2020年北京高考模拟试题(二卷)数学试卷

2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则( )A. B.C. D.3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )A. B.C. D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )A. B.C. 或D. 或9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和,且有,,则第2019项的个位数为( )A. 1B. 2C. 8D. 910. 已知函数 的图象在处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )A.B.C.D.11. 已知函数在上至少存在两个不同的 满足 ,且函数 在上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为B. 函数 图象关于直线对称 C. 函数 图象关于点对称 D. 函数 在上是单调递减函数12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个内角,则（ ）A.B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则__________.14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)由散点图看出,可用线性回归模百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 选修4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求的最大值.22B. 已知函数. (1)求不等式 的解集; (2)设函数,若存在 使 成立,求实数 的取值范围.2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析第1题： 【答案】B【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.第3题： 【答案】A【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.第4题： 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题： 【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第6题： 【答案】C【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.第7题： 【答案】D【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项为,故展开式的常数项为.第8题：【答案】D【解析】当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以，所以.第9题：【答案】C【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,得,所以，故其个位数为8.第10题： 【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第11题： 【答案】D【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不同的满足,所以,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又,所以,所以.由于函数的周期为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.第12题：【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以,故函数在单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,所以,即,所以,即,所以.第13题：【答案】【解析】满足约束条件的可行域如下图:由,得,由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.第14题：【答案】 【解析】,所以,又向量在方向上投影为,当且仅当“”时取等号.第15题：【答案】【解析】取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.第16题：【答案】 【解析】设,,,把代入抛物线方程得,由可得， 所以,,因为,即, 即,所以,即,由于,所以,故.第17题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量. 则,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.第19题：【答案】见解析【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为所以.第20题：【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.第21题：【答案】见解析【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以, 所以,即的最大值为.第22B 题：【答案】见解析上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。

(ⅰ)求证：集合 A, B 互为“完美加法补集”；
（ ⅱ ） 记 An 和 B n 分 别 表 示 集 合 A, B 中 不 大 于 n(n N*) 的 元 素 个 数 ， 写 出 满 足 An B n n1的元素 n 的集合.（只需写出结果，不需要证明）
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
20.（本小题共 14 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 经过 A(1,0) ， B(0,b) 两点. O 为坐标原点，且△
AOB 的面积为
2 . 过点 P(0,1) 且斜率为 k(k 0) 的直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 M，N ,且直线 AM ， AN 分别
酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：
天甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 ┈
干 地子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 支 干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙 支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子
┈ 纪年年年年年年年年年年年年年 年
丰台区高三数学二模考试试题 第 2 页/ 共 13 页
2049 年是新中国成立 100 周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049 年 是己巳年，则 2059 年是_____年；使用干支纪年法可以得到______种不同的干支纪年.
平面 PDM 的法向量为 u (1,1,2) .
………5 分13 页
设直线 PC 与平面 PDM 所成的角为 ，
uuur
uuur
PC u
所以 sin cos PC,u uuur
3 .
PC u 6
所以直线 PC 与平面 PDM 所成角的正弦值为
则称集合 A, B 互为“完美加法补集”.

