【备战2017高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】专题 圆锥曲线一、选择题1．【2017广东佛山二模】已知双曲线Γ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的一条渐近线为，圆C ： ()228x a y -+=与交于A ， B 两点，若ABC 是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（ ）【答案】D点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查双曲线的概念与基本性质，考查圆的概念与几何性质.由于圆和双曲线的渐近线相交，故先求出渐近线的方程，根据三角形ABC 为等腰直角三角形和半径，可求得三边的长度，再根据向量的数量关系求得OB 的值，利用余弦定理建立方程，求解出的值，再利用点到直线距离公式求得的值，进而求得离心率.2．【2017安徽马鞍山二模】已知()0,7A ， ()0,7B -， ()12,2C ，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是（ ）A. 22148x y -= B. 22148y x -= C. 22148x y -=（1y ≤-） D. 22148y x -=（1y ≥） 【答案】C【解析】由两点间距离公式可得13,15,14AC BC AB === ，因为,A B 都在椭圆上，所以,214AF AC BF BC AF BF BC AC +=+-=-=< ，故F 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线的下支，由27,148c a b ==⇒= ， F 的轨迹方程是22148x y -=（1y ≤-）,故选C.【方法点晴】本题主要考查求轨迹方程、椭圆的定义以及双曲线的定义，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00{x g x y h x ==代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法②求F 的轨迹方程的.3．【2017湖南娄底二模】给出关于双曲线的三个命题：①双曲线22194y x -=的渐近线方程是23y x =±； ②若点()2,3在焦距为4的双曲线22221x y a b-=上，则此双曲线的离心率2e =；③若点F 、B 分别是双曲线22221x y a b-=的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段FB 的中点一定不在此双曲线的渐近线上. 其中正确的命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】对于①：双曲线22194y x -=的渐近线方程是32y x =±，故①错误； 对于②：双曲线的焦点为()()2,0,2,0-，2|2,1a a ==，从而离心率2ce a==，所以②正确；对于③：()(),0,0,,F c B b FB ±±的中点坐标,22c b ⎛⎫±± ⎪⎝⎭均不满足渐近线方程，所以③正确； 故选C.4．【2017河北唐山二模】已知双曲线过点()2,3，渐进线方程为y =，则双曲线的标准方程是（ ）A.22711612x y -= B. 22132y x -= C. 2213y x -= D. 22312323y x -= 【答案】C【解析】∵双曲线渐进线方程为y =，故可设双曲线方程为223y x λ-=， ∵双曲线过点()2,3，则343λ-=，即1λ=，故双曲线的标准方程是2213y x -=， 故选C.5．【2017安徽淮北二模】已知A 是双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右顶点，过左焦点F 与y轴平行的直线交双曲线于,P Q 两点，若APQ ∆是锐角三角形，则双曲线C 的离心率范围是（ ）A. (B. (C. ()1,2D. ()2,+∞ 【答案】C【解析】由题意得： 45,PAF PF AF ∠<<，,即222222220,112b a c b a ac c a a ac e e e e a<+⇒<+⇒-<+⇒--⇒<<，选C. 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．【2017山西三区八校二模】已知椭圆的左焦点为1F ，有一小球A 从1F 处以速度开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到1F 时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）A.13 C. 35 D. 23 【答案】D【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近，到右顶点的距离最大，所以由题设可得()546a c a c a c +=-⇒=，即4263e ==，应选答案D 。
2017年新课标全国理数高考试题汇编：圆锥曲线1．【2017全国高考浙江卷理数·2T】椭圆的离心率是（）ABC．D．2．【2017全国高考新课标I卷理数·10T】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．103．【2017全国高考新课标II卷理数·9T】若双曲线:C22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B C D4．【2017全国高考新课标III卷理数·5T】已知双曲线C：22221x ya b-=(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y x=,且与椭圆221123x y+=有公共焦点，则C的方程为（）A．221810x y-=B．22145x y-=C．22154x y-=D．22143x y-=5．【2017全国高考新课标III卷理数·10T】已知椭圆C：22221x ya b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bx ay ab-+=相切，则C的离心率为（）A B C D．136.【2017全国高考新课标I卷理数·15T】已知双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为. 7．【2017全国高考新课标II卷理数·16T】已知F是抛物线:C28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN=____________．8.【2017全国高考北京卷理数·9T】若双曲线m=_________.22194x y+=2359221yxm-=9.【2017全国高考江苏卷理数·8T 】在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是10.【2017全国高考山东卷理数·14T 】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为.11．【2017全国高考新课标I 卷理数·20T 】（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2，P 4（1，2C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．【2017全国高考新课标II 卷理数·20T 】（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．13．【2017全国高考新课标III 卷理数·20T 】（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆。
