第12讲 直线和圆的方程【考点梳理】一、直线与方程 1.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在. (2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k ＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线 截距式纵、横截距x a ＋y b＝1不过原点且与两坐标轴均1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行. (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解. 3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|特别地，原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d (3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d 三、圆的方程 1.圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)|MC |＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)|MC |＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)|MC |＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：【解题方法和技巧】1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k ＝tan α的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在． 2.已知两直线的一般方程两直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0中系数A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2与垂直、平行的关系：A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔l 1⊥l 2；A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0⇔l 1∥l 2. 3.判断直线与圆的位置关系常见的方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则()2＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝|x 1－x 2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法． (2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．【考点剖析】【考点1】直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）“21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案. 【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行， 所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件. 故选：B【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． (3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况.2．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>； ④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞. 正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由M 与N 的位置关系有3450a b -+<，数形结合法判断M 位置，结合11b a +-的几何意义判断a b +、11b a +-的范围，应用点线距离公式有222a b +>判断③. 【详解】将(0,1)N -代入有304(1)590⨯-⨯-+=>，而M 与N 在3450x y -+=的两侧，则3450a b -+<，①错误；由上知：3450a b -+<且0a >，则M 在直线上方与y 轴右侧部分，所以54a b +>，故a b +无最值，②错误； 由上图知：M 在直线左上方，则22222(134a b +>=+，③正确； 由3450x y -+=过5(0,)4且0a >且1a ≠，即M 在直线上方与y 轴右侧部分，而11b a +-表示(1,1)-与M 连线的斜率，由图知：193(,)(,)144b a +∈-∞-⋃+∞-，④正确. 故选：B 二、填空题3．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直，则=a ______． 【答案】32-【分析】根据两直线垂直得230a +=，即可求出答案.【详解】由直线2380ax y -+=与直线10x y --=垂直得，32302a a +=⇒=-.故答案为：32-.4．（2022·上海·高三专题练习）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________ 【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=， 所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12， 所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=， 故答案为：220x y --=.5．（2022·上海·高三专题练习）求直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为________. 