北京市朝阳区2020届高三二模考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个长方体1111ABCD A B C D -截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．202．双曲线M 的焦点是1F ，2F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是（）A ．31+B ．21+C ．312+D ．212+3．等边ABC ∆的边长为1，,D E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅u u u r u u u r等于（ ）A ．1318 B ．34 C ．13 D ．324．我国古达数学名著《九章算术-商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖觸，阳马居二，鳖属居一.不易之率也。

合两鳖觸三而一，验之以基，其形露矣，”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示 图中网格纸上小正方形的边长为1. 则对该儿何体描述：①四个侧面首饰直角三角形 ②最长的侧棱长为26③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形 ④外接球的表面积为24π 其中正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=.设线段AB的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）.A ．1B ．12C ．23 D ．26．甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．12种7．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( )A ．215B ．15C ．415D ．138．在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ） A ．B ．C ．2D ．9．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤ D ．{}|12x x -<≤10．已知全集=U R ，集合{}{}=1,2,3,4,5=3A B x R x ∈≥，，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}4,5C ．{}1,2,3 D ．{}3,4,511．已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，给出下列命题：①若//,m n αα⊂，则//m n ；②若,//m m n αβ⋂=，且,n n αβ⊄⊄，则//,//n n αβ； ③若,,//n m αβαβ⊥⊂，则m n ⊥； ④ ,,,m n αγβγαβγ⊥⊥⋂=⊂，则m n ⊥. 其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．18 D ．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}1−tiC．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知i为虚数单位，若复数z=1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A．y＝x4+2xC．y＝2x﹣2x﹣B．y＝2|x|D．y=log1|x|−124．（5分）如图，已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√33C．√2D．√55．（5分）已知a＞0且a≠1，b＞0，则log a b＞0是ab＞1的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A ．28B ．56C ．84D ．1207．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V ，则V ＝（）A ．2432B ．243C ．7292D ．7298．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）图象的一个对称中心可能为（）A ．(−，0)52B ．(，0)16C ．(−，0)12D ．(−11，0)69．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x ﹣B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +4cosxC ．f(x)=x +4x10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．2411．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA 的方程为（）B ．y ＝x +2D ．y ＝﹣2x +2A ．y ＝x +2或y ＝﹣x ﹣2C ．y ＝2x +2或y ＝﹣2x +212．（5分）定义在R 内的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），且当x ∈[2，4）时，f （x ）=−x 2+4x ，2≤x ≤3{x 2+2g （x ）＝ax +1，对∀x 1∈[﹣2，0），∃x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f，3＜x ＜4x （x 1），则实数a 的取值范围为（）11A ．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B ．[−4，0）∪（0，]8C ．（0，8]D ．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为．4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．→→→→→→→三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)a18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC7119．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．x2y240 20．已知椭圆C：2+2=1(a＞b＞0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x−2)2+y2=9a b的公共弦长为4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥3√2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．四．解答题（共1小题）x =4+2t22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =2t轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a√22，−2a 的大小．272020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（）A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数z =1+i 在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（）A ．