高中数学圆锥曲线试题

一、填空题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C 的离心率13,23e ⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________. 3．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交椭圆C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点，若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.4．设点P 为椭圆22:14924x y C +=上一点，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且12PF F △的重心为G ，如果1212||,||,||PF PF F F 成等差数列，那么12GF F △的面积为___.5．在平面直角坐标系中，已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线分别交于P ，Q 两点，若POQ △的内切圆半径为13，则双曲线的离心率为________.6．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.7．设12,F F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为()6,4，则1PM PF +的最大值为________．8．在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为____________.9．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，12,F F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12F PF ∠=120°，且12||3||PF PF =，则椭圆的离心率为___________.10．已知1F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段1PF 与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且1F A AB BP ==，则该双曲线的离心率为______.11．M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒，则||FM =______.12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||3||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值是________.二、解答题14．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为23，点()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程.（2）如图，过点P 的直线l 与椭圆E 交于两个不同的点C ，D （点C 在点D 的上方），试求COD △面积的最大值.15．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，曲线C 是以2F 为圆心且过原点的圆.（1）求曲线C 的方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足1F M MP →→=，求M 的轨迹方程. 16．已知抛物线2:y 2)3(0C px p <<=，其焦点为F ，点3(,2Q m 在抛物线C 上，且|QF |=4，过点(4,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，连结OA ，OB ． （1）求抛物线C 的方程； （2）证明：OA OB ⊥．17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率12e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上的两个动点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，证明：直线AB l 与以原点为圆心的某个定圆相切，并求这个定圆.18．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．20．已知双曲线1C 的方程为22143x y -=，椭圆2C 与双曲线有相同的焦距，1F ，2F 是椭圆的上、下两个焦点，已知P 为椭圆上一点，且满足12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）点A 为椭圆的上顶点，点B 是双曲线1C 右支上任意一点，点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程. 21．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值22．已知焦点在x 轴的抛物线C 经过点()2,4-. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）过焦点F 作直线l ，交抛物线C 于A ，B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程.23．已知抛物线C 的准线方程为14x =-.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若过点(,0)P t 的直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证：t 为常数，并求出此常数.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 过点3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为原点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求OAB 的面积的最大值.25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0),F O 为坐标原点，,A B 是抛物线C 上异于O 的两点.（1）求抛物线C 的方程； （2）若直线,OA OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标. 26．已知椭圆M 的焦点与双曲线N ：22197x y -=的顶点重合，且椭圆M 短轴的端点到双曲线N 渐近线的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，若弦AB 中点为()2,1，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】作出图形设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为计算出再利用椭圆的定义可得出关于的等式进而可求得椭圆的离心率的值【详解】如下图所示设椭圆的左右焦点分别为设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为则由勾股定理可【分析】作出图形，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，计算出1AF ，再利用椭圆的定义可得出关于a 、c 的等式，进而可求得椭圆的离心率的值. 【详解】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=52c c a +=，所以，该椭圆的离心率为()()251512515151c e a ====++-. 51-. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.2．【分析】用分离常数法求得函数的对称中心代入椭圆方程得的关系变形后得然后由的范围得出的范围【详解】因为可化为所以曲线的对称中心为把代入方程得整理得因为所以从而故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求椭解析：22110⎝⎭【分析】用分离常数法求得函数的对称中心，代入椭圆方程得,a b 的关系，变形后得221911a e=+-，然后由e 的范围得出2a 的范围． 【详解】因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31x y x =-的对称中心为11,33⎛⎫⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e-==+--.因为1,23e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而2,93a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：93⎛ ⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆长轴长的范围．解题关键是建立长半轴长a 与离心率e 的关系式，求出函数对称中心代入椭圆方程，利用222b a c =-进行转化是是解题的基本方法．3．【分析】求出直线的方程利用点到直线的距离与半通径的关系列出不等式求解即可【详解】解：直线的方程为：椭圆的右焦点过椭圆的右焦点作轴的垂线交于两点直线过的左焦点和上顶点若以为直径的圆与存在公共点可得：可解析：0,5⎛ ⎝⎦【分析】求出直线l 的方程，利用点到直线的距离与半通径的关系，列出不等式，求解即可． 【详解】解：直线l 的方程为：1x yc b+=-，椭圆的右焦点(,0)c ， 过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点．若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，2b a可得：2b c ，即2224a c c -，即：215e，(0,1)e ∈， 解得：50e<．故答案为：⎛ ⎝⎦． 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．4．