复变函数1.pdf
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2⎢⎣⎡cos
π 4
+
i
sin
π⎤ 4 ⎥⎦
4
1+
i
=
8
⎡π
⎢ 2⎢cos
4
⎢⎣
+ 2kπ 4
+
π i sin 4
+
2kπ
⎤ ⎥
4
⎥ ⎥⎦
即
w0
=8
2
⎣⎡⎢cos
π 16
+
i
sin
1π6⎥⎦⎤,
(k = 0,1,2,3).
w1
=
8
2⎣⎡⎢cos
9π 16
+
i sin 916π⎥⎦⎤,
w2
=
8
2⎣⎡⎢cos
当 z 的模 r = 1,即 z = cosθ + i sinθ ,
(cosθ + i sinθ )n = cos nθ + i sin nθ .棣莫佛公式
例 计算（ 12-2i）3
解 由于 12-2i = 4[cos(−π / 6) + i sin(−π / 6)]
因此( 12-2i)3 = 43 (cos(−π / 6) + i sin(−π / 6))3
例如，设 z1 = −1, z2 = i, 则 z1 ⋅ z2 = −i,
Argz1 = π + 2nπ, (n = 0, ± 1, ± 2,"),
A故Arrgg3(zπz21+z=22)π2(=m+−2+πm2n+π)π,2k=π(m−, π=(+k02,=k±π01,,,
± 2,"), ± 1, ± 2,"),
记为 z = r = x2 + y2 .
y
y
r
Pz = x + iy
o
x
x
性质： 1. x ≤ z , y ≤ z ,
2. z ≤ x + y , 3.z ⋅ z = z 2 = z2 . 4. z1 + z2 ≤ z1 + z2 ; 5. z1 − z2 ≥ z1 − z2 .
y
y
Pz = x + iy
1. 两复数的和:
z1 ± z2 = ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ).
2. 两复数的积:
z1 ⋅ z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x2 y1 + x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
=
x1 x2 x22
+ +
y1 y2 y22
+
i
x2 y1 x22
思考题答案
观察复数 i 和 0, (1) 若 i > 0, 则 i ⋅ i > 0 ⋅ i, 即 − 1 > 0, 矛盾; (2) 若 i < 0, 则 i ⋅ i > 0 ⋅ i, 同样有 − 1 > 0, 矛盾.
由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
二、复数的代数运算
设两复数 z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ,
o
θ2 θ1
θ
r1
•
r2
z2
x
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.
说明 由于辐角的多值性, Arg(z1z2 ) = Argz1 + Argz2
两端都是无穷多个数构成的两个数集.
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
只须 k = m
+
n
+
1.
2
2
若 k = −1, 则 m = 0, n = −2 或 m = −2,n = 0.
设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 = r1eiθ1 , z2 = r2eiθ2 , 则 z1 ⋅ z2 = r1 ⋅ r2ei(θ1+θ2 ) .
由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
定理一 两个复数乘积的模等于它们的模 的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们 的辐角的和.
定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘
积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.
从几何上看,
两复数对应的向量分别为
G z1 ,
G z2 ,
先把
G z1
按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 θ 2 ,
r • z1
再把它的模扩大到 r2 倍, 所得向量 zG 就表示积 z1 ⋅ z2 .
第一章 复数与复变函数
Part 1 复数
Complex Number
§1, §2, §3
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x2 = −1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数 i,
称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i2 = −1; (2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行
o
x
x
y
z2
z2
o
z1 − z2 z1
z1
x
3. 复数的辐角
在 z ≠ 0的情况下, 以正实轴为始边, 以表示
z 的向量OP 为终边的角的弧度数 θ 称为 z 的辐角, 记作 Argz = θ .
特殊地, 当 z = 0时, z = 0, 辐角不确定.
y
P z = x + iy
θ
o
x
练习：求复数的辐角 Arg(−1 + i)
则 ρ n (cos nϕ + i sin nϕ ) = r(cosθ + i sinθ ) 即 ρ = r1/n , ϕ = θ + 2kπ
n
w
=
n
z
=
r
1 n
⎜⎛
θ
cos
+
2kπ
+
i
θ
sin
+
2kπ ⎟⎞
⎝
n
n⎠
(k = 0,1, 2,", n − 1)
例5 计算 4 1 + i 的值.
解
1+i =
五、幂与根（P15）
1. n次幂:
n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n 次幂,
记作 zn , zn = z ⋅ z ⋅"
⋅ z .
n个
对于任何正整数 n, 有 zn = r n(cos nθ + i sin nθ ).
如果我们定义
z−n
=
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
2.棣莫佛公式
解 (1) r = z = 12 + 4 = 4, 因为 z 在第三象限,
所以θ
=
arctan⎜⎛ ⎝
− −
2 12
⎟⎞ ⎠
−
π
=
arctan
3 − π = − 5 π,
3
6
故三角表示式为
z
=
4⎣⎡⎢cos⎜⎝⎛
−
5 6
π
⎟⎞ ⎠
+
i
sin⎜⎛ ⎝
−
5 6
π
⎟⎠⎞⎥⎦⎤,
− 5 πi
指数表示式为 z = 4e 6 .
17π 16
+
i sin1176π⎥⎦⎤,
w3
=
8
2
⎣⎡⎢cos
25π 16
+
i sin 2156π⎥⎦⎤.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为 8 2 的 圆的正方形的四个顶点 .
w2
o
w0 x
w3
z1z2 = r1r2 (cosθ1 + i sinθ1 )(cosθ2 + i sinθ2 ) = r1r2 (cosθ1 cosθ2 − sinθ1 sinθ2 ) +i(cosθ1 sinθ2 + sinθ1 cosθ2 ) = r1r2[cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )]
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
r r
cosθ , sinθ ,
复数可以表示成 z = r(cosθ + i sinθ )
复数的三角表示式
再利用欧拉公式eiθ = cosθ + i sinθ ,
复数可以表示成 z = reiθ
复数的指数表示式
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(1) z = − 12 − 2i;
不一定为
辐角主值
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
(2)
z
=
π
sin
+
π
i cos
;
5
5
思考：是否三角表示式？ ×
(2) z = sin π + i cos π
5
5
显然 r = z = 1,
sin π = cos⎜⎛ π − π ⎟⎞ = cos 3π , 5 ⎝ 2 5 ⎠ 10
π cos
= 43 (cos(π / 2) − i sin(π / 2))
例 计算（ 12-2i）3
解 由于 12-2i = 4(cos(−π / 6) + i sin(−π / 6))
= 4(cos(π / 6) − i sin(π / 6))
因此 ( 12-2i)3 = 43 (cos(π / 6) − i sin(π / 6))3
