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高考数学创新题的几个命制方向
作者：童其林
来源：《广东教育·高中》2014年第03期
在近几年各省市的高考试卷中都有几个创新题，无论是试题形式的设计，考试内容的选择，考查思维的深度，问题情景的创设等，都给人耳目一新之感，呈现了“重点突出，焦点集中，亮点璀璨”的特色，准确阐释了高考命题的思想和原则.具体来说，创新题有哪些命制方向呢？下面我们通过高考题或模拟题做个归类分析.
创新题命题方向之一：定义“新概念”或“新运算”型
新信息题成为高考试题改革的一个新的亮点，通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主要考查学生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的.
给出几个在结构上类似的等式或不等式，通过应用其相似性把信息从一个对象转移到另一个对象获得对有关问题的结论或在其性质上有相同或相似的一种推理形式，实现信息的转化，达到求解的目的.类比是创造性的“模仿”，联想是“由此及彼”的思维跳跃，编制题目引导考生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法，问题的结论等引申推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养同学们的创新思维，又有利于提高同学们举一反三、触类旁通的应变能力.
（作者单位：福建省永定县城关中学）
责任编校徐国坚。
高考数学创新题解题策略：高考数学创新题解题策略毕业论文创新推动着人类社会的不断进步，创新题在高考数学中能很好地把优秀考生和普通考生区分开来.数学创新试题相比于传统试题来说, 具有以下鲜明的特点: 背景新颖, 内涵深刻, 设问方式灵活，要求考生进行细致观察、认真分析、合理类比、准确归纳后才能实现, 它是以问题为核心, 以探究为途径、以发现为目的, 考查考生创新意识和创新能力的有效题型. 本文对高考数学创新试题的六种题型进行解析及揭秘其解题策略.1. 新型定义型试题新型定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力.例1. 已知集合M?哿R，若实数x0满足：?坌t>0，?埚x∈M，0<x-x0A.②③ B. ①④ C. ①③ D. ①③④分析：本题新定义“聚点”，结合集合、简易逻辑及不等式知识进行综合考查，考生只需依据新的定义概念，结合绝对值不等式知识，对定义进行验证，即可解决问题.解析：对于集合①0，■，■，…，若取t=■，则不存在x∈■|n∈N，满足0<x-0<■，即不存在x∈m，使得0<x-0<t，从而0不是集合■|n∈n的聚点；集合②除去0这个实数，很明显，对任意的t，都存在x=■（实际上任意比t小的数都可以），使得0<x-x0=■■，也就是说t>■，那么取x=■，有0<x-0 例2. 