八年级数学二次根式提高培优复习过程

二次根式总结提升【本章知识框架】【教学过程】类型之一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围根据二次根式的定义，式子a中，被开方数a必须是非负数，即a≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围．例1x为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？(1)13x＋2；(2)x2＋2；(3)x＋1x－2；(4)x＋53－x.[归纳总结] 在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，常常从以下三个方面来考虑：①被开方数大于或等于0；②分母不等于0；③零次幂的底数不能为0.针对训练1．要使3－x＋12x－1有意义，则x应满足()A.12≤x≤3 B．x≤3且x≠12C.12<x<3 D.12<x≤32．若y＝2x－2015＋2015－2x－1，则2x＝______，y＝______.类型之二二次根式性质的应用对于形如a2的二次根式的化简，用公式a2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a<0）.例2计算：－2x×x2.[归纳总结] 在化简被开方数中含有字母的二次根式时，首先要判断字母的符号．对于形如a2的式子的化简，首先应化成|a|的形式，再根据a的取值进行计算．针对训练3．已知x<1，则化简x2－2x＋1的结果是()A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．1－x4．实数a，b在数轴上的位置如图16－T－1所示，那么化简|a－b|－a2的结果是()图16-T-1A．2a－b B．b C．－b D．－2a＋b类型之三二次根式的非负性的应用由a≥0，b≥0且a＋b＝0得到a＝b＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．这类题目的一般形式有如下几种：x＋y＝0；x＋|y|＝0；x＋y2＋|z|＝0等．例3已知△ABC的三边a，b，c满足(a－5)2＋b－5＋|c－1－2|＝0，则△ABC为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[归纳总结] 在一个方程里有几个未知数，需利用非负数的性质确定各未知数的大小．针对训练5．若实数a，b满足|a＋2|＋b－4＝0，则a2b＝________．6．若a2－3a＋1＋b2＋2b＋1＝0，则a2＋1a2－||b＝________．类型之四 二次根式的混合运算二次根式混合运算的顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律(分配律、结合律、交换律等)，所有的乘法公式(平方差公式、完全平方公式等)在二次根式的运算中仍然适用．例4 计算：(1)3220×(－15)÷⎝⎛⎭⎫－1348； (2)18－92－3＋63＋(3－2)0＋（1－2）2.例5 计算：(－3)0－27＋||1－2＋13＋2.针对训练7．化简：3(2－3)－24－︱6－3︱＝________.类型之五 与二次根式有关的化简求值将包含二次根式的代数式化简求值时，可以先把原式化简后再代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求值．例6 先化简，再求值：a 2－b 2a ÷⎝⎛⎭⎫2ab －b 2a －a ，其中a ＝1＋2，b ＝1－ 2.[归纳总结] 分式的化简离不开因式分解，将分式的分子、分母分别分解因式，便于约分与通分．在分式的混合运算中常常将分式的除法转化为乘法运算．针对训练8．已知x ＝2－10，试求代数式x 2－4x －6的值．类型之六 二次根式在实际生活中的应用与二次根式有关的实际生活的应用题主要表现在两个方面：一是用二次根式或含二次根式的式子表示未知量，二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简．例7 如图16－T －2，Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1 cm /s 的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2 cm /s 的速度向点C 移动(△ABC 的边足够长)．问：几秒后△PBQ 的面积为35 cm 2？(结果用最简二次根式表示)图16－T －2[归纳总结] 本题将直角三角形的边长用含有t 的式子表示出来，然后利用直角三角形的面积解决．本题的易错点是求三角形的面积时忘记除以2.针对训练9．根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过1－⎝⎛⎭⎫v c 2秒，公式内的v 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速(约30万千米/秒)．假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟20岁，哥哥乘着以光速0.98倍的速度飞行的宇宙飞船在宇宙旅行5年后回来了，这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论．学习二次根式六注意1．注意被开方数是非负数因为任何实数的平方都大于或等于零，所以二次根式的被开方数也应大于或等于零．例1已知1－x2y3有意义，试求x，y的取值范围．2．注意合并被开方数相同的二次根式例2计算：2 2＋27－8－31 3.3．注意化去分母中的根号例3化简：12－1＋23＋1.4．注意乘法公式的巧妙运用例4已知m＝1＋2，n＝1－2，求代数式m2＋n2－3mn的值．5．注意运算顺序例5计算：（1－3）2－24×12＋12－3.6．注意隐含条件的挖掘例6把(a－b)－1a－b化成最简二次根式，正确的结果是()A.b－aB.a－b C．－a－b D．－b－a练习1．下列四个数中，是负数的是()A.||－2B．(－2)2 C．－ 2 D.（－2）22．若x<0，则x－x2x的结果是()A．0 B．－2 C．0或－2 D．23．若最简二次根式524x2＋1与(x＋1)6x2－1能合并，则x的值为()A．1 B．0 C．－1 D．1或－14.5－12________12(填“>” “<”或“＝”)．5．化简：18＋2－12＋1－418.。