【答案】6π【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线2x =-的斜率不存在，倾斜角为2π， 直线310x y -+=的斜率为3，倾斜角为3π， 故直线2x =-与直线310x y -+=的夹角为236πππ-=，故答案为：6π．6．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线22145x y Γ-=：的左右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与Γ的左、右支分别交于点P 、Q （P 、Q 均在x 轴上方）．若直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，且四边形21PQF F 的面积为206，则k =___________． 【答案】2±【解析】斜率相等，两条线平行，然后用余弦定理求出1PF 和2QF ，根据四边形 21PQF F 的面积为206建立等式解出tan θ即可.【详解】按题意作出图如下：由双曲线方程可得：2a =，3c =，因为直线1PF 、2QF 的斜率均为k ，所以直线1PF ∥2QF ，在三角形12QF F 中，设2QF x =，则124QF a x x =+=+， 设2QF 的倾斜角为θ，则由余弦定理得()()22364cos 26x x x πθ+-+-=⨯，解得2523cos QF x θ==-，同理可得：1523cos PF θ=+，所以四边形21PQF F 的面积()121221155sin 6sin 2223cos 23cos S PF QF F F θθθθ⎛⎫=+⨯⨯=+⨯⨯=⎪+-⎝⎭解得sin θ=sin θ=tan k θ==故答案为：【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行； 两直线垂直转化为：斜率之积为1-或者向量数量积为0； 三、解答题7．（2022·上海·高三专题练习）已知函数()22x xf x -=-.（1）设()()()112212,,,A x y B x y x x ≠是()y f x =图象上的两点，直线AB 斜率k 存在，求证：0k >；（2）求函数()()()22224x xg x mf x m R -=+-∈在区间0,1上的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）当38m ≥时，max ()2g x =；当38m <时，max 17()64g x m =-. 【分析】（1）由解析式判断()f x 的单调性，进而判断k 的符号，即可证结论.（2）由题设整理()g x ，令322[0,]2x xt --∈=有2()()42g x h t t mt ==-+，根据二次函数的性质可求区间最大值.【详解】（1）∵2x y =单调递增，2x y -=单调递减，∴()22x xf x -=-在定义域上是单调增函数，而2121y y k x x -=-， ∴0k >恒成立，结论得证.（2）由题意，有()222224(22)(22)4(22)2x x x x x x x xg x m m ----=+-⋅-=--⋅-+且[]0,1x ∈，令322[0,]2x xt --∈=，则2()42h t t mt =-+，开口向上且对称轴为2t m =，∴当324m ≤，即38m ≤时，max 317()()624h t h m ==-，即max 17()64g x m =-；当324m >，即38m >时，max ()(0)2h t h ==，即max ()2g x =；【考点2】直线的方程 一、单选题1．（2022·上海·高三专题练习）若点1(,)M a b 和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c ，则A ．点P 和Q 都不在直线l 上B ．点P 和Q 都在直线l 上C ．点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D ．点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上【答案】B【详解】由题意得：1111a bb c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，易得点1,Q b c ⎛⎫⎪⎝⎭满足11b c += 由方程组得1111b a b c b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，两式相加得11c a +=，即点1,P c a ⎛⎫⎪⎝⎭ 在直线:1l x y +=上，故选B.2．（2022·上海·高三专题练习）如下图，直线l 的方程是（ ）A 330x y -=B 3230x y -C 3310x y --=D ．310x -=【答案】D【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解. 【详解】由图可得直线的倾斜角为30°， 所以斜率3tan 30k =︒=所以直线l 与x 轴的交点为()1,0， 所以直线的点斜式方程可得l ：)301y x -=-，即310x -=． 故选：D3．（2022·上海市七宝中学高三期中）在平面直角坐标系中，函数+=+1()1x f x x 的图象上有三个不同的点位于直线上，且这三点的横坐标之和为0，则这条直线必过定点（ ） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()10-， C ．()1，1-- D ．()1,1【答案】A【分析】画出函数图像，由图可知，直线0k ≠，当0x ≥时，由1kx b =+，解得其中一根， 当0x <时，联立直线和函数方程，由韦达定理及三根之和为0，即可求解.【详解】解：当0x ≥，1()1,1x f x x +==+ 当()1220,()1,11x x f x x x --++<==---+-所以1,0()21,01x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，画出图像：设直线方程为：y kx b =+，当0k =时，直线l 与函数()f x 的图像的交点个数不可能是3个,故0k ≠，依题意可知，关于x 的方程()f x kx b =+有三个不等实根， 当0x ≥时，由1kx b =+，可解得1b x k -=，不妨令31bx k-=， 当0x <时，由211kx b x --=+-可得， 2(1)10(*)kx b k x b ++-+-=，则关于x 的方程（*）有两个不等负实根12,x x ， 则由韦达定理可得，121211,k b bx x x x k k---+==， 依题意可知123110k b b x x x k k---++=+=， 则2k b =，直线方程为：()21y kx b b x =+=+，故直线恒过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A.4．