[﹣1，1]【解答】解：复数z =B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（1，+∞）1−ti 1−ti(1−ti)(1−i)1−tt+1==−i ．1+i (1+i)(1−i)221−t＞02z 在复平面内对应的点在第四象限，∴{t+1，解得﹣1＜t ＜1．−＜02则实数t 的取值范围为（﹣1，1）．故选：B ．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A ．y ＝x 4+2xC ．y ＝2x ﹣2x ﹣B ．y ＝2|x |D ．y =log 1|x|−12【解答】解：对于A ，不是偶函数，不合题意；对于B ，x ＜0时，函数递减，不合题意；对于C ，函数是奇函数，在（﹣∞，0）内单调递减，不合题意，对于D ，函数是偶函数，x ＜0时，y ＝﹣log 2（﹣x ）﹣1，是增函数，符合题意，故选：D ．4．（5分）如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A ．√3B ．√33x 2a 2C ．√2−y 2b 2D ．√5【解答】解：由于F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且△F 1AB 为等边三角形，b 2a则由对称可得，∠BF 1A ＝60°，可得：又c ＝a +b ，解得e =√3．故选：A ．2222c =√3，3e 2−12e =√335．（5分）已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的（）A ．充分而不必要条件C ．充要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0，若0＜a ＜1，则log a b ＞log a 1，即0＜b ＜1，即0＜ab ＜1，若a ＞1，则log a b ＞log a 1，即b ＞1，即ab ＞1，若ab ＞1，则a ＞1，b ＞1，或0＜a ＜1，b ＞1，或a ＞1或0＜a ＜1，都能满足ab ＞1，已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的既不充分也不必要条件，故选：D ．6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A．28B．56C．84D．120【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝0，n＝0，S＝0执行循环体，i＝1，n＝1，S＝1不满足条件i≥7，执行循环体，i＝2，n＝3，S＝4不满足条件i≥7，执行循环体，i＝3，n＝6，S＝10不满足条件i≥7，执行循环体，i＝4，n＝10，S＝20不满足条件i≥7，执行循环体，i＝5，n＝15，S＝35不满足条件i≥7，执行循环体，i＝6，n＝21，S＝56不满足条件i≥7，执行循环体，i＝7，n＝28，S＝84满足条件i≥7，退出循环，输出S的值为84．故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V，则V＝（）A．2432B．243C．7292D．729【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，图中正方体的棱长为9，则V PABCD=3×9×9×9=243．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）＝A cos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）1A．(2，0)5B．(6，0)1C．(2，0)1D．(6，0)11【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A ＝2√3，2πω=2（6+2），∴ω=．π83π，∴（f x ）＝2√3sin4π8再根据函数的图象经过点（6，0），结合图象可得•6+φ＝0，∴φ=−（x −4）．8π3π则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）＝2√3cos （−4x +8）＝2√3cos （x −8）4图象的一个对称中心可能（−2，0），故选：C ．9．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x﹣3ππ3ππ1B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +cosx4C ．f(x)=x +x4【解答】解：运用基本不等式对各选项考察如下：对于A 选项：f （x ）＝3x +4×3x ≥2√3x ⋅4×3−x =4，﹣当且仅当x ＝log32时，取得最小值4，故符合题意；对于B 选项：f （x ）＝lgx +log x 10，只有当x ∈（1，+∞）时，lgx ，log x 10才为正数，才能运用基本不等式得，lgx +log x 10≥2，故不合题意；对于C 选项：f （x ）＝x +x ，理由同上，只有x ＞0时，f （x ）min ＝4，故不合题意；对于D 选项：f(x)=cosx +cosx 不合题意，有两点不符，其一，“正数”这一条件缺失，其二：即使“正数”条件具备，也无法取“＝”，故不合题意；故选：A ．10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．24443【解答】解：把需要关的灯插入到亮的6盏灯排成一列中除了两端的空中，故有C 5=10种，故选：A ．11．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA的方程为（）B．y＝x+2D．y＝﹣2x+2|MA||MF|A．y＝x+2或y＝﹣x﹣2C．y＝2x+2或y＝﹣2x+2【解答】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则1cos∠MAF=丨MA丨丨MP丨=1cos∠AMP=，则当|MA||MF|取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，y=k(x+2)设切线方程为y＝k（x+2），则{2，ky2﹣8y+16k＝0，y=8x△＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k±1，则直线方程y＝x+2或y＝﹣x﹣2，故选：A．12．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）=−x2+4x，2≤x≤3{x2+2g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f ，3＜x＜4x（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B．[−4，0）∪（0，]811C．（0，8]D．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811−x 2+4x ，2≤x ≤3【解答】解：当x ∈[2，4）时，f （x ）={x 2+2，，3＜x ＜4x 可得f （x ）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f （x ）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（113，），299∴f （x ）在[2，4）上的值域为[3，），2∵f （x +2）＝2f （x ），∴f （x ）=2f （x +2）=4f （x +4），∴f （x ）在[﹣2，0）上的值域为[，），483911当a ＞0时，g （x ）为增函数，g （x ）＝ax +1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a +1，a +1]，3≥−2a +114∴{9，解得a ≥8；≤a +18当a ＜0时，g （x ）为减函数，g （x ）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a +1，2a +1]，3≥a +114∴{，解得a ≤−；94≤−2a +18当a ＝0时，g （x ）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是a ≥8或a ≤−4．