初二上数学培优讲义三A-B-二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练初二上数学培优讲义三 B 二次根式单元复习与巩固及勾股定理提高训练一、基础知识梳理：1．二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式。

2．二次根式的性质：(1)=2)(a （a≥0）；(2)a0(a≥0)；(3)⎪⎩⎪⎨⎧<=>==)0___()0___()0___(____2a a a a3．二次根式的乘除：(1)计算：{⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b ab a b a 除法运算：乘法运算： (2)化简：⎪⎩⎪⎨⎧>≥=≥≥=⋅)0,0___()0,0___(b a b ab a b a4．二次根式的加减：(1)法则： . (2)概念：⎩⎨⎧同类二次根式：最简二次根式：.2.1 二、考点与题型训练：（一）考点一：二次根式的概念与性质经典训练 【例1】填空题：（1）()23-的平方根是 ；16的算术平方根是 ；25-的算术平方根是 ；38的立方根是 。

（2）若x21-有意义，则x ；若321-x 有意义，则x 。

（3）若x -2有意义，则()22x -＝ 。

（4）若a ＜0，则a a -2＝ ；若b ＜0，化简ba b ab a 32+＝ 。

巩固练习： 1、式子1313--=--x xx x 成立的条件是（ ）A 、x ≥3B 、x ≤1C 、1≤x ≤3D 、1＜x ≤32、下列等式不成立的是（ ） A 、()aa =2B 、aa =2 C 、33aa -=- D 、a aa -=-13、若x ＜2，化简()xx -+-322的正确结果是（ ）A 、－1B 、1C 、52-xD 、x 25- 4、式子3ax --（a ＞0）化简的结果是（ ） A 、axx - B 、axx-- C 、axxD 、axx-（5）若2=+m m ，则m ；若()13312-=-a a ，则a；若12-=aa ，则a ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是 ；（二）考点二、同类二次根式与二次根式的化简： 【例2】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？213，75，–11116，3，x 2x y，332xy ，x 33，13x 3y【例3】计算 ： (1)(212–1575)–(0.8–127) (2)43–118+13–7198巩固练习：计算： (1)1210·(315–56)(2)(x 3y –3xy+xy 3)÷xy(3) 12–3÷(2+3) (4)(26–5)(2+3)2（三）．考点三、思想方法： 1.整体思想：利用平方差公式找有理化因式化简【例4】化简下列各式：(1)m –n m –n (m>0,n>0)(2)a+b+2ab a+b –a b –b a ab(a>0,b>0)2.分类思想：【例5】化简：x 2+x 2–2x+13.二次根式的非负性：【例6】(1)已知y=2x –1+1–2x+3，求x y 的值.(2)已知：△ABC 的三边长a 、b 、c ，a 、b 满足b 2+a –1+4=4b 求c 的取值范围. 跟踪训练：1、()221-的平方根是 ；8149的算术平方根是 ； 2、当a 时，23-a 无意义；322xx +-有意义的条件是 。

二次根式（二） 姓名_________【知识储备】1、基本概念： 定义：形如a 0)(a ≥的式子叫二次根式。

→二次根式的实质是a 的算术平方根。

最简二次根式：被开方数中不含分母、被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2的不能再继续化简的二次根式叫做最简二次根式。

二次根式的运算目标就是要化为最简二次根式。

同类二次根式：化为最简后，被开方数相同的几个二次根式叫做同类二次根式。

有理化因式：两个二次根式相乘，根号被去掉，这两个二次根式由无理数变为了有理数，那么这两个二次根式叫做互为有理化因式。

2、核心运算：分母有理化把分母中的根号化去，使分母由无理数变为有理数的过程叫做分母有理化。

分母有理化的关键是找准有理化因式：①分母为单项式：不管系数；②分母为多项式：要管系数（配成平方差）。

4、运算法则：（1）乘法法则：)0,0(≥≥=∙b a ab b a ; （2）除法法则： ）0,0(b a>≥=b a ba ; （3）加减法法则：二次根式的加减就是合并同类二次根式。

