16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)

§9.8 直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x (或y )的一元方程：ax 2＋bx ＋c ＝0 (或ay 2＋by ＋c ＝0)．(1)当a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a ＝0，b ≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线E 相交，且只有一个交点， ①若E 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋1k2|y 2－y 1|. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43 答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限，所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)，所以直线BF 的斜率为86＝43.4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________． 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. (2)若直线l ：y ＝(a ＋1)x －1与抛物线C ：y 2＝ax 恰好有一个公共点，试求实数a 的取值集合．解 因为直线l 与抛物线C 恰好有一个公共点，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(a ＋1)x －1y 2＝ax有唯一一组实数解，消去y ，得[(a ＋1)x －1]2＝ax ，整理得(a ＋1)2x 2－(3a ＋2)x ＋1＝0.(*)①当a ＋1＝0，即a ＝－1时，方程(*)是关于x 的一元一次方程，解得x ＝－1，原方程组有唯②当a ＋1≠0，即a ≠－1时，方程(*)是关于x 的一元二次方程，判别式Δ＝(3a ＋2)2－4(a ＋1)2＝a (5a ＋4)，令Δ＝0，解得a ＝0或a ＝－45.当a ＝0时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0；当a ＝－45时，原方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－2.综上，实数a 的取值集合是{－1，－45，0}．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二 直线与圆锥曲线中点弦、弦长问题例2 已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a ＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )， 则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t.直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．跟踪训练2 设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F 倾斜角为θ的直线交椭圆M 于A ，B 两点． (1)求椭圆M 的方程； (2)求证：|AB |＝621＋sin 2θ；(3)设过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，求|AB |＋|CD |的最小值． (1)解 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝62，c a ＝22，b 2＝a 2－c 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，c ＝3，b ＝3，所求椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 当θ≠π2时，设直线AB 的斜率为k ＝tan θ，焦点F (3,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x－3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k x 218＋y 29＝1⇒(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋18(k 2－1)＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝18(k 2－1)1＋2k 2，|AB |＝(1＋k 2)[(12k 21＋2k 2)2－4×18(k 2－1)1＋2k 2]＝62(1＋k 2)1＋2k 2.(**)又因为k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入(**)式得|AB |＝62cos 2θ＋2sin 2θ＝621－sin 2θ＋2sin 2θ ＝621＋sin 2θ.当θ＝π2时，直线AB 的方程为x ＝3，此时|AB |＝3 2.而当θ＝π2时，|AB |＝621＋sin 2θ＝32， 综上所述，所以|AB |＝621＋sin 2θ.(3)解 过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，同理可得 |CD |＝62(1＋k 2)2＋k 2＝621＋cos 2θ，所以|AB |＋|CD |＝621＋sin 2θ＋621＋cos 2θ＝1822＋14sin 22θ.因为sin 2θ∈[0,1]，所以当且仅当sin 2θ＝1时， |AB |＋|CD |有最小值是8 2.题型三 圆锥曲线中的定点、定值问题例3 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左，右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．思维点拨 直线l 的斜率存在→联立l 与C 的方程→根与系数的关系→求k 1＋k 2； 直线l 的斜率不存在→求A ，B 的坐标→求k 1＋k 2. (1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163. 由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos 60° ＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4，得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ， 则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1).得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)·4k (k －2)2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时， 可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值．思维升华 解决定点、定值问题常用策略：(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O 的两点． (1)求曲线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过定点．(1)解 ∵焦点为F (1,0)，∴p ＝2， ∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)证明 ∵直线OA ，OB 的斜率之积为－12，∴设直线OA 的方程为y ＝kx ， 直线OB 的方程为y ＝－12kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4x ，得A ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ，同理B (16k 2，－8k )． 由抛物线关于x 轴对称可知定点在x 轴上，那么A ，B 横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标．令4k 2＝16k 2，解得k 2＝12，则4k 2＝16k 2＝8， 点M (8,0)为直线AB 过的定点． 下面证明直线AB 过M 点．∵MA →＝⎝⎛⎭⎫4k2－8，4k ，MB →＝(16k 2－8，－8k )， 由⎝⎛⎭⎫4k 2－8·(－8k )＝(16k 2－8)·4k 可知向量MA →与MB →共线， ∴直线AB 过定点M .设而不求，整体代换典例：(12分)(2013·山东)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．思维点拨 第(3)问，可设P 点坐标为(x 0，y 0)，写出直线l 的方程；联立方程组消去y 得关于x 的一元二次方程，则Δ＝0；变为1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2，把k 与1k 1＋1k 2均用x 0，y 0表示后可消去． 解 (1)由已知得e ＝c a ＝32，b 2a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1. 故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.[3分](2)由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM→|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|.[4分]设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32.[6分] (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.[10分] 又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0.所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8.所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.[12分]温馨提醒 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值．方法与技巧1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 2．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 失误与防范1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况． 2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部． 3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法.A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0答案 B解析 由题意知：4m 2＋n 2>2，即m 2＋n 2<2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条答案 C解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．3．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 D解析 直线AB 的方程为y ＝4t x －1，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，由于直线AB与抛物线C 没有公共点，所以Δ＝4t2－2<0，解得t >2或t <－ 2.4．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．8 2 D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12， 则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在答案 D解析 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则A ，B 到直线x ＝－1的距离之和为x 1＋x 2＋2. 设直线方程为x ＝my ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 则y 2＝4(my ＋1)，即y 2－4my －4＝0， ∴x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∴x 1＋x 2＋2＝4m 2＋4≥4.∴A ，B 到直线x ＝－2的距离之和x 1＋x 2＋2＋2≥6>5. ∴满足题意的直线不存在．6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________. 答案 4解析 ∵使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A ，B 的横坐标为3，代入双曲线方程，可得y ＝±2，故|AB |＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4， 综上可知，|AB |＝4时，有三条直线满足题意． ∴λ＝4.7．已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6. 8．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 由于A 、B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A 、B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34.∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0.9．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以E 的离心率e ＝ca＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c 3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.10.如图所示，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点． (1)解 依题意，得|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明 方法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，且l 的方程为 y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的点(x 0，y 0)恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)． 方法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0， 且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋(y ＋38)2＝12564，交y 轴于M 3(0,1)，M 4⎝⎛⎭⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0， 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2014·四川)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728D.10答案 B解析 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2， ∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3， 当且仅当y 1＝43时，等号成立．12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________. 答案 8解析 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P (6,43)．由抛物线的性质可知|PF |＝6＋2＝8.13．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，记直线F A ，FB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝________. 答案 0解析 由y 2＝4x ，得抛物线焦点F (1,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4－2kk 2，x 1x 2＝1.k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k (x 1＋1)(x 2－1)＋k (x 2＋1)(x 1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (x 1x 2－1)(x 1－1)(x 2－1)＝2k (1－1)(x 1－1)(x 2－1)＝0.14．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)，P 为x 轴上一动点，经过点P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________． 答案52解析 由双曲线的方程可知：渐近线方程为y ＝±abx .∵经过P 的直线y ＝2x ＋m (m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，∴此直线与渐近线y ＝ab x 平行，∴a b ＝2.∴e ＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 解 (1)∵左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10， ∴(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1.又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，整理得3＋4k 2>m 2.∴x 1＋x 2＝－8mk3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2. ∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1，∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0. 整理得7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7. 且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0. 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0.。