8【分析】根据条件计算出可以判断△PF1F2是直角三角形即可计算出△PF1F2的面积由△PF1F2的重心为点G 可知△PF1F2的面积是的面积的3倍即可求解【详解】∵P 为椭圆C ：上一点且又且又∴易知△解析：8 【分析】根据条件计算出1212,,PF PF F F ，可以判断△PF 1F 2是直角三角形，即可计算出△PF 1F 2的面积，由△PF 1F 2的重心为点G 可知△PF 1F 2的面积是12GF F △的面积的3倍，即可求解. 【详解】∵P 为椭圆C ：2214924x y +=上一点，且1212||,||,||PF PF F F1122||||2||PF F F PF ∴+=，又210c ==,12||102||PF PF ∴+=且12214PF PF a +==126,8PF PF ∴==，又1210F F =，∴易知△PF 1F 2是直角三角形，12121242PF F S PF PF =⋅=， ∵△PF 1F 2的重心为点G ， ∴12123PF F GF F S S =△△， ∴12GF F △的面积为8. 故答案为：8 【点睛】关键点点睛：该题主要根据条件及椭圆的定义联立方程求出12,PF PF ，证明△PF 1F 2是直角三角形，求出面积后利用重心的性质可求12GF F △的面积，属于中档题.5．【分析】先求出的面积再利用等积法可求的关系从而可求离心率【详解】不妨设在轴的上方在轴的下方抛物线的准线方程为：双曲线的渐近线方程为：故故而故所以故故答案为：【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算解析：3【分析】先求出POQ △的面积，再利用等积法可求,,a b c 的关系，从而可求离心率. 【详解】不妨设P 在x 轴的上方，Q 在x 轴的下方.抛物线24y x =的准线方程为：1x =-，双曲线的渐近线方程为：b y x a=±. 故1,b P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故1212POQb b S a a =⨯⨯=△.而c OP OQ a ===，故122123b c b a a a ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，所以2c b =，故3c e a ===.故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是利用已知条件构建关键,,a b c 的等量关系式，遇到三角形的内切圆半径的计算问题时，一般利用等积法来沟通半径与三角形的边的关系.6．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()ty x a c a=--， 令0x =，可得aty a c=-， 所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13c e a ==.故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．15【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题然后求解最值即可【详解】由椭圆方程可得：由椭圆的定义可得：则的最大值为15故答案为：15【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质等价转化的数学思解析：15 【分析】利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可. 【详解】由椭圆方程可得：5,4,3a b c ===，12(3,0),(3,0)F F ∴-， 由椭圆的定义可得：12210PF PF a +==，()1222||||210||101015PM PF PM a PF PM PF MF ∴+=+-=+-≤+=+=，则1||PM PF +的最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【分析】由正弦定理可得结合椭圆的定义可得点的轨迹方程即可得解【详解】因为所以所以点的轨迹是以为左右焦点长轴长的椭圆（不在x 轴上）该椭圆焦距所以所以点的轨迹方程为当时所以面积的最大值故答案为：【点睛】解析：【分析】由正弦定理可得2BC AB AC +=，结合椭圆的定义可得点B 的轨迹方程，即可得解. 【详解】因为sin sin 2sin A C B +=，4AC =，所以28BC AB AC AC +==>， 所以点B 的轨迹是以A 、C 为左右焦点，长轴长28a =的椭圆（不在x 轴上）， 该椭圆焦距24c =，所以22212b a c =-=，所以点B 的轨迹方程为()22101612x y y +=≠，当0x =时，y =±，所以ABC 面积的最大值max 142S =⨯⨯=故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为2BC AB AC +=，再结合椭圆的定义即可得解.9．【解析】设由余弦定理知所以故填【解析】设21,3,24PF x PF x a x ===，由余弦定理知22(2)13c x =，所以c a =10．【分析】先取的中点证明是的中点再设得到最后建立方程并求双曲线的离心率即可【详解】设为双曲线的右焦点取的中点则如图因为所以是的中点则设则因为所以则又因为所以即该双曲线的离心率故答案为：【点睛】本题考查【分析】先取AB 的中点M ，证明M 是1PF 的中点，再设AB t =，得到65t a =，1185PF a =，285PF a =，最后建立方程2221212PF PF F F +=并求双曲线的离心率即可.【详解】设2F 为双曲线22221x y a b-=的右焦点，取AB 的中点M ，则1OM PF ⊥，如图.因为1F A AB BP ==，所以M 是1PF 的中点，则2//OM PF ，212OM PF =. 设AB t =，则13PF t =，232PF t a =-，2t AM =. 因为222OM AMOA =+，所以65t a =，则1185PF a =，285PF a =.又因为2221212PF PF F F +=，所以29725e =，即该双曲线的离心率5e =.故答案为：975. 【点睛】本题考查圆的几何性质、求双曲线的离心率，考查数形结合的数学思想，是基础题.11．4【分析】设点为过点作垂直于轴垂足为利用点在抛物线上建立方程即可求得的长【详解】解：由题意得设点为过点作垂直于轴垂足为即即整理得①又是抛物线上一点②由①②可得或（舍去）故答案为：【点睛】本题给出抛物解析：4 【分析】设点M 为(,)a b ，过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A ，利用60xFM ∠=︒，点M 在抛物线24y x =上，建立方程，即可求得FM 的长． 【详解】解：由题意得(1,0)F设点M 为(,)a b 过点M 作MA 垂直于x 轴，垂足为A 60xFM ∠=︒，||2||MF FA ∴=，即||2(1)FM a =- ||3MF =，即||3MF =，2(1)3a ∴-223(1)b a =-⋯①又M 是抛物线24y x =上一点24b a ∴=⋯②由①②可得3a =或13a =（舍去） ||2(31)4MF ∴=-=故答案为：4．【点睛】本题给出抛物线上的点M 满足60xFM ∠=︒，求焦半径||FM 的长，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和 2【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用221b e a=+即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理B am x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩，N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴2212b e a=+= 2. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．【分析】转化条件得点则利用基本不等式即可得解【详解】由题意可知点设由可得则点当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的性质平面向量的应用以及基本不等式的应用属于中档题【分析】转化条件得点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则001322OM k y p y p=+，利用基本不等式即可得解. 【详解】 由题意可知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，0p >， 设()2000,02y P y y p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由||3||PM MF =可得4PF MF =， 则200,884y y p MF p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴点2003,884y y p M p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,∴02014332288OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00322y p y p =时等号成立.故答案为：3. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、平面向量的应用以及基本不等式的应用，属于中档题.二、解答题14．（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）根据椭圆的焦距为c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，得到()2,0-在椭圆E 上，进而得到a 即可.（2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，与椭圆方程联立，求得弦长CD 以及点O 到直线CD 的距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦距为2c ∴=c =()0,2P 关于直线y x =-的对称点在椭圆E 上，()2,0∴-在椭圆E 上，2a ∴=， 2221b a c ∴=-=，2214x y ∴+=. （2）设过点()0,2P 的直线方程为2y mx =+，联立方程组可得22214y mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消y 可得()221416120mxmx +++=，2430m =->△，设(),C C C x y ，(),y D D D x ，21614C D m x x m ∴+=-+，21214C Dx x m =+，CD ∴== ∴点O 到直线CD 的距离d =142CODS CD d ∴=⋅=△， 设214m t +=，则4t >，CODS ∴===△ 当8t =时，取得最大值，即为1. