当前位置：文档之家 › 八年级培优9专题09 二次根式的概念与性质

八年级培优9专题09 二次根式的概念与性质

  • 格式：doc
  • 大小：563.75 KB
  • 文档页数：6

专题09 二次根式的概念与性质
阅读与思考
式子(0)aa叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：

1．0a．说明了a与a、a2一样都是非负数．
2．2a＝a（a≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3．200aaaaaa 揭示了与绝对值的内在一致性．
4．ababg （a≥0，b≥0） ．
5 ．aabb（a≥0，b＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
6．若a＞b＞0，则a＞b＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边
变形到等式的左边．

例题与求解
【例1】设x，y都是有理数，且满足方程11402332xy，那么xy的值是
____________． （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．

【例2】 当1≤x≤2，经化简，2121xxxx＝___________．
解题思路：从化简被开方数入手，注意a中a≥0的隐含制约．
【例3】若a＞0，b＞0，且35aabbab，求23abababab的值．
（天津市竞赛试题）
解题思路：对已知条件变形，求a，b的值或探求a，b的关系．

【例4】若实数x，y，m满足关系式：
35223199199xymxymxyxyg
，试确定m的值．

（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现（x－199＋y）与（199－x－y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探
索解题的突破口．

【例5】已知121423352ababcc，求a＋b＋c的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?
考虑从配方的角度试一试.

【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同
学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC
（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能
计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，
17a
（a＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面
积．

（3）若△ABC三边的长分别为2216mn，2294mn，222mn （m＞0，n＞0，且m≠n）
试运用构图法求出这个三角形的面积．
（咸宁市中考试题）
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角
三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练
A级

1．要使代数式23243xxx有意义．则x的取值范围是_____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．

已知a为实数，化简31aaa．
解：原式＝11aaaaaaag．
3．已知正数a，b，有下列命题：
（1）若a＝1，b＝1，则ab1；

（2）若a＝12，b＝52，则ab32；
（3）若a＝2，b＝3，则ab52；
（4）若a＝1，b＝5，则ab3．
根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab________．
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数a，b，c满足2112024abbccc，则ag（b＋c）的值为_______．

图2
C
B
A
图1
5．代数式12xxx的最小值是（ ）．

A．0 B．1＋2 C．1 D．不存在
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）．
A．2.5和20.5 B．3aa和3bb

C．2ab和2ab D．73abc和3cab
（“希望杯”邀请赛试题）
7．化简2296135xxx的结果是（ ） ．
A．6x－6 B．－6x＋6 C．－4 D．4
（江苏省竞赛试题）
8．设a是一个无理数，且a，b满足ab－a－b＋l＝0，则b是一个（ ）．
A．小于0的有理数 B．大于0的有理数
C．小于0的无理数 D．大于0的无理数
（武汉市竞赛试题）

9．已知2343aabbab，其中ab≠0，求5abababab的值．
（山东省中考试颗）

10．已知611与611的小数部分分别是a，b，求ab的值．
（浙江省竞赛试题）

11．设a，b，c为两两不等的有理数．
求证：222111abbcca为有理数．
（北京市竞赛试题）
12．设x，y都是正整数，且使116100xxy，求y的最大值．
（上海市竞赛试题）

B级
1．已知x，y为实数，y＝229913xxx，则5x＋6y＝_________．
2．已知实数a满足19992000aaa，则a－19992＝___________．
3．正数m，n满足m＋4mn－2m－4n＋4n＝3，那么2822002mnmn的值为_______．
（北京市竞赛试题）
4．若a，b满足35ab＝7，则s=23ab的取值范围是________．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数x，y满足x＋2y＝50，那么整数对（x，y）的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（江苏省竞赛试题）