第十章 直线与圆的方程一、基础知识1．解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件,列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。

3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p（其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角）,t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号,若P 0P 方向向上则取正,否则取负）。

5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2,将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ,夹角为α,则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。

高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义专题热点透析解析几何是高中数学的重点内容之一，也是高考考查的热点。

高考着重考查基础知识的综合，基本方法的灵活运用，数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。

其中客观题为基础题和中档题，主观题常常是综合性很强的压轴题。

本专题命题的热点主要有：①直线方程；②线性规划；③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质；④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。

热点题型范例 一、动点轨迹方程问题例1．M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -= （Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）设d 为点P 到直线l ：12x =的距离，若22PM PN =，求PM d 的值。

1.1在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0-，，(0的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA u u u r ⊥OB uuu r ？此时AB u u u r的值是多少？二、圆的综合问题例2、在直角坐标系中，A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形ABC 的外接圆圆心为E 。

（1）若圆E 与直线CD 相切，求实数a 的值；（2）设点p 在圆E 上，使三角形PCD 的面积等于12的点P 有且只有三个，试问这样的圆E 是否存在？若存在，求出圆E 的标准方程；若不存在，请说明理由。

三、圆锥曲线定义的应用例3. 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1222=+B F A F ，则AB =3.1已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),F F P -点的曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF 的面积为求直线l 的方程四、圆锥曲线性质问题例5．①已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为C 的右支上一点，且212PF F F =，则12PF F ∆的面积等于( )（Ａ）24 （Ｂ）36 （Ｃ）48 （Ｄ）96②已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．2 4.1．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．221+ B ．231+ C ． 21+ D ．31+4.2．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于五、圆锥曲线中的定值、定点问题例6． 设A 、B 为椭圆22143x y +=上的两个动点。