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形最值问题的求法：一般由直线与曲线联立求得弦长及相应点的直线的距离，得到含参数的△OMN 的面积的表达式，再应用基本不等式或函数法求最值．15．（1）()22416x y -+=；（2）224x y +=. 【分析】（1）求出圆心和半径即得解；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，由1F M MP →→=得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，代入圆的方程即得解. 【详解】（1）由已知得212a =，24b =，故4c ==， 所以()14,0F -､()24,0F， 因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为()4,0，半径为4， 所以C 的轨迹方程为()22416x y -+=；（2）设动点(),M x y ，()00,P x y ，则()14,F M x y →=+，()00,MP x x y y →=--， 由1F M MP →→=，得()()004,,x y x x y y +=--， 即()()004x x x y y y ⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩，解得00242x x y y =+⎧⎨=⎩，因为点P 在C 上，所以()2200416x y -+=，代入得()()22244216x y +-+=，化简得224x y +=.所以M 的轨迹方程为224x y +=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；（4）消参法.要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程. 16．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上，焦半径的长|QF |=4，列方程求p ，写出抛物线方程；（2）讨论直线l 斜率的存在性，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合向量数量积的坐标表示有0OA OB ⋅=，则OA OB ⊥即得证.【详解】解：（1）由(,Q m 在抛物线C 上可得，212pm =， 由4QF =可得，42pm +=， ∵03p <<， ∴2p =，3m =． 抛物线的方程为24y x =．（2）当直线l 的斜率不存在时，方程为4x =，易求得()4,4A -，()4,4B(4,4)OA =-，(4,4)OB =，16160OA OB ⋅=-=,此时OA OB ⊥成立．当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()4y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得24160ky y k --=，216640k ∆=+>，124y y k +=，1216y y =-，2121212121()1616016OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=此时OA OB ⊥成立， 综上可得，OA OB ⊥． 【点睛】关键点点睛：由抛物线过点，已知焦半径长并结合抛物线定义列方程组求参数，写出抛物线方程；利用向量垂直的坐标表示12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证OA OB ⊥.17．（1）22143x y +=；（2）证明见解析；22127x y +=.【分析】（1）根据条件得出221914a b +=且12c a =，解出,a b 即可得出方程； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆，由OA OB ⊥得0OAOB ⋅=，由此可得=. 【详解】（1）由椭圆经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =得：221914a b +=且12c a =. 解得2a =，1c =，b =所以椭圆C ：22143x y +=.（2）当直线AB l 的斜率不存在时，设直线为x m =，则由OA OB ⊥可得(),A m m ±，代入椭圆得22143m m +=，解得2127m =，则与直线AB l 相切且圆心为原点的圆的半径为m =， 即圆的方程为22127x y +=； 当斜率存在时，设直线AB l 的方程为：y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得到：()()222348430k x kbx b +++-=.所以122834kbx x k +=-+，()21224334b x x k-=+. 因为OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=， 又因为11y kx b =+，22y kx b =+，故()()12121212x x y y x x kx b kx b +=+++()()22121210k x x kb x x b =++++=，将122834km x x k +=-+，()21224334b x x k -=+代入上式，得到： ()()2222222413803434k b k b b k k+--+=++， 去掉分母得：()()()2222224138340k b k b b k +--++=，去括号得：22712120b k --=，=又因为与直线AB l相切且圆心为原点的圆的半径r === 所以该圆方程为22127x y +=， 综上，定圆方程为22127x y +=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||S S -【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果； （Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立直线l 与椭圆M 的方程，利用韦达定理求出12y y +，12||S S -=212||34t t +，变形后利用基本不等式可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为()1,0F -，所以1c =且23b =，所以222314a b c =+=+=，所以椭圆M 方程为22143x y +=.（Ⅱ）因为直线l 的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l 的方程为1y x =+，联立221143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得27880x x +-=，设11(,)C x y ，22(,)D x y ， 则1287x x +=-，1287x x =-，所以||CD =247=. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)A B -，设直线l ：1x ty =-(0)t ≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得22(34)690t y ty +--=，则122634ty y t +=+，123934y y t =-+0<，所以12,y y 异号， 所以121211|||4||4|||22S S y y -=⨯-⨯⨯122||||||y y =-122||y y =+212||34t t =+ 1243||||t t =+≤==当且仅当||t =.所以12||S S -. 【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,C D 两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.20．（1）221169y x +=；（2）()222413y x --=（1≥x ）. 【分析】（1）根据条件先求解出双曲线的半焦距c ，然后结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义求解出椭圆方程中2a 的值，从而椭圆方程可求；（2）设(),M x y ，()00,B x y ，根据条件用M 点的坐标表示出B 点的坐标，再根据B 在双曲线上求解出,x y 满足的等式即为轨迹方程. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，由题2437c =+=，设椭圆方程22221y xa b+=（0a b >>）.∴1222212121924282PF PF PF PF c PF PF a⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪+=⎪⎪⎩，∴2221212142+4=64a PF PF PF PF ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∴216a =，∴2221679b a c =-=-=，∴2:C 221169yx +=；（2）由题点()0,4A .设双曲线右支上任意一点B 的坐标为()00,x y ，AB 中点M 的坐标为(),x y ，则00242x x y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴00224x x y y =⎧⎨=-⎩，又点B 在双曲线上，∴2200143x y -=∴()222413y x --=（1≥x ）.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P ，焦点为12,F F ，且12F PF θ∠=，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：2tan2b θ（b 为虚轴长度一半）.21．51-【分析】根据抛物线标准方程有焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，根据抛物线定义||||||||1PA PM PA PF +=+-，结合三角形三边的性质即可求||||PA PM +最小值.