第五章 第四节一、选择题1．(文)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则三角形ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由条件知|AC →|2＝(BC →＋BA →)·(BC →－BA →) ＝|BC →|2－|BA →|2，∴AB 2＋AC 2＝BC 2， ∴△ABC 为直角三角形．(理)(2013·邯郸模拟)设P 是曲线y ＝1x 上一点，点P 关于直线y ＝x 的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设P (x 0，1x 0)，则Q (1x 0，x 0)，∴OP →·OQ →＝x 0·1x 0＋1x 0·x 0＝2.2．(文)(2014·咸阳诊断)如图，BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且BF →＝2F A →，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．不确定[答案] B[解析] 依题意得FD →·FE →＝(F A →＋AD →)·(F A →＋AE →)＝(F A →＋AD →)·(F A →－AD →)＝F A →2－AD →2＝(13BA →)2－AD →2＝19－1＝－89，故选B.(理)点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN →·AM →的最大值为( )A ．8B ．6C ．5D ．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD 边长为2，∴A (0,0)，N (2，－1)，AN →＝(2，－1)，设M 坐标为(x ，y )，AM →＝(x ，y )由坐标系可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2， ①－2≤y ≤0， ② ∵AN →·AM →＝2x －y ，设2x －y ＝z ，易知，当x ＝2，y ＝－2时，z 取最大值6， ∴AN →·AM →的最大值为6，故选B.3．(文)(2014·东营模拟)设a ，b 是不共线的两个向量，其夹角是θ，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )(x ∈R )在(0，＋∞)上有最大值，则( )A ．|a |<|b |，且θ是钝角B ．|a |<|b |，且θ是锐角C ．|a |>|b |，且θ是钝角D ．|a |>|b |，且θ是锐角 [答案] D[解析] ∵f (x )＝(－a ·b )x 2＋(|a |2－|b |2)x ＋a ·b 在(0，＋∞)上有最大值， ∴⎩⎨⎧－a ·b <0，|a |2－|b |22a ·b>0，∴⎩⎨⎧a ·b >0，|a |>|b |.∴|a |>|b |且θ为锐角．(理)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B ．π3C.2π3 D ．5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ. 又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.4．(2014·湖南十二校联考)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B ．π3C.2π3 D ．5π6[答案] C[解析] m ·n ＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B ) 即3sin C ＝1－cos C ，所以sin(C ＋π6)＝12，又因为C 为△ABC 的内角，所以C ＋π6＝5π6，即C ＝2π3.5．(2014·广州梅州二模)已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)[答案] B[解析] 设P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴当x ＝3时AP →·BP →有最小值，∴P (3,0)．6．(文)在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ，若P 是平面ABCD 内一点，且满足xAB →＋yAD →＋P A →＝0(x ，y ∈R )，则当点P 在以A 为圆心，33|BD →|为半径的圆上时，实数x ，y 应满足关系式为( )A ．4x 2＋y 2＋2xy ＝1B ．4x 2＋y 2－2xy ＝1C ．x 2＋4y 2－2xy ＝1D ．x 2＋4y 2＋2xy ＝1[答案] D[解析] ∵xAB →＋yAD →＋P A →＝0，∴AP →＝xAB →＋yAD →，∵AD ＝2AB ，∠BAD ＝60°，∴BD ＝3AB ，∴|AP →|＝33|BD →|＝|AB →|，∴|AP →|2＝(xAB →＋yAD →)2＝x 2|AB →|2＋y 2|AD →|2＋2xy ·AB →·AD →＝x 2|AB →|2＋4y 2|AB →|2＋2xy ·|AB →|·|AD →|·cos60°＝(x 2＋4y 2＋2xy )|AB →|2，∴x 2＋4y 2＋2xy ＝1，故选D.(理)(2014·山西大学附中二模)过抛物线x 2＝2py 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 为( )A. 锐角三角形 B ． 直角三角形 C. 钝角三角形 D ．不确定[答案] C[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2x 2＝2py，得x 2－2pkx －p 2＝0，∴x 1x 2＝－p 2，y 1y 2＝x 21x 224p 2＝p 24，OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－p 2＋p 24＝－34p 2<0，∴∠AOB为钝角，故选C.二、填空题7.(2014·济南模拟)在△ABC 中，E 为AC 上一点，且AC →＝4AE →，P为BE 上一点，且满足AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则1m ＋1n 取最小值时，向量a ＝(m ，n )的模为________．[答案]56[解析] 因为AP →＝mAB →＋nAC →＝mAB →＋4nAE →，B ，P ，E 三点共线，所以m ＋4n ＝1，(m ＋4n )(1m ＋1n )＝1＋4n m ＋4＋m n ≥5＋4＝9，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝2n 时取等号，此时m ＝13，n ＝16，所以|a |＝19＋136＝56. 8．(文)(2014·晋江调研)已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．[答案]3[解析] ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.(理)(2014·南京盐城二模)已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC→的夹角大小为________．[答案] π3[解析] 令12OA →＝OA 1→，14OB →＝OB 1→，因为|OA →|＝1，|OB →|＝2，所以|OA 1→|＝|OB 1→|，由OC →＝12OA →＋14OB →＝OA 1→＋OB 1→，可知四边形OA 1CB 1为菱形．因为菱形对角线平分所对角，因为∠AOB ＝2π3，所以∠AOC ＝π3.9．(2014·江西南昌二模)关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) [答案] ②[解析] 由a ·b ＝a ·c 得a ·(b －c )＝0，∴(b －c )⊥a ，∴命题①错误．由两向量平行的充要条件得1×6＋2k ＝0，k ＝－3，故命题②正确．由|a |＝|b |＝|a －b |，再结合平行四边形法则可得a 与a ＋b 的夹角为30°，命题③错误．三、解答题10．(文)(2014·漳县二中月考)已知向量a ＝(sin θ，cos θ)与b ＝(3，1)，其中θ∈(0，π2)．(1)若a ∥b ，求sin θ和cos θ的值； (2)若f (θ)＝(a ＋b )2，求f (θ)的值域． [解析] (1)∵a ∥b ，∴sin θ·1－3cos θ＝0， 求得tan θ＝ 3.又∵θ∈(0，π2)，∴θ＝π3.∴sin θ＝32，cos θ＝12.(注：本问也可以结合sin 2θ＋cos 2θ＝1或化为2sin(θ－π3)＝0来求解)(2)f (θ)＝(sin θ＋3)2＋(cos θ＋1)2 ＝23sin θ＋2cos θ＋5＝4sin(θ＋π6)＋5，又∵θ∈(0，π2)，θ＋π6∈(π6，2π3)，12<sin(θ＋π6)≤1， ∴7<f (θ)≤9，即函数f (θ)的值域为(7,9]．(理)(2014·福建福州质检)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值． [解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ，∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.一、选择题11．