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为3√5．5→→→→→→→→→11【解答】解：2a +b =（4，2λ+1），∵2a +b 与c =(8，6)共线，∴2λ+1＝3，即λ＝1．→→→∴a ⋅b =2+λ＝3，∴a 在b 方向上的投影为|a |•cos ＜a ，b ＞=3√5．5→→→→→→→→→a⋅b |b |→=33√5=5．√5故答案为：4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为10，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大．5由{4x −y −5=052x −2y +5=0，解得{x =y =25，即A （2，5），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×52+5＝5+5＝10．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为10．设4x 2+y 2＝m ，则m ＞0，即y 2m+x 2m =1，表示焦点在y 轴的椭圆，4要使m 最小，则只需要椭圆和直线BC ：2x +y ﹣4＝0，相切即可，由2x +y ﹣4＝0得y ＝﹣2x +4代入4x 2+y 2＝m ，得4x 2+（﹣2x +4）2＝m ，即8x 2﹣16x +16﹣m ＝0，则判别式△＝162﹣4×8（16﹣m ）＝0，得8＝16﹣m ，则m ＝8，即目标函数4x 2+y 2的最小值为8，故答案为：10，8．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为4√5．【解答】解：∵在△ABC 中b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，∴由正弦定理可得sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C tan B ，∴sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C •sinB cosB，∴cos B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C ，∴cos B （∴cos B •∴cos B •sinA cosA+sinB cosB）＝﹣2sin C ，=−2sin C ，sinAcosB+cosAsinBcosAcosB sin(A+B)1sinC cosA2πcosAcosB==−2sin C ，解得cos A =−2，A =3；∵a ＝8，由余弦定理可得：64＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ，①∵△ABC 的面积为4√3=bc sin A =∴联立①②可得：b +c ＝4√5．故答案为：4√5．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是[2π，4π]．【解答】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，121√3×bc ，可得：bc ＝16，②22则O1D=3sin600×2=3，AO1=√AD2−DO12=3，3√在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE=√O1E2+OO12=√2过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)23n11【解答】（1）解：（1+x）+（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展开式中x的系数为C1+C2+ 1211211C3+⋯+Cn=C2+C2+C3+⋯+Cn=Cn+1=2n2+2n，a11即Sn=2n2+2n，所以当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n．当n＝1时，a1＝1也适合上式．11所以数列{an}的通项公式为a n＝n．211（2）证明：bn=n=−，nn+1n+1(2−1)(2−1)2−12−1n所以Tn=1−+−+⋯+所以Tn＜1．131317111−n+1=1−n+1，2−12−12−1n18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC71【解答】（1）证明：因为△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，所以CM⊥P A，又平面P AB⊥平面P AC，且平面P AB∩平面P AC＝P A，所以CM⊥平面P AB，所以CM⊥AB，又AB⊥AC，且AC∩CM＝C，所以AB⊥平面P AC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面P AC．（2）作AC中点O，连OP，由（1）及OP⊥AC可知OP⊥平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2则√3O(0，0，0)，P(0，0，√3)，A(1，0，0)，C(−1，0，0))，B(1，2√3，0)，→→→，M(2，0，12设AQ ⊥λAB ，则Q(1，2√3λ，0)，PQ =(1，2√3λ，−√3)，设平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1），因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为|n 1⋅PQ|→→→→→√217所以|n 1||PQ|=√21√21√31，即=，解得λ=277√12λ24即Q 为AB 的中点，则Q(1，√3，0)，→设平面QMC 的法向量为n 2→(x ，y ，z)⋅(2，√3，0)=0n 2⋅CQ =0=（x ，y ，z ），则{→→，即{，√33(x ，y ，z)⋅(2，0，2)=0n 2⋅CM =0→2x√3y =0{，3x √3z =0取n 2=(√3，−2，−3)，设平面AMC 的法向量为n 3，则n 3=（0，1，0）则二面角Q ﹣MC ﹣A 的余弦值为cos θ=−故sin θ=2．19．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个√3→→→→→|n 2||n 3|n 2⋅n 3→→=，12红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．