【详解】抛物线标准形式为24x y =，则焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-，延长PM 交准线于N ，连PF ，由抛物线定义知：||||||||1||||1PA PM PA PN PA PF +=+-=+-，而在△PFA 中，||||||PA PF AF +>，∴仅当F 、P 、A 共线时，||||||PA PF AF +==为最小值，∴此时||||1PA PM +=为最小值.【点睛】关键点点睛：由抛物线的定义将问题转化为求||||||||1PA PM PA PF +=+-最小值，由三角形三边的性质知：三点共线时||||PA PF +有最小值.22．（1）28y x =；（2）480x y +-=.【分析】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），再将点()2,4-代入抛物线的方程中得到p 的值，最后写出抛物线的方程即可；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程可得28160y my --=，由韦达定理可得128y y m +=，再由线段AB 中点的纵坐标为1-可得122y y +=-，进而求出m 的值，最后写出直线的方程即可.【详解】（1）由题意可设抛物线方程为：22y px =（0p >），∵抛物线过点()2,4-，∴1644p p =⇒=，∴28y x =；（2）设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则由22881602y x y my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩，264640m ∆=+>， 所以128y y m +=， 由题意1212122y y y y +=-⇒+=-，121824y y m m +==-⇒=-， 故124804x y x y =-+⇒+-=， 即直线l 的方程为480x y +-=. 【点睛】方法点睛：对于第二问，有两种方法：方法一：设点()11,A x y ，()22,B x y ，根据中点纵坐标即可利用点差法求得直线的斜率，再由点斜式写出直线的方程；方法二：设出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理和中点的纵坐标，即可求得直线的方程. 23．（1）2y x =；（2）证明见解析，1,0t t ==.【分析】（1）由准线方程为14x =- 求得12p =，得解抛物线C 的方程 （2）设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），联解后，利用原点O 落在以AB 为直径的圆上得0OA OB ⋅= 得到12120x x y y +=得解【详解】（1）由准线方程为14x =-可设抛物线C 的方程22(0)y px p => 求得12p = 故所求的抛物线C 的方程为：2y x =（2）依题意可设过P 的直线l 方程为：x my t =+（m R ∈），设1122(,),(,)A x y B x y由2x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2y my t =+ 依题意可知0∆>，且12y y t =-原点O 落在以AB 为直径的圆上令0OA OB ⋅=即()22212121212t 0x x y y y y y y t +=+=--= 解得：1,0t t ==即t 为常数，∴ 原题得证【点睛】本题利用0OA OB ⋅=得到12120x x y y +=是解题关键.24．（1）22132x y +=；（2. 【分析】（1）根据离心率3c e a ==，将点坐标代入曲线方程，结合222a b c =+，即可求得a ，b ，c 的值，即可求得答案；（2）由题意得右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，与椭圆联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的表达式，即可求得12y y -的表达式，根据m 的范围，即可求得12y y -的最大值，代入面积公式，即可求得OAB 的面积的最大值.【详解】（1）由题意得22222392144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =b =1c =.故椭圆方程为：22132x y +=. （2）易知椭圆的右焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，联立直线l 方程代入椭圆方程221321x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得：()2223440m y my ++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则222(4)4(23)(4)48(+1)0m m m ∆=-+-=> 122423m y y m -+=+，122423y y m -=+， 所以12y y -===， 因为20m ≥，所以2110,233m ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦， 易知当0m =，即211233m =+时，原式12y y -取得最大值= 此时AOB S的最大值为1211122y F y O ⨯⨯=⨯=-.即三角形OAB . 【点睛】解题的技巧为：设直线l 的方程为：()10x my m =+≠，可联立消去x ，得到关于y 的一元二次方程，进而可直接求得12y y -的表达式，即可得12y y -的最大值，即可求得面积的最大值，考查分析理解，计算求值的能力属中档题.25．（1）24y x =，（2）证明见解析，定点(8,0)【分析】（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出p ，然后求抛物线的方程；（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可【详解】解：（1）因为抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，所以12p =，得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =，（2）①当直线AB 的斜率不存在时，设22(,),(,)44t t A t B t -， 因为直线,OA OB 的斜率之积为12-，所以224412t t t t -⋅=-，化简得232t =， 所以(8,),(8,)A t B t -，此时直线AB 的方程为8x =，②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440ky y b -+=，则124b y y k =， 因为,OA OB 的斜率之积为12-，所以121212y y x x ⋅=-， 即121220x x y y +=，即可2212122044y y y y ⋅+=， 解得120y y =（舍去），或1232y y =-， 所以432b k=-，即8b k =-，所以8y kx k =-，即(8)y k x =-， 综上所述，直线AB 过x 轴上的一定点(8,0) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程y kx b =+与抛物线方程24y x =联立方程组可得2440ky y b -+=，再利用根与系数的关系可得124b y y k =，再结合直线,OA OB 的斜率之积为12-，可得到,k b 的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题 26．（1）2212516x y +=；（2）3225890x y +-=． 【分析】（1）由题可得22a b 9-=3=，求出,a b 即得椭圆方程； （2）利用点差法可求直线斜率，即可得出直线方程.【详解】（1）设椭圆M 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则22a b 9-=， 双曲线N30y ±=，3=，所以4b=，于是5a=，所以椭圆M的方程为2212516x y+=．（2）显然直线l的斜率是存在的，设直线l的斜率为k，设A，B的坐标分别为11(,)x y，22(,)x y，则221122221251612516x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2222121202516x y yx--+=，整理得121212121625y y x xx x y y-+=-⨯-+，所以162232252125k⨯=-⨯=-⨯，所以直线l的方程为321(2)25y x-=--，即3225890x y+-=．【点睛】方法点睛：点差法解决中点弦问题：设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为11(,)A x y，22(,)B x y，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.。

解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。

（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =P 、F 三点共线时，距离和最小。