(文)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 由题意F (1,0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，∵OA →·AF →＝－4，∴y 204(1－y 204)－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)．故选B.(理)(2014·襄阳一中检测)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，且与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( )A. 2 B ． 3 C. 5 D ．2[答案] D[解析] 设∠FOA ＝α，∵OA ⊥FB ，且FB →＝2F A →，∴OA 为FB 的中垂线，∴∠FOB ＝2α，∵tan α＝b a ，tan2α＝－b a， ∴2·ba 1－(b a )2＝－b a ，∴(b a )2＝3，∴c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝ca＝2.12．(2014·江南十校一模)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos θ，2sin θ)，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －1)2＋(n －1)2的最小值为( )A.2－1 B ．1 C. 2D ．3－2 2[答案] D[解析] 因为m a ＋n b ＝c ，所以m (1,1)＋n (1，－1)＝(2cos θ，2sin θ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos θ，m －n ＝2sin θ，则(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，所以点P (m ，n )在以原点O 为圆心，以1为半径的圆上，(m －1)2＋(n －1)2是圆上的点P 到点M (1,1)的距离的平方，由圆的性质知(m －1)2＋(n －1)2的最小值是(2－1)2＝3－2 2.13．(文)(2014·四川成都五校联考)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，点P 是BC 的中点，设AP →＝αAD →＋βAB →(α，β∈R )，则α＋β等于( )A.43 B ．53C.56 D ．76[答案] D[解析] 建立如图所示的坐标系，B (3,0)，D (0,1)，C (1,1)．∵P 为BC 的中点，∴P (2，12)．∵AP →＝αAD →＋βAB →，∴(2，12)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，∴3β＝2，α＝12，∴α＋β＝76，故选D.(理)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6 B ．712π C.76π D ．73π [答案] C[解析] 由图可知，T ＝4(π3－π12)＝π，∴ω＝2.∵M (π12，1)在图象上，∴sin(2×π12＋φ)＝1，∵|φ|＝π2，∴φ＝π3，∴y ＝A sin(2x ＋π3)，又∵M (π12，A )，N (7π12，－A )，OM →·ON →＝0，∴π12×7π12－A 2＝0，∴A ＝712π， ∴A ·ω＝2×712π＝76π，故选C. 14．(2015·内蒙古赤峰市统考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1(－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长F 1E 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF 1→＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.94 B ．32C.102D ．52[答案] C [解析] ∵PF 1与圆x 2＋y 2＝a 24相切，∴OE ⊥PF 1，且OE ＝a 2，∵OE →＝12(OF 1→＋OP →)，∴E 为PF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|PF 2|＝2|OE |＝a ，由双曲线定义知，|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝3a ，在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴a 2＋9a 2＝4c 2，∴e 2＝52，∵e>1，∴e ＝102. 二、填空题15．(2013·天津和平区质量调查)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，E 为AD 的中点，CE →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ的值为________．[答案] －43[解析] 如图，由已知得BD ＝1，CD ＝2， ∴BD →＝13BC →，DC →＝23BC →.CE →＝CD →＋DE →＝－23BC →－12AD →＝－23BC →－12(AB →＋BD →)＝－23BC →－12AB →－16BC →＝－12AB →－56BC →，∴λ＝－12，μ＝－56，∴λ＋μ＝－43.[点评] 用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素(如将线段表示为向量)，将平面几何问题转化为向量问题，要特别注意挖掘题目中的隐含条件；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．建立平面几何与向量的联系主要途径是建立平面直角坐标系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题．16．(2015·开封四中期中)在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →的值为________．[答案] －23[解析] ∵BC →＝2BD →，∴D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)；∵AC →＝3AE →，∴AE →＝13AC →， ∴AD →·BE →＝(12AB →＋12AC →)·(－AB →＋13AC →) ＝－12|AB →|2－16AB →·AC →＋16|AC →|2 ＝－12×22－16×22×cos120°＋16×22＝－23. 三、解答题17．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM→＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． [解析] 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)，则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →得， (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x 2)＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0)． 18．(文)点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC .[分析]要证明AD⊥BC，则只需要证明AD→·BC→＝0，可设AD→＝m，AB→＝c，AC→＝b，将BC→用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明]设AB→＝c，AC→＝b，AD→＝m，则BD→＝AD→－AB→＝m－c，CD→＝AD→－AC→＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即AD→·(AB→－AC→)＝0，∴AD→·CB→＝0，∴AD⊥BC.(理)已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF＝AE.[证明]如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则A(－1,1)，B(0,1)，设E(x，y)，则BE→＝(x，y－1)，AC→＝(1，－1)，又AC→∥BE→，∴x·(－1)－1×(y－1)＝0，∴x＋y－1＝0①.又|CE→|＝|AC→|，∴x2＋y2－2＝0②.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1＋32y＝1－32或⎩⎪⎨⎪⎧x＝1－32y＝1＋32(舍去)，即E(1＋32，1－32)．设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝(1＋32，1－32)共线得1－32x ′－1＋32＝0，解得x ′＝－2－3， ∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝(3＋32，－1＋32)， ∴|AE →|＝(3＋32)2＋(－1＋32)2＝1＋3＝|AF →|， ∴AF ＝AE .。