对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，已知两个开区间M=（a，b）、P=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b<c+d，ab=cdA （a，b）∪（c，d） B （a，c）∪（b，d）代写论文C （a，d）∪（b，c）D （c，a）∪（d，b）分析：本题以集合、不等式为背景，定义一个运算，关键对A?茌B中的元素x∈A∪B，x?埸A∩B有透彻理解，转化为学过的集合知识，进行知识迁移，已知条件中对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，可知M?茌P={x|x∈M∪P，x?埸M∩P}，而两个开区间M=（a，b）、P=（c，d）也可以看作两个集合M={x|a<x<b}，n={x|c<x解析：设ab=cd=t（t<0），则a<0<b，c<0<d.构造函数f（x）＝x2-（a+b）x+t，g（x）=x2-（c+d）x+t，则a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，c、d为方程g（x）=x2-（c+d）x+t=0的两个根.因为f（c）=c2-（a+b）c+cd=c[（c+d）-（a+b）]<0，因为a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，f（a）=f（b）=0，而f（c）<0，故由二次函数图像可知，c在（a，b）之间，所以a<c<b，而c<0<d，故a<c<d；同样可以证得：c<b<d，所以a<c<b解题策略：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法.。
新高考背景下创新试题的命制历程∗Ә任伟芳㊀㊀(宁波市教育局教研室ꎬ浙江宁波㊀３１５０００)㊀㊀摘㊀要:命制一个问题比解决一个问题更加困难ꎬ充满着不可预知的魅力ꎬ也向无数喜爱命题的研究者及一线教师提出了挑战.创新试题的编制过程犹如加工一件精致的艺术品ꎬ采用改编㊁类比㊁挖掘㊁构造等编题方法ꎬ数学地思考问题ꎬ加强解题研究ꎬ学会用精湛的命题艺术去呈现数学的美妙.关键词:题目研究ꎻ高考复习ꎻ创新试题ꎻ命制过程中图分类号:Ｏ１２３.１㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)１１￣００２５￣０５㊀㊀提出一个问题往往比解决一个问题更为重要ꎬ因为解决一个问题也许只是一个数学上或实验上的技巧问题.而提出新的问题㊁新的可能性ꎬ从新的角度看旧问题ꎬ却需要创造性的想象力[１].提出问题需要创新能力ꎬ因而命制一个问题比解决一个问题更加困难ꎬ充满着不可预知的魅力ꎬ也向无数喜爱命题的研究者及一线教师提出了挑战.为了促进教师的专业成长ꎬ掌握科学命题的基本原理和方法ꎬ提高考试命题的技术和水平ꎬ发挥以评价引领课堂教学的作用ꎬ近日浙江省宁波市教育局教研室开展了以 新高考背景下的创新试题命制 为主题的教学比武活动ꎬ一线数学教师踊跃参加ꎬ颇受好评.下面笔者整理了命制受到较高评价的部分试题以及近几年对试题命制方法的一些感悟ꎬ以例谈的方式与各位同行交流命制试题的过程ꎬ敬请批评指正.