5、四个重要公式：①a )a (33=; ②a a 33=； ③()a a 2=; ④a a 2=。

6、常用模型：一个代数式中同时存在两个二次根式且其被开方数互为相反数，必然是“0和0”和组合。

【专题讲解】1、有理化因式：转化为和、差、积运算。

例1、设2323+-=x ，2323-+=y ，求22y x x y +。

【提示：立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+】1、已知25+=a ，25-=b ，求722++b a 的平方根。

2、已知21+=m ，21-=n ，求代数式mn n m 322-+的值。

3、计算：20132012)7574()7574(+-例2、（2014.全国初中数学竞赛初三初赛）已知6x y -=9=，则-的值是 。

练习：（2015.全国初中数学联赛初三初赛）已知2241622=---x x ，则=-+-22416x x _________。

初二数学培优学案（3）-----实数 二次根式及运算 最简二次根式一、 实数（一）典型例题1. 已知22(4)0,()y x y xz -+++求的平方根。

2. a 2，小数部分为b ，求-16ab-8b 的立方根。

3. 已知m ，n 是有理数，且2)(370m n +-+=，求m ，n 的值。

4. △ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 2440b b -+=，求c 的取值范围。

（二）练习1.已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。

2. 2(1)0,b -= 。

3. 已知x y y +=则= 。

4. 已知实数a 满足21999,1999a a a -+=-=则 。

5. 已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++=-，则x+y= 。

6. 已知实数a 满足0,11a a a =-++=那么 。

7. 设A B =则A 、B 中数值较小的是 。

二、 二次根式及其运算（一） 典型例题例1.（1）44162+⋅-=-x x x 成立的条件是（2）x x -=-2)2(2成立的条件是（3）2121+-=+-x x x x 成立的条件是例2（1）化简： =24 . =⨯1259 . =-222129 =c b a 324 . =499 =944 =224cb a =⋅1510 . =⋅x xy 1312 =÷65321 （2）判断题：下列运算是否正确.（ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=⨯ （ ）（3）636)9()4(94==-⨯-=-- （ ）（4）5125432516925169=⨯=⋅= （ ）（5）5.045.16= （ ）（6）73434342222=+=+=+（ ）（7）228= （ ）（8）32123= 例3. （1）)2732(3+ （2）24)654(- (3) )82(2+ (4) a a a 5)5320(+ (5) ab abb a a b ab ⋅--+)12( （6）21223222330÷⨯ （7）)23(62325b a a b b a ab b -⨯÷（二）练习计算324213-+⋅-三、 最简二次根式及有理化 什么是最简二次根式（1）被开方数因数是整数，因式是整式．（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a =来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定．如: a a同类二次根式(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。

二次根式单元复习内容分析二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．知识结构班假暑级年八2 / 121. 二次根式的概念代数式a （0a ≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． 2. 最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式． 4. 有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围： （1）32x -； （2）21x x --；（3）245x x --；（4）12x x +-； （5）311x x++-．【例2】已知222112210x x y z z -++++-+=，求19971998x y z ++的值．模块一：二次根式的相关概念例题解析知识精讲【例3】已知：x 、y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+．【例4】已知1213123y x x =-+-+求代数式y y x y x y--+的值．【例5】已知实数a 满足：20162017a a a -+-=，求22016a -的值．1、二次根式的性质： 性质1()20a a a =≥；2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；性质2 ()2()0a a a =≥；知识精讲师生总结1、 二次根式有意义的条件是什么？2、 如何判断同类二次根式与最简二次根式？模块二：二次根式的性质班假暑级年八4 / 12性质3ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥；性质4a ab b= ()0,0a b ≥>．【例6】设a b c 、、分别是三角形三边的长，化简： 222()()()a b c b c a c b a --+-++--．【例7】化简二次根式：21b b b +-= ．【例8】 化简．（1）()()332900x y x y x y +≥，≥；（2）2322442b a a b ab a b b+++（3）()2222790a a b a +≥；（4）()3223244202y x y x y xy x y x y y -+>>-【例9】m 是2的小数部分，求2212m m +-的值．例题解析【例10】 已知：22425a b a b ++-=-，求b aa b-+-的值．【例11】已知10x x --=，求221144x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．【例12】 化简：（1）9214-；（2）16415-．【例13】 已知2225152x x ---=．则222515x x -+-的值为__________．．1、二次根式的加减法实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2、最简二次根式的乘除法：知识精讲模块三：二次根式的运算师生总结1、 二次根式有哪些性质？班假暑级年八6 / 12（1）(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥； （2）(0,0)a aa b bb=≥>． 3、分母有理化：将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；()()a b a b a b +-=-(0,0)a b ≥≥．4、二次根式的混合运算：实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．【例14】 将下列式子分母有理化： （1）23102310+-；（2）2244x x x x +---； （3）221111x xx x+++-+．【例15】 计算下列各式：（1）；（2）()4442a b a ab b a b-÷++-；（3）a b bab ab a b a b ⎛⎫-÷+ ⎪ ⎪++⎝⎭．11x y y x y x ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题解析【例16】已知：1223x=-，1223y=+，求223x y xy++的值．【例17】已知：223a=-，求：2211a aaa-+-的值．【例18】已知15aa-=，求1aa-的值．【习题1】化简：随堂检测（1； （2【习题2】 化简下列各式．（1（2）2--；（3）1(102(0)3m m >；（4()370,0a m ⎛<< ⎝．【习题3】 把下列各式分母有理化： （1)a b ≠；（2；（3-．【习题4】 已知：a b ，求225a ab b -+的值．【习题5】 a=，求1x x+的值．【习题6】 化简下列各式．（1）2(a a b ÷（2÷【习题7】 x ，小数部分为y ，试求1x y y++的值= ．班假暑级年八10 / 12【习题8】 已知02x <<，化简：22442222x x xx++++-．【作业1】 已知a 、b 分别为等腰三角形的两条边长，且a 、b 满足43632b a a =+-+-，求此三角形的周长．【作业2】 计算．（1）333y x xy x y xy x y+-+；（2）11(30.54 1.5)(0.244)22+--．课后作业【作业3】 计算．（1（2）⎛ ⎝．【作业4】 计算．（1；（24-÷．【作业5】 化简求值：22222a ab b a b ++-，其中a ，b =【作业6】 化简：（1（2【作业7】已知a =．【作业8】 已知11327m n ==，+的值．【作业9】设x =，y =，n 为自然数，如果22219721993x xy y ++=成立，求n 值.。