2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4） B．（2，4]C．[1，+∞）D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．24．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=15．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．27．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S （A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．138．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B 的坐标是，记∠AOB=α，则sin2α=．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=．13．（5分）已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．16．（13分）某社区超市购进了A，B，C，D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间上有极小值，且极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于，都有a n+k ﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“”．2017年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B=（）A．（2，4） B．（2，4]C．[1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|1≤x≤4}，B={x|x＞2}，那么A∪B={x|x≥1}=[1，+∞），故选：C2．（5分）下列函数中，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数的是（）A．y=﹣x3B．y=2|x|C．y=D．y=log3（﹣x）【解答】解：解：对于A，是奇函数，在（0，+∞）上单调递减，不正确；对于B，既是偶函数又是（0，+∞）上的增函数，正确，对于C，非奇非偶函数，不正确；对于D，非奇非偶函数，不正确，故选B．3．（5分）在极坐标系中，点（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离等于（）A．B．C．D．2【解答】解：点A（，）的直角坐标为（1，1），直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的直角坐标方程为x﹣y﹣1=0，利用点到直线的距离公式可得，点A（，）到直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0的距离为，故选：A．4．（5分）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【解答】解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．5．（5分）已知向量=（，），=（，﹣1），则，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（，），=（，﹣1），∴=﹣=||•||•cosθ=1•2cosθ，求得cosθ=，∴θ=，故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2，四棱锥的4个侧面面积分别为：=；=；=；=．最大侧面面积为：．故选：C．7．（5分）S（A）表示集合A中所有元素的和，且A⊆{1，2，3，4，5}，若S （A）能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：由题意得符合条件的非空集合A有：{3}，{1，2}，{1，5}，{2，4}，{4，5}，{1，2，3}，{1，3，5}，{2，3，4}，{3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共有11个．故选：B．8．（5分）血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是（）①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（4，﹣3）．【解答】解：复数==﹣3i+4对应的点的坐标为（4，﹣3）．故答案为：（4，﹣3）．10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为0．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=6执行循环体，y=4，x=4不满足条件x≤1，执行循环体，y=2，x=2不满足条件x≤1，执行循环体，y=0，x=0满足条件x≤1，退出循环，输出x的值为0．故答案为：0．11．（5分）点A从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B，若点B 的坐标是，记∠AOB=α，则sin2α=﹣．【解答】解：由题意可得：sinα=，cosα=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）若x，y满足且z=x2+y2的最大值为10，则m=4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；则k＞1，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方由图象知，O到A的距离最大，∵z=x2+y2的最大值为10，由，解得A（m﹣1，1），则OA==即m2﹣2m+2=10，即m2﹣2m﹣8=0，解得m=4或m=﹣2（舍），故m=4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f （x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x；当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞1时，f（x+2）=f（x），则f（8）=2﹣ln2．【解答】解：∵当x＞1时，f（x+2）=f（x），∴当x＞1时，f（x）的周期为2．∴f（8）=f（2），∵当﹣e≤x≤e时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2）=﹣f（﹣2），∵当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+x，∴f（﹣2）=ln2﹣2，∴f（8）=f（2）=2﹣ln2，故答案为：2﹣ln2．14．（5分）已知O为△ABC的外心，且．①若∠C=90°，则λ+μ=；②若∠ABC=60°，则λ+μ的最大值为．【解答】解：①若∠C=90°，则O是斜边AB的中点，如图①所示；∴=，∴λ=，μ=0，∴λ+μ=；②设△ABC的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，∵∠ABC=60°，∴AOC=120°，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则=（1﹣x，﹣y），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），∵，∴，解得，∵B在圆x2+y2=1上，∴（）2+（）2=（λ+μ﹣1）2，∴λμ=≤（）2，∴（λ+μ）2﹣（λ+μ）+≥0，解得λ+μ≤或λ+μ≥2，∵B只能在优弧上，∴λ+μ≤，即λ+μ得最大值为．故答案为：（1），（2）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在锐角△ABC中，2asinB=b．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）求sinB﹣cos（C+）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）利用正弦定理化简b=2asinB，得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=．