6．已知1aa＝1，那么代数式1aa的值为（ ）

A．52 B．－52 C．－5 D． 5
（重庆市中考试题）
7．设等式axaayaxaay在实数范围内成立，其中x，y，a是两两不同

的实数．则代数式22223xxyyxxyy的值为（ ） ．
A．3 B．13 C．2 D．53
8．已知2225152xx，则222515xx的值为（ ） ．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．设a，b，c是实数，若a＋b＋c＝21a＋41b＋62c－14，求

abcbcacab
的值．

（北京市竞赛试题）

10．已知ax3＝by3＝cz3，1x＋1y＋1z＝1，求证：22233axbycza＋3b＋3c．
11．已知在等式axbscxd中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数．求：
（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数，
（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．
（“希望杯”邀请赛试题）

12．设s＝222222111111111122319992000，求不超过s的最大整数[s]．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，
DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式224129xx的最小值．
A

B
D
E
C

（恩施自治州中考试题）

合集下载

二次根式的概念及性质

二次根式的概念及性质

第十六章二次根式16. 1 二次根式第1课时 二次根式的概念和性质：«<1. 二次根式的概念和应用.2. 二次根式的非负性.重点二次根式的概念.难点二次根式的非负性.一、情景导入师：(多媒体展示)请同学们看屏幕电视节目信号的传播半径 r/km 与电视塔高h/km 之间有近似关系r = yj 2Rh(R 为地球半径).如 果两个电视塔的高分别为h i km , h 2 km ,那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果 ，并提问. 生：半径之比为亠2Rh ；,暂时我们还不会对它进行化简.师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简.如何进行二次根式的运算？如 何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容.二、新课教授活动1：知识迁移，归纳概念(1) 17的算术平方根是 __________ ；(2) 如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和4 cm 的三角形，斜边长应为 ____________ c m ；2(3) —个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m ,则它的宽为 _________________ m ;(4) 面积为3的正方形的边长为 ____________ ,面积为a 的正方形的边长为 ___________________ ;(5) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位: m)满足关系h = 5『.如果用含有h 的式子表示t ,则t= ______________ .【答案】(1).17 (2) 65 (3).65 (4) 3 a⑸- ；'5活动2:二次根式的非负性(多媒体展示) _(1) 式子.a 表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子."a 才有意义？(2) 当a >0时，百 ___________ 0；当a = 0时，需 ___________ 0；二次根式是一个 ____________ .【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数a 必须是非负数(2) > = 非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性.当a >0时，，a 表示a 的算术平方根，因此a > 0;当a = 0时，，a 表示0的算术平方根，因此,-/a = 0.也就是说，当a > 0时，• a 》0. ,这是东方明珠电视塔. (多媒体演示)用含根号的式子填空.三、例题讲解【例】当x 是怎样的实数时，x -2在实数范围内有意义？解：由 x — 2>0,得 x >2.所以当x > 2时，x — 2在实数范围内有意义.四、 巩固练习1. 已知，a — 2+ • b + 2= 0，求一a 2b 的值.【答案】，a — 2> 0, b +1 > 0,又•••它们的和为 0, ••• a — 2 = 0且b +1 = 0,解得a = 2, b 1=—2.2 2 1•••— a b = — 2 x (— ^) = 2.2. 若x , y 使 x — 1 + .1 — x — y = 3有意义，求2x + y 的值.【答案】—1五、 课堂小结 1.本节课主要学习了二次根式的概念. 形如a(a > 0)的式子叫做二次根式，“•_ ”称为二次 根号. 2.二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？ . a(a > 0)又是什么数？1. 本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发 师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2. 注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知 ，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第2课时二次根式的化简并能利用它进行计算和化简. ,探究.a 2= a(a > 0),并利用这个结论解决具体问题. 一、复习导入教师复习口述上节课的重要内容 ，并板书:1. 形如,a(a >0)的式子叫做二次根式.2. .a(a > 0)是一个非负数.那么，当a > 0时，(.a)2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题.二、新课教授活动1：(，0.01)2 = _______ ； ( 0)2= ________ .由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评. 老师点评：14是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，，4是一个平方等于 4的非负数，因此(.4)2：«<1. 理解(.a)2= a(a > 0),重点理解并掌握(.a)2= a(a > 0),a 2难点 探究结论. (多媒体演示)根据算术平方根的意义填空:( .4)2= __________ ； ( ,2)2 = __________ ；教师点评：当 a >0 时，.a 2= a ; 当 a w 0 时，a ?= — a.三、课堂小结 本节课应理解并掌握(a)2= a(a > 0)和a 2= a(a > 0)及其运用，同时应理解 a 2=— a(a < 0). 1.注意前后知识之间的联系 般的规律，降低学生理解的难度.,在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容•按照由特殊到一2.在总结二次根式性质的过程中 ，由学生经过观察、分析的过程 ，让学生在交流活动中体会 成功. =4.同理：(_2)2= 2; 所以归纳出：C a)2= a(a>0).【例1】教材第3页例2活动2：2_ 1 .=3 ； 2； (,0.01)2= 0.01; ( 0)2= 0.(多媒体展示)填空:.22= ________ ； ,0.12= _________教师点评：根据算术平方根的意义，我们可以得到:,22= 2; ；0.12= 0.1;所以归纳出：；a 2 =a(a > 0). 【例2】教材第4页例3。

