人教版浙江省2019年中考数学专题复习专题九分类讨论型问题训练

中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。

2019-2020 年中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析1.（xx 贵州安顺第7 题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O，若AO=5cm，则AB 的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C．2.（xx 湖南张家界第 14 题）如图，在正方形ABCD 中，AD=，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP 并延长交CD 于点E，连接P C，则三角形PCE 的面积为．【答案】．3.（xx·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm．4.（xx 甘肃兰州第 14 题）如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( )A. B. C. D.【答案】AA5.（xx 浙江嘉兴第16 题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为．（结果保留根号）【答案】12－12．12－18．6.(xx 辽宁沈阳第16 题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是.【答案】.7.（xx 年重庆A4 分）如图，矩形ABCD 中，连接BD，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为，当射线和射线都与线段AD 相交时，设交点分别F，G，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为▲ .【答案】.8.（xx 年上海4 分）已知在△ABC 中，．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D处．延长线段AD，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E，那么线段DE 的长等于▲．【答案】.9.（xx 年福建福州4 分）如图，在中，=90°，，将绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长是▲．【答案】.10.（xx 江苏无锡第10 题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED，连CE，则线段CE 的长等于（ D ）A．2 B． C． D．11.（xx 新疆乌鲁木齐第 9 题）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（ C ）A．B． C. D．12.（xx 重庆A 卷第18 题）如图，正方形ABCD 中，AD=4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC 于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是．13.(xx 河南第 15 题)如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上. 若为直角三角形，则的长为．【答案】1 或.14.（xx 江苏苏州第18 题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，则（结果保留根号）．【答案】.15.（xx 海南第 17 题）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos∠EFC 的值是．【答案】.16.（xx·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，点M 是AD 边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N，则线段EC 的长为﹣1 ．17.（xx·吉林·3分）在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C 重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 3a（用含a的式子表示）．18.（xx 河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD，BC 于点M，N．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为或．19.（xx 年河南3 分）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为▲．【答案】16 或.20.（xx 年江苏泰州3 分）如图，矩形中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP，PE 与CD 相交于点O，且OE=OD，则AP 的长为▲．【答案】.21.（xx 湖北鄂州第8 题3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC，则sin∠ECF =（）A.B．C．D．【答案】D.22.（xx•四川自贡,第10 题4 分）如图，在矩形中，,是边的中点，是线段边上的动点，将△沿所在直线折叠得到△, 连接,则的最小值是（ A ）B'A DEB F CA.B.6 C. D.423.（xx•绵阳第 12 题，3 分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为E F，点E，F 分别在A C 和B C 上，则C E：CF=（B ）A.B．C．D．24.（xx•四川省内江市，第 14 题，5分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA，EB 为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．25.（xx•浙江滨州,第17 题4 分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为.【答案】（10,3）“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