（Ⅱ）∵=sin（﹣C）﹣cos（C+）=sin（C+）﹣cos（C+）=2sinC，又∵A=，△ABC为锐角三角形，可得：＜C＜，∴＜sinC＜1，∴=2sinC∈（，2）．16．（13分）某社区超市购进了A ，B ，C ，D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i ，i=1，2，3，…，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）【解答】解：（I ）由题意可得：5××30=3000（件）．因此产品A 的月销售量约为3000（件）．（II ）一位顾客购买两种以上（含两种）新产品的概率==．现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的个数为ξ，则ξ～B （3，）．P （ξ=k ）=．随机变量X=2ξ的分布列为：EX==．（III）某顾客已选中产品B，为提高超市销售业绩，应该向其推荐B种新产品．17．（14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2，∠DAB=60°，∴CD=AB﹣2ADcos60°=1，即CD=AB．∵CD EF，CD AB，又BG=AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD=1，AB=2，∠DAB=60°，∴BD==，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴=（﹣1，0，1），=（0，，0），=（﹣，，1），设平面BDF的法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1得=（2，0，1），∴cos＜＞===﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h=0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则=（﹣，，h），=（1，0，0），设平面HAD的法向量为=（x，y，z），则，，∴，令y=得=（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴=﹣=0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．18．（13分）已知函数f（x）=e x﹣alnx﹣a．（Ⅰ）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于∀a∈（0，e），f（x）在区间上有极小值，且极小值大于0．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=e x﹣alnx﹣a，x＞0，由a=e，则f（x）=e x﹣e（lnx﹣1），求导f′（x）=e x﹣，由f（1）=0，f′（1）=0，∴y=f（x）在（1，f（1））处切线方程为y=0，（Ⅱ）由a∈（0，e），则导f′（x）=e x﹣，在（，1）上是单调递增函数，由f′（）=﹣e＜0，f′（1）=e﹣a＞0，则∃x0∈（，1）使得﹣=0，∴∀x∈（，x0），f′（x0）＜0，∀x∈（x0，1），f′（x0）＞0，故f（x）在（，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，∴f（x）有极小值f（x0），由﹣=0，则f（x0）=﹣a（lnx0+1）=a（﹣lnx0﹣1），设g（x）=a（﹣lnx﹣1），x∈（，1），g′（x）=a（﹣﹣）=﹣，∴g（x）在（，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）=0，即f（x0）＞0，∴函数f（x）的极小值大于0．19．（14分）已知椭圆E的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点M在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）设P（﹣4，0），直线y=kx+1与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，求k的值．【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则椭圆的焦点为（﹣1，0），（1，0），即c=1，点M在椭圆E上，由椭圆的定义可得2a=+=+=4，即a=2，b==，则椭圆方程为+=1；（2）由P在x轴上，直线PA，PB均与圆x2+y2=r2（r＞0）相切，可得k PA+k PB=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=0，即有x1y2+4y2+x2y1+4y1=0，由y1=kx1+1，y2=kx2+1，可得2kx1x2+（x1+x2）（4k+1）+8=0，①由直线y=kx+1代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，判别式△=64k2+32（3+4k2）＞0显然成立，x1+x2=﹣，x1x2=﹣，代入①，可得2k•（﹣）+（﹣）（4k+1）+8=0，解得k=1．20．（13分）若无穷数列{a n}满足：∃k∈N*，对于，都有a n+k ﹣a n=d（其中d为常数），则称{a n}具有性质“P（k，n0，d）”．（Ⅰ）若{a n}具有性质“P（3，2，0）”，且a2=3，a4=5，a6+a7+a8=18，求a3；（Ⅱ）若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c3=2，b3=c1=8，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质“P（2，1，0）”，并说明理由；（Ⅲ）设{a n}既具有性质“P（i，2，d1）”，又具有性质“P（j，2，d2）”，其中i，j∈N*，i＜j，i，j互质，求证：{a n}具有性质“”．【解答】（Ⅰ）解：∵{a n}具有性质“P（3，2，0）”，∴a n﹣a n=0，n≥2．+3由a2=3，得a2=a5=a8=3．由a4=5，得a7=5．∵a6+a7+a8=18，∴a6=10．即a3=10；（Ⅱ）解：{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．设等差数列{b n}的公差为d，由b1=2，b3=8，得2d=8﹣2=6，则d=3．∴b n=3n﹣1．设等比数列{c n}的公比为q，由c3=2，c1=8，得，又q＞0，∴q=，故．∴a n=b n+c n=3n﹣1+24﹣n．﹣a n=0，n≥1．若{a n}具有性质“P（2，1，0）”，则a n+2∵a2=9，a4=12，∴a2≠a4，故{a n}不具有性质“P（2，1，0）”．（Ⅲ）证明：∵{a n}具有性质“P（i，2，d1）”，∴a n﹣a n=d1，n≥2．①+i﹣a n=d2，n≥2．②∵{a n}具有性质“P（j，2，d2）”，∴a n+j∵i，j∈N*，i＜j，i，j互质，=a m+jd1，由②得a m+ij=a m+id2．∴由①得a m+ji∴a m+jd1=a m+id2，即．②﹣①得：，n≥2，∴，即{a n}具有性质“”．。