05限时标准特训A 级 基础达标1．[2021·皖北联考]假设P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，那么P ，Q 的大小关系( ) A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 取值决定解析：假设P <Q ，∵要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证：2a ＋7＋2a a ＋7<2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只要证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．答案：C2．[2021·三明模拟]设a ，b ∈R ，那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：假设“a ＋b ＝1”，那么4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；假设“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分没必要要条件．答案：A3．[2021·张家口模拟]分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：b 2－ac <3a⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.答案：C4．[2021·汕头模拟]设x ，y ，z >0，那么三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设这三个数都小于2，那么三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y)＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.答案：C5．[2021·四平质检]设a ，b 是两个实数，给出以下条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析：①中假设a ＝34，b ＝12，那么a ＋b >1，故①不能；②中假设a ＝b ＝1，那么a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中假设a ＝b ＝－2，那么a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中假设a ＝b ＝－2，那么ab >1，故⑤不能．∴只有③能，选C.答案：C6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：自然数a ，b ，c 中为偶数的情形为a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，因此反设为a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．答案：B7．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，而且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x 2、b 2、y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b ，代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，应选B.答案：B8．假设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出以下判定：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判定正确的选项是________．解析：①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.答案：①②9．请阅读以下材料：假设两个正实数a 1，a 2知足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，因此a 1＋a 2≤ 2.依照上述证明方式，假设n 个正实数知足a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1时，你能取得的结论为________． 解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 10. 已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1. 解：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，那么有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3， 二者矛盾；故a ，b ，c 至少有一个不小于1.11．[2021·南京联考]已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，由于a >1，ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在 x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，①假设－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾．②若x 0<－1，那么x 0－2x 0＋1>0,1>ax 0>0，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．12．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B 级 知能提升1．假设a ，b ∈R ，那么下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B 2．凸函数的性质定理为：若是函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么关于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x nn ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f (A ＋B ＋C3)＝f (π3)， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 答案：3323．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，假设f (c )＝0且0<x <c 时，f (x )>0，(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a， 即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。
...第3节等比数列及其前n项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a na n－1＝q(n≥2，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.2. 等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝a1q n－1；通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ） 1－q ＝a 1－a n q1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .[常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n）1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修5P53AT1(2)改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A .－12B .－2C .2 D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.3.(2018·湖北省七市联考)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10. 答案 C4.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 65.(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2， ∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 1考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝(2)(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q . 由⎩⎨⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q ＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32. 