【例1】 直线2y kx =+与椭圆2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将2y kx =+代入2213x y +=，得22(13)6230k x kx +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130(62)12(13)12(31)0k k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩，即213k >． 设()()A A B B A x y B x y ，，，，则226231313A B A B k x x x x k k+=-=++，． 由1OA OB ⋅=u u u r u u u r，得2A B A B x x y y +=．而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++2222236253(1)22131331k k k k k k k -=+⋅-⋅+=+++． 于是2253131k k -=+．解得63k =±．故k 的值为63±． 【答案】63±【例2】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．直线与圆锥曲线.复习题y xDMNB A O【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答【解析】⑴由已知，2,3a b ==．所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为3y kx =+．令0y =，得3,0A k ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 由方程组 2233412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得 ()2234312x kx ++=，即()2234830k xkx ++=．所以 28334M kx k =-+，所以 2228383,33434k k M k k ⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭，2228383,33434k k N k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭． 所以 222832333448334DNk k k k kk -+==+． 直线DN 的方程为 334y x k=+． 令0y =，得43,03k B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅u u u r u u u r =43343k k-⋅-=． 【答案】⑴22143x y +=；⑵4．【例3】 直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【考点】直线与椭圆 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴此时直线方程为y b =，代入椭圆方程解得：221x b =±-，222214121112S b b b b b b =⋅-=-+-=，当且仅当21b b -即22b =（负值舍去）时，S 取到最大值1；⑵联立2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(41)84(1)0k x kbx b +++-=， 于是22222(8)16(1)(41)1241kb b k AB kk --+=+=+，又1S =，故原点到直线y kx b =+的距离为2211b Sd AB k ===+，解得：212k =，362b =． 故直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =． 【答案】⑴2b =时，S 取到最大值1； ⑵直线AB 的方程是：26y =26y =或26y =+或 26y =．【例4】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【考点】直线与椭圆 【难度】4星【题型】解答【关键字】2010年，宣武二模 【解析】⑴∵22b d ==，∴2b =．∵63c e a ==，∴2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i ）∵63c a =，∴2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为22233x y b += …………①易知右焦点(2,0)F b ，据题意有AB ：2y x b =- ………② 由①，②有：2246230x bx b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，222222212122724824||()()(11)23344b b b AB x x y y b -=-+-=+=⋅==∴1b =ii ）显然OA u u u r 与OB u u ur 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM u u u u r，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r 成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：21212323,24b b x x x x +==则 222212121212121233(2)(2)432()63960x x y y x x x b x b x x b x x b b b b +=+--=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥ 将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．【答案】⑴221124x y +=；⑵i ）1b =；ii ）221λμ+=．【例5】 已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由． l NMD BSyxOA 【考点】直线与椭圆 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，福建高考【解析】⑴由已知得，椭圆C 的左顶点为()20A -，，上顶点为()01D ，，∴2a =，1b =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵直线AS 的斜率k 显然存在，且0k >，故可设直线AS 的方程为(2)y k x =+， 从而101633k M ⎛⎫⎪⎝⎭，．由22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214161640k x k x k +++-=． 设()11S x y ，，则()212164214k x k --⋅=+得2122814k x k -=+，从而12414ky k =+， 即2222841414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 又()20B ，．故直线BS 的方程为()124y x k=--． 由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得10313x y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴10133N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故161||33k MN k =+．又0k >，∴1611618233333k k MN k k =+⋅=≥， 当且仅当16133k k =，即14k =时等号成立． ∴14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，14k =， 此时BS 的方程为20x y +-=，6455s ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB ∆的面积等于15，只须T 到直线BS 的距离等于2， 所以T 在平行于BS 且与BS 2的直线l 上． 设直线:0l x y t '++=， 22=解得32t =-或52t =-． ①当32t =-时，由2214302x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得251250x x -+=．由于440∆=>，故直线l '与椭圆C 有两个不同的交点；②当52t =-时，由2214502x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，得2520210x x -+=．由于200∆=-<，故直线l '与椭圆C 没有交点．综上所述，当线段MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点T ，使得TSB∆的面积等于15．法二： ⑴同法一⑵设()00S x y ，，则220014x y +=，∴220014x y =-．故2000200012244SA SOy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--． 设103MM y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，103N N y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则0M y >，0N y <． 则9110106442233N N N M SA SO y y y y k k ⋅=⋅==-+-，()169M S y y ⋅-=． 故()()823M N M N MN y y y y =+-⋅-=≥， 当且仅当()43M N y y =-=时等号成立．即MN 的长度的最小值为83．⑶由⑵可知，当MN 取最小值时，10433N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∵()20B ，，∴1BS BN k k ==-．此时BS 的方程为20x y +-=，6455S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴42BS =设与直线BS 平行的直线方程为0x y t ++=． 由22014x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2258440x tx t ++-=， 当直线与椭圆C 有唯一公共点时，有()226420440t t ∆=--=，解得5t =±． 当5t =两平行直线:20BS x y +-=与1:50l x y +=间的距离1522d +=；当5t =-时，两平行直线:20BS x y +-=与2:50l x y +=间的距离2522d -=∵15TSO S ∆=，且42BS =TSB ∆在BS 边上的高2d =．∵21d d d <<，∴椭圆C 上存在两个不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．即线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15． 【答案】⑴椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵14k =时，线段MN 的长度取最小值83．⑶线段MN 的长度最小时，椭圆C 上仅存在两上不同的点T ，使得TSB ∆的面积等于15．【例6】 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P (2,1)且离心率2e 2=．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅u u u r u u u r为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆 【难度】3星【题型】解答【关键字】2010年，崇文一模【解析】⑴设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知可得2222222211a b c ca ab ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得 224,2a b ==．所求椭圆的方程为22142x y +=．⑵设1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+． 