. . . .. .高中数学圆锥曲线难题一．选择题〔共10小题〕1．椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，那么|NF|：|AB|等于〔〕A．B．C．D ．2．设点P与正方体ABCD﹣A1B 1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，那么点P的轨迹是〔〕A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线3．〔2010•密云县一模〕如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线的方程为〔〕A．y2=x B．y2=9xC．y2=xD．y2=3x高中数学圆锥曲线难题4．〔2011•海珠区一模〕一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是〔〕A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆5．〔2012•模拟〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，那么的最大值为〔〕A．B．C．1D．6．〔2014•二模〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，那么〔〕A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小7．〔2014•三模〕从〔其中m，n∈{﹣1，2，3}〕所表示的圆锥曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕方程中任取一个，那么此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为〔〕A．B．C．D．8．〔2013•二模〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，那么有〔〕A．B．C．D．9．〔2014•和平区模拟〕在抛物线y=x2+ax﹣5〔a≠0〕上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，那么抛物线顶点的坐标为〔〕A．〔﹣2，﹣9〕B．〔0，﹣5〕C．〔2，﹣9〕D．〔1，6〕10．〔2012•模拟〕以下四个命题中不正确的选项是〔〕A．假设动点P与定点A〔﹣4，0〕、B〔4，0〕连线PA、PB的斜率之积为定值，那么动点P的轨迹为双曲线的一局部B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*〞：m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，假设x≥0，那么动点的轨迹是抛物线的一局部C．两圆A：〔x+1〕2+y2=1、圆B：〔x﹣1〕2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，那么动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．A〔7，0〕，B〔﹣7，0〕，C〔2，﹣12〕，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，那么椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线二．解答题〔共10小题〕11．〔2008•XX〕中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1〔﹣3，0〕，一条渐近线的方程是．〔Ⅰ〕求双曲线C的方程；〔Ⅱ〕假设以k〔k≠0〕为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．12．〔2013•〕直线y=kx+m〔m≠0〕与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．〔Ⅰ〕当点B的坐标为〔0，1〕，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；〔Ⅱ〕当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．13．焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A〔0，〕为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．14．〔2011•〕设λ＞0，点A的坐标为〔1，1〕，点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．15．〔2013•南开区一模〕椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设，，求证：λ1+λ2为定值．16．〔2013•〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．17．〔2008•〕双曲线．〔1〕求双曲线C的渐近线方程；〔2〕点M的坐标为〔0，1〕．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记．求λ的取值围；〔3〕点D，E，M的坐标分别为〔﹣2，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔0，1〕，P为双曲线C上在第一象限的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．18．〔2011•三模〕过抛物线y2=4x上一点A〔1，2〕作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C〔异于点A〕在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．〔1〕设，求λ；〔2〕当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．19．〔2013•〕椭圆C：〔a＞b＞0〕的两个焦点分别为F1〔﹣1，0〕，F2〔1，0〕，且椭圆C经过点．〔Ⅰ〕求椭圆C的离心率：〔Ⅱ〕设过点A〔0，2〕的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．20．〔2014•模拟〕点A，B的坐标分别是〔0，﹣1〕，〔0，1〕，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．〔1〕求点M轨迹C的方程；〔2〕假设过点D〔2，0〕的直线l与〔1〕中的轨迹C交于不同的两点E、F〔E在D、F之间〕，试求△ODE与△ODF 面积之比的取值围〔O为坐标原点〕．高中数学圆锥曲线难题参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题〕1．椭圆+=1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，那么|NF|：|AB|等于〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：此题适合于特值法．不妨取直线的斜率为1．由此推导出|NF|：|AB|的值．解答：解：取直线的斜率为1．右焦点F〔2，0〕．直线AB的方程为y=x﹣2．联立方程组，把y=x﹣2代入整理得14x2﹣36x﹣9=0，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么，，∴AB中点坐标为〔〕，那么AB的中垂线方程为，令y=0，得，∴点N的坐标〔〕．∴|NF|=，|AB|==，∴|NF|：|AB|=，应选B．点评：特值法是求解选择题和填空题的有效方法．2．设点P与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AD、BC、C1D1所在直线的距离相等，那么点P的轨迹是〔〕A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线考点：抛物线的定义．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，M∈C1D1，N∈A1B1，故平面EFMN的点到AD和BC的距离相等．PM为P到C1D1的距离．根据P到BC的距离等于P到点M的距离，可得点P的轨迹．解答：解：由题意可得AD和BC平行且相等，设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，且M∈C1D1，N∈A1B1，那么平面EFMN与AD也平行，故平面EFMN的点到AD和BC的距离相等．由正方体的性质可得平面EFMN垂直于平面CDD1C1，故有D1C1垂直于平面EFMN，故PM为P到C1D1的距离．由此可得P到BC的距离等于P到点M的距离，故点P的轨迹是抛物线，应选D．点评：此题主要考察抛物线的定义的应用，属于根底题．3．〔2010•密云县一模〕如图过抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，假设|BC|=2|BF|，且|AF|=3，那么抛物线的方程为〔〕A．y2=x B．y2=9xC．y2=xD．y2=3x考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，根据抛物线定义可知|BD|=a，进而推断出∠BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD∥FG，利用比例线段的性质可求得p，那么抛物线方程可得．解答：解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，那么由得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴=求得p=，因此抛物线方程为y2=3x．应选D．点评：此题主要考察了抛物线的标准方程．考察了学生对抛物线的定义和根本知识的综合把握．4．〔2011•海珠区一模〕一圆形纸片的圆心为原点O，点Q是圆外的一定点，A是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q重合，然后展开纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时P的轨迹是〔〕A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆考点：双曲线的定义．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：根据CD是线段AQ的垂直平分线．可推断出|PA|=|PQ|，进而可知|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|结果为定值，进而根据双曲线的定义推断出点P的轨迹．解答：解：由题意知，CD是线段AQ的垂直平分线∴|PA|=|PQ|，∴|PO|﹣|PQ|=|PO|﹣|PA|=|OA|〔定值〕，∴根据双曲线的定义可推断出点P轨迹是以Q、O两点为焦点的双曲线，应选B．点评：此题主要考察了双曲线的定义的应用，考察了学生对椭圆根底知识的理解和应用，属于根底题．5．〔2012•模拟〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的焦点为F，A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在其准线上的射影为N，那么的最大值为〔〕A．