（2022·上海·高三专题练习）设{}n a 是公比为()1q q ≠，首项为a 的等比数列，n S 是其前n 项和，则点()1,n n S S +（ ）A ．一定在直线y qx a =-上B ．一定在直线y ax q =+上C ．一定在直线y ax q =-上D ．一定在直线y qx a =+上【答案】D【分析】由于()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，即可得出.【详解】∵()()111111n n n n a q a q S qS qa qq++---=-=--，∴1n n S qS a +=+，∴点()1,n n S S +一定在直线y qx a =+上. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 二、填空题5．（2022·上海奉贤·二模）构造一个二元二次方程组()(),0,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，使得它的解恰好为1112x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩，要求(),0f x y =与(),0g x y =的每个方程均要出现x ，y 两个未知数．答：________. 【答案】()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩【分析】不妨令(),0f x y =为过()1,2、()3,4-两点的直线，(),0g x y =为以()1,2、()3,4-两点为直径的圆，即可满足题意.【详解】过()1,2、()3,4-两点的直线为214231y x --=---，整理得350x y +-= ()1,2、()3,4-()1,2、()3,4-两点的中点坐标为()2,1-则以()1,2、()3,4-两点为直径的圆为()222(1)10x y -++=则可令(),0f x y =为350x y +-=，(),0g x y =为()222(1)10x y -++=故答案为：()()2235021100x y x y +-=⎧⎪⎨-++-=⎪⎩6．（2022·上海·高三专题练习）在△ABC 中，3AC =，4AB =，5BC =，P 为角平分线AT 上一点，且在△ABC 内部，则P到三边距离倒数之和的最小值为________ 【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，求出BC 所在直线的方程为134x y+=和角A平分线AT 的方程为y x =，求出交点的坐标，令(,)P m m ，依题意知1207m <<，根据点到直线的距离表示出P 到三边的距离的倒数和，构造函数25()127f m m m =+-，1207m <<，利用导数求出函数的最小值．【详解】由3AC =，4AB =，5BC =可知△ABC 为直角三角形，以A 为原点，以直角边AC 为x 轴，直角边AB 为y 轴建立平面直角坐标系，易知(0,4)B ，(3,0)C ，角A 平分线AT 的方程为y x =，由截距式知BC 所在直线的方程为134x y+=，即43120x y +-=，43120y x x y =⎧⎨+-=⎩ 解得1212(,)77T ，令(,)P m m 依题可知1207m <<， 由点到直线的距离公式知P 到BC 的距离为1275m-， 则P 到三边距离倒数之和为11525127127m m m m m ++=+-- 令25()127f m m m =+-，1207m <<，则'22235()(127)f m m m =-+-，令'()0f m =，即有56470m -=（该极值点在区间1207m <<上），当 564700m -<<'()0f m <，则()f m 递减； 56470127m -<<时，'()0f m >，则()f m 递增， min 5647019270()(f m f -+∴==19270+【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、导数和函数的最值关系，培养了学生的计算能力、转化能力，属于中档题．7．（2022·上海·高三专题练习）已知直线l 过点(2,1)P -，直线l 的一个方向向量是()3,2d =-，则直线l 的点方向式方程是___________. 【答案】2132x y +-=- 【分析】利用直线的点方向式方程可得出结果.【详解】因为直线l 过点(2,1)P -，它的一个方向向量为()3,2d =-，所以，直线l 的点方向式方程为2132x y +-=-. 故答案为：2132x y +-=-. 8．（2022·上海·复旦附中模拟预测）经过点1,0A 且法向量为()2,1n =的直线l 的一般式方程是______． 【答案】220x y +-=【分析】由法向量的定义求出直线方程法向式再化为一般式．【详解】设(,)P x y 是直线上任一点，则由0AP n ⋅=得直线方程为2(1)0x y -+=，即220x y +-=． 故答案为：220x y +-=．【考点3】两直线的位置关系一、单选题1．（2021·上海市七宝中学模拟预测）“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】利用两直线垂直可求得m 的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直，则220m m --=， 即220m m +-=，解得2m =-或1，因为{}2- {}2,1-，所以，“2m =-”是“直线()230m x my -++=与直线30x my --=垂直”的充分非必要条件. 故选：A. 二、填空题2．（2022·上海徐汇·二模）已知m ∈R ，若直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，则m =______________．【答案】3【分析】根据两条直线平行的充要条件列方程组求解即可得答案.【详解】解：因为直线1l ：10mx y ++=与直线2l ：9230x my m +++=平行，所以()29101231m m m ⎧-⨯=⎪⎨⨯+≠⨯⎪⎩，解得3m =，故答案为：3.3．