异面直线问题
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构造长方体巧解异面直线问题
罗冬传
立体几何的教学目的是培养学生的空间想象能力。高中学生已经有了初步的空间想象能
力，大脑有了一些几何体的表象。但这些表象还是不清晰的、不稳定的、不全面的。面对异
面直线问题他们不知如何构造线线关系、线面关系利用有关定理解题，这时我们可以通过构
造学生熟悉的几何体如长方体来解决问题，在问题解决后把长方体去掉让学生直接解题，以
此来培养学生的空间想象能力。
一、线面综合性选择填空题
有关线线、线面综合性选择填空题主要是考查立几的基本概念，学生易入手，但又易出
错，得分率一直较低。为了提高做题的准确性，我们可以引导学生充分利用学过的几何体如
长方体等来解答问题。
例1. 已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
（1）若α//β，n,m，则m//n。
（2）若m，//n,//m,n，则α//β。
（3）若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β。
（4）m、n是两条异面直线，若m//α，m//β，n//α，则α//β。
上面命题中，真命题的序号是_____________________（写出所有真命题的序号）
解：构造长方体'D'C'B'AABCD如图所示，取ABCD为α，'D'C'B'A为β，AB为
m，'C'B为n，则（1）不成立。
图1
取ABCD为α，CDD’C’为β，AB为m，EF为n，E、F分别是BC、AD的中点，则
（2）不成立。
取ABCD为α，A’B’C’D’为β，AA’为m，BB’为n，由m，n，m//n，则n
⊥β故α//β，（3）成立。
取ABCD为α，A’B’C’D’为β，MN为m，GH为n，其中M、N分别为DD’、BB’的
中点，H、G分别在BB’、CC’上，且GH//BC，N、H不重合，则BC//β，BD//β，故α//
β，（4）成立，从而真命题的序是（3）（4）。
例2. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
A. 若m，Al，mA，则l与m不共面；
（2）若m、l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
（3）若l//α，m//β，α//β，则l//m；
（4）若l，m，Aml点，//l，//m，则α//β。
其中为假命题的是（ ）
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
解：构造长方体''''DCBAABCD如图2所示。
图2
取ABCD为α，AA’为l，BC为m，则l、m是异面直线，故（1）成立
取ABCD为α，A’B’为l，EF为m，E、F分别是BB’，CC’的中点，BB’为n，则n⊥
AB，m⊥BC故n⊥α，（2）成立。取ABCD为α，A’B’C’D’为β，EF为m，FG为l，E、
F、G分别是中点，则EF与FG相交，则（3）不成立。故选（C）。
二、三条直线相互异面的问题
例3. 三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条？
解：构造长方体''''DCBAABCD如图3所示，取直线AB为a，DD’为b，C’E为c，
其中E为BC的中点，则a、b、c两两异面，由于直线DE与AB相交，故DE与三异面直
线同时相交。过AB作平面交DD’、CC’、EC’分别于F、G、H，当G与C’不重合时，直线
FH必与AB相交，即FH与三异面直线同时相交，又过AB作满足条件的平面有无数个，
故与三异面直线同时相交的直线有无数条。
图3
三、异面直线在一平面内的射影问题
例4. 设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β
上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面
有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个
解：构造长方体''''DCBAABCD如图4所示，取BA'为a，''CD为b，而''AABB为
α，ABCD为β，则ADD’A’为，故与''AADD平行的平面都满足题意，故平面有无数
个，选（D）。
图4
四、异面直线所成角与距离问题
例5. 已知AA’是异面直线a、b的公垂线，a、b所成的角为60°，在直线a上取A’P=8cm，
AA’=4cm，求点P到直线b的距离。
解：如图5所示，构造长方体''''DCBAABCD使∠CAB=60°，AA’=4，P是A’C’
上一点，A’P=8，则A’C’可看做直线a，AB为直线b，AA’是a、b的公垂线段，连结AC，
则AC//A’C’，∠CAB即a、b所成的角，作ACPE于E，EF⊥AB于F，则PF⊥AB，故
PF即所求距离。
860sin'22222AEAAEFPEPF
点P到直线b的距离是8cm。
图5
五、与异面直线成等角的直线问题
例6. 异面直线a、b成60°角，过空间中的一点P作直线与a、b都成70°角，则可以作
出多少条这样的直线？
解：构造长方体''''DCBAABCD，使P为''''DCBA的对角线的交点，且aCA//''，
bDB//''
，∠A’PD’=60°。故只须看过P点可作多少条直线与A’C’，B’D’都成70°角。如
图6所示M、M’、N、N’、G、G’、H、H’分别是所在直线的中点，由∠MPD’=∠MPA’=30°
<70°，∠NPA’=∠NPB’=60°<70°，故MG上有点E，使∠EPD’=∠EPA’=70°，同理，
NH、N’H’上也有相应的点F、F’使FP、F’P与直线A’C’、B’D’都成70°角。综上，共有四
条直线与a、b都成70°角。
图6
推广：设异面直线a、b所成的角为α，P为空间中的任一点，过点P作直线l与a、b
都成角，则l可以作多少条？
结论：当2时，l有且只有一条；
当时2，若2，则4时，l有2条；
24
时，l有4条；
若2，则22时，l有4条
2
时，l有3条
22
时，l有2条
2
，l有1条