B．C．1D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，2|MN|=a+b．再由勾股定理可得|AB|2=a2+b2，进而根据根本不等式，求得|AB|的围，进而可得答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=〔a+b〕2﹣2ab，又ab≤，∴〔a+b〕2﹣2ab≥〔a+b〕2﹣得到|AB|≥〔a+b〕．所以≤=，即的最大值为．应选A．点评：此题主要考察抛物线的应用和余弦定理的应用，考察了学生综合分析问题和解决问题的能力．6．〔2014•二模〕如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2AD，设∠DAB=θ，θ∈〔0，〕，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，那么〔〕A．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2为定值B．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2为定值C．随着角度θ的增大，e1增大，e1e2也增大D．随着角度θ的增大，e1减小，e1e2也减小考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD、AC，假设AD=t，根据余弦定理表示出BD，进而根据双曲线的性质可得到a的值，再由AB=2c，e=可表示出e1=，最后根据余弦函数的单调性可判断e1的单调性；同样表示出椭圆中的c'和a'表示出e2的关系式，最后令e1、e2相乘即可得到e1e2的关系．解答：解：连接BD，AC设AD=t那么BD==∴双曲线中a=e1=∵y=cosθ在〔0，〕上单调减，进而可知当θ增大时，y==减小，即e1减小∵AC=BD∴椭圆中CD=2t〔1﹣cosθ〕=2c∴c'=t〔1﹣cosθ〕AC+AD=+t，∴a'=〔+t〕e2==∴e1e2=×=1应选B．点评：此题主要考察椭圆和双曲线的离心率的表示，考察考生对圆锥曲线的性质的应用，圆锥曲线是高考的重点每年必考，平时要注意根底知识的积累和练习．7．〔2014•三模〕从〔其中m，n∈{﹣1，2，3}〕所表示的圆锥曲线〔椭圆、双曲线、抛物线〕方程中任取一个，那么此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为〔〕A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程；列举法计算根本领件数及事件发生的概率．专题：计算题；压轴题．分析：m和n的所有可能取值共有3×3=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率解答：解：设〔m，n〕表示m，n的取值组合，那么取值的所有情况有〔﹣1，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，﹣1〕，〔3，2〕，〔3，3〕共7个，〔注意〔﹣1，2〕，〔﹣1，3〕不合题意〕其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：〔2，2〕，〔2，3〕，〔3，2〕，〔3，3〕共4个∴此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为应选B点评：此题考察了古典概型概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决此题的关键8．〔2013•二模〕抛物线y2=2px〔p＞0〕的准线交x轴于点C，焦点为F．A、B是抛物线上的两点．己知A．B，C 三点共线，且|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，直线AB的斜率为k，那么有〔〕A．B．C．D．考点：椭圆的标准方程；等差数列的通项公式；直线的斜率．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线方程求出点C〔﹣，0〕，可得直线AB方程为y=k〔x﹣〕，将其与抛物线方程消去y得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到x1+x2和x1x2关于p、k的式子，结合两点间的距离公式算出|AB|=•．再利用抛物线的定义，得到|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差数列得出|AF|+|BF|=2|AB|，从而建立关于p、k的等式，化简整理得•=，即可解出，得到此题答案．解答：解：∵抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，∴准线与x轴的交点C坐标为〔﹣，0〕因此，得到直线AB方程为y=k〔x﹣〕，与抛物线y2=2px消去y，化简整理，得，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由根与系数的关系得∴|AB|==•=•=•∵|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，∴|AF|+|BF|=2|AB|，根据抛物线的定义得|AF|=x1+，|BF|=x2+，因此，得到x1+x2+p=2•，即+p=2•，化简得=，约去得•=∴〔1+k2〕〔1﹣k2〕=，解之得k2=应选：D点评：此题给出抛物线准线交对称轴于点C，过点C的直线交抛物线于A、B两点，A、B与焦点F构成的三角形的三边成等差数列，求直线AB的斜率．着重考察了抛物线的定义与简单几何性质，直线与抛物线位置关系等知识点，属于中档题．9．〔2014•和平区模拟〕在抛物线y=x2+ax﹣5〔a≠0〕上取横坐标为x1=﹣4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，那么抛物线顶点的坐标为〔〕A．〔﹣2，﹣9〕B．〔0，﹣5〕C．〔2，﹣9〕D．〔1，6〕考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标．解答：解：两点坐标为〔﹣4，11﹣4a〕；〔2，2a﹣1〕两点连线的斜率k=对于y=x2+ax﹣5y′=2x+a∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为〔﹣1，﹣a﹣4〕切线方程为〔a﹣2〕x﹣y﹣6=0直线与圆相切，圆心〔0，0〕到直线的距离=圆半径解得a=4或0〔0舍去〕抛物线方程为y=x2+4x﹣5顶点坐标为〔﹣2，﹣9〕应选A．点评：此题考察两点连线的斜率公式、考察导数在切点处的值为切线的斜率、考察直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．10．〔2012•模拟〕以下四个命题中不正确的选项是〔〕A．假设动点P与定点A〔﹣4，0〕、B〔4，0〕连线PA、PB的斜率之积为定值，那么动点P的轨迹为双曲线的一局部B．设m，n∈R，常数a＞0，定义运算“*〞：m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，假设x≥0，那么动点的轨迹是抛物线的一局部C．两圆A：〔x+1〕2+y2=1、圆B：〔x﹣1〕2+y2=25，动圆M与圆A外切、与圆B切，那么动圆的圆心M的轨迹是椭圆D．A〔7，0〕，B〔﹣7，0〕，C〔2，﹣12〕，椭圆过A，B两点且以C为其一个焦点，那么椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线考点：椭圆的定义；轨迹方程．专题：证明题；压轴题．分析：利用直译法，求A选项中动点P的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项B中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项C中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断D中动点的轨迹即可解答：解：A：设P〔x，y〕，因为直线PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直线PA、PB的斜率分别是k1=，k2=，∴×=，化简得9y2=4x2﹣64，即〔x≠±4〕，∴动点P的轨迹为双曲线的一局部，A正确；B：∵m*n=〔m+n〕2﹣〔m﹣n〕2，∴==，设P〔x，y〕，那么y=，即y2=4ax〔x≥0，y≥0〕，即动点的轨迹是抛物线的一局部，B正确；C：由题意可知，动圆M与定圆A相外切与定圆B相切∴MA=r+1，MB=5﹣r∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，C正确；D设此椭圆的另一焦点的坐标D 〔x，y〕，∵椭圆过A、B两点，那么CA+DA=CB+DB，∴15+DA=13+DB，∴DB﹣DA=2＜AB，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支，D错误应选D点评：此题综合考察了求动点轨迹的两种方法：直译法和定义法，考察了圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，有一定难度二．解答题〔共10小题〕11．〔2008•XX〕中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1〔﹣3，0〕，一条渐近线的方程是．〔Ⅰ〕求双曲线C的方程；〔Ⅱ〕假设以k〔k≠0〕为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值围．考点：双曲线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程．〔2〕设出直线l的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围城的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值围．解答：解：〔Ⅰ〕解：设双曲线C的方程为〔a＞0，b＞0〕．由题设得，解得，所以双曲线方程为．〔Ⅱ〕解：设直线l的方程为y=kx+m〔k≠0〕．点M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得〔5﹣4k2〕x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0．