2018年高考数学专题112二项式定理及其应用理

二项式定理知识讲解一、二项式定理1.二项式定理定义：()()011222...nn n n n nn n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．2.二项式系数、二项式的通项定义：011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r rn C a b -叫做二项展开式的通项．用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． 3.二项式展开式的各项幂指数：二项式()na b +的展开式项数为1n +项各项的幂指数状况是：1）各项的次数都等于二项式的幂指数n ．2）字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．4.二项式系数的性质1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中：当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数2nnC 最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数12n nC-, 12n nC+相等，且最大．3）组合总数公式：012n 2n n n n n C C C C ++++= 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n2．4）“一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即024135-1n n 2n nn n n C C C C C C +++=+++=．备注：①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()na b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是()na b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r rr n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r nT C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2018•新课标Ⅲ）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20C．40 D．80【解答】解：由二项式定理得（x2+）5的展开式的通项为：T r+1=（x2）5﹣r（）r=，由10﹣3r=4，解得r=2，∴（x2+）5的展开式中x4的系数为=40．故选：C．2．（2018•株洲一模）（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30C．45 D．210【解答】解：（1+x﹣x2）10=[1+（x﹣x2）]10的展开式的通项公式为T r+1=（x ﹣x2）r．对于（x﹣x2）r，通项公式为T m+1=•x r﹣m．（﹣x2）m，令r+m=3，根据0≤m≤r，r、m为自然数，求得，或．∴（1+x﹣x2）10展开式中x3项的系数为=﹣90+120=30．故选：B．3．（2018•凉山州模拟）（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数是（）A．4 B．6C．8 D．12【解答】解：（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数：二项式（1+x）5由通项公式当（1﹣x）提供常数项时：r=4，此时x项的系数是=5，当（1﹣x）提供一个x时：r=5，此时x项的系数是﹣1×=﹣1合并可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数为4．故选：A．4．（2018•河南模拟）展开式中x2的系数为（）A．20 B．15C．6 D．1【解答】解：=展开式中x2的系数=+=20．故选：A．5．（2018•龙岩模拟）已知二项式，则展开式的常数项为（）A．﹣1 B．1C．﹣47 D．49【解答】解：二项式==1+4（﹣2x）+6+4+，∴二项式展开式中的常数项产生在1，6，中；分别是1，6×2••（﹣2x），••（﹣2x）2；它们的和为1﹣24+24=1．故选：B．6．（2018•山东模拟）在（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于（）A．32 B．﹣32C．1 D．﹣1【解答】解：令x=1，y=1，可得（x﹣2y）5的展开式中，所有项的系数之和等于﹣1，故选：D．7．（2018•洛阳二模）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5 B．﹣1C．1 D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5=（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）=﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．8．（2018•辽阳一模）的展开式中，x3的系数为（）A．120 B．160C．100 D．80【解答】解：=，∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为，的展开式中含x3的项为．∴的展开式中，x3的系数为40+80=120．故选：A．9．（2018•赣州一模）若（x2）n展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项是（）A．10 B．20C．30 D．40【解答】解：（x2）n=，由（x2）n展开式中各项系数之和为64，得22n=64，∴2n=6．则=，其展开式的通项为．取6﹣2r=0，得r=3．∴展开式中的常数项是．故选：B．10．（2018•双流区模拟）（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是（）A．48 B．﹣48C．﹣432 D．432【解答】解：（x2﹣2）6的展开式的通项为=．由12﹣2r=2，可得r=5，由12﹣2r=4，可得r=4．∴（x2﹣2）6（x2﹣1）的展开式中x4的系数是．故选：C．11．（2018•太原三模）已知（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为0，则正实数a=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵（ax+1）6的展开式中含x，x2的项分别为，，∴（x﹣1）（ax+1）6展开式中x2的系数为6a﹣15a2=0，解得：（a＞0）．故选：B．12．（2018•盐湖区校级一模）在（x﹣2）10展开式中，二项式系数的最大值为a，含x7项的系数为b，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，a==252，含x7项的系数为b==﹣960，∴=﹣，故选：D．。

数学高考知识点二项式数学是一门令人又爱又恨的科目，对于许多人来说，高考数学可能是他们最头疼的问题之一。

而在高考数学中，二项式是个非常重要的知识点。

它不仅出现频率高，考点多，而且与概率、函数等其他知识点密切相关。

接下来，我将从不同角度论述二项式的相关知识。

一、基础概念二项式由两个整数指数的代数和组成，通常形式为a^m + b^n，其中m和n是非负整数，a和b是实数或复数，且a不等于0或1。

二项式函数是二项式的一般形式，表示为f(x) = a(x-b)^m，其中m是非负整数，a和b是实数。

在高考中，我们经常需要对二项式进行简化、展开、求系数、判断整除性等基础操作。

二、二项式定理二项式定理是高考中的一个重要公式，它被广泛应用于高中数学和概率论等领域。

二项式定理的公式为(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n-1)·a^1·b^(n-1) +C(n,n)·a^0·b^n。

其中C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数，也可以表示为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!))。

三、二项式在概率论中的应用二项式在概率论中有着广泛的应用。

以掷硬币为例，当我们将一枚硬币掷n次时，出现正面朝上次数的概率可以使用二项式计算。

当硬币掷出正面的概率为p时，掷n次硬币出现k次正面的概率可以表示为P(X=k) = C(n, k)·p^k·(1-p)^(n-k)。

这个公式也被称为二项分布。

在高考中，我们经常通过二项分布来计算概率问题，如抽样调查、某种产品合格率等。

四、二项式与函数的性质二项式的展开形式可以表示为多项式形式的函数。

在高考数学中，我们可以根据二项式定理来展开任意多项式，从而求解函数的特定值。

此外，二项式还可以用来证明一些函数的性质，如多项式函数的对称性、奇偶性等。

二项式定理
主标题：二项式定理
副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：二项式定理，二项式系数，项系数
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．能用计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
命题方向：
1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、
填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度：
(1)求二项展开式中的第n项；
(2)求二项展开式中的特定项；
(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．
规律总结：
1个公式——二项展开式的通项公式
通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：
(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；
(2)通项公式中a，b的位置不能颠倒；
(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．
3个注意点——二项式系数的三个注意点
(1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；
(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；
(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．。

＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（

A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5

－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
⁠
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