答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q1－q.【训练1】 (1)(2018·武昌调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A .－2B .－1C.12D.23(2)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________.解析 (1)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12， ∴a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝2－n 22＋7n2.记t ＝－n 22＋7n 2＝－12(n 2－7n )，结合n ∈N *，可知n ＝3或4时，t 有最大值6.又y ＝2t 为增函数.所以a 1a 2…a n 的最大值为64. 答案 (1)B (2)64考点二 等比数列的性质及应用【例2】 (1)(必修5P68BT1(1))等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A .12B .10C .8D .2＋log 35(2)(2018·云南11校调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A .40B .60C .32D .50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)由数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练2】 (1)(2018·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A .－ 3B .－1C .－33D. 3(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3， ∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a ，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a3a＝73.答案 (1)A (2)73考点三 等比数列的判定与证明【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.规律方法 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.【训练3】 (2017·安徽“江南十校”联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)，又由题意知a 1－2a 1＝－3，所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4， 所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么( ) A .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都一定是等比数列B .{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列C .{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列D .{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列 解析 两个等比数列的积仍是一个等比数列. 答案 C2.(2018·太原模拟)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( ) A .2B .4C. 2D .2 2解析 在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q ＝4.答案 B3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏解析 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则依题意S 7＝381，公比q ＝2.∴a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3.答案 B4.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B .－18C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A5.(2018·昆明诊断)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的A .－2B .－ 2C .± 2D. 2解析 根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2. 答案 B 二、填空题6.(2018·河南百校联盟联考改编)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝40，且S 6＋3a 7＝S 8，则a 2等于________.解析 由S 6＋3a 7＝S 8，得2a 7＝a 8，则公比q 为2，所以a 2＝a 523＝4023＝5. 答案 57.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，②由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .答案 12n8.(2018·成都诊断)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n ＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________.解析 由a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )得，a 2n ＋1－4a n ＋1a n ＋4a 2n ＝0，∴(a n ＋1－2a n )2＝0，a n ＋1a n ＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴S 9＝2（1－29）1－2＝1 022.答案 1 0229.(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6，解得⎩⎨⎧q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－2[1－（－2）n ]1－（－2）＝23[(－2)n －1]，则S n ＋1＝23[(－2)n ＋1－1]，S n ＋2＝23[(－2)n ＋2－1]，所以S n ＋1＋S n ＋2＝23[(－2)n ＋1－1]＋23[(－2)n ＋2－1]＝23[2(－2)n－2]＝43[(－2)n －1]＝2S n ， ∴S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列.10.(2018·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是一个等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A .(3n －1)2B.12(9n －1) C .9n －1 D.14(3n －1) 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4（1－9n ）1－9＝12(9n －1). 答案 B12.(2018·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________.解析 由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1，∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1，∵b n >0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92，∴b 1＝2，b 2＝322，∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝（n ＋1）22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n （n ＋1）2. 答案 a n ＝n （n ＋1）213.(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列.(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列.(1)解 设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n）1－q ，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. (2)证明 假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N *， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾. 故数列{a n ＋1}不是等比数列.。
