD=4m，斜梁PB与底面ABCD所成角为15∘，求立柱PD的长(精确导0.01m)．(2)求证：四面体PDBC为鳖臑．【答案】解：(1)∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，∴∠PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，∴∠PBD=15∘，在△PBD中，∠PDB=90∘，DB=√AD2+CD2=4√2(m)，由tan∠PDB=PDPB ，得tan15∘=PD4√2，解得PD≈1.52(m)，∴立柱PD的长约1.52m．(2)由题意知底面ABCD是长方形，∴△BCD是直角三角形，∵侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC，PD⊥DB，PD⊥BC，∴△PDC，△PDB是直角三角形，∵BC⊥DC，BC⊥PD，PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，∴四面体PDBC为鳖臑．【解析】(1)推导出侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，从而∠PDB是侧棱PB与底面ABCD所成角，∠PBD=15∘，由此能求出立柱PD的长．(2)底面ABCD是长方形，从而△BCD是直角三角形，推导出PD⊥DC，PD⊥DB，PD⊥BC，从而△PDC，△PDB是直角三角形，由BC⊥平面PDC，得△PBC是直角三角形，由此能证明四面体PDBC为鳖臑．本题考查立柱长的求法，考查四面体为鳖臑的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．19.已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，复数z1=a+bi，z2=cosA+icosB(其中i是虚数单位)，且z1⋅z2=3i．(1)求证：acosB+bcosA=c，并求边长c的值；(2)判断△ABC的形状，并求当b=√3时，角A的大小．【答案】解：(1)证明：acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=2c22c=c，z1⋅z2=acosA−bcosB+(acosB+bcosA)i =3i，∴acosA−bcosB=0，…(∗)acosB+bcosA=3，∴c=3；(2)由(∗)式得，acosA=bcosB，…①由正弦定理得，asinA =bsinB，…②① ②得，sin2A=sin2B，得，A=B，或A+B=π2∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b=√3时，cosA=√32，A=π6．若为直角三角形，当b=√3时，cosA=√33，A=arccos√33．【解析】(1)利用余弦定理和复数实部虚部对应，不难证明；(2)利用第一步的实部为0，结合正弦定理，可得等腰，进而求得A．本题考查了复数代数形式的乘法运算，余弦定理，正弦定理等，难度适中．20.已知函数f(x)=−x2+mx+1，g(x)=2sin(ωx+π6).(1)若函数y=f(x)+2x为偶函数，求实数m的值；(2)若ω>0，g(x)≤g(2π3)，且g(x)在[0,π2]上是单调函数，求实数ω的值；(3)若ω=1，且当x1∈[1,2]时，总有x2∈[0,π]，使得g(x2)=f(x1)，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)∵函数y=f(x)+2x=−x2+(m+2)x+1，为偶函数，可得m+2=0，可得m=−2即实数m的值为−2；(2)由g(x)≤g(2π3)，可知x=2π3时，g(x)取得最大值，即2πω3+π6=π2+2kπ，k∈Z可得：ω=12+3k且g(x)在[0,π2]上是单调函数，∴12T≥12π，即T≥π可得：ω≤2．当k=0时，可得ω=12，故得实数ω的值为12．(3)由ω=1，可得g(x)=2sin(x+π6).∵x∈[0,π]，∴x+π6∈[π6,7π6]，那么g(x)的值域N=[−1,2]．当x1∈[1,2]时，总有x2∈[0,π]，使得g(x2)=f(x1)转化为函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集；即：当x∈[1,2]时，−1≤f(x)≤2函数f(x)=−x2+mx+1，其对称轴x=m2，开口向下，当m2≤1时，即m≤2，可得f(x)min=f(2)=2m−3；f(x)max=f(−1)=−m；可得解：1≤m≤2当1<m2≤2时，即2<m≤4可得f(x)max=f(m2)=m24+1；f(x)min=2m−3或−m；此时无解．当m2>2时，即m>4，可得f(x)min=f(−1)=−m；f(x)max=f(2)=2m−3；此时无解．综上可得实数m的取值范围为[1,2]．【解析】(1)根据偶函数图象关于y轴对称，二次函数的一次项系数为0，可得m的值；(2)根据g(x)≤g(2π3)，可知x=2π3时，g(x)取得最大值，且g(x)在[0,π2]上是单调函数，即12T≥12π，即可求解实数ω的值．(3)求解f(x)的值域M和g(x)的值域N，可得M⊆N，即可求解实数m的取值范围．本题主要考查三角函数的化简，图象即性质的应用，二次函数的最值问题；21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a2=a．(1)若数列{a n}是等差数列，且a8=15，求实数a的值；(2)若数列{a n}满足a n+2−a n=2(n∈N∗)，且S19=19a10，求证：数列{a n}是等差数列；(3)设数列{a n}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{a n}具有如下性质M：对于任意的n≥2(n∈N∗)，都存在m∈N∗使得(S m−a n)(S m−a n+1)<0，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a的集合．【答案】(1)解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=1，a8=15，得1+7d=15，解得d=2，则a2=a1+d=1+2=3，∴a=3；(2)证明：由S19=19a10，得10×1+10×92×2+9a+9×82×2=19×(a+8)，解得a=2，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得当n为奇数时，a n=a1+n−12×2=n；当n为偶数时，a n=a2+n−22×2=n．∴对任意n∈N∗，都有a n=n，当n≥2时，a n−a n−1=1，即数列{a n}是等差数列；(3)解：由题意，a n=a n−1，①当0<a<1时，a3<a2<a1≤S m，∴对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)>0，因此数列{a n}不具有性质M．②当a=1时，a n=1，S n=n，∴对任意m∈N∗，都有(S m−a2)(S m−a3)=(m−1)2≥0，因此数列{a n}不具有性质M．③当1<a<2时，(a−1)2>0⇔a(2−a)<1⇔12−a >a⇔log a12−a>1．n≥log a12−a ⇔a n−1a−1≥a n⇔S n≥a n+1，n<log a12−a ⇔a n−1a−1<a n⇔S n<a n+1．取[log a12−a ]=n0([x]表示不小于x的最小整数)，则S n≥a n0+1，S n0−1<a n．∴对于任意m∈N∗，(S m−a n0)(S m−a n0+1)≥0．即对于任意m∈N∗，S m都不在区间(a n0,a n0+1)内，∴数列{a n}不具有性质M．④当a≥2时，S n−a n+1=a n−1a−1−a n=(2−a)a n−1a−1<0，且S n>a n，即对任意n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，∴当a≥2时，数列{a n}具有性质M．综上，使得数列{a n}具有性质M的正实数a的集合为[2,+∞)．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知结合等差数列的通项公式即可求得a的值；(2)由S19=19a10，得a值，由a n+2−a n=2，且a1=1，a2=2，得数列{a n}的通项公式，即可证明数列{a n}是等差数列；(3)由题意，a n=a n−1，然后对a分类分析，可得当0<a<1，当a=1，当1<a<2时，数列{a n}不具有性质M；当a≥2时，对任意n≥2(n∈N∗)，都有(S m−a n)(S m−a n+1)<0，即当a≥2时，数列{a n}具有性质M，由此可得，使得数列{a n}具有性质M 的正实数a的集合为[2,+∞)．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，考查逻辑思维能力与推理论证能力，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题．。

