学必求其心得，业必贵于专精
1 第三章 空间向量与立体几何
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．
第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示,M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。
解 错误!＝错误!＋错误!
＝错误!错误!＋错误!错误!
＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）
＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)
＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!； 学必求其心得，业必贵于专精
2 错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!
＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）
＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）
＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)
＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。
点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．
第2层 化简向量
例2 如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．
(1）错误!＋错误!＋错误!;
（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）； 学必求其心得，业必贵于专精
3 （3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．
解 (1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。
(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!
第3章
空间向量与立体几何
第1课时 空间向量及其线性运算
春节期间,我国南方遭受了寒潮袭击,大风降温天气频发,已知某人某天骑车以a km/h的速度向东行驶,感到风是从正北方向吹来．
问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？
提示：是．
1．空间向量
(1)定义：在空间中,既有大小又有方向的量,叫做空间向量．
(2)表示方法：空间向量用有向线段表示,并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．
2．相等向量
凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.
问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．
提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．
问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？
提示：交换律、结合律、分配律．
1．空间向量的加减运算和数乘运算
OB＝OA＋AB ＝a＋b,BA＝OA－OB ＝a－b,
OC＝λa(λ∈R)．
2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).
空间中有向量a,b,c(均为非零向量)．
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在惟一实数λ,使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
1．共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量．
向量a与b平行,记作a∥b.
规定,零向量与任何向量共线．
2．共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b＝λa.
1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．
2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种,结果仍是一个向量,方向取决于λ的正负,模为原向量模的|λ|倍．
3．两向量共线,两向量所在的直线不一定共线,可能平行．
b
b 空间向量与立体几何
【知识要点】
1．空间向量及其运算：
(1)空间向量的线性运算：
①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．
②空间向量的线性运算的运算律：
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；
分配律：(＋)a＝a＋a；(a＋b)＝a＋b．
(2)空间向量的基本定理：
①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数，使得a∥b．
②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数，，使得c＝a＋b．
③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得p＝1a＋2b＋3c．
(3)空间向量的数量积运算：
①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉；
②空间向量的数量积的性质：
a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥ba·b＝0；
|a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜．
③空间向量的数量积的运算律：
(a)·b＝(a·b)；
交换律：a·b＝b·a；
分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
(4)空间向量运算的坐标表示：
①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．
②空间向量线性运算及数量积的坐标表示：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B版（理）
【本讲教育信息】
一、教学内容：
选修2—1 空间向量及其运算
二、教学目标：
1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。
2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。
3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
三、知识要点分析：
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
baABOAOB
baOBOABA
)(RaOP
运算律：
（1）加法交换律：abba
（2）加法结合律：)()(cbacba
（3）数乘分配律：baba)(
3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数，使a＝λb.
4．共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要条件是
存在有序实数组),(yx，使得byaxp。
5．空间向量基本定理：如果三个向量c,b,a不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使czbyaxp
6．夹角
定义：ba,是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作bOBaOA,，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作ba,
规定：ba,0
特别地，如果0,ba，那么a与b同向；如果ba,，那么a与b反向；如果90b,a，那么a与b垂直，记作ba。
7．数量积
（1）设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||