（2022·上海市行知中学高二期中）若直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直，则=a ______. 【答案】2-【分析】根据两个直线垂直的公式代入计算即可.【详解】因为直线1:210l ax y -+=与2:(1)10l x a y +++=互相垂直， 所以()()1210a a ⨯+-⨯+=，解得2a =-， 故答案为：2-.4．（2022·上海宝山·二模）已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++，则m S 的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d 和m 的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.【详解】由题意知，0d ≠，因为两直线平行，所以121d =≠-2d =-，由两平行直线间距离公式得10m ==，由78a a ⋅=77(2)35a a ⋅-=，解得75a =-或77a =. 又410720a a a +=<，所以75a =-，即7165a a d =+=-， 解得17a =，所以1(1)29n a a n d n =+-=-+. 所以1012310S a a a a =++++|7||5||3||1||1||3||5||7||9|=++++-+-+-+-+-|11|52+-=．故答案为：52.5．（2022·上海·同济大学第一附属中学高二阶段练习）若直线1:210l ax y a ++-=与直线2:230l x ay a ++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为______．【分析】利用直线平行可求得2a =-，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得22(1)2(3)a a a a a ⋅=⨯⎧⎨-≠-⎩，解得2a =-，所以两直线的方程为：12:2230,:2250l x y l x y -+=-+=，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离2d =，【考点4】直线与圆的位置关系一、单选题1．（2022·上海·模拟预测）设集合(){}222Ω(,)()4,x y x k y kk k =-+-=∈Z ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧；②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上：（ ） A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系一一判断即可； 【详解】解：若①成立，则相邻两圆外离，不妨设相邻两圆方程为()222(4)k x k y k -+-=，圆心为()2,k k，半径1r =()()()2224111x k y k k -++=-+-，圆心为()()21,1k k ++，半径2r =2>当4k =时(222282360⎡⎤-=-->⎣⎦，2>成立，所以结论①成立；对于②，设直线l 的方程为y mx t =+，则圆心()2,k k到直线l 的距离d =，当k →∞时d r >，所以直线l 只能与有限个圆相交，所以结论②不成立； 故选：B2．（2022·上海·高三专题练习）直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离22d =.所以弦长为2.所以1212222OAB S ∆=⨯⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 考点：1.直线与圆的位置关系.2.充要条件. 二、填空题3．（2022·上海·模拟预测）设直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，对于下列四个命题： ①M 中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P 不在M 中的任一条直线上；③对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形，使其所有边均在M 中的直线上；④M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 【答案】②③【分析】令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ，即可得到直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④；【详解】解：由直线系:(1)cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ-+-=≤≤，可令1cos 2sin x y θθ-=⎧⎨-=⎩，消去θ可得()()22121x y -+-=，故直线系M 表示圆()()22121x y -+-=的切线的集合，故①不正确； 因为对任意θ，存在定点()1,2不在直线系M 中的任意一条上，故②正确；由于圆()()22121x y -+-=的外切正n 边形，所有的边都在直线系M 中，故③正确；M 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形ABC 和ADE 面积不相等，故④不正确．综上，正确的命题是②③．故答案为：②③．4．（2022·上海·高三开学考试）已知点P 是直线3420x y +-=上的点，点Q 是圆22(1)(1)1x y +++=上的点，则PQ 的最小值是___________. 【答案】45【分析】由题意可得PQ 的最小值为圆心到直线的距离减去半径即可 【详解】圆22(1)(1)1x y +++=的圆心为(1,1)--，半径为1，则圆心到直线3420x y +-=的距离为95d =， 所以PQ 的最小值为94155-=，故答案为：455．（2022·上海·高三专题练习）若直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则1221x y x y +的值为________.【答案】16【分析】直接利用圆与直线的位置关系,建立一元二次方程根与系数的关系,进一步求出结果. 