2019学年长宁区第一学期高三数学质量抽测试卷（理）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号空格内填写结果，每题填写对得4分，否则一律得零分. 1． 不等式1021xx -≥-的解集是__________． 2． 行列式101213131---中3-的代数余子式的值为__________． 3． 从总体中抽取一个样本是5,6,7,8,9，则该样本的方差是__________．4． 等比数列{}n a 的首项与公比分别是复数123i +（i 是虚数单位）的实部与虚部，则数列{}n a 的各项和的值为__________．5． 随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份生日的概率为__________（精确到0.001）． 6． 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得15,30,30BCD BDC CD ∠=︒∠=︒=米，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60︒，则塔高AB =__________．7． 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n 值是8，则从集合{}0,1,2,3中取所有满足条件的0S 的值为__________．8． 圆锥和圆柱的底面半径和高都是R ，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为__________． 9． 设n A 为()11+x n +的展开式中含1n x-项的系数，n B 为()11+x n -的展开式中二项式系数的和()*n N∈，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是__________．10．已知()y f x =是偶函数，()y g x =是奇函数，他们的定义域均为[]3,3-，且它们在[]0,3x ∈上的图像如图所示，则不等式()()0f x g x <的解集是__________． 11．等比数列{}n a 的前项和n S ，已知123,2,3S S S 成等差数列，则{}n a 公比为__________．12．10,0,23x y x y >>+=，则11x y +的最小值是__________．13．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x Z ∈，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f-==，则()()20122012f f +-=__________． 14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2011n a =，则n =__________．1 1234 2 456789 5 7 9 10 11 12 13 14 15 16 10 12 14 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 19 21 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 26 28 30 32 34 36图甲 图乙二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分. 15． 下列命题正确的是 （ ）A ．若x AB ∈⋃，则x A ∈且x B ∈B ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件 C. 若a b a c ⋅=⋅，则b c =D. 命题“若220x x -=，则2x =”的否命题是“若2x ≠，则220x x -≠”16．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-，a b λ+与a 垂直，则λ是 （ ） A ． 1 B. 2 C. -2 D. -1① 三点确定一个平面；② 若一条直线垂直与平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③ 同时垂直与一条直线的两条直线平行； ④ 底面边长为212正确的个数为 （ ） A ． 0 B. 1 C. 2 D. 318．已知()()0,1x f x a a a =>≠，()g x 为()f x 的反函数，若()()220f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是 （ ）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤. 19． （本题满分12分）设1i i+（其中i 是虚数单位）是实系数方程220x mx n -+=的一个根，求m ni +的值.20．（本大题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，一直底面ABCD 的边长为2，点P 是1CC 的中点，直线AP与平面11BCC B 成30︒角.（1）求异面直线1BC 和AP 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）； （2）求点C 到平面1BC D 的距离. P21．（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知α为锐角，且tan 1α=.（1）设(),1,2tan ,sin(2)4m x n παα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，若m n ⊥，求x 的值； （2）在ABC ∆中，若2,,23A C BC πα∠=∠==，求ABC ∆的面积.22． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数． （1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式()()240f x tx f x ++-<恒成立的的取值范围； （3）若()312f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-，在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.23． （本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对数列{}n a 和{}n b ，若对任意正整数n ，恒有n n b a ≤，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”.（1）设数列21n a n =+，请写出一个公比不为1的等比数列{}n b ，使数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”； （2）设数列222310,27n n n a n n b n +=-+=-，求证数列{}n b 是数列{}n a 的“下界数列”；（3）设数列21n a n =，*7,1,77,21n n b n N n n n =⎧⎪=∈⎨-≥⎪-⎩，构造 ()()()()()()2312111,111n n n n T a a a P b b b =---=++++++，求使n n T kP ≤对*2,n n N ≥∈恒成立k 的最小值.。

长宁区2019届高三第一学期期末质量检测数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 4. 已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 15. 已知向量a 和b 夹角为3π，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -⋅+=（ ） A. 10- B. 7- C. 4- D. 1-16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值； （2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.2018-2019学年第一学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6l o g 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分 （2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=， 即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ， 所以 B A 22= 或 π=+B A 22， 即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立． 即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分 其它做法，对应给分。