此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△=〔﹣8km〕2+4〔5﹣4k2〕〔4m2+20〕＞0．整理得m2+5﹣4k2＞0．③由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标〔x0，y0〕满足，．从而线段MN的垂直平分线方程为．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，k≠0．将上式代入③式得，整理得〔4k2﹣5〕〔4k2﹣|k|﹣5〕＞0，k≠0．解得或．所以k的取值围是．点评：本小题主要考察双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等根底知识，考察曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考察推理运算能力．12．〔2013•〕直线y=kx+m〔m≠0〕与椭圆相交于A，C两点，O是坐标原点．〔Ⅰ〕当点B的坐标为〔0，1〕，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；〔Ⅱ〕当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔I〕先根据条件得出线段OB的垂直平分线方程为y=，从而A、C的坐标为〔，〕，根据两点间的距离公式即可得出AC的长；〔II〕欲证明四边形OABC不可能为菱形，只须证明假设OA=OC，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．设OA=OC=r，那么A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，从而解得，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．于是结论得证．解答：解：〔I〕∵点B的坐标为〔0，1〕，当四边形OABC为菱形时，AC⊥OB，而B〔0，1〕，O〔0，0〕，∴线段OB的垂直平分线为y=，将y=代入椭圆方程得x=±，因此A、C的坐标为〔，〕，如图，于是AC=2．〔II〕欲证明四边形OABC不可能为菱形，利用反证法，假设四边形OABC为菱形，那么有OA=OC，设OA=OC=r，那么A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点，故，x2=〔r2﹣1〕，那么A、C两点的横坐标相等或互为相反数．从而得到点B是W的顶点．这与题设矛盾．于是结论得证．点评：此题主要考察了椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，考察等价转化思想，属于根底题．13．焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A〔0，〕为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．〔1〕求双曲线C的方程；〔2〕假设Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．考点：双曲线的标准方程；轨迹方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，根据题意可得k=±1，所以双曲线C的方程为，C的一个焦点与A关于直线y=x对称，可得双曲线的焦点坐标进而求出双曲线的标准方程．〔2〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|OF1|；假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|，根据双曲线的定义|TF2|=2，再利用相关点代入法求出轨迹方程即可．解答：解：〔1〕设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x…〔3分〕故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为∴2a2=2，a2=1，∴双曲线C的方程为x2﹣y2=1…〔6分〕〔2〕假设Q在双曲线的右支上，那么延长QF2到T，使|QT|=|OF1|假设Q在双曲线的左支上，那么在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|…〔8分〕根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①…〔10分〕由于点N是线段F1T的中点，设N〔x，y〕，T〔x T，y T〕那么…〔12分〕代入①并整理得点N的轨迹方程为…〔14分〕点评：此题主要考察双曲线的有关性质与定义，以及求轨迹方程的方法〔如相关点代入法〕．14．〔2011•〕设λ＞0，点A的坐标为〔1，1〕，点B在抛物线y=x2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程．考点：抛物线的应用；轨迹方程．专题：综合题；压轴题．分析：设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出B点的坐标；将B的坐标代入抛物线方程求出p的轨迹方程．解答：解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P〔x，y〕，Q〔x，y0〕，M〔x，x2〕那么x2﹣y0=λ〔y﹣x2〕即y0=〔1+λ〕x2﹣λy①再设B〔x1，y1〕由得将①代入②式得又点B在抛物线y=x2将③代入得〔1+λ〕2x2﹣λ〔1+λ〕y﹣λ=〔〔1+λ〕x﹣λ〕2整理得2λ〔1+λ〕x﹣λ〔1+λ〕y﹣λ〔1+λ〕=0因为λ＞0所以2x﹣y﹣1=0故所求的点P的轨迹方程：y=2x﹣1点评：此题考察题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程．15．〔2013•南开区一模〕椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设，，求证：λ1+λ2为定值．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕根据椭圆C 的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．〔2〕设A、B、M点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，设直线l的斜率为k，那么直线l的方程是y=k〔x﹣2〕，然后采用“联立方程〞+“设而不求〞+“韦达定理〞，结合中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．解答：解：〔1〕设椭圆C 的方程为，那么由题意知b=1．…〔2分〕∴．∴a2=5．…〔4分〕∴椭圆C的方程为．…〔5分〕〔2〕设A、B、M点的坐标分别为A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，M〔0，y0〕．又易知F点的坐标为〔2，0〕．…〔6分〕显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，那么直线l的方程是y=k〔x﹣2〕．…〔7分〕将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得〔1+5k2〕x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…〔8分〕∴．…〔9分〕又∵．〔11分〕∴．…〔12分〕点评：此题考察的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据条件计算出椭圆的标准方程是解答此题的关键．16．〔2013•〕抛物线C的顶点为原点，其焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l 上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．〔1〕求抛物线C的方程；〔2〕当点P〔x0，y0〕为直线l上的定点时，求直线AB的方程；〔3〕当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．抛物线的标准方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；抛物线的简单性质．考点：专压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：〔1〕利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；〔2〕先设，，由〔1〕得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；〔3〕根据抛物线的定义，有，，从而表示出|AF|•|BF|，再由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF|•|BF|的最小值．解答：解：〔1〕焦点F〔0，c〕〔c＞0〕到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1 所以抛物线C的方程为x2=4y〔2〕设，由〔1〕得抛物线C 的方程为，，所以切线PA，PB 的斜率分别为，所以PA ：①PB：②联立①②可得点P 的坐标为，即，又因为切线PA 的斜率为，整理得直线AB 的斜率所以直线AB 的方程为整理得，即因为点P〔x0，y0〕为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2所以直线AB 的方程为〔3〕根据抛物线的定义，有，所以=由〔2〕得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2所以=所以当时，|AF|•|BF|的最小值为点评：此题以抛物线为载体，考察抛物线的标准方程，考察利用导数研究曲线的切线方程，考察计算能力，有一定的综合性．17．〔2008•〕双曲线．〔1〕求双曲线C的渐近线方程；〔2〕点M的坐标为〔0，1〕．设P是双曲线C上的点，Q是点P 关于原点的对称点．记．求λ的取值围；〔3〕点D，E，M的坐标分别为〔﹣2，﹣1〕，〔2，﹣1〕，〔0，1〕，P为双曲线C上在第一象限的点．记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长．试将s表示为直线l的斜率k的函数．考点：双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：〔1〕在双曲线，把1换成0，就得到它的渐近线方程．