《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例（ ）A.--分析a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==-，故选C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=则(a 1-===故应填-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题例1.x y 、6y =-，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a +=，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0≥，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪ ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住23a 0-≥，可求得a0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决.追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-+=,化简并求22222a ab a abb a b +-+-的值？3.若2m 6m 9-+xy 的值？ 4.5.已知2014a a -+=，试求2a 2014-的值？三、逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简： 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b ==∴22a b -=-=,L等，即逆用()2a a 0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎭=22⎛⎫+=ab+⋅=abab++=ab ab-==a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2aa 0=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21=-=点评：逆用()2a a 0=≥即()2a a 0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a 0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.. 2.化简：⎫3.已知：y18=a 计算或化简.例1.若0m 1<<111m 1m⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭. 分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m 2m+-可以借助因式分解的方法化成21m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m 1<<2111m m m m m m -=-=-=∴原式=()()21m 1m 1m 11m 11m1m m 1m m m 11m 1m +---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯= ⎪++++⎝⎭. 例2.若ab c 、、为ABC 的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.==点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及a=的这个二次根式的性质.a抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2a的形式；a；最后根据绝对值的代数意义[ 即()()a a0aa a0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩] 来化简.追踪练习：1.计算：①(()2101---+；②.2. 实数m n、如图所示：请化简+3. 1=a？五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简.例.计算：1.))2015201544；2.(21+； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡=+=-+-+==-⎣L3.原式22235⎡⎡==-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想.追踪练习：1.计算：①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤. ))2015201622；⑥. (11+.2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a是1-b5+的小数部分，c abc的值？分析：由..,14014123<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c、、的值.略解：∵..,14014123<<∴,,61575823-<-<-<<∴,,a5b572c2=-=-==11-mn∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因.追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？ 2.已知a b 、分别为6-2a b -的值？3.5+的小数部分是a，5b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x是6y2的小数部分，z是)12--的整数部分，求22x z y z -的值？6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表n表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？七、整体代换·巧变求值.例1.已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了.略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.略解：∵a b=∴((,22ab 1a b 22434314==+==+=++-=L L2a b 11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想， “两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x 2=-2x 4x 6--的值？2.已知：,11a b 22==，求：①.22a ab b -+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z -=-，求222x y z xy xz yz ++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例.的大小.分析：若我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n ==，则m n===∴m n > ∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”， 通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或 “=”）3..4.设a ＞b ＞c ＞d ＞0且，x y z ===．试比较x 、y 、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x 1+ 分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x 1+得x 1>∴(1x 1>∵10<∴x =∴x 1=--例2.解方程组：2y +=+=分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y += ③③-②得：y =将y ==解得：x∴原方程组的解是x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1+2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm ，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积. 略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-=⨯⨯=此矩形的面积为：66==-=故矩形另一边长为(cm ，而矩形的面积为2例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论： ①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB ⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=，h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥===求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内（阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。

二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。

2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。

3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。

届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。

双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。