二次根式的定义和性质

二次根式的定义和性质

八年级数学 第十六章：二次根式 自信自主 合作探究 学案导学 助你成功 主备：王胜峰 审核：王彩琼 16.1 二次根式的定义与性质

1 导学案 【学习目标】 1．了解二次根式的意义，会解决二次根式中字母的取值问题. 2. 掌握二次根式的两个性质，并能灵活运用.

【学习重难点】 重点： 利用二次根式的性质进行化简，二次根式中字母的取值问题. 难点： 熟练利用二次根式的性质进行化简.

【学习过程】

【探究活动一】复习回顾 引入新知 1、 复习 （1）什么叫平方根、算术平方根?

（2）说出下列各式的意义，并计算： ， ， ， ， ， ， ，

（3） 若a表示a的算术平方根，则a满足的条件是 ______.

2、自学思考题：

自学课本第2页，完成自学思考题.

（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

（2）2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、 1

xy、xy（x≥0，y•≥0）．

（3）当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？ 定义：_____________________________ 叫做二次根式. 对于 请同学们讨论论应注意的问题，总结： （1）式子 只有在条件___________________ 时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？

导学设计 【导学目标】 1、引导学生了解二次根式的意义.会解决二次根式中字母的取值问题； 2、引导学生熟练掌握二次根式的性两个性质. 【导学重难点】 重点： 利用二次根式的性质进行化简，二次根式中字母的取值问题. 难点： 熟练利用二次根式的性质进行化简.

【导学过程】 导入：同学们，在前面我们学习过平方根、算术平方根的定义，今天我们先对其知识进行复习，再学习与之联系的二次根式.（出示学习目标）（2分钟）

【导学一】复习回顾 引入新知 设置意图：从平方根和算术平方根引出二次根式的定义和性质，回顾旧知，引出新知，通过学生自主探究，生成二次根式的定义.同时感悟被开数的非负性以及二次根式存在的外在形态.（9分钟） 操作流程： 1、学生依据自学要求独立完成探究一. 2、教师巡回指导，关注全体学生. 3、小组推荐组代表口答复习内容. 4、小组交流讨论：二次根式定义是什么？ 5、各组组长推荐代表回答什么二次根式，它的表示形式是什么？ 6、各小组师傅点评徒弟答案. 7.教师归纳总结二次根式的两个条件： （1）有二次根号； （2）被开方数非负； 预见性问题：二次根式中被开方数的非负性学生可能不理解. 八年级数学 第十六章：二次根式 自信自主 合作探究 学案导学 助你成功 主备：王胜峰 审核：王彩琼 16.1 二次根式的定义与性质