222222(1)(12)4240240y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩， 于是2122412k x x k +=-+，21222412k x x k -=+，2221212121223(1)(1)(1)12k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+ 21122121212(,)(,)()MA MB x m y x m y x x m x x m y y ⋅=--=-+++u u u r u u u r22222222443121212k mk k m k k k --=++++++ 2222(241)412m m k m k +-+-=+2222211(241)(21)(241)42212m m k m m m k +-+-+-+-=+227212(241)212m m m k +=+--+ MA MB ⋅u u u v u u u v是与k 无关的常数，∴7202m +=∴74m =-，即7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．此时，1516MA MB ⋅=-u u u v u u u v ．当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程为1x =-． 此时点,A B 的坐标分别为661,,1,22⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当74m =-时，亦有1516MA MB ⋅=-u u u r u u u r ．综上，在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【答案】⑴22142x y +=．⑵在x 轴上存在定点7,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使MA MB ⋅u u u v u u u v 为常数．【例7】 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将2y kx =+代入226x y -=，化简得22(1)4100k x kx ---=，150k ∆=⇒= 双曲线的渐近线的斜率为1±，2y kx =+过定点(02)，，数形结合即可得151k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭． 【答案】151⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；【例8】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】对应方程有一正根一负根，只需122501x x k -=<-，解得k 的取值范围为(11)-，． 【答案】(11)-，【例9】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围． 【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将直线1y kx =-代入双曲线方程，整理得：22(1)250k x kx -+-=，设11()P x y ，，22()Q x y ，，(20)A ，，于是有12221k x x k +=--，12251x x k -=-，又直线与双曲线交于右支上两点，故有22420(1)0k k ∆=+->，且120x x +>，120x x >，解得：51k <<． 【答案】51k <<【例10】 已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将y kx b =+代入双曲线方程消去y 得222(21)4(21)0k x kbx b -+++=，当2120k -=即2k =时，若0b =，则y kx b =+为双曲线的渐近线，与双曲线无公共点； 当2120k -≠即2k ≠时，依题意有2222164(21)(21)0k b k b ∆=--+≥，化简得： 22221k b +≤对所有实数b 恒成立，而221b +的最小值为1，所以必须221k ≤恒成立，解得22k ，又2k ≠，于是可得k 的范围为22(，．此题也可以画图，用数形结合的思想进行解答．【答案】22⎛ ⎝⎭，【例11】 已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Qx y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【考点】直线与双曲线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，江西高考【解析】⑴由已知得2(30)F b ，，083A b y ⎛⎫⎪⎝⎭，，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--， 令0x =得09y y =，即20(09)P y ，，设P x y （，），则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=， 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．⑵在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =，则不妨设()20B b ，，()20D b ，，于是直线QB 的方程为：112)2y x b x b=++，直线QD 的方程为：)1122y x b x b=-，可得11202by M x b ⎛ +⎝，，11202by N x b ⎛- -⎝，， 则以MN 为直径的圆的方程为： 2111122022by by x y y x b x b ⎛++= +-⎝， 令0y =得222122122b y x x b =-，而11Q x y （，）在22221225x y b b -=上，则222112225x b y -=， 于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【答案】⑴22221225x y b b -=；⑵以MN 为直径的圆过两定点(50)b -，，(50)b ，．【例12】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差是1．⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2010年，湖北高考【解析】⑴设()P x y ，是曲线C 上任意一点，那么点()P x y ，满足：22(1)1(0)x y x x -+-=>，化简得24(0)y x x =>．⑵设过点(0)M m ，(0)m >的直线l 与曲线C 的交点为12()A x y ，，22()B x y ，， 设l 的方程为x ty m =+，由24x ty my x=+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，216()0t m =+>△，于是121244y y ty y m +=⎧⎨=-⎩①又12(1)FA x y =-u u u r ，，22(1)FB x y =-u u u r，， 12121212120(1)(1)()10FA FB x x y y x x x x y y ⋅<⇔--+=-+++<u u u r u u u r②又24y x =，于是不等式②等价于2222121212104444y y y y y y ⎛⎫⋅+-++< ⎪⎝⎭ 2212121212()1()210164y y y y y y y y ⎡⎤⇔+-+-+<⎣⎦ ③ 由①式，不等式③等价于22614m m t -+< ④对任意实数t ，24t 的最小值为0，所以不等式④对于一切，成立等价于 2610m m -+<，即322322m a -<<+．由此可知，存在正数m ，对于过点(0)M m ，，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r，且m 的取值范围是()322322-+，．【答案】⑴24(0)y x x =>；⑵()322322-+，．【例13】 已知(30)H -，，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足302HP PM PM MQ ⋅==-u u u r u u u u r u u u u r u u uu r ，，⑴当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；⑵过点(10)T -，作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点0(0)E x ，，使得ABE ∆是等边三角形，求0x 的值．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答 【关键字】无【解析】⑴设点M 的坐标为()x y ，，则由32PM MQ =-u u u u r u u u u r 得0323y x P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 由0HP PM ⋅=u u u r u u u u r得33022y y x ⎛⎫⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．所以24y x =，由点Q 在x 轴的正半轴上，得0x >，所以，动点M 的轨迹C 是以(00)，为顶点，以(10)，为焦点的抛物线，除去原点．⑵设直线l ：(1)y k x =+，其中0k ≠代入24y x =，得22222(2)0k x k x k +-+= ①设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x ，是方程①的两个实数根，由韦达定理得2121222(2)1k x x x x k -+=-=，所以，线段AB 的中点坐标为2222k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，线段AB 的垂直平分线方程为22212k y x k k k ⎛⎫--=--⎪⎝⎭令02201y x k ==+， ，所以，点E 的坐标为2210k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，．因为ABE ∆为正三角形， ∴点2210k ⎛⎫+⎪⎝⎭，到直线AB 3||AB ， 而2242224(2)441||11k k k AB k k ---=+=+2222214(1)(1)31k k k k k⎛⎫++ ⎪-+⎝⎭=+3k = 所以，0113x =． 【答案】⑴动点M 的轨迹C 是以(00)，为顶点，以(10)，为焦点的抛物线，除去原点；⑵0113x =．【例14】 已知12,F F 分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以2F 为焦点的抛物线，自点1F 引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的交点，点P 关于x 轴的对称点记为M ．设11F P F Q λ=u u u ru u u r． ⑴求曲线C 的方程；⑵证明：22F M F Q λ=-u u u u u ru u u u r；⑶若[23]λ∈，，求||PQ 的取值范围．【考点】直线与抛物线 【难度】4星 【题型】解答【关键字】2009年，宣武一模【解析】⑴∵椭圆22143y x +=的右焦点2F 的坐标为(10)，， ∴可设曲线C 的方程为22(0)y px p =>，∴2p =．曲线C 的方程为24y x =． ⑵设11()P x y ，，22()Q x y ，，11()M x y -，． ∵11,F P F Q λ=u u u r u u u r∴121(1)x x λ+=+．……①12y y λ=，……②∴22212y y λ=， ∵22112244y x y x ==，， ∴212x x λ=．……③③代入①得2221x x λλλ+=+． ∴2(1)1x λλλ-=-． ∵1λ≠，∴21x λ=，1x λ=．211(1)F M x y =--u u u u u r，．由②知，12y y λ-=-，∴22211F M y F Q λλλ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭u u u u u r u u u u r ，．故22F M F Q λ=-u u u u u r u u u u r ．⑶由⑵知21x λ=，1x λ=，得121x x =．∴2212121616y y x x ⋅==． ∵120y y >，∴124y y =． 则2221212||()()PQ x x y y =-+-2222121212122()x x y y x x y y =+++-+211412λλλλ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21216λλ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．∵[23]λ∈，，∴151023λλ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，． ∴217716||49PQ ⨯⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．得1747||PQ ∈⎣⎦，． 【答案】⑴24y x =；⑵22F M F Q λ=-u u u u u r u u u u r ；⑶1747||PQ ∈⎣⎦，．。

