复变函数(第四版)课后习题答案

复变函数论第四版答案钟玉泉（1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。

怎么样计算复数的平方根，极坐标与xy 坐标的转换，复数的模之类的。

这些在高中的时候基本上都会学过。

（2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。

那么研究解析函数的性质就是关键所在。

最关键的地方就是所谓的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。

（3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎是一致的。

在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。

这个是复分析的第一个重要定理。

（4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。

可以从整个定义域去考虑这个函数，也可以从局部来研究这个函数。

这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。

（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和零点极点的性质。

与之类似的幅角定理也展示了类似的关系。

（6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。

导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和Laurent 级数的概念。

除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。

（7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照定理。

这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。

研究Mobius 变换的保角和交比之类的性质。

（8）椭圆函数，经典的双周期函数。

这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的微分方程，以及该函数的性质。

以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

复变函数第四版的第五章答案【篇一：安徽工业大学复变函数与积分变换客观题5(第五章)】数一、选择题： 1．函数cot?z在z?i?2内的奇点个数为 ( )2z?3（a）1 （b）2（c）3 （d）42．设函数f(z)与g(z)分别以z?a为本性奇点与m级极点，则z?a 为函数f(z)g(z) 的( )（a）可去奇点（b）本性奇点（c）m级极点（d）小于m级的极点1?ex3．设z?0为函数4的m级极点，那么m?( )zsinz（a）5 （b）4 (c)3（d）2 4．z?1是函数(z?1)sin21的( ) z?1(a)可去奇点（b）一级极点（c）一级零点（d）本性奇点3?2z?z35．z??是函数的( )z2(a)可去奇点（b）一级极点（c）二级极点（d）本性奇点 6．设f(z)??anzn在z?r内解析，k为正整数，那么res[n?0?f(z),0]?( ) kz（a）ak （b）k!ak（c）ak?1 （d）(k?1)!ak?1 7．设z?a为解析函数f(z)的m级零点，那么res[f?(z),a]?( ) f(z)(a)m （b）?m（c） m?1 （d）?(m?1) 8．在下列函数中，res[f(z),0]?0的是（）ez?1sinz1（a） f(z)?（b）f(z)?? 2zzz（c）f(z)?sinz?cosz11? (d) f(z)?zze?1z19．下列命题中，正确的是() （a）设f(z)?(z?z0)?m?(z)，?(z)在z0点解析，m为自然数，则z0为f(z)的m级极点．（b）如果无穷远点?是函数f(z)的可去奇点，那么res[f(z),?]?0 （c）若z?0为偶函数f(z)的一个孤立奇点，则res[f(z),0]?0 （d）若f(z)dz?0，则f(z)在c内无奇点c10． res[zcos32i,?]? ( ) z（a）?2222（b）（c）i （d）?i33331z?i11．res[z2e（a）?,i]? ( )1515?i （b）??i （c）?i （d）?i 666612．下列命题中，不正确的是( )（a）若z0(??)是f(z)的可去奇点或解析点，则res[f(z),z0]?0 （b）若p(z)与q(z)在z0解析，z0为q(z)的一级零点，则res[p(z0)p(z),z0]? q(z)q?(z0)1dnlimn[(z?z0)n?1f(z)] （c）若z0为f(z)的m级极点，n?m为自然数，则res[f(z),z0]?n!x?x0dz（d）如果无穷远点?为f(z)的一级极点，则z?0为f()的一级极点，并且1z1res[f(z),?]?limzf()z?0z13．设n?1为正整数，则1dz?( ) nz?1z?2(a)0（b）2?i （c）2?i（d）2n?i nz914．积分10dz?( )z?13z?22（a）0 （b）2?i （c）10 （d）?i 515．积分12zsindz?( ) zz?1（a）0（b）??i1（c）? （d）??i答案一、1．（d）2６．（c） 11．（b） 126．（b） 3７．（a）．（d）13第五章．（c） 4８．（d）．（a）1433 数．（d）９．（c） 10．（b） 15（b）．（a）．（c）留５．【篇二：复变函数第四章练习题】1 考察级数的敛散性。

复变函数第四版答案详解调和变换的第四版：1. 概念：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种更加复杂的变换法。

它最大的特点是可以有效地处理大数据集中固定和变动变量之间的关系，而且有助于更好地可视化信息。

2. 原理：这种变换主要是利用了调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性。

使用调和变换的第四版，可以根据数据集中的最大值、最小值和其他值的累计概率直方图进行变换，这样就可以更准确地绘制变量间的关系。

3. 公式：基本的形式为T(x) = Log2（x/xmin）。

其中x为变量的原始值，xmin为该变量的最小值，T表示变换后的值。

4. 优势：• 可以对大范围的数据集进行标准化，减轻可视化时数据的拉伸或压缩；• 加强小数据组之间的可视化差别；• 能够有效处理变量之间的关系，更加详细；• 有助于体现更完整的数据，同时保留数据的细节。

5. 应用：• 生物学：调和变换的第四版可以帮助研究人员分析有关基因表达或特定生物标记（如药物效应）的数据；• 地理信息系统：地理信息系统的地图可以更准确地反映由于植被或气候变化而引起的空间变化；• 金融：调和变换的第四版可以用来分析大型财务数据集，并发现有关投资可能波动的信息。

6. 缺点：由于技术复杂，计算成本可能较高，特别是在大数据集合上，同时，由于它的强依赖变量的范围，所以由于变量的范围而出现的误差。

总结：调和变换的第四版是研究统计学家Stephen M. Stigler提出的一种复杂的变换法，它的核心是利用调和技巧，通过舍弃最小和最大值来使变量在定义域上更具对称性，它有助于更准确可视化变量之间的关系，并能够有效处理大数据集中固定和变动变量之间的关系。

