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2020版试吧高中全程训练计划数学理天天练43

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百度文库 - 让每个人平等地提升自我

1 天天练 43 选修4系列

1．[2019·合肥市质检]已知直线l的参数方程为 x＝1＋12t，y＝3＋3t(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为sinθ－3ρcos2θ＝0.

(1)求曲线C的直线坐标方程；

(2)写出直线l与曲线C交点的一个极坐标．

解析：(1)∵sinθ－3ρcos2θ＝0，

∴ρsinθ－3ρ2cos2θ＝0，即y－3x2＝0.

(2)将 x＝1＋12t，y＝3＋3t代入y－3x2＝0，得3＋3t－31＋12t2＝0，即t＝0，从而，交点坐标为(1，3)，

∴交点的一个极坐标为2，π3.

2．[2019·沈阳质检]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x＝1＋22t，y＝2＋22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|.

解析：(1)由题意知，直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4.

(2)解法一 由(1)知，曲线C是以点(0,2)为圆心，2为半径的圆，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝22，则|AB|＝2× 4－12＝14.

解法二 由 x－y＋1＝0，x2＋y2－4y＝0可取A，B两点的坐标分别为百度文库 - 让每个人平等地提升自我

2 1＋72，3＋72，1－72，3－72.

由两点间的距离公式可得|AB|＝14.

解法三 设A，B两点所对应的参数分别为tA，tB，

将 x＝1＋22t，y＝2＋22t代入x2＋y2－4y＝0，并化简整理可得t2＋2t－3＝0，

从而 tA＋tB＝－2，tAtB＝－3，因此|AB|＝tA＋tB2－4tAtB＝14.

3．[2018·全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.

(1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

解析：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．

由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．

当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点． 百度文库 - 让每个人平等地提升自我

3 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.

经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；

当k＝43时，l2与C2没有公共点．

综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.

4．已知x，y，z是正实数，且x＋2y＋3z＝1.

(1)求1x＋1y＋1z的最小值；

(2)求证：x2＋y2＋z2≥114.

解析：(1)1x＋1y＋1z＝1x＋1y＋1z(x＋2y＋3z)＝6＋2yx＋xy＋3zx＋xz＋3zy＋2yz≥6＋22＋23＋26，当且仅当x＝2y＝3z时，等号成立．所以1x＋1y＋1z的最小值为6＋22＋23＋26.

(2)证明：由柯西不等式得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝1，所以x2＋y2＋z2≥114，当且仅当1x＝2y＝3z，即x＝114，y＝17，z＝314时等号成立．

5．[2019·唐山模拟]已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使f(x)<2成立．

(1)求实数m的值；

(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝6，求证：4α＋1β≥94.

解析：(1)∵|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，

∴若存在实数x使|x－m|＋|x|<2成立，则|m|<2，解得－2

∵m∈N*，∴m＝1.

(2)∵α，β>1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，

∴α＋β＝4.

∴4α＋1β＝14(α＋β)4α＋1β＝145＋4βα＋αβ≥145＋24βα·αβ＝94，当且百度文库 - 让每个人平等地提升自我

4 仅当α＝2β＝83时取等号．

6．[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝ －2，x≤－1，2x，－1＜x＜1，2，x≥1.

故不等式f(x)＞1的解集为x x＞12.

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；

若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为x0＜x＜2a，

所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．

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2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练26

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天天练26 空间点、线、面的位置关系

小题狂练○26

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

答案：D

解析：由异面直线的定义可知D正确．

2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是(

)

答案：D

解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.

3．[2019·益阳市、湘潭市调研]下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(

)

A．①③ B．②③

C．②④ D．②③④ 答案：C

解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C.

4．[2019·银川模拟]已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )

A．m⊥n B．m∥n

C．m与n相交 D．m与n异面

答案：A

解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.

当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.

5．[2019·山西临汾模拟]已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是( )

2020版试吧高中全程训练打算数学理模拟考三

2020版试吧高中全程训练打算数学理模拟考三

模拟考(三) 高考仿真模拟冲刺卷(C)

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．

1．[2019·福州模拟]假设复数a1＋i的模为22，那么数实a＝( )

A．1 B．－1

C．±1 D．±2

答案：C

解析：a1＋i＝a1－i1＋i1－i＝a2－ai2，∵a1＋i＝22，∴ a22＋－a22＝22，解得a＝±1.应选C.