１㊀改编教材题目教材是 教师教 和 学生学 的主要凭借ꎬ是教师进行教学的具体依据ꎬ是学生获得系统知识㊁发展智力㊁提高素养的重要工具.教材中有很多体现核心知识㊁基本方法的学习内容ꎬ也有很多经典的例题㊁习题.可以根据需要ꎬ通过变更问题的结构㊁改变题设的数据和设问方向等来改编教材题目.１.１㊀题目来源例１㊀设点ＡꎬＢ的坐标分别为(－５ꎬ０)ꎬ(５ꎬ０)ꎬ直线ＡＭꎬＢＭ相交于点Ｍꎬ且它们的斜率之积是－４９ꎬ求点Ｍ的轨迹方程.(人教Ａ版«数学(选修２￣１)»第４１页例３)我们一再地改变它㊁重新叙述它㊁变换它ꎬ直到最后成功地寻到某些有用东西为止[１].因此旧的问题解决后再从新的角度多方向探究问题ꎬ对设计发现新问题来说显得弥足珍贵.探究方向１㊀探索特殊到一般是否成立.改编１㊀设点ＡꎬＢ的坐标分别为(－ａꎬ０)ꎬ(ａꎬ０)ꎬ直线ＡＭꎬＢＭ相交于点Ｍꎬ且它们的斜率之积是－ｂ２ａ２(其中ａ>０ꎬｂ>０)ꎬ求点Ｍ的轨迹方程.改编２㊀设点ＡꎬＢ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)上关于坐标原点Ｏ对称的两个点ꎬ点Ｍ是椭圆上异于点ＡꎬＢ的任意一点ꎬ记直线ＡＭꎬＢＭ的斜率分别是ｋ１ꎬｋ２ꎬ问:ｋ１ｋ２是否为定值?证明㊀设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(－ｘ１ꎬ－ｙ１)ꎬＭ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｋ１ｋ２＝ｙ０－ｙ１ｘ０－ｘ１ｙ０＋ｙ１ｘ０＋ｘ１＝ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１ꎬ又点ＡꎬＢꎬＭ在椭圆上ꎬ从而ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１.联立化简ꎬ得㊀㊀㊀ｙ２０－ｙ２１ｘ２０－ｘ２１＝－ｂ２ａ２ꎬ故ｋ１ｋ２＝－ｂ２ａ２为定值.结论１㊀设ＡＢ为任意一条过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１∗收文日期:２０１８￣０５￣３０ꎻ修订日期:２０１８￣０６￣３０基金项目:全国教育科学 十三五 规划２０１８年度教育部重点课题(ＤＣＡ１８０４１９)作者简介:任伟芳(１９６６ )ꎬ男ꎬ浙江宁波人ꎬ中学高级教师.研究方向:数学教育.(其中ａ>ｂ>０)中心的弦ꎬ点Ｍ为椭圆上异于ＡꎬＢ的任意一点ꎬ若直线ＡＭꎬＢＭ斜率存在且记为ｋ１ꎬｋ２ꎬ那么ｋ１ｋ２为定值－ｂ２ａ２.探究方向２㊀探究逆命题是否成立.改编３㊀已知点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)上任意一点ꎬ直线ＡＭꎬＢＭ分别交椭圆于点ＡꎬＢꎬ直线ＡＭꎬＢＭ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ满足ｋ１ｋ２＝－ｂ２ａ２ꎬ求证:直线ＡＢ过椭圆中心Ｏ.