二次根式的认识

二次根式的认识

二次根式的认识在数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

二次根式是数学中的一个重要概念，它在解方程、计算和几何等领域中具有广泛的应用。

本文将深入探讨二次根式的定义、性质和应用，帮助读者更好地认识和理解二次根式。

一、二次根式的定义二次根式的定义相对简单，就是非负实数的平方根。

其表示形式为√a，其中a ≥ 0，并且√表示根号符号。

例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。

同样地，√9 = 3，因为3的平方等于9。

在这些例子中，4和9都是非负实数。

二、二次根式的性质二次根式具有以下几个重要的性质：1. 二次根式的运算规则：二次根式具有与平方根相似的运算规则。

例如，√a * √b = √(ab)，√a / √b = √(a/b)。

这些运算规则在化简和计算二次根式时非常有用。

2. 二次根式的化简：有时，二次根式可以通过化简来简化其表达形式。

例如，√9 = 3，因为9是一个完全平方数。

类似地，√16 = 4，√25 = 5。

通过将二次根式转化为它们的平方形式，可以使计算更加方便。

3. 二次根式的加减运算：对于相同根的二次根式，可以进行加减运算。

例如，√2 + √2 =2√2，√3 - √3 = 0。

注意，根号下的数字必须相同才能进行此类运算。

4. 二次根式的大小比较：对于非负实数a和b，如果a < b，则√a <√b。

这意味着二次根式的大小顺序与根号下的数字的大小顺序相同。

三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 解方程：二次根式可以用于解关于二次根式的方程。

例如，方程√(x+2) = 4的解为x = 18。

2. 几何问题：二次根式可以用于计算几何图形的边长、面积和体积。

例如，在计算正方形的对角线长、圆的半径和球的体积时，常常会涉及到二次根式的计算。

3. 物理学中的运动问题：二次根式可以用于描述自由落体运动、弹射运动等物理过程中的速度、加速度和位移等量。

【初二上册数学】八年级秋季班-第1讲：二次根式的概念和性质

【初二上册数学】八年级秋季班-第1讲：二次根式的概念和性质


【例14】 化简： （1） 20a3 (a 0) ；
（2） 20a2b3 ；
（3） a2b5c4 (a 0) ；
（4） (a b)2 b2 （ a 0 ，b 0 ）．
【例15】 化简：
（1） (a2 1)2 ；
（2） (a b)2 ；
（3） 2a a2 (a 0)；
（4） (x 2)2 (x 5)2 (2 x 5) ．
bb a(a 0)
（2） a2 与 a 的关系： a2 a 0(a 0) ． a(a 0)
4 / 12
八年级秋季班
例题解析
【例13】 计算下列各式的值：
（1） 32 ；
（2） (3)2 ；
（3） (3)2 ；
（4） ( 3)2 ；
（5） ( 1 )2 ； （6） x2 2x 1(x 0) ． 5
3 / 12
八年级秋季班
师生总结 1、二次根式有意义的条件是什么？
模块二：二次根式的性质
知识精讲
1、二次根式的性质 （1）二次根式的性质：
性质 1： a2 a(a 0) ； 性质 2： ( a)2 a(a 0) ； 性质 3： ab a b （ a 0 ， b 0 ）； 性质 4： a a （ a 0 ， b 0 ）．
【例10】已知 x y 1 z 2 1 (x y z) ，求 x 、y 、z 的值 ． 2
【例11】若 a b 2 3 ，b c 2 3 ，求2(a2 b2 c2 ab bc ac) 的值．
【例12】若 z 适合 3x 5y 2 3z 2x 5y 3z x 2016 y 2016 x y ， 求 z 的值．
A．2 个
B． 3 个
C．4 个
D．5 个
【例2】添加什么条件时，下列式子是二次根式？ （1） x 4 ； （2） 1 ； （3） x2 y3 ； 1 | x |