〔2〕设P的坐标为〔x0，y0〕，那么Q的坐标为〔﹣x0，﹣y0〕，先求出，然后运用向量数量积的坐标运算能够求出λ的取值围．〔3〕根据P为双曲线C上第一象限的点，可知直线l 的斜率再由题设条件根据k的不同取值围试将s表示为直线l的斜率k的函数．解答：解：〔1〕在双曲线，把1换成0，所求渐近线方程为〔2〕设P的坐标为〔x0，y0〕，那么Q的坐标为〔﹣x0，﹣y0〕，=∵∴λ的取值围是〔﹣∞，﹣1]．〔3〕假设P为双曲线C上第一象限的点，那么直线l 的斜率由计算可得，当；当∴s表示为直线l的斜率k的函数是点评：此题是直线与圆锥曲线的综合问题，解题要熟练掌握双曲线的性质和解题技巧．18．〔2011•三模〕过抛物线y2=4x上一点A〔1，2〕作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C〔异于点A〕在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ1；点F在线段BC上，满足=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P．〔1〕设，求λ；〔2〕当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．考点：抛物线的简单性质；向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题．分析：〔1〕设出过A点的切线方程，确定出D点，分别表示出，，根据λ1+λ2=1，求出λ的值．〔2〕设C〔x0，y0〕，P〔x，y〕，用x0，y0表示出x，y，代入抛物线方程，进而确定P点的轨迹．解答：解：〔1〕过点A的切线方程为y=x+1．…〔1分〕切线交x轴于点B〔﹣1，0〕，交y轴交于点D〔0，1〕，那么D是AB的中点．所以．〔1〕…〔3分〕由⇒=〔1+λ〕⇒．〔2〕同理由=λ1，得=〔1+λ1〕，〔3〕=λ2，得=〔1+λ2〕．〔4〕将〔2〕、〔3〕、〔4〕式代入〔1〕得．因为E、P、F三点共线，所以+=1，再由λ1+λ2=1，解之得λ=．…〔6分〕〔2〕由〔1〕得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．。

《圆锥曲线》单元测试一、选择题:每小题8分，共40分1.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ,若曲线上存在点P 满足1122||:||:||4:3:2PF F F PF =,则曲线C 的离心率等于 A.1322或B.23或2 C.12或2 D.3223或2.已知两个正数,a b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线22221x y ab-=的离心率为A.53 B.4C.5453.已知椭圆22:12xC y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段A F 交C 于点B ，若3FA FB =,则||AF =B.2 D.34.下列命题中假命题是A. B. 双曲线2228x y -=的虚轴长是 C.抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1 D.2222135x y +=的两条准线之间的距离为2545.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B.28y x =±C.24y x =D.28y x =6.已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若||2||FA FB =,则k = A.322 B.32 C.32D. 317.已知双曲线2221(0)2xy b b-=>的左、右焦点分别是12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在双曲线上.则12PF PF ⋅=A.4B.0C.2-D.12-8.已知双曲线22122xy-=的准线过椭圆22214xy b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.11[,]22k ∈-B.11(,][,)22k ∈-∞-⋃+∞C.[22k ∈-D.(,])22k ∈-∞-⋃+∞ 二、填空题：每小题5分，共30分9.曲线C 是平面内与两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF D 的面积不大于22a;其中,所有正确结论的序号是 .10.若双曲线22221(,)x y a b R a b+-=∈的离心率2]e ∈，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围_ _．11.已知双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点构成一个内角为60 的菱形，那么双曲线C 的离心率为 .12.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22163xy-=的右焦点重合，则p 的值为 ．13.若椭圆22221x y ab+=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 14.已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该椭圆的离心率的取值范围为 .三、解答题：须写出演算过程、文字说明等，满分48分15.（10分）求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点()0，2的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率．16.（12分）在平面直角坐标系xoy 中， 已知点(0,1)A -,B 点在直线3y =-上，M 点满足//,M B O A M A ABM B BA ?，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）若00(,)P x y 为C 上一动点，l 为过P 点的直线且斜率为02x ，求O 点到l 距离的最小值．17.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221xy ab+=（0a b >>）的左焦点为1(1,0)F -，且点(0,1)P 在1C 上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切，求直线l 的方程.18.（14分）如下图，椭圆的中心为原点O ，离心率2e =，一条准线的方程为x =．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程； （Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中,M N 是椭圆上的点，直线O M 与O N 的斜率之积为12-,问:是否存在两个定点12,F F ，使得12||||PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由．班级姓名座号得分圆锥曲线单元测试答题卡9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题：满分48分15.（10分）16.（12分）17.（12分）18.（14分）圆锥曲线单元测试参考答案1-8:ADAD BABA 9.②③10. [π4,π3].2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴2213b a≤≤，得1b a ≤≤，∴43ππθ≤≤11.212.6 13.22154xy+=14.)1,1-因为在12P F F ∆中，由正弦定理得1211a c P F P F =，知12c P F P F a=由椭圆的定义知 212222222c aPF PF a PF PF a PF ac a+=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPF a c a c c c a c a<+<++->+则既所以2210,e e +->11(0,1)e e e <<∈或，又，故椭圆的离心率1,1)e ∈-15.解：椭圆221114169xy +=的焦点是(0,5),(0,5)-,焦点在y 轴上， 设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b ab-=>>又因为双曲线过点(0,2)，把这个点代入方程可得224,21a b == 所以双曲线的方程为221421yx-=，双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率为2.5.16. 解: (Ⅰ)设(,)M x y 由已知得(,3),(0,1)B x A --.所以 (,1),(0,3),(,2)M A x y M B y AB x =---=--=-再由题意可知()0M A M B AB +?即(,42)(,2)0x y x ---?=,故曲线C 的方程式为224xy =-.(Ⅱ)因为00(,)P x y ，l 的斜率为02x 因此直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，即2000220x x y y x -+-=．则O 点到l的距离2d =.又20024x y =-，所以2014122x d +==，当200x =时取等号，故O 点到l 距离的最小值为2.17. 解：（1）因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -，所以1c =，点(0,1)P 代入椭圆22221x y ab+=，得211b=，即1b =，所以2222a b c =+=，所以椭圆1C 的方程为2212xy +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l 的方程为y kx m =+，2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(12)4220k x km x m +++-=，因为直线l 与椭圆1C 相切，所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，整理得22210k m -+= ①24y xy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=。