证明㊀直线ＡＭ的方程为ｙ－ｙ０＝ｋ１(ｘ－ｘ０)ꎬ与椭圆方程ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１联立得(ａ２ｋ２１＋ｂ２)ｘ２－(２ａ２ｋ２１ｘ０－２ａ２ｋ１ｙ０)ｘ＋ａ２ｋ２１ｘ２０－２ａ２ｋ１ｘ０ｙ０＋ａ２ｙ２０－ａ２ｂ２＝０ꎬ于是点Ａ的坐标为ａ２ｋ２１ｘ０－２ａ２ｋ１ｙ０－ｂ２ｘ０ａ２ｋ２１＋ｂ２ꎬ－ａ２ｋ２１ｙ０－２ｂ２ｋ１ｘ０＋ｂ２ｙ０ａ２ｋ２１＋ｂ２æèçöø÷ꎬ同理可得点Ｂ的坐标.化简可知直线ＯＡ的斜率等于直线ＯＢ的斜率ꎬ因此点ＡꎬＯꎬＢ共线ꎬ即直线ＡＢ过椭圆中心Ｏ.结论２㊀已知椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(其中ａ>ｂ>０)ꎬ椭圆一条弦的两个端点与椭圆上任意一点连线的斜率之积为－ｂ２ａ２的充要条件是这条弦经过椭圆中心.探究方向３㊀探究定值为何是－ｂ２ａ２.记１㊀００㊀ｂａéëêêêùûúúú(其中ａ>ｂ>０)的对应变换为Ｔꎬ☉Ｏ:ｘ２＋ｙ２＝ａ２ꎬＭ为☉Ｏ上任意一点ꎬＡＢ为☉Ｏ的一条直径.由圆的性质可知ꎬ若直线ＡＭꎬＢＭ斜率分别记为ｋ１ꎬｋ２ꎬ则ｋ１ｋ２＝－１.结论３㊀当变换Ｔ将圆变换为椭圆时ꎬｋ１ｋ２＝－１仍成立.结论４㊀当变换Ｔ将直线变换为直线ꎬ变换后直线的斜率是原直线斜率的ｂａ倍ꎬ记经过变换Ｔ后直线ＡＭꎬＢＭ的斜率分别为ｋᶄ１ꎬｋᶄ２ꎬｋᶄ１ｋᶄ２＝ｂａｋ１æèçöø÷ｂａｋ２æèçöø÷＝ｂ２ａ２ｋ１ｋ２＝－ｂ２ａ２.结论５㊀若ｋ１ｋ２＝ｍꎬＭ(ｘ０ꎬｙ０)为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上一定点ꎬ此时直线ＡＢ必经过定点ｘ０(ａ２ｍ＋ｂ２)ａ２ｍ－ｂ２ꎬ－ｙ０(ａ２ｍ＋ｂ２)ａ２ｍ－ｂ２æèçöø÷.１.２㊀创新题目例２㊀已知椭圆ｘ２２＋ｙ２＝１ꎬ点Ｍ１ꎬ２２æèçöø÷ꎬ过点Ｍ的两条弦ＡＭꎬＢＭ的斜率之积为１ꎬ则直线ＡＢ过定点.㊀㊀分析㊀设直线ＡＭ的斜率为ｋ１ꎬ可表示出点Ａ的坐标ꎬ同理可表示出点Ｂ的坐标ꎬ进而求出直线ＡＢ的方程ꎬ最后得到定点３ꎬ－３２２æèçöø÷.评注㊀本题考查椭圆的几何性质㊁圆锥曲线中斜率定值问题等知识点ꎬ命题考查的立意是提升学生数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养以及数形结合的能力.本题难度系数为０.６５ꎬ考试后的统计结果与考前预测相吻合.１.３㊀命制说明通过对例１中条件㊁结论的一般化以及条件与结论的位置互换ꎬ利用高等代数中的矩阵变换知识ꎬ最后得到了一道考查圆锥曲线定点的题目ꎬ达到了举一反三㊁触类旁通的目的.通过将例１改编成例２可知:在往年全国各地的数学高考题中ꎬ有时会发现有一些题目有教材中练习题㊁例题的影子ꎬ因此在平时的教学中ꎬ应好好利用教材中的资源和素材进行发散和探究.一个简单问题的一般化㊁条件互换就可以获得很多新的资源ꎬ一道题的发散是多方向的ꎬ要根据命题目标来确定这道题的关注点在哪里.总之ꎬ根据教材中提供的素材编制创新试题ꎬ不仅遵循«普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明»ꎬ符合«普通高中数学课程标准»ꎬ而且还能抵制题海战术ꎬ引导高三复习教学形成 重视教材和钻研教材 的良好风气.２㊀类比原有考题２.