高等数学第11章D117斯托克斯公式

3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1


2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1

3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
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例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z

n
o

y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
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3 2
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二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P


A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。

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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是

3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n

2
P P 即 dzdx dxdy c P[ x , y , f ( x , y )]dx y z
平面有向曲线
P P dzdx dxdy P ( x , y , z )dx , y z 空间有向曲线
同理可证 Q Q dxdy dydz Q( x , y , z )dy , z x R R dydz dzdx R( x , y , z )dz , x y
斯托克斯公式
斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内具有
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
又 cos f y cos , 代入上式得
P P P P dzdx dxdy ( f y ) cosds y y z z
P P P P 即 dzdx dxdy ( f y )dxdy y y z z
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
根椐格林公式

Dxy

Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2

在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与其边 界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同， 这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.
二、 斯托克斯公式
定理8
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有
向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数Px,y,z,Qx,y,z,Rx,y,z在曲
及以垂直于Dxy边界的柱面Σ3组成 (见图10-14)，其中Σ1取下侧，Σ2取上 侧，Σ3取外侧，z1x,y≤z2x,y.于是按三
图 10-14
一、 高斯公式
一、 高斯公式
一、 高斯公式
注
对于一般的空间有界闭区域高斯公式均成 立.若曲面Σ与平行于坐标轴的直线的交点多于两 个，则用有限个光滑的曲面将Ω分为有限个满足 条件的小闭区域来讨论.
或用定积分表示为(按图10-15取积分路径) M0x0,y0,z0为G内某一定点，点Mx,y,z∈G.
三、 空间曲线积分与路径无关的条件
图 10-15
谢谢聆听
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
(10-16)
二、 斯托克斯公式
(10-17)
二、 斯托克斯公式
如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式
(10-15)两端同时改变符号，因此式(10-15)仍成立.Fra bibliotek同样可证
(10-18)
(10-19)
将式(10-15)、式(10-18)和式(10-19)相加即得式(1014).
面Σ(连同边界Γ)上具有一阶连续偏导数，则有
(10-14)
式(10-14)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cosγk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法 向量.