16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线（练习题）最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线课后练习1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是（A ）33 （B ）233 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是（A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）3013．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C)3 (D) 24．直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．387．方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线8．在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。

若该椭圆的离心率是215-，则ABF ∠= 。

9．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形?PF 1F 2的面积等于______________．10．在平面直角坐标系XOY 中，给定两点M （－1，2）和N （1，4），点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》一、知识清单1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简).2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式.3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。

4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。

5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200||B A C By Ax d +++=。

6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x 二、试题汇编1. 与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (B) 3条 (C) 4条 (D) 6条2. 已知221a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是(A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞3. P 是圆2236x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为4. 已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 .5. 若集合： {}221(,)lg(1)1lg()S x y x y x y =++≤++ {}222(,)lg(2)2lg()S x y x y x y =++≤++则2S 的面积与1S 的面积之比为 .6. 在直角坐标xoy 中，曲线235x y +=所围成的图形的面积是 .7. 直线10ax by -+=平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围为 .8. 点P 在圆2225x y +=上，A （1,2）、B （4,1），则△PAB 面积最大值是 .9. 已知[0,2)θπ∈，则θθs i n 2c o s 3-+=y 的取值范围是 .10. 方程1x -=表示的曲线是 .11. 函数()2f x x =+的值域是 .。