１㊀题目来源研究历年全国各地的高考试题ꎬ会发现有些题目的数量关系包含着深刻的几何背景ꎬ考查数学思想方法有一定的典型性.可以利用数形结合揭示内在的本质ꎬ通过类比数量关系的几何意义构造新颖的数量关系进行设问ꎬ也可以通过改变设问的视角和方式进行编题.下面以２０１７年浙江省数学高考试题第１５题为原型进行改编为例加以说明.２.２㊀创新题目例３㊀已知向量ａꎬｂꎬ满足２｜ａ＋ｂ｜＋｜ａ－图１ｂ｜＝１５ꎬ｜ａ｜＝３ꎬ则｜ｂ｜的最小值是ꎬ最大值是.㊀㊀解法１㊀(利用平行四边形的性质与线性规划)如图１ꎬ设｜ａ＋ｂ｜＝ｘꎬ｜ａ－ｂ｜＝ｙꎬ由平行四边形的四边关系可得｜ａ＋ｂ｜２＋｜ａ－ｂ｜２＝２｜ａ｜２＋２｜ｂ｜２ꎬ从而ｘ２＋ｙ２＝１８＋２｜ｂ｜２.由题意可得２ｘ＋ｙ＝１５.ｘ２＋ｙ２ȡ３ꎬｘ２－ｙ２ɤ３ꎬｘȡ０ꎬｙȡ０.ìîíïïïïïï如图２ꎬ画出可行域为线段ＰＱ(含端点)ꎬ因此可行域上的点到原点的距离的平方的最大值在点Ｐ处取到ꎬ最小值在点Ｈ处取到ꎬ即ｘ２＋ｙ２＝１８＋２｜ｂ｜２ɪ[４５ꎬ９０]ꎬ可得｜ｂ｜的最大值为６ꎬ｜ｂ｜的最小值为３２６.图２图３解法２㊀(换元后求二次函数最值)如图３ꎬ设｜ａ＋ｂ｜＝ｘꎬ｜ａ－ｂ｜＝ｙꎬ则２ｘ＋ｙ＝１５.由平行四边形的四边关系可知ｘ２＋ｙ２＝１８＋２｜ｂ｜２ꎬ要求｜ｂ｜的最值ꎬ即求ｘ２＋ｙ２的最值.由三角形两边之和大于第三边ꎬ易算得ｘɪ[３ꎬ７]ꎬ则ｘ２＋ｙ２＝ｘ２＋(１５－２ｘ)２＝５(ｘ－６)２＋４５ɪ[４５ꎬ９０]ꎬ从而｜ｂ｜ɪ３２６ꎬ６[].解法３㊀(利用向量三角不等式与柯西不等式)由柯西不等式得２｜ａ＋ｂ｜＋｜ａ－ｂ｜ɤ２２＋１２｜ａ＋ｂ｜２＋｜ａ－ｂ｜２ꎬ即１５ɤ５ ２｜ａ｜２＋２｜ｂ｜２＝５ １８＋２｜ｂ｜２ꎬ可得｜ｂ｜ȡ３２６ꎬ当｜ａ＋ｂ｜＝２｜ａ－ｂ｜时ꎬ｜ｂ｜ｍｉｎ＝３２６.由三角不等式知２｜ａ＋ｂ｜＋｜ａ－ｂ｜ȡ｜２(ａ＋ｂ)－(ａ－ｂ)｜＝｜ａ－３ｂ｜ȡ３｜ｂ｜－｜ａ｜ꎬ即１５ȡ３｜ｂ｜－３ꎬ从而｜ｂ｜ɤ６ꎬ当ａꎬｂ同向且｜ａ｜＝３时ꎬ｜ｂ｜ｍａｘ＝６.评注㊀本题主要考查平面向量运算的几何意义㊁向量模的性质和三角不等式ꎬ以及推理运算㊁数形结合等一些基本的数学思想方法. 以能力立意 是命题者的指导思想ꎬ灵活多变的解题方法是本题命制的一大亮点.本题难度系数为０.５５ꎬ达到预期目标.２.３㊀命制说明本题考查的基本意图是评价学生掌握平面向量加减法的概念及几何意义的程度.例３和高考真题的数学本质都是运用了 平行四边形的四边平方和等于两条对角线的平方 .命题者紧紧抓住这个结论巧妙地根据现有的试题类比改编成新颖问题ꎬ这已成为高考命题惯用的手法ꎬ我们几乎不能想象有一个问题是绝对的新颖ꎬ和我们以前所解决过的问题都不相似ꎬ都无关系[１].作为数学教师应多研究高考真题ꎬ这样才能更好地把握高考的命题方向ꎬ如以向量加减法的三角形法则和平行四边形法则出发ꎬ通过置换结论和条件的方法可以延伸出很多问题ꎬ本试题成功改编就是一个精彩例证.３㊀构造合理图形构造是一种重要的数学思想方法ꎬ它是创造力较高的表现形式.在数学解题中ꎬ认真审题ꎬ依据题目条件ꎬ捕足 特征信息 ꎬ类比相关知识ꎬ构造数学模型ꎬ来寻求解题的切入点ꎬ从而可获得简捷㊁明快㊁新颖的方法.构造法是中学数学中最具有挑战性的解题方法ꎬ也是考查学生创新能力的最好载体之一.