专题三 5大数学思想方法第一节 分类讨论思想类型一 由概念内涵分类(2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2－12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于点C(0，34)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2.(1)求抛物线y 2的表达式；(2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式．【分析】(1)应用待定系数法求表达式；(2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论；(3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)．1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8B ．8C ．±8D ．－18类型二 由公式条件分类(2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC 是否是“等高底”三角形，请说明理由．(2)问题探究：如图2，△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，作△ABC 关于BC 所在直线的对称图形得到△A′BC，连结AA′交直线BC 于点D.若点B 是△AA′C 的重心，求ACBC 的值．(3)应用拓展：如图3，已知l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2.“等高底”△ABC 的“等底”BC 在直线l 1上，点A 在直线l 2上，有一边的长是BC 的2倍．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C，A′C 所在直线交l 2于点D.求CD 的值．【分析】(1)过A 作AD⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°，依据∠ACB＝30°，AC ＝6，可得AD ＝12AC ＝3，进而得到AD ＝BC ＝3，即△ABC 是“等高底”三角形；(2)依据△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，可得AD ＝BC ，依据△ABC 关于BC 所在直线的对称图形是△A′BC，点B 是△AA′C 的重心，即可得到BC ＝2BD ，设BD ＝x ，则AD ＝BC ＝2x ，CD ＝3x ，由勾股定理得AC ＝13x ，即可得到AC BC ＝13x 2x ＝132；(3)①当AB ＝2BC 时，故DF ＝CF ＝x ，根据AC ＝3x ＝25，求出x ＝253，画出图形分两种情况分别求得CD ＝2x ＝2310或CD ＝2AC ＝22；当AC ＝2BC 时，画出图形分两种情况讨论，求得CD ＝AB ＝BC ＝2.【自主解答】题目条件不明确或本身隐含条件是此类题型的特点，解题时，首先要仔细审题，打破思维定势，全面考虑问题，对题目中隐含的条件进行挖掘，这也是此类题型分类讨论的依据．2．(2018·山东菏泽中考改编)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的正整数是______________．类型三由位置不确定分类(2018·山东潍坊中考)如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B＝60°，动点P以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止．若点P，Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )【分析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的表达式，进一步即可求解．【自主解答】此类题型多为点、线、图形位置的不确定，解题时，依据位置的不同情况进行分类讨论，分类时容易遗漏，考虑问题时务必要全面．类型四由形状不确定分类(2018·湖北黄石中考)如图，在Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝6 cm，矩形ABCD中AB＝2 cm，BC＝10 cm，点C和点M重合，点B，C(M)，N在同一直线上，令Rt△PMN 不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1 cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x的大致图象是( )【分析】在Rt△PMN中解题，要充分运用好垂直关系和45度角，因为此题也是点的移动问题，可知矩形ABCD以每秒 1 cm的速度开始向右移动到停止，和Rt△PMN重叠部分的形状可分为下列三种情况，(1)0≤x≤2；(2)2＜x≤4；(3)4＜x≤6；根据重叠图形确定面积的求法，作出判断即可．【自主解答】此类题型主要是抓住图形特征进行讨论，如运动过程中对产生的形状不同进行讨论．选择不同的分类依据会给问题解决带来不一样的难易程度，所以选择分类依据很重要．3．(2018·云南中考)在△ABC 中，AB ＝34，AC ＝5，若BC 边上的高等于3，则BC 边的长为__________． 类型五 由对应关系不确定分类(2018·湖南常德中考)如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3. (1)求该二次函数的表达式；(2)若M 是OB 上的一点，作MN∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；(3)P 是x 轴上的点，过P 作PQ⊥x 轴，与抛物线交于Q.过A 作AC⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定B(6，0)，然后设交点式求抛物线表达式；(2)设M(t ，0)，先求出直线OA ，直线AB ，直线MN 的表达式，再通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝2x －2t 得N(43t ，23t)，接着利用三角形面积公式，利用S △AMN ＝S △AOM －S △NOM 得到S △AMN ，然后根据二次函数的性质解决问题； (3)设Q(m ，14m 2－32m)，根据相似三角形的判定方法，分两种情况讨论，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【自主解答】4．