【详解】解：直线:5l x y +=与曲线22:16C x y +=交于两点11(,)A x y 、22(,)B x y , 则：22516x y x y +=⎧⎨+=⎩所以：221090x x -+=, 则125x x +=,1292x x , 则()()1112221255x x x y x y x x =-+-+121252x x x x 25916故答案为：16【点睛】本题考查的知识要点：直线与曲线的位置关系的应用,一元二次方程根与系数的关系的应用. 6．（2022·上海·高三专题练习）过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【分析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y ,解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=.故答案为:20x y -=.【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.7．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，过点(3,)P a -作圆2220x y x +-=的两条切线，切点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ．若21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-=，则实数a 的值等于____________． 【答案】4．【分析】取MN 中点Q ，设()1,0,(0,1)A B ，则利用斜率公式转化条件得1MN BQ k k ⋅=-，再结合圆的切线性质得1MN PA k k ⋅=-，即得BQ PA k k =，最后根据三点共线求结果．【详解】由2220x y x +-=得()2211x y -+=，圆心为1,0A ，设()0,1B ，取MN 中点Q ，由题意得1MN PA k k ⋅=-， 因为21212121()()()(2)0x x x x y y y y -++-+-= 所以21212121()(2)1()()y y y y x x x x -+-=--+，则1MN BQ k k ⋅=- 因此BQ PA k k =，从而,,P A B 三点关系，即13110a -=---得4a = . 故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用斜率关系转化为三点共线问题求解．8．（2022·上海·y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【分析】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==9．（2021·上海·高三专题练习）过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为,A B ，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为______．【答案】 【分析】设P （t ，2﹣t ），可得过O 、A 、P 、B 的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB 的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q 的坐标，由点Q 到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点P 为直线:2l x y +=上的任意一点，∴可设(),2P t t -，则过O A P B 、、、的圆的方程为()2222212224t t x y t t -⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=+- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 化简可得()2220x tx y t y -+--=，与已知圆的方程相减可得AB 的方程为()21tx t y +-=， 由直线OP 的方程为()20t x ty --=， 联立两直线方程可解得2244tx t t =-+，22244t y t t -=-+，故线段AB 的中点222,244244t t Q t t t t -⎛⎫⎪-+-+⎝⎭，∴点Q 到直线l的距离2122d t t ==--+，∵()2222111t t t -+=-+≥，∴210122t t <≤-+，∴211022t t -≤-<-+，∴2112222t t ≤-<-+，2122t t -<-+d ∈⎣故答案为2⎢⎣ 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．10．（2022·上海交大附中高三期中）圆C 的圆心C 在抛物线22y x =上，且圆C 与y 轴相切于点A ，与x 轴相交于P 、Q 两点，若9OC OA ⋅=（O 为坐标原点），则PQ =______． 【答案】35【分析】不妨设点C 在第一象限，设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ，根据9OC OA ⋅=求出0y ，从而可求得圆C 的方程，求出,P Q 的坐标即可得解. 【详解】解：不妨设点C 在第一象限， 设()2000,02y C y y ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()00,A y ， 故()2200009,0,2y y OC y y OA ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭⋅=，解得03y =， 故圆心9,32C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以圆C 的半径等于92，所以圆C 的方程为()22981324x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，当0y =时，3592x +=或3592-+， 所以3593593522PQ -++=-=. 故答案为：35.11．（2022·上海·高三专题练习）已知圆221:1x y ω+=，圆222:4x y ω+=，P 为1ω上的动点，M ､N 为2ω上的动点，满足23MN =PM PN ⋅的取值范围是___________.