命题者要做有心人ꎬ做题留心方能偶得好题ꎬ正所谓: 踏破铁鞋无觅处ꎬ得来全不费工夫. ３.１㊀命题来源如图４ꎬ在正方体ＡＥＤＦ￣ＢＧＨＣ中ꎬ边长为１ꎬ二面角Ｄ￣ＣＢ￣Ｈ的余弦值为２２ꎬ作ＭＱʅ平面ＢＧＨＣꎬＱ为垂足.当ＭＮʅＢＣ时ꎬ有ＭＱ＝２２ＭＮꎬ从而ＰＭ＋２２ＭＮ＝ＰＭ＋ＭＱȡＰＱȡ１ꎬ当点ＰꎬＭꎬＱ共线且ＰＱʅ平面ＢＧＨＣ时ꎬ等号成立ꎬ故ＰＭ＋２２ＭＮ的最小值为１.将әＡＢＤ沿直线ＢＤ翻折不影响问题的解决ꎬ当点Ｍ在线段ＢＤ上㊁点Ｎ在线段ＢＣ上ꎬ且当ＭＮʅＢＣ时ꎬＰＭ＋２２ＭＮ取得最小值.由此得到下面的创新试题(例４).图４图５３.２㊀创新题目例４㊀如图５ꎬ在平面四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＤＡＢ＝øＤＣＢ＝９０ʎꎬＡＢ＝ＢＣ＝１ꎬＡＤ＝ＣＤ＝２ꎬ点Ｐ为ＡＤ的中点ꎬ点ＭꎬＮ分别在线段ＢＤꎬＢＣ上ꎬ则ＰＭ＋２２ＭＮ的最小值为.㊀㊀解法１㊀(代数法)设ＤＭ＝ｔ(其中０ɤｔɤ３)ꎬ则ＰＭ＝１２＋ｔ２－２ ２２ｔ ２３＝ｔ－３３æèçöø÷２＋１６.当ＭＮʅＢＣ时ꎬＭＮ＝６(３－ｔ)３ꎬ从而㊀㊀ｙ＝ＰＭ＋２２ＭＮ＝ｔ－３３æèçöø÷２＋１６＋３(３－ｔ)３＝６６(６ｔ－２)２＋１－３ｔ３＋１ꎬ去根号ꎬ得㊀２３ｔ２－２３３ｙｔ＋１２－(ｙ－１)２＝０ꎬ于是Δ＝４３ｙ２－８３１２－(ｙ－１)２[]ȡ０ꎬ得３ｙ２－４ｙ＋１ȡ０ꎬ故ｙȡ０或ｙɤ１３.又因为ＰＭȡ６６>１３ꎬ所以ｙȡ１ꎬ当ｔ＝３２时ꎬ等号成立ꎬ故所求的最小值为１.解法２㊀(构造三角形法)如图６ꎬ过点Ｂ作ＡＤ的平行线ｌꎬ设ｄＡＤ￣ｌ为平行线ＡＤ与ｌ之间的距离ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＢＣ于点Ｅꎬ过点Ｍ作ＭＦʅｌ于点Ｆ.因为ｓｉｎøＭＢＦ＝ＭＦＭＢ＝３３ꎬ㊀ｓｉｎøＭＢＥ＝ＭＥＭＢ＝６３ꎬ则ＭＦ＝２２ＭＥꎬ所以ＰＭ＋２２ＭＮȡＰＭ＋２２ＭＥ＝ＰＭ＋ＭＦȡｄＡＤ￣ｌ＝１.图６图７解法３㊀(构造全等形法)如图７ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＢＣ于点Ｅꎬ作ＭＦʅＡＢ于点Ｆ.由于ＢＥ＝２２ＭＥꎬ因此ＰＭ＋２２ＭＮȡＰＭ＋２２ＭＥ＝ＰＭ＋ＢＥ＝ＰＭ＋ＢＦȡＡＦ＋ＦＢ＝１.推广㊀在有公共斜边的ＲｔәＡＢＤ和ＲｔәＣＢＤ中ꎬøＤＡＢ＝øＤＣＢ＝９０ʎꎬＡＤ＝ＣＤ＝１ꎬＡＢ＝ＢＣ＝ｋ(其中ｋ为大于０的常数)ꎬ点Ｐ为ＡＤ的中点ꎬ点ＭꎬＮ分别在线段ＢＤꎬＢＣ上ꎬ求证:ＰＭ＋ｋ ＭＮȡｋ.构造法的合理使用往往能使复杂的问题简单化ꎬ使 一筹莫展 的问题 柳暗花明 .构造法的最大难点是学生不易想到如何进行合理的构造ꎬ因此本题考查的是学生的直观想象能力和数学运算能力ꎬ不但要求能理解知识ꎬ还要能迁移知识ꎬ更能创造知识.本题的难度系数为０.３５ꎬ大数据统计和预估相吻合.教育哲学视阈下的数学核心素养:核心素养内的辩证性∗Ә费丽靓㊀㊀(桐乡第一中学ꎬ浙江桐乡㊀３１４５００)㊀㊀摘㊀要:数学六大核心素养是课程目标的集中体现ꎬ它们既相互独立ꎬ又相互交融ꎬ具有内部的辩证统一性.