2．[2019·河南开封模拟]设U＝R，已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>a}，且(∁UA)∪B＝R，那么实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) B．(－∞，1]

C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

答案：A

解析：∵U＝R，集合A＝{x|x≥1}＝[1，＋∞)，∴∁UA＝(－∞，1)．由B＝{x|x>a}＝(a，＋∞)和(∁UA)∪B＝R可知实数a的取值范围是(－∞，1)．应选A.

3．[2018·北京卷]设a，b，c，d是非零实数，那么“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )

A．充分而没必要要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也没必要要条件

答案：B

解析：a，b，c，d是非零实数，假设a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，那么a，b，c，d不成等比数列(能够假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．假设a，b，c，d成等比数列，那么由等比数列的性质可知ad＝bc.因此“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

应选B.

4．设x∈[0,3]，执行如下图的程序框图，从输出的结果中随机取一个数a，那么“a≤5”的概率为( )

A.23 B.56

C.27 D.57

答案：C

解析：由程序框图可知y＝ x＋3，0≤x<2，x2＋1，2≤x≤3，该函数的值域是[3,10]，因此所求概率为5－310－3＝27.

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练35

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练35

天天练35 统计案例

小题狂练○35

一、选择题

1．一个年级有12个班，每一个班有50名同窗，随机编号为1～50，为了了解他们的课外爱好，要求每班编号为40的同窗留下来进行问卷调查，那个地址运用的抽样方式是( )

A．抽签法 B．分层抽样

C．随机数法 D．系统抽样

答案：D

解析：依照系统抽样的概念知选D.

2．[2019·云南玉溪一中模拟]整体由编号为01,02,03，…，49,50的50个个体组成，利用随机数表(以下摘取了随机数表中第1行和第2行)选取5个个体，选取方式是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，那么选出来的第4个个体的编号为( )

66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 64 09 68 76 83 20 37 90

57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86

A．05 B．09

C．11 D．20

答案：B

解析：从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始，依次是14,05,11,09，那么第四个数字是09，应选B.

3．[2019·贵州遵义联考]某校高三年级有1 000名学生，随机编号为0001,0002，…，1 000.现按系统抽样方式，从中抽出200人，假设0122号被抽到了，那么以下编号也被抽到的是( )

A．0927 B．0834

C．0726 D．0116

答案：A

解析：系统抽样确实是等距抽样，被抽到的编号知足0122＋5k，k∈Z.因为0927＝0122＋5×161，应选A.

4．[2019·江西九校联考(一)]一组数据共有7个数，其中有10,2,5,2,4,2，还有一个数没记清，但明白这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，那么那个数的所有可能值的和为( )

A．3 B．17

C．－11 D．9

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练30

2020版试吧高中全程训练打算数学文天天练30

天天练30 椭圆的概念、标准方程及性质

小题狂练○30

一、选择题

1．椭圆x24＋y2＝1的离心率为( )

A.12 B.32

C.52 D．2

答案：B

解析：由题意得a＝2，b＝1，那么c＝3，因此椭圆的离心率e＝ca＝32，应选B.

2．[2019·佛山模拟]假设椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为12，那么mn＝( )

A.34 B.43

C.32或233 D.34或43

答案：D 解析：假设核心在x轴上，那么方程化为x21m＋y21n＝1，依题意得1m－1n1m＝14，因此mn＝34；假设核心在y轴上，那么方程化为y21n＋x21m＝1，同理可得mn＝43.因此所求值为34或43.应选D.

3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个核心F1的直线与椭圆交于A，B两点，那么A与B和椭圆的另一个核心F2组成的△ABF2的周长为( )

A．2 B．4

C．8 D．22

答案：B

解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，因此a＝1.依照椭圆的概念，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.应选B.

4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C的两个核心，P是C上的一点．假设PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，那么C的离心率为(

)

A．1－32 B．2－3

C.3－12 D.3－1

答案：D

解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆核心在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，那么|PF2|＝1，|PF1|＝3，

由椭圆的概念可知，方程x2a2＋y2b2＝1中，2a＝1＋3，2c＝2，

得a＝1＋32，c＝1，

因此离心率e＝ca＝21＋3＝3－1.应选D.

5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P1，22是椭圆x2a2＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右极点，那么△PAB的面积为( )