2024学年云南省民族大学附属中学高三考前热身数学试卷含解析
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2024年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒ 2．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i3．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13D ．224．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤ 5．若22n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．46．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（ ）A ．54B ．34C ．58D ．38 8．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<9．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ） A ．2 B ．34- C ．2- D ．2512- 10．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．7411．已知直线l ：310kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆2C ：()()22311x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围为（ ）A ．36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3[,1)3C ．3(0,]3D ．6[,1)312．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，三角形PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为63-，当三棱锥P ABC -的体积最大值为13时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为______. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 3cos 1A A -=，2a =，则ABC ∆的面积的最大值为______.15．若向量(1,2)x =-a 与向量(2,1)b =垂直，则x =______.16．在直角坐标系中，某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为()()1,12,2，，函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,22A ππωϕ⎛⎫><<< ⎪⎝⎭的图象经过该三角形的三个顶点，则()f x 的解析式为()f x =___________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为133x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为(0)3πθρ=>，直线l 的极坐标方程为sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点6,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）求曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线2C 交于点A ，曲线1C 与曲线2C 交于点B ，求PAB △的面积．18．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,AD CD 的中点.（1）证明:BD ⊥平面PEF（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值.19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，1SD =，5cos 5ASD ∠=，底面ABCD 是边长为2的菱形，点E ，F 分别为棱DC ，BC 的中点，点G 是棱SC 靠近点C 的四等分点.求证：（1）直线SA 平面EFG ；（2）直线AC ⊥平面SDB .20．（12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，点()()1,0,0,1A B ，点P 满足22OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点,B P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线(): 0,0l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于,M N 两点.且与圆221x y +=相切.MNF 的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.21．（12分）在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知函数()()2cos f x ax x a R =+∈ （1）当12a =时，证明()'0f x ≥，在[0,)+∞恒成立； （2）若()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D【解题分析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小.【题目详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是12R l =,底角大小为60︒. 故选：D【题目点拨】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.2．A【解题分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.【题目详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3．D【解题分析】根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【题目详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥P ABC -.13PAC PAB S S ∆∆==，22PAC S ∆=，2ABC S ∆=，故最大面的面积为22.选D.【题目点拨】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.4．C【解题分析】根据命题的否定，可以写出p ⌝：21,2nn n ∀>≤，所以选C. 5．C【解题分析】由二项式系数性质，()n a b +的展开式中所有二项式系数和为2n 计算．【题目详解】2nx x ⎛+ ⎝的二项展开式中二项式系数和为2n ，232,5n n ∴=∴=． 故选：C ．【题目点拨】本题考查二项式系数的性质，掌握二项式系数性质是解题关键．6．C【解题分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.如图所示：画出可行域和目标函数， ，即，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.7．C【解题分析】根据平面向量基本定理，用,AB AC 来表示AF ，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.【题目详解】由题可知：点E 是AC 中点，点F 是BE 中点()12AF AB AE =+，12AE AC = 所以1124AF AB AC =+ 又11cos 1122AB AC AB AC A ⋅=∠=⨯⨯= 所以1124AF AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭则2115248AF AB AB AC AB ⋅=+⋅= 故选：C 【题目点拨】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.8．A【解题分析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得,m n 的值，即可比较各选项.【题目详解】如下图所示，CE ⊂平面ABPQ ，从而//CE 平面1111A B PQ ，易知CE 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴4m =，∵//EF 平面11BPPB ，//EF 平面11AQQ A ，且EF 与正方体的其余四个面所在平面均相交，∴4n =，∴结合四个选项可知，只有m n =正确.故选：A.【题目点拨】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 9．D【解题分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值．【题目详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，由2BA BC ⋅=-，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++的最小值为2512-． 故选D ．【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．10．C【解题分析】根据222AF F B =表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【题目详解】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.【题目点拨】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.11．A【解题分析】由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到,A B 坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率k 与,A B 坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【题目详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且线:310l kx y k --+=过定点()3,1即为2C 的圆心，因为AC DB =，所以1212236212C D C D x x x x y y y y +=+=⨯=⎧⎨+=+=⨯=⎩， 又因为2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 所以2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，所以[]2232,1b k a=-∈--， 所以2212,33b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22212,33a c a -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2121,33e ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以33e ∈⎣⎦. 故选：A.【题目点拨】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.12．B【解题分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.【题目详解】函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x =或1x =时，()0y xf x '=-=；当1x >时，()0xf x '->.故选：B【题目点拨】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