文章主要从抽象思维与具体方法㊁逻辑推理与数学直觉㊁数学分析与数学运算这３个方面展开辩证统一性论述.从教育哲学辩证性的角度分析数学素养内的辩证性ꎬ在理清素养内三大辩证统一关系的同时为帮助学生解决数学问题和反思数学教学课堂提供思考.关键词:教育哲学ꎻ核心素养ꎻ辩证统一中图分类号:Ｏ１２２.４㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀文章编号:１００３－６４０７(２０１８)１１￣００２９￣０５㊀㊀«普通高中数学课程标准(２０１７年)»指出:数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现 ꎬ数学核心素养包括:数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算和数据分析[１]. 数学核心素养 虽分为六块看似独立的结构ꎬ内容各有所指ꎬ但仔细分析不难发现不仅各个素养之间在实质上相互渗透㊁互为支撑ꎬ各素养内部也存在着某种相互区别又相互促进的联系.在数学素养内容框架内只有辨析㊁反思并处理好各种相互促进又相互制约的联系ꎬ才能使以培养各核心素养为目标的课堂教学更有层次和针对性ꎬ才能使数学教学达成在培养核心素养框架下的辩证统一.３.３㊀命制说明本题是以几何动态方法命制的求最小值问题.创作的灵感源于在研究正方体线面结构关系时ꎬ一个偶然的机会发现可以构造形如求ＰＭ＋ｋ ＭＮ类型的最小值问题.平面几何题目通过构造立体图形来做是这道题目的精妙之处.画一个假设图形ꎬ假设它的各个部分都满足题目条件ꎬ也许是迈出解题的重要一步[２].根据所求的特征ꎬ构造出相应的几何体ꎬ使等式中的一些数量关系显现在几何体中ꎬ有时能使我们豁然开朗ꎬ茅塞顿开ꎻ只需借助几何体的性质ꎬ即可得到简捷的证明途径.试题呈现方式简洁新颖ꎬ内涵丰富.立体几何平面化是解立体几何题目的重要方法ꎬ而平面几何蕴含于立体几何中显示出命题者的高明命制技术ꎬ但在学生的具体做题中又有不同途径可以解决它ꎬ体现了以生为本的命题情怀.因为有诸多优点ꎬ所以本题被选为浙江省宁波市２０１７学年第一学期期末考试的填空压轴题.创新试题的命制过程犹如加工一件精致的艺术品.一般来说ꎬ题目命制应该是有法可循的ꎬ要真正命制一道好题ꎬ需要有创新精神ꎬ大胆猜想ꎬ小心求证ꎬ经历反复斟酌㊁艰难探究㊁多次修改㊁科学验证等过程才能定稿.命题成型时ꎬ既要关注试题整体呈现的形式ꎬ又要关注细节是否有瑕疵.正如罗增儒教授在«数学解题学引论»一书中所说: 命制数学题需要深厚的知识功底㊁良好的思维素质和熟练的编题技巧.有时候ꎬ创造一个问题比解决一个问题更困难. 这就要求命题教师要学会在平时的解题中欣赏试题ꎬ学会用数学的眼光观察世界ꎬ不断总结命制方法ꎬ数学地思考问题ꎬ加强解题研究ꎬ学会用精湛的命题艺术去呈现数学的美妙.参㊀考㊀文㊀献[１]㊀波利亚.怎样解题[Ｍ].涂泓ꎬ冯承天ꎬ译.上海:上海科技教育出版社ꎬ２０１１.[２]㊀王亮亮.重现命制过程㊀剖析思路变化[Ｊ].数学通报ꎬ２０１４(３):４８￣５１.∗收文日期:２０１８￣０６￣２６ꎻ修订日期:２０１８￣０８￣０６作者简介:费丽靓(１９８６ )ꎬ女ꎬ浙江桐乡人ꎬ中学一级教师.研究方向:数学教育.。