圆锥曲线综合练习一、 选择题：1．已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上,若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）A B ．12 C D ．233．设双曲线22219x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．若m 是2和8的等比中项,则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ )A B C D 5．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ，两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 6．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．7．双曲线221259x y -=上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为（ ）A ．22或2B ．7C ．22D ．28．P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点，则||||PM PN -的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上,且P 到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．1610．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ）A B 1 C 1 D 111．两个正数a b ，的等差中项是92,一个等比中项是a b >，则抛物线2by x a=-的焦点坐标是（ ）A ．5(0)16-， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1(0)5， 12．已知12A A ，分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点,椭圆C 上异于12A A ，的点P恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．49 B ．23 C ．59D 513．已知2212221(0)x y F F a b a b+=>>、分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足0OA OB +=(O 为坐标原点)，2120AF F F ⋅=2， 则直线AB 的方程是( ) A ． 22y =B ．22y x =C ．3y =D ．3y = 14．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(02)M ，的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A ．3B 17C 5D ．9215．若椭圆221x y m n+=与双曲线221(x y m n p q p q -=，，，均为正数）有共同的焦点F 1,F 2，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于 ( ）A ．m p +B ．p m -C ．m p -D ．22m p -16．若()P a b ，是双曲线22416(0)x y m m -=≠上一点，且满足20a b ->，20a b +>，则该点P 一定位于双曲线（ ) A ．右支上 B ．上支上 C ．右支上或上支上 D ．不能确定17．如图，在ABC △中，30CAB CBA ∠=∠=，AC BC ，边上的高分别为BD AE ，，则以A B ， 为焦点，且过D E ，的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ) A ．3 B ．1 C ．32D ．218221sin 2sin 3cos 2cos 3=--表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线19．已知12F F ，是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆上,且122F PF π∠=记线段1PF 与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若1FOQ △与四边形2OF PQ 的面积之比为1:2,则该椭圆的离心率等于 （ ） A ．23 B ．33 C ．43- D 3120．已知双曲线方程为2214y x -=，过(21)P -，的直线L 与双曲线只有一个公共点，则直线l 的条数共有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 21．已知以1(20)F -，,2(20)F ，为焦点的椭圆与直线340x y +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） A ．2 B ．6 C ．7 D ．222．双曲线22221x y a b-=与椭圆22221x y m b +=(00)a m b >>>，的离心率互为倒数，那么以a b m ，，为边长的三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形23．已知点(10)(10)A B -，，，及抛物线22y x =，若抛物线上点P 满足PA m PB =，则m 的最大值为（ ） A ．3 B ．2 CD24．设12F F ，是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32x a =上一点,21F PF △是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为( ）A ．12B ．23C ．34D ．4525．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A B ，两点，||AB =则C 的实轴长为（ ）AB． C ．4 D ．826．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A B ，两点,||12AB =，P 为C 准线上一点，则ABP △的面积为（ )A ．18B ．24C ．36D ．48 27．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(42)-，，则它的离心率为（ ） ABCD28．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A B ，两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则ab的值为（ ） AB. C.29．若椭圆221(00)x y m n m n +=>>，与曲线22||x y m n +=-无焦点,则椭圆的离心率e 的取值范围是（ )A．1) B．(0 C．1) D．(0 30．已知12F F ，分别是椭圆22143x y +=的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与1F A 的延长线、12F F 的延长线以及线段2AF 相切，若(0)M t ，为一个切点,则（ ）A ．2t =B ．2t >C ．2t <D ．t 与2的大小关系不确定31．如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A B ，,交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x = D．2y32．已知椭圆2214x y +=的焦点为12F F 、，在长轴12A A 上任取一点M,过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于P ，则使得120PF PF ⋅<的M 点的概率为( D ） ABC ．12D33．以O 为中心,12F F ，为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足12||2||2||MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为( ） AB ．23CD34．已知点12F F ，是椭圆2222x y +=的两个焦点,点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +的最小值是（ ） A． B ．2 C ．1 D ．035．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为1242x x =-=，的两点,过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线的顶点坐标为（ ) A ．(29)--， B ．(05)-， C ．(29)-， D ．(16)-，36．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．837．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则||||AB CD 的值为（ )A ．16B ．116 C ．4 D ．1438．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，A C ，分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点,F 是双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点DBDF 的余弦是（ ）ABC D39．设双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得12||3||PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( ）A ．(12]，B ．2]C ．2)D ．(12)，40．已知11()A x y ，是抛物线24y x =上的一个动点，22()B x y ，是椭圆22143x y +=上的一个动点,(10)N ，是一个定点，若AB ∥x 轴,且12x x <，则NAB △的周长l 的取值范围为（ )A ．10(5)3，B ．8(4)，C ．10(4)3，D ．11(5)3，41．2=e ，右焦点(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个根分别为1x ，2x ，则点12()P x x ，在（ ）A ．圆1022=+y x 内 B ．圆1022=+y x 上 C ．圆1022=+y x 外 D ．以上三种情况都有可能42．过双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P ,若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是( )A B C ．2 D43．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP(O 为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ )A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．44．已知以椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D 45的左准线l ，左．右焦点分别为F 1．F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，C 1与C 2的一个交点为P ，则｜PF 2 ）A B C ．4 D ．846．已知F 1、F 2是双曲线 12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ） A ．4+32 Ｂ．3+1 Ｃ．3—1 Ｄ．213+47．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点、右焦点分别为A 、F,点B （0，b ）,-=+,则该双曲线离心率e 的值为（ ）A ．213+ B C ．215- D ．248．直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线,以原点O 为圆心且过双曲线焦点的圆被直线l 分成弧长为2：1的两段，则双曲线的离心率为( )A ．B ．C ．2D ．49．从双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MT MO -与a b -的大小关系为 A ．a b MT MO ->- B ．a b MT MO -=- C ．a b MT MO -<-D ．不确定．50．点P 为双曲线1C :()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C :2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点,则双曲线1C 的离心率为( ） A ．3B ．21+C ．13+D ．251．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为12F F ，，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4：3：2，则曲线r 的离心率等于 A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 52．已知点P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，右支上一点，12F F ，分别为双曲线的左、右交点，I 为22PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为( )AB C ．b a D ．ab二、填空题:53．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ，两点．若22||||12F A F B +=，则||AB = ． 54．中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为4，离心率为12的椭圆的方程为 ． 55．9．已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则a = .56．已知P 为椭圆22194x y +=上的点,12F F ，是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=，则12F PF △ 的面积是 ． 57．已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，和椭圆221169x y +=有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ．58．若双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线与椭圆22143x y +=的焦点在x 轴上的射影恰为该椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 ． 59．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过点2F 做与x 轴垂直的直线与双曲线一个焦点P ，且1230PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为 ．60．已知12F F 、分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点,Q 是y 轴上的一个动点，若12||||4PF PF -=，则12()PQ PF PF ⋅-= 。