(2018·新疆乌鲁木齐中考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过点A(－2，0)，B(8，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)点C 是抛物线与y 轴的交点，连结BC ，设点P 是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D. ①是否存在点P ，使线段PD 的长度最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②当△PDC 与△COA 相似时，求点P 的坐标．参考答案类型一【例1】 (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝34，a －12＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，c ＝34，∴抛物线y 1的表达式为y 1＝－14x 2－12x ＋34.∵抛物线y 1平移后得到抛物线y 2，且顶点为B(1，0)， ∴抛物线y 2的表达式为y 2＝－14(x －1)2，即y 2＝－14x 2＋12x －14.(2)抛物线y 2的对称轴l 为x ＝1，设T(1，t)． 已知A(－3，0)，C(0，34)．如图，过点T 作TE ⊥y 轴于点E ，则 TC 2＝TE 2＋CE 2＝12＋(34－t)2＝t 2－32t ＋2516，TA 2＝AB 2＋TB 2＝(1＋3)2＋t 2＝t 2＋16，AC 2＝15316.当TC ＝AC 时，即t 2－32t ＋2516＝15316，解得t 1＝3＋1374或t 2＝3－1374；当TA ＝AC 时，得t 2＋16＝15316，无解；当TA ＝TC 时，得t 2－32t ＋2516＝t 2＋16，解得t 3＝－778.综上可知，在抛物线y 2的对称轴l 上存在点T ，使△TAC 是等腰三角形，此时T 点的坐标为T 1(1，3＋1374)，T 2(1，3－1374)，T 3(1，－778)． (3)设P(m ，－14m 2－12m ＋34)，则Q(m ，－14m 2＋12m －14)．∵Q，R 关于x ＝1对称，∴R(2－m ，－14m 2＋12m －14)．情况一：当点P 在直线l 的左侧时， PQ ＝－14m 2－12m ＋34－(－14m 2＋12m －14)＝1－m ，QR ＝2－2m.又∵以P ，Q ，R 构成的三角形与△AMG 全等， 当PQ ＝GM 且QR ＝AM 时，m ＝0， 可求得P(0，34)，即点P 与点C 重合，∴R(2，－14)．设PR 的表达式为y ＝kx ＋b ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝34，2k ＋b ＝－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝34，即PR 的表达式为y ＝－12x ＋34.当PQ ＝AM 且QR ＝GM 时，无解． 情况二：当点P 在直线l 右侧时，P′Q′＝－14m 2＋12m －14－(－14m 2－12m ＋34)＝m －1，Q′R′＝2m －2，同理可得P′(2，－54)，R′(0，－14)，P′R′的表达式为y ＝－12x －14.综上所述，PR 的表达式为y ＝－12x ＋34或y ＝－12x －14.变式训练 1．C 类型二【例2】 (1)△ABC 是“等高底”三角形．理由如下：如图1，过A 作AD⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∠ADC＝90°.∵∠ACB＝30°，AC ＝6，∴AD＝12AC ＝3，∴AD ＝BC ＝3，即△ABC 是“等高底”三角形．(2)如图2，∵△ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD＝BC.∵△ABC 关于BC 所在直线的对称图形是△A′BC， ∴∠ADC＝90°.∵点B 是△AA′C 的重心，∴BC＝2BD. 设BD ＝x ，则AD ＝BC ＝2x ，CD ＝3x ， 由勾股定理得AC ＝13x ， ∴AC BC ＝13x 2x ＝132. (3)①当AB ＝2BC 时，Ⅰ.如图3，作AE⊥BC 于E ，DF⊥AC 于F.∵“等高底”△ABC 的“等底”为BC ，l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2，AB ＝2BC ， ∴BC＝AE ＝2，AB ＝22， ∴BE＝2，即EC ＝4，∴AC＝2 5.∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C， ∴∠DCF＝45°. 设DF ＝CF ＝x.∵l 1∥l 2，∴∠ACE＝∠DAF， ∴DF AF ＝AE CE ＝12，即AF ＝2x ， ∴AC＝3x ＝25，∴x＝235，CD ＝2x ＝2310.Ⅱ.如图4，此时△ABC 等腰直角三角形．∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴CD＝2AC ＝2 2. ②当AC ＝2BC 时，Ⅰ.如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形．∵△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到△A′B′C， ∴A′C⊥l 1，∴CD＝AB ＝BC ＝2. Ⅱ.如图6，作AE⊥BC 于E ，则AE ＝BC.∴AC＝2BC ＝2AE ，∴∠ACE＝45°，∴△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°，得到△A′B′C 时，点A′在直线l 1上， ∴A′C∥l 2，即直线A′C 与l 2无交点． 综上所述，CD 的值为2310，22，2.变式训练 2．15或43 类型三【例3】 当0≤t＜2时，S ＝12×2t×32×(4－t)＝－32t 2＋23t ；当2≤t＜4时，S ＝12×4×32×(4－t)＝－3t ＋4 3.只有选项D 的图形符合．故选D. 类型四【例4】 ∵∠P＝90°，PM ＝PN ，∴∠PMN＝∠PNM＝45°. 由题意得CM ＝x. 分三种情况：①当0≤x≤2时，如图1，边CD 与PM 交于点E.∵∠PMN＝45°，∴△MEC 是等腰直角三角形， 此时矩形ABCD 与△PMN 重叠部分是△EMC， ∴y＝S △EMC ＝12CM·CE＝12x 2.故选项B 和D 不正确；②如图2，当D 在边PN 上时，过P 作PF⊥MN 于F ，交AD 于G.