但它也有计算成本高、与变量范围相关的误差等缺点。

复变函数论第四版答案复变函数论重点导读：就爱阅读网友为您分享以下“复变函数论重点”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持! 复变函数论目录1简介2历史3内容4发展4.1 柯西-黎曼方程4.2 柯西积分定理4.3 黎曼映射定理4.4 幂级数的作用4.5 综述4.6 单值函数4.7 多值函数4.8 几何理论4.9 聚集合的概念5作用6分支学科1简介复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。

在很长时间里，人们对这类数不能理解。

但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。

复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

数学中研究多个复变量的全纯函数的性质和结构的分支学科，有时也称多复分析。

它虽然有着经典的单复变函数的渊源，但由于其特有的困难和复杂性，在研究的重点和方法上，都和单复变函数论（见复变函数论）有显着的区别。

因为多复变全纯函数的性质在很大程度上由定义区域的几何和拓扑性质所制约，因此，其研究的重点经历了一个由局部性质到整体性质的逐步的转移。

它广泛地使用着微分几何学、代数几何、李群、拓扑学、微分方程等相邻学科中的概念和方法，不断地开辟前进的道路，更新和拓展研究的内容和领域。

2历史复数的概念源于求解方程组的根。

早在16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生复数开平方的思想。

17世纪到18世纪，复数开始有了几何解释，把它与平面向量对应起来解决实际问题。

复变函数论产生于十八世纪。

1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。

而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。

因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。

复变函数第四版余家荣答案【篇一：1第一章复数与复变函数】京1第一章复数与复变函数1 复数及其代数运算1.复数的概念①在解方程时，有时会遇到负数开方的问题，但在实数范围内负数是不能开平方的。

为此，需要扩大数系。

我们给出如下的代数形式的复数定义：复数的代数定义：把有序实数对(x,y)作代数组合所确定的形如x?iy的数称为（代数形式的）复数，记为z?x?iy，2其中，i满足i??1。

我们称i为虚单位；实数x和y分别称为复数z 的实部和虚部，并记为x?rez，y?imz。

特别地，当imz?0时，z?x?i0?rez?x是实数；当rez?0时且imz?0时，z?iimz?iy称为纯虚数；虚部不为零的复数称为虚数（即不为实数的复数称为虚数）；z?0当且仅当rez?0且imz?0，即复数0?0?i?0。

z1?z2当且仅当rez1?rez2且imz1?imz2。

2.复数的代数运算2.1 四则运算设z1?x1?iy1，z2?x2?iy2为任意两个复数，它们的四则运算定义为: 加法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 减法：z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2) 乘法：z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x1y2?x2y1) 除法：z1x1x2?y1y2y1x2?x1y2（z2?0） ??i2222z2x2?y2x2?y22【注】：(1).可见，复数的四则运算，可以按照多项式的四则运算进行，只要注意将i换成?1。

(2).关于除法的具体操作可以按两种方法来进行：①.先看成分式的形式，然后分子分母同乘以一个与分母的实部相等而虚部只相差一个正负号的复数（在后面将会看到，这被定义为共轭复数），再进行简化；②.用复数z1?x1?iy1除以非零复数z2?x2?iy2，就是要求出这样一个复数z?x?iy，使得z1?z2?z。

按乘法的定义，为求出z需要解方程组?x2x?y2y?x1??x2y?xy2?y12.2 共轭复数复数x?iy和x?iy互称为对方的共轭复数，如果记z?x?iy，则用记其共轭复数，即?x?iy?x?iy。

习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。

（1）i 231+； （2）i13i i 1−−； （3）()()2i 5i 24i 3−+； （4）i 4i i 218+−解 （1）()()()2i 31312i 32i 32i 32i 31−=−+−=+ 所以133=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+i 231Re ，1322i 31Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+,()2i 31312i 31+=+，131********i 3122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+， k π2i 231arg i 231Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+",2,1,0,232arctan ±±=+−=k k π（2）()()()()i,25233i 321i i)(1i 1i 13i i i i i 13i i 1−=+−−−=+−+−−−=−− 所以,23i 13i i 1Re =⎭⎬⎫⎩⎨⎧−− 25i 13i i 1Im −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−25i 23i 13i i 1+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−，2342523i 13i i 122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−， k π2i 1i 3i 1arg i 1i 3i 1Arg +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−− ",±,±,=,+−=210235arctan k k π.（3）()()()()()()()()()42i 7i 262i 2i 2i 5i 24i 32i 5i 24i 3−−=−−−+=−+ 13i 27226i 7−−=−−=所以()()272i 5i 24i 3Re −=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+，()()132i 5i 24i 3Im −=⎭⎫⎩⎨⎧−+，w ww .k hd aw .c om课后答案网()()l3i 272i 5i 24i 3+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+()()22952i5i 24i 3=−+， ()()()()k ππk π2726arctan 22i 2i 52i 43arg i 2i 52i 43Arg +−=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+ ()",2,1,0,12726arctan±±=−+=k k π.（4）()()()()i i 141i i i 4i i 4i i 10410242218+−−−=+−=+−3i 1i 4i 1−=+−=所以{}{}3i 4i i Im 1,i 4i i Re 218218−=+−=+−3i 1i 4i i 218+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−，10|i 4i i |218=+−()()()2k π3i 1arg 2k πi 4i i arg i 4i i Arg 218218+−=++−=+−=.2,1,0,k 2k πarctan3"±±=+−2．如果等式()i 13i53y i 1x +=+−++成立，试求实数x , y 为何值。