第十讲 直线和圆 线性规划一、直线中的元素：斜率及范围、过定点、对称专题、两条直线的位置关系1、倾斜角与斜率（1）直线的斜率1k ≥，求倾斜角的取值范围；（2）直线的斜率1k ≤，求倾斜角的取值范围；（3）(1,4)(3,1)(1,1)A B C --、、，过C 点的直线l 与线段AB 相交，求l 的取值范围。

（4）若直线:230l kx y k ---=与直线240x y -+=的交点位于第二象限，则直线l 斜率的取值范围是 2、（19年吉林预赛）3、（07年联赛真题）4、已知直线1()l y kx k k R =+-∈：，若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于两点A B 、，且=AB k ，则称曲线C 具有性质P ，给出下列三条曲线方程：① 1y x =-- ② 222210x y x y +--+= ③ 2y x = 其中，具有性质P 的曲线序号是二、圆的方程 参数方程 半圆方程 直线和圆的位置关系1、已知圆()()22:cos sin 1M x y θθ++-=，直线:l y kx =下面四个命题： （1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切; （4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切. 其中真命题的序号是______________2、设有一组圆()224*:(1)(3)2k C x k y k k k N -++-=∈ ，下列四个命题： ① 存在一条定直线与所有圆均相切 ② 存在一条定直线与所有圆均相交 ③ 存在一条定直线与所有圆均不相交 ④ 所有圆均不经过原点其中真命题的序号是______________3、设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤，对于下列7个命题： ① 存在一个圆与所有直线相交 ② 存在一个圆与所有直线不相交 ③ 存在一个圆与所有直线相切④ M 中的直线所能围成的正三角形面积相等 ⑤ M 中的所有直线均过一个定点 ⑥ 存在定点P 不在M 中的任一条直线上⑦ 对任意正整数(3)n n ≥，存在正n 边形，所有边均在M 中的直线上其中真命题的序号是______________ 4、（04年联赛真题）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b的取值范围是 A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．5、若直线(2)4y k x =-+与曲线214y x 有两个交点，则实数k 的取值范围是6、（19年江苏预赛）7、（19年广西预赛）8、（04年联赛真题）在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为【答案】1【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP 与x轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P '使∠MP 'N 更大)．于是，延长NM 交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，⇒KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1．9、（19年江苏预赛）10、（09年联赛真题）已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】[]36，【解析】设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 36a ≤≤． 11、（19年山东预赛）实数)0(>k k ，在平面直角坐标系内已知抛物线2kx y =与圆222)()r b y a x =-+-（至少有3个公共点，其中一个是原点，另外两个在直线b kx y +=上，那么实数b 的最小值是 答案：212、（19年联赛真题）练习：1、已知P 是直线3480x y ++=上动点，PA PB 、是圆22(1)(1)1x y -+-=的两条切线，A B 、是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为2、设点0(,1)M x ，若在221O x y +=：上存在点N ，使得=45OMN ∠︒，则0x 的取值范围是 3、已知222:240C x y l x y +=+-=：，，点00(,)P x y 在直线l 上，若C 上存在点Q 是，使得4OPQ π∠=，则0x 的取值范围是4、设直线22:340,:(2)2l x y a C x y ++=-+=，若在直线l 上存在一点M ，使得过M 的圆C 的切线()MP MQ P Q 、、为切点满足=90PMQ ∠︒，则a 的取值范围是三、向量与圆1、（20年四川预赛）答案：122、点A B 、是221O x y +=：上的两个动点，且AB P 是22(3)(4)1C x y -+-=：上的动点，PA PB +的取值范围是3、已知点P 是221O x y +=：上的一个动点，A B 、是22(3)(4)1C x y -+-=：上的两个动点，且=2AB ，则PA PB ⋅的取值范围是4、平面上两个点(1,0)(1,0)A B -、,P 是22-3-44C x y +=：（）（）上的一个动点，则22+PA PB 的最小值为四、隐性圆1、过定点P 的直线10l ax y +-=：与过定点Q 的直线m 30x ay -+=：相交于点M ，则22+MP MQ 的值为2、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=与过定点B 的直线30mx y m --+=相交于点(,)P x y ，则+PA PB 的取值范围是 （ ）A BC D ⎡⎣、3、已知点-P （1,0），过点Q （1,0）作直线2()20(,0)ax a b y b a b +++=不同时为的垂线，垂足为H ，则PH 的最小值为 （ ）A 、B 、C 、 1D 、4、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,2)A 在动直线0l ax by c ++=：上的射影为P ，点Q 在直线1-4120l x y +=：3上，则线段PQ 长度的最小值为5、若不全为0的实数a b c 、、成等差数列，点(1,0)P -在动直线0l ax by c ++=：上的射影为M ，点(0,3)N ，则MN 的最小值为五、线性规划1、（19年吉林预赛）2、定义在R 上的)(x f 满足)2(f = 1，)(x f '为)(x f 的导函数.若)(x f y '=图象如图所示,若正数b a ,满足1)2(>+b a f ，则21--a b 的取值范围是3、已知M 为圆22:414450C x y x y +--+=上任意一点，且点(2,3)Q -、(,)M m n 求：①32n m -+的最大值和最小值； ②22m n +的最大值和最小值。