∵∠N＝45°，CD ＝2，∴CN＝CD ＝2， ∴CM＝6－2＝4，即此时x ＝4.当2＜x≤4时，如图3，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分是四边形EMCD ，过E 作EF⊥MN 于F ，∴EF＝MF ＝2，∴ED＝CF ＝x －2，∴y＝S 梯形EMCD ＝12CD·(DE＋CM)＝12×2×(x－2＋x)＝2x －2；③当4＜x≤6时，如图4，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分是五边形EMCGF ，过E 作EH⊥MN 于H ，∴EH＝MH ＝2，DE ＝CH ＝x －2， ∵MN＝6，CM ＝x ，∴CG＝CN ＝6－x ， ∴DF＝DG ＝2－(6－x)＝x －4，∴y＝S 梯形EMCD －S △FDG ＝12CD(DE ＋CM)－12DG 2＝12×2×(x－2＋x)－12(x －4)2＝－12x 2＋6x －10.故选项A 正确，故选A. 变式训练 3．1或9 类型五【例5】 (1)∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为(6，0)．设抛物线表达式为y ＝ax(x －6)，把A(8，4)代入得a·8×2＝4，解得a ＝14，∴抛物线表达式为y ＝14x(x －6)，即y ＝14x 2－32x.(2)设M(t ，0)，易得直线OA 的表达式为y ＝12x.设直线AB 的表达式为y ＝kx ＋b ，把B(6，0)，A(8，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝0，8k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－12，∴直线AB 的表达式为y ＝2x －12. ∵MN∥AB，∴设直线MN 的表达式为y ＝2x ＋n ， 把M(t ，0)代入得2t ＋n ＝0，解得n ＝－2t ， ∴直线MN 的表达式为y ＝2x －2t. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝2x －2t得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43t ，y ＝23t ，则N(43t ，23t)，∴S △AMN ＝S △AOM －S △NOM ＝12·4·t－12·t·23t ＝－13t 2＋2t＝－13(t －3)2＋3，当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为(3，0)． (3)设Q(m ，14m 2－32m)．∵∠OPQ＝∠ACO，∴当PQ OC ＝POAC 时，△PQO∽△COA，即PQ 8＝PO 4， ∴PQ ＝2PO ，即|14m 2－32m|＝2|m|，解方程14m 2－32m ＝2m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝14，此时P 点坐标为(14，28)；解方程14m 2－32m ＝－2m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝－2，此时P 点坐标为(－2，4)． 当PQ AC ＝POOC 时，△PQO∽△CAO， 即PQ 4＝PO 8， ∴PQ＝12PO ，即|14m 2－32m|＝12|m|，解方程14m 2－32m ＝12m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝8(舍去)，解方程14m 2－32m ＝－12m 得m 1＝0(舍去)，m 2＝4，此时P 点坐标为(4，－2)．综上所述，P 点坐标为(14，28)或(－2，4)或(4，－2)． 变式训练4．解：(1)把A(－2，0)，B(8，0)代入抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－1－2b ＋c ＝0，－16＋8b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝4，∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)由(1)知C(0，4)，∵B(8，0)，易得直线BC 的表达式为y ＝－12x ＋4.①如图1，过P 作PG⊥x 轴于G ，PG 交BC 于E.在Rt△BOC 中，OC ＝4，OB ＝8， ∴BC＝42＋82＝4 5.在Rt△PDE 中，PD ＝PE·sin∠PED＝PE·sin∠OCB＝255PE ，∴当线段PE 最长时，PD 的长度最大． 设P(t ，－14t 2＋32t ＋4)，则E(t ，－12t ＋4)，∴PG＝－14t 2＋32t ＋4，EG ＝－12t ＋4，∴PE＝PG －EG ＝(－14t 2＋32t ＋4)－(－12t ＋4)＝－14t 2＋2t ＝－14(t －4)2＋4(0＜t ＜8)．当t ＝4时，PE 有最大值是4，此时P(4，6)， ∴PD＝255×4＝855，即当P(4，6)时，PD 的长度最大，最大值是855.②∵A(－2，0)，B(8，0)，C(0，4)， ∴OA＝2，OB ＝8，OC ＝4，∴AC 2＝22＋42＝20，AB 2＝(2＋8)2＝100，BC 2＝42＋82＝80， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB＝90°，∴△COA∽△BOC，当△PDC 与△COA 相似时，就有△PDC 与△BOC 相似． ∵相似三角形的对应角相等， ∴∠PCD＝∠CBO 或∠PCD＝∠BCO.(Ⅰ)若∠PCD＝∠CBO 时，即Rt△PDC∽Rt△COB， 此时CP∥OB. ∵C(0，4)，∴y P ＝4，∴－14t 2＋32t ＋4＝4，解得x 1＝6，x 2＝0(舍去)，即Rt△PDC∽Rt△COB 时，P(6，4)．(Ⅱ)若∠PCD＝∠BCO 时，即Rt△PDC∽Rt△BOC，如图2，过P 作x 轴的垂线PG ，交直线BC 于F ，过P 作PN⊥y 轴于N.∴PF∥OC，∴∠PFC＝∠BCO， ∴∠PCD＝∠PFC，∴PC＝PF.设P(n ，－14n 2＋32n ＋4)，则PF ＝－14n 2＋2n.Rt△PNC 中，PC 2＝PN 2＋CN 2＝PF 2，∴n 2＋(－14n 2＋32n ＋4－4)2＝(－14n 2＋2n)2，解得n ＝3，即Rt△PDC∽Rt△BOC 时，P(3，254)．综上所述，当△PDC 与△COA 相似时，点P 的坐标为(6，4)或(3，254)．。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。