【答案】[3,1]-【分析】先由勾股定理得出MN 的中点Q 的轨迹，再结合向量的运算得出23PM PN QP ⋅=-，最后由2[0,4]QP ∈得出PM PN ⋅的取值范围.【详解】设MN 的中点Q ，22||2(3)1OQ =-=，即MN 的中点Q 的轨迹是221x y +=，所以222()()3PM PN QM QP QN QP QP QM QP ⋅=-⋅-=-=-，又 220,2QP ⎡⎤∈⎣⎦，所以[3,1]PM PN ⋅∈-故答案为：[3,1]-12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知曲线29C y x =--：，直线2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是_________． 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明A 是PQ 的中点，结合y 的范围，求出m 的范围即可． 【详解】解：曲线2:9C y x =--，是以原点为圆心，3为半径的半圆（圆的下半部分）， 并且[3P y ∈-，0]，对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=， 说明A 是PQ 的中点，Q 的纵坐标2y =，21[,1]22py m +∴=∈-．故答案为：1[,1]2-．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想． 三、解答题13．（2022·上海·模拟预测）如图，由半圆()22200，+=≤>x y r y r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有AB 、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11a r =⎧⎨=⎩；（2）min 2MN =3）存在，且1k =【分析】（1）将()23，代入()21=-y a x 求出1a =，再由21y x =-与x 轴交点坐标，代入圆的方程，即可求出1r =；（2）先设00(,)M x y ，得到=MN 00≤y ，和00≥y 两种情况，由抛物线与圆的方程，即可求出结果；（3）先由题意得到PQ 的方程，与抛物线联立，求出2(1,2)--Q k k k ；与圆联立，求出22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ，根据QBA PBA ∠=∠得到=-BP BQ k k ，化简得到关于k 的方程，求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，将()23，代入()21=-y a x ，得到1a =；所以抛物线21y x =-； 又21y x =-与x 轴交于()1,0±，所以(1,0)(1,0)、-A B ，代入圆的方程，可得1r =； 所以1a =，1r =；（2）设00(,)M x y ，因为()02，N ，则MN当00≤y 时，22001=-x y ，所以=MN所以00y =时，min =MN 00≥y 时，2001=+x y ，=MN所以032=y 时，minMN<MN （3）由题意，可得：PQ 的方程为(1)y k x =-，由2(1)1y k x y x =-⎧⎨=-⎩，整理得：210x kx k -+-=，解得1x =或1=-x k ，即2(1,2)--Q k k k ；由22(1)1y k x x y =-⎧⎨+=⎩，整理得：2222(1)210+-+-=k x k x k 解得：1x =或2211-=+k x k ，则22212,11⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k P k k ， 由QBA PBA ∠=∠，可得=-BP BQ k k ，即2222221111--+=--++kk k k k kk ，整理得2210--=k k，解得1=k因此，存在实数1k =QBA PBA ∠=∠.【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线与抛物线物位置关系即可，属于常考题型.14．（2022·上海·高三专题练习）某景区欲建造同一水平面上的两条圆形景观步道1M 、2M （宽度忽略不计），已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ，且90CAD BAD ︒∠+∠=.（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、圆2M 的半径（结果精确到0.1米）；（2）若景观步道1M 、2M 的造价分别为每米0.8千元、0.9千元，如何设计圆1M 、圆2M 的大小，使总造价最低？最低总造价为多少（结果精确到0.1千元）？ 【答案】（1）圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米；（2）1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈千元.【分析】（1）直接利用锐角三角函数的定义可计算出两圆的半径； （2）设1M ADα，可得24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后得出总造价y （千元）关于α的函数表达式，并利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立求出对应的tan α的值，即可计算出两圆的半径长.【详解】（1）依题意，圆1M的半径1tan 306034.6M B AB =⋅==（米）， ()tan 60tan 4531tan15tan 604521tan 60tan 4513--=-===++圆2M 的半径()260tan15602316.1M C =⋅=-≈（米） ， 答：圆1M 、圆2M 的半径分别为34.6米、16.1米； （2）设1M ADα，则24M ADπα，其中0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故景观步道的总造价为260tan 0.8260tan 0.94y ππαπα⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭.1tan 2128tan 9128tan 911tan 1tan απαπααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()18181281tan 1712281tan 17841tan 1tan παπαπαα⎡⎤⎡⎤=++-≥⋅+⋅=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦（当且仅当()1tan 0,12α=∈时取等号）， 当()1tan 0,12α=∈时，1tan 1tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭， 答：设计圆1M 的半径与圆2M 的半径分别为30米与20米时，总造价最低，最低总造价为84263.9π≈（千元）.