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专题能力训练16 直线与圆一、能力突破训练1。

已知圆E经过三点A（0,1),B(2，0)，C(0，—1)，且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为（)A。

+y2=B。

+y2=C.+y2=D.+y2=2。

若直线x-2y—3=0与圆C:(x-2）2+(y+3)2=9交于E，F两点,则△ECF的面积为（)A. B。

2C。

D。

3。

（2018全国Ⅲ，理6)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x-2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A.[2,6］B。

[4,8］C.[，3]D.［2，3]4。

已知实数a，b满足a2+b2—4a+3=0，函数f（x)=a sin x+b cos x+1的最大值记为φ（a,b)，则φ(a，b）的最小值是(）A.1B.2C.+1D.35。

已知两条直线l1：x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a= 。

6。

已知圆（x-a）2+(y—b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为。

7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为。

分享智慧泉源传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 传扬爱心喜乐Wisdom&Love 第 1 页（共1页）A 2018年11月22日星期四 Wisdom&Love 第 1 页（共1页）B 2018年11月22日星期四1,在平面直角坐标系中,方程1(,22x y x ya b a b+-+=为相异正数),所表示的曲线是 A,三角形 B,正方形 C,非正方形的长方形 D,非正方形的菱形2,平面上整点(坐标为整数的点)到直线5435y x =+的距离中的最小值是 C,120 D,1303,过抛物线28(2)y x =+的焦点F 作倾斜角为060的直线,若此直线与抛物线交于A,B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于A,163 B,83 D,4,若椭圆2213620x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐标为A, B,(- C,(3, D,(3,-5,过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为A,bc B,ab C,ac D,2b6,已知P 为双曲线22221x y a b-=上的任意一点,12,F F 为焦点,若12F PF θ∠=,则12F PF S ∆=A,2cot2b θB,1sin 2ab θ C,22tan 2b a θ- D,22()sin a b θ+ <二>,填空题7,给定点(2,3),(3,2)P Q -,已知直线20ax y ++=与线段PQ(包括P,Q 在内)有公共点,则a 的取值范围是 .8,过定点(,0)F a (0)a >作直线l 交y 轴于Q 点,过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点, 延长TQ 至P 点,使QP TQ =,则P 点的轨迹方程是 .9,已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线1x y +=交于M,N 两点,且[32是 .10,已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点,M 是椭圆上一点,M 到y 轴的距离为 MN ,且MN 是1MF 和2MF 的等比中项,则MN 的值等于 .11,已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点,点B 和点C 在双曲线的右分支上,ABC ∆是等边三角形,则ABC ∆的面积等于 .12,若椭圆221x y m n+=(0m n >>)和双曲线221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点1,F 2F ,P 为两条曲线的一个交点,则12PF PF 的值为 .<三>,解答题13,设椭圆22126x y +=有一个内接PAB ∆,射线OP 与x 轴正向成3π角,直线AP,BP 的斜率适合条件0AP BP k k +=.(1),求证:过A,B 的直线的斜率k 是定值; (2),求PAB ∆面积的最大值.14,已知(AOB θθ∠=为常数且02πθ<<),动点P,Q 分别在射线OA,OB 上使得POQ ∆ 的面积恒为36.设POQ ∆的重心为G,点M 在射线OG 上,且满足32OM OG =.(1),求OG 的最小值;(2),求动点M 的轨迹方程.15,过抛物线22y px =(p 为不等于2的素数)的焦点F,作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M,N 两点,线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点,交x 轴于Q 点. (1),求PQ 中点R 的轨迹L 的方程;(2),证明:L 上有无穷多个整点,但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.。