2012华约自主招生考试数学试题

华约2012年自主招生各科试题语文1•阅读理解题：“华约”语文卷中唯一让考生感到生僻的内容是俄罗斯作家的小说《马车夫彼得》，这道阅读理解题除了选择题之外，还包括了一道开放式论述题，要求考生将这篇小说与鲁迅的《一件小事》进行比较。

2.古诗词阅读《蝶恋花》（晏殊）槛菊愁烟兰泣露，罗幕轻寒，燕子双飞去。

明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。

昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。

欲寄彩笺兼尺素，山长水远知何处？问：这是王国维在《人间词话》中关于人生三重境界的描述之一，另外两重是什么?"3.作文写作：材料内容如下：富兰克林和他的同事有一次看到一名女士摔倒了，他的同事想去扶那名女士，富兰克林阻止了，而且拉着他的同事躲到了柱子后头。

同事觉得很奇怪，这时，女士站起来走了。

同事问富兰克林，为什么要这么做？富兰克林说，每个人在摔倒的时候都是很尴尬的时候，这名女士也肯定不太愿意让别人看见，所以阻止他就是为了不要让这名女士感到尴尬。

这是对人的一种尊重。

要求考生根据以上材料，任选角度，结合现实，写一篇不少于800字的议论文。

数学1.有N个学生在一个班级，他们要参加乒乓球双打比赛，班里先举行了热身赛。

这N个学生，两两互为搭档，恰好都参加了一次热身赛。

请你写出N的所有可能的值并写出其中一个比赛安排方案。

2.解答题涉及到概率、圆锥、三角函数、导数等内容。

英语1.英语作文形式是给出一段中文资料，先翻译成英文，然后写出150字的看法，材料内容与“人的潜能”有关。

2.翻译题：每个人都有很多潜能，但是总得不到发挥。

迫于环境的逼迫、自身的懒惰等，每个人往往过早地给自己定了模式，让我们把偶然出现的夹缝当做我们的人生之路，从而让潜能只有很小一部分得到释放，极大部分被抛弃了。

a.请将这段中文翻译成英文。

b.请结合这段文字，谈一谈你的见解。

文综1.讲美国妇女民权运动的，给出了相关资料，其中最后一问就是要谈谈美国民权运动的实质和现状。

3.材料一：在一个小村庄里，政府要征用土地，打算给村民一笔比较可观的补偿金。

华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。

2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。

4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。

6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。

7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。

二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。

2012年清华等五校自主招生试题数 学一、选择题1.若P 为ABC ∆内部任一点(不包括边界),且()(2)0PB PA PB PA PC -+-= ,则ABC ∆必为( )A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形2.圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形,O 为底面中心,M 为SO 的中点,动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若MA MP ⊥,则P 点形成的轨迹的长度为( )C.3D.323.若以体积为54的正四面体的四个面的中心为顶点做一个四面体,则所作四面体的体积为( )A.1B.2C.3D.44.某种型号的计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n 时按下这个按键,会等可能的将其替换为0,1,2,,1n - 中的任意一个数.如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9,99,999都出现的概率是( ) A.4110 B.5110 C.6110 D.7110 5.已知,R αβ∈,直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x y αβαβ+=++的交点在直线y x =-上,则cos sin c in s s o ααββ+++=( )A.0B.1C.1-D.26.设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++,则1()()f x f x +=( ) A.1B.2C.3D.4 7.已知1cos 45θ=,则44sin cos θθ+=( ) A.45 B.35C.1D.45-8.若正四棱柱ABCD AB C D ''''-内接于一球,且1,'AB AA =,则点,A C 间的球面距离为( ) A.π4 B.π29.若将满足,||3,||3x y x y <<<,且使得关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y -+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为M ,则由点集M 所确定的区域的面积为( ) A.814 B.834 C.815 D.835 10.已知椭圆22143x y +=的左,右焦点分别为12,F F ,过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点,P Q ,则1F PQ ∆的内切圆面积的最大值是( ) A.2516π B.925π C.1625π D.916π 二、解答题11.设2()(,)f x x bx c b c =++∈R .若||2x ≥时,()0f x ≥,且()f x 在区间(2,3]上的最大值为1,求22b c +的最大值和最小值.12.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>),其离心率为45,两准线之间的距离为252. (1)求,a b 之值；(2)设点A 坐标为(6,0),B 为椭圆C 上的动点,以A 为直角顶点,作等腰直角ABP ∆(字母,,A B P 按顺时针方向排列),求P 点的轨迹方程.13.已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k x k x k -++⋅=的两个根.(1)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .(2)记1|sin |()(3)2sin n f n n =+,(2)(3)(4)()123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a -----=++++ ,求证:15624n T ≤≤. 14.已知椭圆22221x y a b+=过定点(1,0)A ,且焦点在x 轴上,椭圆与曲线y x =的交点为,B C .现有以A 为焦点,过,B C 且开口向左的抛物线,其顶点坐标为(,0)M m ,当椭圆离心率满足2213e <<时,求实数m 的取值范围. 15.已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为13,某植物研究所进行该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值(1)求随机变量ξ的数学期望E ξ；(2)记“关于x 的不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ,求事件A 发生的概率()P A .。

2012年北约自主招生数学试题
1、求x 的取值范围，使得12)(-+++=x x x x f 是增函数；
2、求1210272611=+-+++-+x x x x 的实数根的个数
3、已知0)2)(2(2
2
=+-+-n x x m x x 的4个根组成首项为
4
1
的等差数列，求n m -
4、如果锐角ABC ∆的外接圆的圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。

5、已知点)0,2(),0,2(B A -，若点C 是圆0222=+-y x x 上的动点，求ABC ∆面积的最小值。

6、在2012,,2,1 中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？
7、若a x x x x =-3sin sin 2sin 4sin 在),0[π有唯一解，求a 的值。

8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形。

9、求证：对于任意的正整数n ，n )21(+必可表示成1-+s s 的形式，其中+∈N s
2012年自主招生北约联考数学试题解答。