圆锥曲线031、给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O 的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围．【答案】解：（1）由题意知c =a ==1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+，将其代入椭圆方程可得 ………………6分223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±， ………………8分 所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+，或直线1l 的方程为2y x =-+，2l 的方程为2y x =+． ………………10分（3）由题意，可设(,),(,)B m n D m n -(m <，则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--u u u r u u u r， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--u u u r u u u r2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分又m <，故243()[0,732m -∈+，所以AB AD ⋅u u u r u u u r的取值范围是[0,7+． …………………………16分2、已知椭圆12222=+by a x 的两个焦点为)0,(1c F -、)0,(2c F ，2c 是2a 与2b 的等差中项，其中a 、b 、c 都是正数，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为23． （1）求椭圆的方程；（2）过点A 作直线交椭圆于另一点M ，求AM 长度的最大值；（3）已知定点)0,1(-E ，直线t kx y +=与椭圆交于C 、D 相异两点．证明：对任意的0>t ，都存在实数k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．【答案】解：（1）在椭圆中，由已知得222222b a b ac +=-= ········································ 1分过点),0(b A -和)0,(a B 的直线方程为1=-+by a x ，即0=--ab ay bx ，该直线与原点的距离为23，由点到直线的距离公式得：2322=+ba ab ······················································ 3分解得：1,322==b a ；所以椭圆方程为11322=+y x ··························································· 4分 （2）（文）设),(y x M ，则)1(322y x -=，422)1(2222++-=++=y y y x AM，其中11≤≤-y ···································································································································· 6分 当21=y 时，2AM 取得最大值29，所以AM 长度的最大值为223 ······························· 9分（3）将t kx y +=代入椭圆方程，得0336)31(222=-+++t ktx x k ，由直线与椭圆有两个交点，所以0)1)(31(12)6(222>-+-=∆t k kt ，解得3122->t k ································ 11分设),(11y x C 、),(22y x D ，则221316k ktx x +-=+，222131)1(3k t x x +-=⋅，因为以CD 为直径的圆过E 点，所以0=⋅，即0)1)(1(2121=+++y y x x ， ······································ 13分 而))((2121t kx t kx y y ++==221212)(t x x tk x x k +++，所以01316)1(31)1(3)1(22222=++++-+-+t kkt tk k t k ，解得t t k 3122-= ·································· 14分 如果3122->t k 对任意的0>t 都成立，则存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点．09)1(31)312(2222222>+-=---tt t t t t ，即3122->t k ．所以，对任意的0>t ，都存在k ，使得以线段CD 为直径的圆过E 点． 16分3、设直线0,11≠+=p p x k y L ：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．（1）若E 为CD 的中点，求证：2221ab k k -=⋅；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．【答案】（1）解法一：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y ……… …2分 212221212k a b pa k x x +-=+∴ ，p k a b pa k k y y 22212221121++-⋅=+212222k a b pb +=… ……4分 又2121221021022x x y y k y y y x x x ++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=21222pa k pb -=2221a b k k -=⋅∴…… ………7分 解法二（点差法）：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即0)(2)(222102210=-+-b y y y a x x x ……………………… ………3分222020221211k a b y a x b x x y y k ⋅-=⋅⋅-=--=∴ 2221a b k k -=⋅∴ ………………………………………………………………………7分（2）逆命题：设直线p x k y L +=11：交椭圆)0(12222>>=+Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．若2221ab k k -=⋅，则E 为CD 的中点． ……9分证法一：由方程组02)(12222212212222221=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=b a p a x pa k x k a b b y ax p x k y …………………………………… ……………10分 因为直线p x k y L +=11：交椭圆Γ于D C 、两点，所以0>∆，即022212>-+p b k a ，设),(11y x C 、),(22y x D 、),(00y x E则2122212102k a b pa k x x x +-=+=∴ ，212222102k a b pb y y y +=+=……………………12分 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=xk y k k p x x k y p x k y 21221又因为2221a b k k -=⋅Θ，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+===+-=-=0212222021221212y k a b p b x k y x k a b p k a k k px ，故E 为CD 的中点．……………………………14分 证法二：设),(11y x C ),(22y x D ),(00y x E则)1(12121=+b a ，)2(12222=+ba 两式相减得0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 即)()(21221221211y y a x x b x x y y k +⋅+⋅-=--=………………………………………………………9分 又0022221,x y k a b k k =-=⋅Θ，002121y x x x y y =++即0212211x pkx x x p x k p x k +=++++ ……………………………………………………12分12112x pk x x p k +=++∴得0212x x x =+0212y y y =+∴，即E 为CD 的中点．……………………………14分（3）设直线0,11≠+=p p x k y L ：交双曲线)0,0(12222>>=-Γb a b y a x ：于D C 、两点，交直线x k y L 22=：于点E ．则E 为CD 中点的充要条件是2221ab k k =⋅． (16)分。