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是建立函数模型的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.【考点5】圆与圆的位置关系一、单选题1．（2020·上海·高三专题练习）已知,x y R ∈，且2220x y x ++<，则（ ）． A ．22680x y x +++< B ．22680x y x +++> C ．22430x y x +++< D ．22430x y x +++>【答案】B【分析】借助圆与圆关系确定选择. 【详解】222212(1)0x y x x y ++<∴++<,表示圆心为1(1,0)C -，半径为11r =的圆内部的点，范围记为P2222680(3)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆内部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在A 中所表示的点的范围外，所以A 不成立； 2222680(3)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为2(3,0)C -，半径为21r =的圆外部的点，因为1212||2C C r r ==+，所以两圆外切，P 在B 中所表示的点的范围内，所以B 成立； 2222430(2)1x y x x y +++<∴++<表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆内部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在C 中所表示的点的范围外，所以C 不恒成立； 2222430(2)1x y x x y +++>∴++>表示圆心为3(2,0)C -，半径为31r =的圆外部的点，因为121312||||1r r C C r r -<=<+，所以两圆相交，P 中有些点在D 中所表示的点的范围外，所以D 不恒成立； 故选：B【点睛】本题考查两圆位置关系，考查综合分析判断能力，属中档题.2．（2022·上海·高三专题练习）若圆221:1C x y +=和圆222:680C x y x y k +---=没有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(9,11)-B ．(25,9)--C ．(,9)(11,)-∞-+∞D ．(25,9)(11,)--+∞【答案】D【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．【详解】化圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝25+k ，则k ＞﹣25，圆心坐标为（3，4），圆C 1：x 2+y 2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C 1：x 2+y 2＝1和圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣8y ﹣k ＝0没有公共点，则|C 1C 2|1或|C 1C 2|1，即51或51， 解得﹣25＜k ＜﹣9或k ＞11．∴实数k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D ．【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．3．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），与圆C 关于直线0x y +=对称的圆的普通方程是（ ）. A ．22(3)(2)25x y ++-= B ．22(2)(3)25x y -++= C ．22(3)(2)5x y ++-= D ．22(3)(2)5x y ++-=【答案】A【分析】根据题意得圆C 的普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，与圆C 对称的圆的圆心和圆C 的圆心关于直线0x y +=对称，半径和圆C 相同，求解计算即可.【详解】圆C ：25cos 35sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）转化为普通方程为22(2)(3)25x y ++-=，圆心为(2,3)-，半径为5，设圆C 关于直线0x y +=对称的圆的圆心为(,)a b ，半径为5， 所以点(2,3)-与点(,)a b 关于0x y +=对称，所以()230223112a b b a -+⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪+⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩， 所以对称的圆的圆心为(3,2)-，半径为5， 故对称的圆的普通方程是22(3)(2)25x y ++-=. 故选：A.二、填空题4．（2020·上海·高三专题练习）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦长为8，则m =________. 【答案】55-或5【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d ＝|25|10m +＝3．从而解得m ＝﹣55或5． 【详解】解：x 2+y 2＝25① x 2+y 2﹣6x +8y +m ＝0② 两式相减得6x ﹣8y ﹣25﹣m ＝0．圆x 2+y 2＝25的圆心为（0，0），半径r ＝5． 圆心（0，0）到直线6x ﹣8y ﹣25﹣m ＝0的距离为。