【解答】解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P(A)=C 3C 1033=120，1所以两位顾客均享受到免单的概率为P =P(A)⋅P(A)=1；14400（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000；C C 17计算P(X =0)=3=120，P(X =600)=337=40，C 10C 10C 3321P(X =700)=C 3C 7C 10312C 7217=，P(X =1000)=3=，4024C 103故X 的分布列为：X P1011206007721700214071000740124所以E(X)=0×120+600×40+700×40+1000×24=7646（元）；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则Z ＝1000﹣200Y ，由已知可得Y ～B(3，339)，故E(Y)=3×=，101010所以E （Z ）＝E （1000﹣200Y ）＝1000﹣200E （Y ）＝820（元），因为E （X ）＜E （Z ），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．20．已知椭圆C ：的公共弦长为x 2y 240+2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x −2)2+y 2=92a b 4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a ＝6，所以a ＝3，4√1040由椭圆C 与圆M ：(x −2)+y =9的公共弦长为，恰为圆M 的直径，322可得椭圆C 经过点（2，±解得b ＝2√2，所以椭圆C 的方程为x 292√10440），所以+2=1，399b +y 28=1；（Ⅱ）直线l 的解析式设为y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点为E （x 0，y 0）．假设存在点D （m ，0），使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB ．联立y ＝kx +2和8x 2+9y 2＝72，得（8+9k 2）x 2+36kx ﹣36＝0，故x 1+x 2=−所以x 0=−36k 8+9k 18k8+9k2，2，y 0＝kx 0+2=168+9k 2，因为DE ⊥AB ，所以k DE =−k ，即16−18k−m(8+9k 2)−2k8+9k21=−，k1所以m ==8−2，9k+8k8当k ＞0时，9k +k ≥2√9k ⋅k =12√2，所以−12≤m ＜0．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D 的横坐标的取值范围为−12≤m ＜0．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横√2√23√2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．2(x 2−mx+1)【解答】解：（1）由于（f x ）＝2lnx ﹣2mx +x 的定义域为（0，+∞），f ′(x)=．x22对于方程x 2﹣mx +1＝0，其判别式△＝m 2﹣4．当m 2﹣4≤0，即0＜m ≤2时，f '（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）内单调递增．m±√m 2−4当m ﹣4＞0，即m ＞2，方程x ﹣mx +1＝0恰有两个不相等是实根x =，222m−√m 2−4m+√m 2−4令f '（x ）＞0，得0＜x ＜或x ＞，此时f （x ）单调递增；22令f '（x ）＜0，得m−√m 2−42＜x ＜m+√m 2−42，此时f （x ）单调递减．综上所述，当0＜m ≤2时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增；m−√m 2−4m+√m 2−4当m ＞2时，f （x ）在(，)内单调递减，22m−√m 2−4m+√m 2−4在(0，)，(，+∞)内单调递增．22（2）证明：由（1）知，f ′(x)=2(x 2−mx+1)，x所以f '（x ）的两根x 1，x 2即为方程x 2﹣mx +1＝0的两根．因为m ≥3√2，所以△＝m 2﹣4＞0，x 1+x 2＝m ，x 1x 2＝1．2又因为x 1，x 2为h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点，22所以lnx 1−cx 1−bx 1=0，lnx 2−c 2−bx 2=0，两式相减得ln x 1−c(x 1−x 2)(x 1+x 2x 2)−b(x 1−x 2)=0，得b =ln x 1x 1−x 22x =c(x 1+x 2)．而′(x)=11−2cx −b ，x 所以（x 1﹣x 2）h '（x 0）=(x 1−x 2)(x −2cx 0−b)=(x 1−x 2)[ln x 1．22(x 1−x 2)x 22−c(x 1+x 2)−+c(x 1+x 2)]=−ln 1=2⋅x 1+x 2x 1−x 2x 1+x 2x 2ln x 1x x 1x 2−1−x 1+1x 2x 令x 1x 222=t(0＜t ＜1)，由(x 1+x 2)2=m 2得x 1+x 2+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2＝1，两边同时除以x 1x 2，得t +t +2=m 2，1因为m ≥3√21511，故t +≥，解得0＜t ≤或t ≥2，所以0＜t ≤．2t 2222t−1−(t−1)设G(t)=2⋅t+1−lnt ，所以G ′(t)=2＜0，t(t+1)则y ＝G （t ）在(0，2]上是减函数，所以G(t)min =G()=−+ln2，即y ＝（x 1﹣x 2）h '（x 0）的最小值为−3+ln2．所以(x 1−x 2)ℎ′(x 0)≥−+ln2．四．解答题（共1小题）x =4+2t 22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =t 2√211223223轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．【解答】解：（1）由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2+y 2﹣4x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．将直线l 的参数方程代入圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4，并整理得t 2+2√2t =0，解得t 1＝0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2．（2）直线l 的普通方程为x ﹣y ﹣4＝0．x =2+2cosθ圆C 的参数方程为{（θ为参数），y =2sinθ可设曲线C 上的动点P （2+2cos θ，2sin θ），则点P 到直线l 的距离d =π4|2+2cosθ−2sinθ−4|π=|2cos(θ+4)−√2|，√2当cos(θ+)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2．所以S △ABP ≤2×2√2×(2+√2)=2+2√2，即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．1（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a ，−2a 的大小．27−3x ，x ＜−11【解答】解：（1）f(x)=2−x ，−1≤x ≤2，3x ，x ＞1{2根据函数f （x ）的单调性可知，当x =2时，f(x)min =f(2)=2．所以函数f （x ）的值域M =[，+∞)．（2）因为a ∈M ，所以a ≥，所以0＜因为|a ﹣1|+|a +1|＝a ﹣1+a +1＝2a ≥3，所以|a −1|+|a +1|＞因为33，2a 2a 323≤1．2a 321132a −(−2a)=23274a 2−7a+3=(a−1)(4a−3)2a ，又由a ≥，知a ﹣1＞0，4a ﹣3＞0，所以所以(a−1)(4a−3)2a 372＞0，2a ＞−2a ，37所以|a ﹣1|+|a +1|＞2a ＞2−2a ．。